Introducción al Análisis Asintótico de Algoritmos

• Algoritmo: Conjunto de reglas para resolver un
problema. Su ejecución requiere unos recursos.
Memoria
E/S
0 ó más
entradas
1 ó más
salidas
• Un algoritmo es mejor cuantos menos recursos
consuma.
• Otros criterios: facilidad de programarlo, corto,
fácil de entender, otros
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• Criterio : Maximizar la eficiencia.
• Eficiencia: Relación entre los recursos
consumidos y los resultados obtenidos.
• Recursos consumidos:
– Tiempo de ejecución.
– Memoria principal.
– Entradas/salidas a disco.
• Resultados obtenidos:
– Resolver un problema de forma exacta.
– Resolverlo de forma aproximada.
– Resolver algunos casos...
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• Recursos consumidos.
Ejemplo. ¿Cuántos recursos de tiempo y
memoria consume el siguiente algoritmo sencillo?
i 0
a[n+1] x
while a[i] = x do
i:= i + 1;
• Esto va a depender de los valores de n y x, de lo
que tenga el arreglo a, de los tipos de datos, de la
máquina, del compilador...
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• En general los recursos dependen de:
– Factores externos.
• El computador, el lenguaje de programación y el compilador
utilizado.
• La implementación que haga el programador del algoritmo. En
particular, de las estructuras de datos utilizadas.
– Tamaño de los datos de entrada.
– Contenido de los datos de entrada.
• Mejor caso. El contenido favorece una rápida ejecución.
• Peor caso. La ejecución más lenta posible.
• Caso promedio. Es la Media de todos los posibles contenidos.
• Los factores externos no aportan ninguna información
sobre el algoritmo.
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Para analizar un algoritmo, nos deben preocupar el
tiempo de ejecución y la cantidad de memoria
(espacio).
Para cada problema determinaremos un N, que
representa su tamaño, y se estudiará éste en
función a ese N.
El concepto exacto que mide a N, depende de la
naturaleza del problema.
Para un vector, se suele utilizar N, como su longitud
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Para una Matriz, se suele utilizar N, como el
número de elementos que la conforman.
Para un grafo, puede ser el número de nodos.
Para un archivo, se suele utilizar el número de
registros.
Es imposible dar una regla general. El N, va a
depender del problema
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La función que relaciona el tiempo de ejecución del
algoritmo con el número de datos la denominaremos
T(n), donde n, es el número de datos a procesar.
Como se ha dicho, en las láminas previas, el análisis
de algoritmos, busca una métrica objetiva para
comparar algoritmos.
Sean f y g algoritmos comparables entre sí y sean
T f (n) y T g (n) sus complejidades temporales
respectivamente.
Cómo pueden compararse entre sí?
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Cómo pueden compararse entre sí?
El criterio va a ser el comportamiento de T(n) cuando
n es muy grande. Es decir,
Lim n T(n)
Las Notaciones Asintóticas, indican como crece T,
para valores suficientemente grandes, sin considerar
constantes que dependen de factores externos.
Lo que vamos a intentar, es identificar “familias de
funciones” usando como criterio de agrupación su
comportamiento asintótico.
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La Notación O(f(n)) determina una cota superior del
tiempo de ejecución del algoritmo, obviando
constantes multiplicativas y haciéndolo, por tanto,
independiente de la implementación.
El conjunto O(f(n)), de las funciones de orden f(n), se
define como:
O(f(n))= { g: N R+ U {0} | c ∈ R+, no ∈ N ,
tales que para todo n no g(n) cf(n) }
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O(f(n))= { g: N R+ U {0} | c ∈ R+, no ∈ N ,
tales que para todo n no g(n) cf(n) }
Es decir, O(f(n)) esta formado por aquellas funciones g(n)
que crecen a un ritmo menor o igual al de f(n). De las
funciones “g” que forman este conjunto, se dice que están
dominadas asintóticamente por f, en el sentido que para n
suficientemente grande, f(n) es una cota superior de g(n)
Cada conjunto O(f(n)) define un orden de complejidad y se
suele elegir la función más sencilla del conjunto para
representarlo.
