fisica para ingenieros oscilaciones ondas y óptica - Ludifisica

Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A.
FISICA PARA INGENIEROS
NOTAS DE CLASE SOBRE
OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
ADAPTADAS A LA REFORMA ACADÉMICA DE LA UN DEL 2008
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS, ESCUELA DE FÍSICA
2011

Notas sobre Física de Oscilaciones Ondas y Óptica
Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A.
15 de agosto de 2012
ÍNDICE GENERAL
Índice general
Lista de Figuras
Lista de Tablas
I
II
III
I OSCILACIONES MECANICAS 3
1 CINEMATICA 5
1.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. M.C.U vs M.A.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 DINAMICA 13
2.1. Fuerza recuperadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Ecuación diferencial del oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5. El péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 ENERGIA 23
3.1. Trabajo W y energía potencial U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Energía cinética T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo . . . . . . . . . 25
3.4. Energía mecánica E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 SUPERPOSICION DE M.A.S 29
4.1. Superposición en la misma dirección de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. Superposición en direcciones de vibración ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3. Análisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 OSCILACIONES FORZADAS 37
5.1. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
I

6 OSCILACIONES ELECTRICAS 47
6.1. Circuitos LC : Oscilaciones eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2. Circuitos RLC : Oscilaciones eléctricas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3. Oscilaciones eléctricas forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4. Antenas: radio y televisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.5. Analogía mecano-electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
LISTA DE FIGURAS
1.1. Clases de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Elongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Cronograma de un sistema masa-resorte oscilando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Elongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Redefinición de constantes de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Estados del sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Diagramas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Resortes en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7. Barra soportada en dos cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Desplazando la masa que está sujeta a un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Diagrama de fuerzas de la masa que está sujeta al resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Interpretación gráfica del trabajo realizado por el agente externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Figura del ejercicio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1. Vectores rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Interferencia: constructiva y destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Estados de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4. Señal cuadrada como una combinación de funciones seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.1. Sistema masa-resorte sumergido en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2. Diagramas de fuerzas sobre la masa en el sistema masa-resorte sumergido en un fluido . . . . . . 38
5.3. Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4. Diagrama de fuerzas en el oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5. Amplitud vs Frecuencia de la fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.1. Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3. RLC forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4. Antena dipolo emisora (radiando) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5. Antena dipolo receptora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
II

LISTA DE TABLAS
5.1. Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1. Analogía mecano-electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
III

PRÓLOGO
Estas notas de clase no pretenden reemplazar los excelentes textos de física que se encuentran en el mercado.
Los autores sólo pretenden facilitar la toma de notas de los estudiantes en las clases magistrales que
la Escuela de Física imparte a los estudiantes de ingeniería de la Universidad Nacional de Colombia en su
sede Medellín: aquí ni se detallan los cálculos ni se hacen profundas disertaciones sobre la fenomenología;
estas son actividades a desarrollar en la clase presencial.
Los autores quieren señalar que como consecuencia de la reforma académica realizada en el 2008 en la
Universidad Nacional de Colombia, no hay exigencia de la Física de Electricidad y Magnetismo como prerrequisito
de este curso por lo que los temas se ordenaron de tal forma que un estudiante con ese vacío de
conocimiento pudiera comprender la mayor parte del tema sin mayores inconvenientes; es por esto que
algunos temas podrían parecer extraños en su ubicación; además la óptica física se realiza sin recurrir a la
naturaleza electromagnética de la luz (aunque en su debido momento se hacen las respectivas aclaraciones
para evitar confusiones en los estudiantes): la naturaleza electromagnética de la luz y su comportamiento
cuántico se tratan en la última parte del curso.
Las notas de clase contienen numerosos links a simulaciones y videos que facilitan la comprensión de
los contenidos, y en su mayoría son propiedad intelectual de los autores y con copyright para la Universidad
Nacional de Colombia. Para acceder a ellos es necesario abrir el documento .pdf correspondiente a esta obra
y estar en línea en la Internet.
Los Autores
1

