Estudio de Capacidad de Procesamiento de Sistemas Distribuidos ...

2. Modelado de Sistemas Distribuidos
utilizando Ising
Nuestro interés es encontrar una analogía de los
sistemas distribuidos basados en grid computing con
un bien conocido modelo de la física [3]. Creemos que
el modelo de Ising [4], es particularmente conveniente
para este propósito como describiremos a continuación.
En nuestro modelo cada sitio o spin tradicional del
modelo de Ising representa una celda o computadora
de procesamiento del grid-computing. Las computadoras
con recursos disponibles, se consideran como
si=-1 (sitio negro), y aquellas computadoras sin
recursos disponibles o saturadas corresponden a si=+1
(sitio blanco), (ver Figura 1).
(1)
La estimación del parámetro β es realizada
utilizando una técnica común de estimación de
parámetros en Campos Aleatorios de Markov [5], la
cual es el estimador de seudo máxima verosimilitud [7,
9]. Este criterio establece que β^, (el estimador de β) es
uno que maximiza el siguiente producto de
probabilidades:
(2)
Como es usual aplicamos el logaritmo natural a la
expresión de arriba y utilizando la expresión 1,
alcanzamos la siguiente función objetivo del parámetro
β:
Fig. 1. Celdas en negro tienen recursos disponibles, no así las
blancas. Estas están congestionadas.
La energía del sistema de Ising en la configuración
especificada por {s i } se define como:
Donde el subíndice I se refiere a Ising y el símbolo
denota un par de spines del vecino más cercano.
No hay distinción entre y . Así la suma sobre
contiene γ⋅N/2 términos, donde γ es el número de
vecinos mas cercanos de cualquier sitio dado y la
geometría de la grilla (lattice) se describe mediante γ y
e ij . Una situación muy cercana a la realidad es usar un
grilla Ising de LxL, con todos los e ij = e, γ = 4 y H =
0. A cada tiempo medio entre requerimientos de
servicio (TMER), le corresponde algún valor de
temperatura “virtual” de la grilla, que será calculada
utilizando la técnica de estimación de parámetros [7,8].
3. Estimación de Parámetros en el Modelo
de Ising
Si definimos σ i,j = (s i-1,j + s i+1,j + s i,j-1 + s i,j+1 ) y
calculamos la probabilidad condicional para un sitio
fijo en la posición i,j, obtenemos lo siguiente:
(3)
Ahora diferenciamos respecto a β, la expresión de
arriba y encontramos que es el valor de β^ que hace
J(β^) = 0.
(4)
Para analizar la expresión lograda y desarrollar un
algoritmo para la estimación de β^, hacemos las
siguientes definiciones noveles: sea N α el número de
sitios para el cual la suma de sus vecinos es igual a α.
Nótese que los posibles valores de α están restringidos
a 0; +2; -2; +4 y -4 y por supuesto tenemos que L 2 = N 0
+ N -2 + N +2 + N -4 + N +4 . Ahora descomponemos la
suma en 4 como sigue:
(5)
Donde la notación Σ Να s ij significa tomar la
sumatoria de todos los sitios cuyos vecinos sumen α.
Los números A, B, y C son cantidades que podemos
calcular fácilmente de la muestra {s i,j }y el estimador se
obtiene como el β^ que satisface:
(6)
IX Jornadas Iberoamericanas de Ingeniería del Software e Ingeniería del Conocimiento
Lima, Perú