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R +
O(f)
c·f(n)
N
• O(f) es un conjunto de funciones, no una función.
• Se estudia para valores de n sufic. grandes
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• Uso de los órdenes de complejidad: dado un
tiempo t(n), encontrar la función f más simple tal
que T∈ O(f), y que más se aproxime
asintóticamente.
Ejemplo. T(n) = 2n 2 + 6n + 2 t(n) ∈ O(n2)
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Ejemplo:
Considere la función g(n) = 8n + 128, y suponga que se
quiere mostrar que g(n) O(n 2 ). Según la definición, se
debe encontrar una constante
real positiva c y un número natural n 0 tales que para todo
número natural n n0 se verifique que g(n) cf(n)
∈ ∈
!"#$%& ' (
Suponga que se selecciona c = 1. Se tiene entonces que:
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g(n) c * f(n) 8n + 128 1 * n 2
0 n2 - 8n - 128
0 (n – 16) * ( n + 8 )
Como V n ∈ N : n+8 > 0, se concluye que
n-16 0. Por lo tanto, n0 = 16. Así que,
para c = 1 y n0 = 16, g(n) c * f(n) .
Luego, g(n) ∈ O(n 2 ).
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Proposición: Sean f, g, h : N ∈ R funciones arbitrarias de los
números
naturales en los números reales no negativos. La notación O-
grande verifica las siguientes propiedades:
Usaremos O(f) para denotar O(f(n))
•Reflexividad: f ∈ O(f)
•Transitividad: f ∈ O(g) ^ g ∈ O(h) f ∈ O(h)
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Propiedades: Sean f, g : N ∈ R dos funciones
arbitrarias de los números naturales en los números
reales no negativos. La notación O-grande verifica las
siguientes propiedades:
• λ∗O(f) = O(f)
•Si > 0 entonces O(λ * f) = O(f)
•O(f) + O(g) = O(max(f, g)) (Regla de la suma)
•O(f) * O(g) = O(f * g) (Regla del producto)
•∀a,b > 1, O(log a n) = O(log b n)
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• O(1): complejidad constante
• O(log n): complejidad logarítmica
• O(n): complejidad lineal.
• O(n log n): aparece en algunos algoritmos
recursivos como la ordenación quicksort.
• O(n 2 ): complejidad cuadrática. En algunas
recursiones y en bucles doblemente anidados.
• O(n 3 ): complejidad cúbica.
• O(n k ) (k>2): complejidad polinómica.
• O(2 n ): complejidad exponencial
• O(n!): complejidad factorial.
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• Declaraciones: Las declaraciones de constantes, tipos,
variables, procedimientos y funciones no se toman en
cuenta en el análisis asintótico de un algoritmo.
• Operaciones elementales: El tiempo de ejecución de una
operación elemental puede tomarse como O(1).
• Secuencias de instrucciones: El tiempo de ejecución de
una secuencia de instrucciones se determina utilizando la
regla de la suma
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• Condicionales: El tiempo de ejecución de una proposición
condicional:
if cond then
S1
else
S2
endif
Es el tiempo necesario para evaluar la condición (que
generalmente es O(1)) más el máximo entre el tiempo de
ejecución de la secuencia de proposiciones cuando la
condición es verdadera y el tiempo de ejecución de la
secuencia de proposiciones cuando la condición es falsa.
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Ciclos: El tiempo de ejecución de un ciclo:
while cond do
{
S
}
for k in [min .. max] do
{
S
}
Es la suma, sobre todas las iteraciones del ciclo, del
tiempo de ejecución de las instrucciones que están en el
interior del ciclo y del tiempo utilizado para evaluar la
condición de terminación (que generalmente puede
tomarse como O(1))
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