Parte I
OSCILACIONES MECANICAS
3

C A P Í T U L O
1
CINEMATICA
El estudio de las oscilaciones o vibraciones es
una parte fundamental de la física debido a que
prácticamente todos los sistemas físicos tienen
capacidad de oscilar alrededor de un punto de
equilibrio.
Cualquier magnitud puede estar sujeta a oscilaciones.
En la vida habitual las oscilaciones más
obvias son aquellas que conciernen a la oscilación
de la posición (viraciones en cuerdas, olas en el
agua, péndulos, resortes), sin embargo, cualquier
magnitud puede oscilar: la presión de un líquido
o un gas, su temperatura, el campo magnético, el
campo eléctrico entre otras.
Es muy importante conocer el Movimiento Armónico
Simple, ya que el teorema de Fourier establece que cualquier clase de oscilación periódica puede
considerarse como la superposición de movimientos armónicos simples
En la figura se ilustra el denominado péndulo de Foucault y es usado como un instrumento que permite
constatar la rotación de la Tierra: si se coloca un péndulo suspendido en el centro de una barra colocada
entre dos columnas en el Polo Norte de la Tierra, conforme la Tierra gira el péndulo que siempre oscila en
la misma dirección respecto de los astros, recorrerá distintos sitios de la superficie. Puesto que a la Tierra le
toma 24 horas completar un giro, el péndulo parecerá completar un giro en sentido contrario durante ese
lapso. En latitudes cercanas al Ecuador, como las de México, los péndulos de Foucault "giran"muy lentamente,
menos de una vuelta completa en 24 horas, por consiguiente le cuesta mucho trabajo al observador
entender de qué modo este instrumento muestra la rotación de la Tierra. El primero en realizar el experimento
(que lo hizo en París en 1851) fue el notable físico francés Jean Bernard Leon Foucault, que suspendió
una bala de cañón de la cúpula del Panteón de París mediante un cable de unos 75 metros de longitud.
1.1 Fundamentos
La posición de equilibrio de un cuerpo puede ser de tres tipos: estable, inestable e indiferente. En la
figura 1.1 se ilustran los tres casos.
Los equilibrios estable e inestable corresponden respectivamente a estados de mínima y máxima energía
potencial.
5

Figura 1.1: Clases de equilibrio
Figura 1.2: Elongación
Cuando el cuerpo es separado de la posición de equilibrio por la acción de un agente externo, oscilará
solo si su posición de equilibrio era estable. A este tipo de movimiento se le denomina movimiento oscilatorio
o vibratorio. El estudio de este tipo de movimientos es de suma importancia en la física, ya que es la base
para la comprensión, entre otros, de fenómenos como el sonido y la luz.
1.2 Definiciones básicas
En el movimiento oscilatorio se utiliza como sistema de coordenadas, a un sistema cuyo origen es la
posición de equilibrio del oscilador, figura 1.2. A continuación se definirán algunos conceptos básicos.
Elongación ( −→ x ) Es el vector posición del oscilador medido respecto a la posición de equilibrio. En la figura
1.2 será la variable x. Tiene unidades de longitud.
Amplitud (A)
Corresponde a la magnitud de la máxima elongación. Tiene unidades de longitud.
Periodo (P ) Si el movimiento oscilatorio es un movimiento periódico, se le define como periodo, al tiempo
que se demora para hacer una oscilación completa (“un ir y venir”). Su unidad en el SI es el segundo.
Frecuencia (f ) Como a todo movimiento periódico, al oscilador también se le define una frecuencia. En
este caso, será el número de oscilaciones completas por cada unidad de tiempo. En el SI su unidad es el
Hertz (1 Hz=1 oscilacion/seg).
6

