Enunciado

Primera convocatoria 05/02/10
Ampliación de Ecuaciones Diferenciales
1.– (a) Consideremos en R 3 el sistema de ecuaciones diferenciales 2π-periódicas
⎡ ⎤ ⎡
⎣ẋ ẏ⎦ = ⎣ 0 0 −1/4
⎤ ⎡
0 sen t 0 ⎦ ⎣ x ⎤
y⎦ .
ż 1/4 0 0 z
Hallar la matriz resolvente y la matriz de monodromía. Hallar la descomposición
de Floquet. Discutir la acotación de las soluciones y hallar las
condiciones iniciales que dan lugar a soluciones periódicas, a soluciones acotadas
y a soluciones no acotadas (en R + ). ¿Cuántas soluciones 2π-periódicas
tiene el sistema no homogéneo Ẋ = A(t)X + b(t), con b(t) = [et , 0, sen(t)]
(b) Consideremos la ecuación diferencial
(1 − t 2 )ÿ − tẏ + ay =0,
donde a ∈ R. Halla los puntos singulares y clasifícalos. Da una estimación
del radio de convergencia de las soluciones en serie de potencias de t. Halla
los valores de a para los cuales existe una solución polinómica y calcula
explícitamente uno de dichos polinomios, que tenga grado mayor que 2.
2.– Consideremos un problema de valor inicial en R 3 formado por un sistema
de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Ẋ = AX
junto con unas condiciones iniciales X(0) = [x 0 ,y 0 ,z 0 ]. Supongamos que la
transformada de Laplace de dicho problema es
⎡
⎣ˆx ⎤
⎡
ŷ⎦ 1
= ⎣ (s + 7)x ⎤
0 +3y 0 +2z 0
−x 0 +(s + 3)y 0 − 2z 0
⎦ .
ẑ
s(s + 6)
−2x 0 − 6y 0 +(s + 2)z 0
donde [ˆx, ŷ, ẑ] =L(X). Hallar los puntos de equilibrio de dicho sistema y
determinar su estabilidad. Halla la exponencial de A. Hallar la solución del
problema Ẋ = AX + b(t) con X(0) = 0, siendo b(t) = [0,e−6t , 0]. ¿Está
acotada dicha solución ¿Contradice esto tu resultado sobre la estabilidad
(b) Probar que si el sistema T -periódico Ẋ = A(t)X + b(t) tiene soluciones
T -periódicas, entonces para toda solución T -periódica Y (t) del sistema
adjunto Ẏ = −A(t)T Y se satisface ∫ T
0 Y (t)T b(t) dt = 0. ¿Es cierto el
recíproco
3.– a) Define los conceptos de estabilidad y estabilidad asintótica de una solución
de una ecuación diferencial. Demuestra que, para una ecuación diferencial
lineal Ẋ = A(t)X, una solución de dicho sistema es estable si y sólo si una
matriz fundamental (cualquiera) está acotada en R + .
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) Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales
{
y (3) + (7 + y)ÿ + 6ẏ + 2 sen(y) = 0
¨z +(a + y − 2)ż + (9 cos(y) − a 2 )z =0,
donde a ∈ R. Hallar los puntos de equilibrio. Estudiar la estabilidad de uno
de dichos puntos de equilibrio.
Nota: Lee detenidamente los enunciados y contesta sólo a lo que se pregunta.
En las cuestiones teóricas, pon un cuidado especial en la redacción y precisión de la
respuesta. Razona claramente todos los pasos (una respuesta insuficientemente razonada
es una respuesta deficiente).
Todos los ejercicios tienen el mismo valor. Se considerará superada esta prueba si se
alcanzan la mitad de los puntos.