Estudio de Capacidad de Procesamiento de Sistemas Distribuidos ...
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2. Mo<strong>de</strong>lado <strong>de</strong> <strong>Sistemas</strong> <strong>Distribuidos</strong><br />
utilizando Ising<br />
Nuestro interés es encontrar una analogía <strong>de</strong> los<br />
sistemas distribuidos basados en grid computing con<br />
un bien conocido mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> la física [3]. Creemos que<br />
el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising [4], es particularmente conveniente<br />
para este propósito como <strong>de</strong>scribiremos a continuación.<br />
En nuestro mo<strong>de</strong>lo cada sitio o spin tradicional <strong>de</strong>l<br />
mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Ising representa una celda o computadora<br />
<strong>de</strong> procesamiento <strong>de</strong>l grid-computing. Las computadoras<br />
con recursos disponibles, se consi<strong>de</strong>ran como<br />
si=-1 (sitio negro), y aquellas computadoras sin<br />
recursos disponibles o saturadas correspon<strong>de</strong>n a si=+1<br />
(sitio blanco), (ver Figura 1).<br />
(1)<br />
La estimación <strong>de</strong>l parámetro β es realizada<br />
utilizando una técnica común <strong>de</strong> estimación <strong>de</strong><br />
parámetros en Campos Aleatorios <strong>de</strong> Markov [5], la<br />
cual es el estimador <strong>de</strong> seudo máxima verosimilitud [7,<br />
9]. Este criterio establece que β^, (el estimador <strong>de</strong> β) es<br />
uno que maximiza el siguiente producto <strong>de</strong><br />
probabilida<strong>de</strong>s:<br />
(2)<br />
Como es usual aplicamos el logaritmo natural a la<br />
expresión <strong>de</strong> arriba y utilizando la expresión 1,<br />
alcanzamos la siguiente función objetivo <strong>de</strong>l parámetro<br />
β:<br />
Fig. 1. Celdas en negro tienen recursos disponibles, no así las<br />
blancas. Estas están congestionadas.<br />
La energía <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> Ising en la configuración<br />
especificada por {s i } se <strong>de</strong>fine como:<br />
Don<strong>de</strong> el subíndice I se refiere a Ising y el símbolo<br />
<strong>de</strong>nota un par <strong>de</strong> spines <strong>de</strong>l vecino más cercano.<br />
No hay distinción entre y . Así la suma sobre<br />
contiene γ⋅N/2 términos, don<strong>de</strong> γ es el número <strong>de</strong><br />
vecinos mas cercanos <strong>de</strong> cualquier sitio dado y la<br />
geometría <strong>de</strong> la grilla (lattice) se <strong>de</strong>scribe mediante γ y<br />
e ij . Una situación muy cercana a la realidad es usar un<br />
grilla Ising <strong>de</strong> LxL, con todos los e ij = e, γ = 4 y H =<br />
0. A cada tiempo medio entre requerimientos <strong>de</strong><br />
servicio (TMER), le correspon<strong>de</strong> algún valor <strong>de</strong><br />
temperatura “virtual” <strong>de</strong> la grilla, que será calculada<br />
utilizando la técnica <strong>de</strong> estimación <strong>de</strong> parámetros [7,8].<br />
3. Estimación <strong>de</strong> Parámetros en el Mo<strong>de</strong>lo<br />
<strong>de</strong> Ising<br />
Si <strong>de</strong>finimos σ i,j = (s i-1,j + s i+1,j + s i,j-1 + s i,j+1 ) y<br />
calculamos la probabilidad condicional para un sitio<br />
fijo en la posición i,j, obtenemos lo siguiente:<br />
(3)<br />
Ahora diferenciamos respecto a β, la expresión <strong>de</strong><br />
arriba y encontramos que es el valor <strong>de</strong> β^ que hace<br />
J(β^) = 0.<br />
(4)<br />
Para analizar la expresión lograda y <strong>de</strong>sarrollar un<br />
algoritmo para la estimación <strong>de</strong> β^, hacemos las<br />
siguientes <strong>de</strong>finiciones noveles: sea N α el número <strong>de</strong><br />
sitios para el cual la suma <strong>de</strong> sus vecinos es igual a α.<br />
Nótese que los posibles valores <strong>de</strong> α están restringidos<br />
a 0; +2; -2; +4 y -4 y por supuesto tenemos que L 2 = N 0<br />
+ N -2 + N +2 + N -4 + N +4 . Ahora <strong>de</strong>scomponemos la<br />
suma en 4 como sigue:<br />
(5)<br />
Don<strong>de</strong> la notación Σ Να s ij significa tomar la<br />
sumatoria <strong>de</strong> todos los sitios cuyos vecinos sumen α.<br />
Los números A, B, y C son cantida<strong>de</strong>s que po<strong>de</strong>mos<br />
calcular fácilmente <strong>de</strong> la muestra {s i,j }y el estimador se<br />
obtiene como el β^ que satisface:<br />
(6)<br />
IX Jornadas Iberoamericanas <strong>de</strong> Ingeniería <strong>de</strong>l Software e Ingeniería <strong>de</strong>l Conocimiento<br />
Lima, Perú