El periodo y la frecuencia son inversos multiplicativos, esto es,
f P = 1 (1.1)
Fase (ϕ) Un parámetro muy utilizado cuando se están analizando movimientos oscilatorios, es el que
recibe el nombre de fase del oscilador . Recibe este nombre porque determina en que “fase” del movimiento
de “ir y venir” se encuentra la partícula oscilante; por ejemplo, determina si el oscilador en un instante dado
está en su posición de equilibrio, o en uno de los extremos de oscilación, o en otra posición. Este concepto
es un poco abstracto, pero a continuación se dan algunos ejemplos que aclaran su interpretación física.
Cada que el oscilador hace una oscilación completa, se dice que su fase se ha incrementado en 360º (2π
radianes). Así por ejemplo, un oscilador que se suelta desde un extremo, cuando su fase sea de 7π radianes,
estará ocupando la posición del extremo opuesto, y habrá transcurrido un tiempo equivalente a tres períodos
y medio, y además habrá completado tres oscilaciones y media. Ahora, si dos osciladores se sueltan
simultáneamente de extremos opuestos, se dice que su diferencia de fase es de π radianes (osciladores en
oposición). Y si se sueltan bajo las mismas condiciones desde la misma posición, se dice que están en fase.
Fase inicial (ϕ 0 ) Corresponde a la fase del oscilador en el instante t = 0. La fase inicial que se le asigna a
un oscilador dependerá de las condiciones iniciales (posición y velocidad iniciales).
Ejercicio 1.1 Una masa que pende de un resorte se desplaza de su posición de equilibrio hasta una posición
igual a 2,50 cm y se suelta. Si oscila periódicamente con una frecuencia igual a 0,500 Hz, calcular: (a) su
periodo, (b) el número de oscilaciones que hace en 20,0 s, (c) su desfase a los 3,50 s y a los 5,00 s después de
iniciado su movimiento, (d) su desplazamiento a los 1, 50 s y 4,00 s después de iniciado su movimiento.
Ejercicio 1.2 ¿Puede el desplazamiento de una partícula oscilando entre el instante t = 0 y un instante
posterior t, ser igual a la posición (elongación) en el tiempo t Explicar.
1.3 Cinemática
Elongación En general toda partícula oscilante cuya elongación se exprese mediante una relación senosoidal
o cosenosoidal del tiempo, se dice que oscila armónicamente. A este movimiento se le denomina Moviminento
Armónico Simple (M.A.S.) y a la partícula se le denomina oscilador armónico. En la figura 1.3 se ilustra un
sistema masa resorte oscilando: mediante el desplazamiento de una cinta de papel se puede recoger su
cronograma (representación de su elongación y vs tienpo t),
y = A sin ( w t + ϕ 0
)
(1.2)
en donde A es la amplitud, w = 2πf = 2π/P es la frecuencia angular medida en rad/s, f es la frecuencia
medida en Hz, P es el periodo medido en s, t es el tiempo en s, ϕ 0 es la fase inicial medida en radianes y
ϕ = w t + ϕ 0 la fase medida en radianes.
Simulación 1.1 Cronograma en un M.A.S.
7

Figura 1.3: Cronograma de un sistema masa-resorte oscilando
Velocidad
Derivando respecto al tiempo la elongación, ecuación 1.2, se obtiene la velocidad,
V y = w A cos ( w t + ϕ 0
)
(1.3)
Aceleración
Derivando respecto al tiempo la velocidad, ecuación 1.3, se obtiene,
a y = −w 2 A sin ( w t + ϕ 0
)
(1.4)
De las ecuaciones 1.2 y 1.4 se obtiene,
a y = −w 2 y (1.5)
esta última ecuación significa que la elongación y la aceleración en un M.A.S. siempre son opuestas.
Esto es debido, como se tratará más adelante, a que la fuerza generadora del M.A.S. es lineal respecto a la
elongación y además recuperadora.
Ejercicio 1.3 En qué posiciones de la trayectoria de un oscilador armónico son máximas: (a) la magnitud
(el módulo) de la elongación, (b) la rapidez, (c) la magnitud de la aceleración.
Ejercicio 1.4 Un oscilador armónico oscila con una frecuencia igual a 2,00 Hz y una amplitud igual a 5,00
cm, calcular: (a) su máxima elongación, (b) su máxima rapidez, (c) el máximo valor de la aceleración.
8

Figura 1.4: Elongación
1.4 M.C.U vs M.A.S.
La proyección sobre una línea recta, de una partícula que se mueve con M.C.U (Movimiento Circular
Uniforme), oscila con M.A.S (Movimiento Armónico Simple).
Elongación Si se proyecta en el eje y, figura 1.4, se obtiene :
y = A sinϕ(t)
donde la fase ϕ(t) es igual a la posición angular en el M.C.U, es decir:
ϕ(t) = w t + ϕ 0
siendo ϕ 0 la posición angular inicial de la partícula en M.C.U. y que correspondería a la fase inicial para
la partícula en M.A.S. Por lo tanto la elongación será,
y = A sin ( w t + ϕ 0
)
que corresponde a la ecuación 1.2.
Se debe aclarar que la magnitud de la velocidad angular del M.C.U., w, es igual a la frecuencia angular
del M.A.S.
Velocidad Es la proyección de la velocidad del M.C.U (cuya rapidez es V = w A).
Al proyectar en el eje y la velocidad lineal del del MCU (componente rectangular en y), figura 1.5, se
obtiene:
y por tanto,
V y = V cosϕ(t)
9

Figura 1.5: Velocidad
Figura 1.6: Aceleración
V y = w A cos ( w t + ϕ 0
)
que corresponde a la ecuación 1.3.
Aceleración Es la proyección de la aceleración centrípeta del M.C.U (cuya magnitud es a n = w 2 A ).
Al proyectar en el eje y la aceleración centrípeta del M.C.U. (componente rectangular en y), figura 1.6,
se obtiene:
10

a y = −a n sinϕ(t)
y por tanto,
a y = −w 2 A sin ( w t + ϕ 0
)
que corresponde a la ecuación 1.4.
Simulación 1.2
La proyección de una partícula que se mueve con M.C.U oscila armónicamente.
11

C A P Í T U L O
2
DINAMICA
2.1 Fuerza recuperadora
Una partícula de masa m que oscila con M.A.S cumple la ecuación 1.5 y por tanto, la fuerza neta que actúa sobre
ella es,
−→
F y = m −→ a y = −mw 2−→ y
−→
F y = −k −→ y (2.1)
siendo k = mw 2 la denominada constante del M.A.S. Por tanto, se conluye que una partícula oscila con MAS si y
solo si la fuerza neta que actúa sobre ella cumple que:
sea lineal con la elongación.
sea recuperadora (se oponga en todo instante a la elongación). Esto es, apunte en todo instante hacia la posición
de equilibrio de la partícula.
La fuerza es variable. En la posición de equilibrio es nula y va aumentando en magnitud cuando el oscilador
avanza hacia los extremos del movimiento hasta alcanzar su valor máximo en estos ( F y = mw 2 A) .
Por tanto, las oscilaciones se dan por un compromiso entre la inercia y la fuerza restauradora, ya que aunque
en ese instante la partícula no está sometida a una fuerza neta (en la dirección del movimiento), logra atravesar
la posición de equilibrio; esto es consecuencia de la inercia.
Como k = mw 2 , el período y la frecuencia del movimiento armónico se pueden escribir como:
√ m
P = 2π
k
√
f = 1 k
2π m
(2.2)
(2.3)
Ejemplos que se analizarán más adelante (péndulo y sistema masa-resorte), llevarán a concluir que, la
fecuencia, el período, la frecuencia angular y la constante del M.A.S. son constantes impuestas por la nat-
13

uraleza al sistema (son “huellas digitales”). A la frecuencia se le denomina frecuencia natural o propia del
oscilador.
2.2 Ecuación diferencial del oscilador armónico
La segunda ley de Newton aplicada al oscilador armónico, siendo F y la fuerza neta que actúa sobre él es,
F y = ma y = −k y
d 2 y
d t 2 + k m y = 0 (2.4)
o en notación comprimida,
d 2 y
d t 2 + w 2 y = 0 (2.5)
..
y + w 2 y = 0 (2.6)
que corresponde a la denominada ecuación diferencial del oscilador armónico. Ella, es una ecuación
diferencial lineal, de orden 2 y homogénea. Según la teoría de ecuaciones diferenciales, su solución corresponde
a la siguiente combinación lineal de seno y coseno,
Redefiniendo constantes, figura 2.1, se obtiene,
y = c 1 sin w t + c 2 cos w t (2.7)
y = A sin ( w t + ϕ 0
)
(2.8)
La interpretación de cada una de las variables y constantes es la que se ha venido señalando. En particular,
la amplitud A y la fase inicial ϕ 0 representan las constantes de integración y sus valores dependen de
las condiciones iniciales.
Ejercicio 2.1 Demostrar que si y 0 y V 0y son los valores iniciales de la posición y la velocidad de un oscilador
armónico, se cumple que,
( ) w y0
ϕ 0 = arctan
(2.9)
V 0y
A =
√
y 2 0 + V 2 0y
w 2 (2.10)
Ejercicio 2.2 Una partícula sujeta a un resorte vertical se hala hacia abajo una distancia de 4,00 cm a partir
de la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. La aceleración inicial hacia arriba de la partícula es
0,300 m/s 2 . (a) ¿Cuál es el período P de las subsecuentes oscilaciones (b) ¿A qué velocidad pasa la partícula
por la posición de equilibrio (c) ¿Cuál es la ecuación de la elongación en función del tiempo para la partícula
(Escoger la dirección positiva hacia arriba)
14

Figura 2.1: Redefinición de constantes de integración
Figura 2.2: Estados del sistema masa-resorte
2.3 Sistema masa-resorte
En la figura 2.2 se ilustra los estados en los que se puede encontrar el sitema masa-resorte: longitud natural
del resorte (izquierda), masa acoplada y en equilibrio (centro) y masa desplazada del equilibrio (izquierda).
En al figura 2.3 se ilustran los diagramas de fuerza de la masa m en la situación de equilibrio y en la
situación de no equilibrio.
Simulación 2.1
Diagrama de fuerzas en el sistema masa-resorte.
En la situación de equilibrio se aplica la primera ley de Newton,
+ ↓ ∑ F y = 0
En la situación de no equilibrio se aplica la segunda ley de Newton,
mg − kξ = 0 (2.11)
15

Figura 2.3: Diagramas de fuerzas
+ ↓ ∑ F y = m ..
y
mg − k ( ξ + y ) = m ..
y (2.12)
De estas ecuaciones, 2.11 y 2.12 se obtiene,
..
y + k m y = 0 (2.13)
que es la ecuación diferencial del oscilador armónico, donde, k corresponde a la constante de rigidez del resorte.
La frecuencia angular propia de oscilación de este sistema es,
√
k
w =
m
y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,
√
f = 1 k
2π m
(2.14)
√ m
P = 2π
k
(2.15)
Entre mayor sea la masa acoplada, menor es la frecuencia con que oscila, o lo que es lo mismo, más se demora en
hacer una oscilación completa.
16

Figura 2.4: Resortes en serie y en paralelo
La cinemática de la masa oscilando es,
y = A sin ( w t + ϕ 0
)
V y = w A cos ( w t + ϕ 0
)
a y = −w 2 A sin ( w t + ϕ 0
)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
a y = −w 2 y (2.19)
Video 2.1
Variando la masa en el sistema masa-resorte.
Video 2.2
Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en paralelo.
Video 2.3
Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en serie.
Ejercicio 2.3 Una partícula que se cuelga de un resorte ideal tiene una frecuencia angular de 2,00 rad/s.
El resorte se cuelga del techo de un elevador, y cuelga sin movimiento (respecto al elevador) conforme el
elevador desciende con una rapidez constante de 1,50 m/s. El elevador se para repentinamente. (a) ¿Con
qué amplitud oscilará la partícula (b) ¿Cuál es la ecuación de la elongación en función del tiempo para la
partícula (Escoger la dirección positiva hacia abajo).
Ejercicio 2.4
Encontrar la frecuencia natural de oscilación de los dos sistemas ilustrados en la figura 2.4. Aquí, k 1 y k 2
corresponden a las constantes de rigidez de los resortes individuales, m corresponde a la masa del cuerpo
que esta sujeto al sistema de resortes.
17

Figura 2.5: Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple
2.4 El péndulo simple
Se define el péndulo simple como una masa puntual que pende de un hilo inextensible. En la figura 2.5
se ilustra una posición general de un péndulo simple oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas
que actúan sobre la masa pendular.
Simulación 2.2
Diagrama de fuerzas en el sistema péndulo simple.
La simetría de la situación física exige utilizar un sistema de coordenadas cuyos ejes tengan las direcciones
de la aceleración tangencial y de la aceleración centrípeta de la masa. Aplicando la segunda ley de
Newton, se obtiene,
+ ↑ ∑ F nor mal = m a n ⇒ T − mg cosθ = m
( .θ ) 2
l (2.20)
+ → ∑ F t ang enci al = m a t ⇒ −mg sinθ = m ..
θl (2.21)
en estas ecuaciones T corresponde a la tensión en la cuerda, g es la aceleración de la gravedad, m es la
masa pendular, θ es la posición (elongación) angular, θ . es la velocidad angular, θ ..
es la aceleración angular y
l es la longitud pendular.
De la ecuación 2.21 se concluye,
..
θ + g sinθ = 0 (2.22)
l
18

Esta ecuación diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo simple no oscila con M.A.S. Sin embargo para
pequeñas oscilaciones (amplitudes del orden de los 10º), sinθ ⋍ θ , por tanto,
..
θ + g l θ = 0 (2.23)
es decir, para pequeñas amplitudes (pequeñas oscilaciones) el movimiento pendular es armónico. La frecuencia
angular propia de oscilación de este sistema es,
√ g
w =
l
(2.24)
y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,
f = 1 √ g
2π l
√
l
P = 2π
g
(2.25)
(2.26)
Video 2.4
Independencia del período de oscilación de un péndulo simple de la masa pendular.
Video 2.5
Dependencia del período de oscilación de un péndulo simple de la longitud del hilo.
La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las variables angulares
(elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),
θ = θ 0 sin ( w t + ϕ 0
)
(2.27)
.
θ = w θ 0 cos ( )
w t + ϕ 0
(2.28)
..
θ = −w 2 θ 0 sin ( w t + ϕ 0
)
= −w 2 θ (2.29)
Ejercicio 2.5 Un péndulo simple tiene una masa de 0,250 kg y una longitud de 1,00 m. Se desplaza un
ángulo de 15,0º y se suelta. Calcular: (a) su rapidez máxima, (b) la aceleración angular máxima, (c) la máxima
fuerza de restitución Rp: (a) 0,820 m/s (b) 2,57 rad/s 2 (c) 0,641 N
Ejercicio 2.6 ¿Qué pasa con el período de oscilación de un péndulo simple si se duplica su longitud ¿Qué
pasa con el período de oscilación de un sistema masa-resorte si se duplica la masa (Asumir pequeñas oscilaciones).
Ejercicio 2.7 Suponer que cuando la masa de un sistema masa-resorte está en la posición de equilibrio el
resorte se ha alargado en una longitud h. Demostrar que este sistema oscila con una frecuencia igual a la de
un péndulo simple de longitud h.
19

Figura 2.6: Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo compuesto
2.5 El péndulo compuesto
Un péndulo compuesto (o péndulo físico) es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un
eje horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad. En la figura 2.6 se ilustra una posición general de
un péndulo compuesto oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
rígido.
La distancia desde el punto de apoyo O hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b. Si el momento
de inercia repecto a un eje que pasa por O del cuerpo rígido es I o , la segunda ley de Newton de rotación da
como resultado,
+ ∑ τ oz = I o
..
θ
−mg b sinθ = I o
..
θ
..
θ + mg b sinθ = 0 (2.30)
I o
Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido no hace
torque, por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar que esta ecuación
diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con M.A.S. Sin embargo, para pequeñas
oscilaciones (amplitudes del orden de los 10º), sinθ ⋍ θ, por tanto,
20

..
θ + mg b θ = 0 (2.31)
I o
es decir, para pequeñas amplitudes el movimiento pendular es armónico. La frecuencia angular propia es,
w =
y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,
√
mg b
I o
(2.32)
√
f = 1 mg b
(2.33)
2π I o
√
I o
P = 2π
(2.34)
mg b
La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las variables angulares
(elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),
θ = θ 0 sin ( w t + ϕ 0
)
(2.35)
.
θ = w θ 0 cos ( )
w t + ϕ 0
(2.36)
..
θ = −w 2 θ 0 sin ( w t + ϕ 0
)
= −w 2 θ (2.37)
Ejercicio 2.8 Demostrar que el periodo de oscilación de un péndulo físico se puede calcular mediante la
siguiente expresión,
√
Rcm 2 + b 2
P = 2π
g b
(2.38)
en donde R c.m corresponde al radio de giro del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por su centtro
de masa y b corresponde a la distancia que hay entre el punto de suspensión del péndulo y su centro de
masa.
Simulación 2.3
Una regla oscilando.
Ejercicio 2.9 Un aro circular de radio R se cuelga sobre el filo de un cuchillo. Demostrar que su período de
oscilación es el mismo que el de un péndulo simple de longitud 2R.
Ejercicio 2.10 Una varilla delgada tiene una masa M y una longitud L = 1,60 m. Uno de los extremos de la
varilla se sujeta en un pivote fijo y la varilla oscila alrededor del pivote con oscilaciones pequeñas. Encontrar
la frecuencia de estas oscilaciones. Si se apoya una partícula de masa M al extremo final de la varilla, ¿en
qué factor cambiará el período
21

Figura 2.7: Barra soportada en dos cilindros
Ejercicio 2.11 ¿Cuál debe ser la longitud L de un péndulo simple para que oscile con la misma frecuencia
que un péndulo físico de masa M, radio de giro respecto a su centro de masa R c.m , y distancia del centro
de masa al punto de apoyo igual a b Nota: a esta longitud se le denomina longitud de péndulo simple
equivalente. Rp. L = R2 c.m +b2
b
Ejercicio 2.12 Un bloque se encuentra sobre un émbolo que se mueve verticalmente con M.A.S. (a) ¿A qué
amplitud del movimiento se separan el bloque y el émbolo, si la frecuencia angular del M.A.S es 1,18 rad/s
(b) Si el émbolo tiene una amplitud de 5,12 cm en su movimiento, hallar la frecuencia máxima a la cual
estarán en contacto el bloque y el émbolo continuamente.
Ejercicio 2.13 Un líquido dentro de un tubo en U oscila libremente. Si el líquido ocupa una longitud l del
tubo, calcular la frecuencia angular angular de oscilación del líquido, despreciando los efectos de fricción.
Rp. w =
√
2g
l
Ejercicio 2.14 Un bloque de madera cuya densidad relativa respecto al agua es ρ tiene dimensiones a, b,
c. Mientras está flotando en el agua con el lado a vertical, se le empuja hacia abajo y se le suelta. Hallar el
período de las oscilaciones resultantes ¿Es armónico el movimiento P = 2π√
a
g ρ
Ejercicio 2.15 La figura 2.7 muestra una barra uniforme que se apoya sobre dos cilindros que giran en
sentidos contrarios. El coeficiente de fricción deslizante entre la barra y los cilindros es µ. Mostrar que el
efecto neto de las fuerzas de fricción es una fuerza restauradora lineal y que la frecuencia angular natural
con que oscila el centro de masa de la barra será igual a:
w =
√
2µg
a
22

C A P Í T U L O
3
ENERGIA
3.1 Trabajo W y energía potencial U
Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la forma,
−→
F y = −k −→ y (3.1)
siendo −→ y la elongación. Una fuerza de este tipo es elástica.
Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar
la relación para la energía potencial elástica, figura 3.1. En la figura 3.1 A el resorte posee su longitud original,
por lo que su deformacion es nula. En esta situación el sistema masa resorte no tendrá energía potencial
elástica (no hay energía almacenada). En la figura 3.1 B un agente externo lo ha elongado en una cantidad
igual a y 1 . Para lograr esto, el agente externo realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte),
cediéndole energía la cual queda almacenada en forma de energía potencial elástica. En la figura 3.1 C el
agente externo realiza aún más trabajo, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.
En la figura 3.2 se ilustra el diagrama de cuerpo libre de la masa (fuerzas que actúan sobre la masa). En
este diagrama, N es la fuerza normal que ejerce el piso, P es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta
Figura 3.1: Desplazando la masa que está sujeta a un resorte
23

Figura 3.2: Diagrama de fuerzas de la masa que está sujeta al resorte
Tierra (peso),F ext es la fuerza ejercida por el agente externo, y F r es la fuerza ejercida por el resorte: se ha despreciado
la fuerza de rozamiento. Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primera
ley de Newton, se concluye que en todo instante F ext y F r es son iguales en magnitud. Es decir,
−−→
F r es = −k −→ y (3.2)
−−→
F ext = k −→ y (3.3)
El trabajo realizado por el agente externo, W ext , para elongar el resorte desde −→ y 1 hasta −→ y 2 es,
W ext =
∫ y2
y 1
−−→
Fext • d −→ r =
∫ y2
y 1
[
k
−→ y
]
• d
−→ r =
∫ y2
En la figura 3.3 se ilustra la interpretación geométrica de este cálculo:
[ ]
B ase mayor + B ase menor
W ext =
× al tur a
2
[ ]
k y2 + k y 1
W ext =
× [ ]
y 2 − y 1
2
y 1
k y d y = 1 2 k y 2 2 − 1 2 k y 2 1 (3.4)
W ext = 1 2 k y 2 2 − 1 2 k y 2 1
Ahora, el trabajo realizado por la fuerza elástica F r es será el negativo de W ext :
W r es = 1 2 k y 2 1 − 1 2 k y 2 2 (3.5)
La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica F r es se puede expresar en
términos de los valores de una magnitud escalar de la forma 1 2 k y 2 evaluada al inicio (en y 1 ) y al final (en y 2 )
de la elongación. Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energía
potencial del oscilador armónico (partícula en M.A.S.):
U = 1 2 k y 2 (3.6)
donde y es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial, se puede
concluir que la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa:
24

Figura 3.3: Interpretación gráfica del trabajo realizado por el agente externo
W r es = −∆U (3.7)
3.2 Energía cinética T
Aplicando la definición de energía cinética al oscilador, se obtiene,
T = 1 2 mV 2 y (3.8)
3.3 Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo
Si la elongación y la velocidad del oscilador armónico están dados por,
25

y = A sin ( w t + ϕ 0
)
V y = w A cos ( w t + ϕ 0
)
las energías cinética y potencial del oscilador armónico toman la siguiente forma en función del tiempo,
T = 1 2 mw 2 A 2 cos 2 ( w t + ϕ 0
)
U = 1 2 mw 2 A 2 sin 2 ( w t + ϕ 0
)
(3.9)
(3.10)
3.4 Energía mecánica E
Con base en las ecuaciones 3.9 y 3.10, se concluye que la energía mecánica E del oscilador armónico será
igual,
E = 1 2 mw 2 A 2 (3.11)
y por tanto,
siendo k la constante de fuerza del oscilador armónico.
E = 1 2 k A2 (3.12)
Simulación 3.1
Variación de la energía cinética y de la energía potencial de un oscilador armónico en
función del tiempo.
La energía cinética se puede calcular así,
T = 1 2 k ( A 2 − y 2) (3.13)
Simulación 3.2
Variación de la energía cinética y de la energía potencial de un oscilador armónico en
función de la posición (elongación).
Ejercicio 3.1 Un sistema masa-resorte efectúa un M.A.S con una amplitud A: ¿Cambiaría la energía total
si se duplica la masa pero no se cambia la amplitud ¿depende de la masa la energía cinética y la potencial
Explique.
26

Figura 3.4: Figura del ejercicio 3.2
Ejercicio 3.2 La polea de radio r y masa M puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por su
centro. La masa m está unida a un resorte de constante k a través de una cuerda de masa despreciable
pasando por la polea sin deslizarse, figura 3.4. Determinar la frecuencia natural de oscilación del disco.
Resuelva
√
el ejercicio, primero empleando las leyes de Newton y segundo empleando métodos energéticos.
k
Rp. w =
1
2 M+m
Ejercicio 3.3 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema masa-resorte a través
de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.
Ejercicio 3.4 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo simple a
través de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.
Ejercicio 3.5 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo físico a través
de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.
27

C A P Í T U L O
4
4.1 Superposición en la misma dirección de vibración
SUPERPOSICION DE M.A.S
En esta sección se estudiará la composición de dos M.A.S. cuya dirección de vibración es la misma,
por ejemplo y. Primero se analizará el caso de oscilaciones con la misma frecuencia y luego con diferente
frecuencia.
Con igual frecuencia (Interferencia)
Sean dos oscilaciones armónicas expresadas así,
y 1 = A 1 sin ( w t + ϕ 01
)
(4.1)
y 2 = A 2 sin ( w t + ϕ 02
)
(4.2)
en donde A 1 ,A 2 corresponden a las amplitudes de las oscilaciones y ϕ 01 ,ϕ 02 corresponden a sus respectivas
fases iniciales. El movimiento resultante es,
y = y 1 + y 2 = A 1 sin ( w t + ϕ 01
)
+ A1 sin ( w t + ϕ 01
)
Para realizar la simplificación de esta última expresión se expondrán tres formas: método de vectores
rotantes (o fasores), método trigonométrico y método de la variable compleja. Esto se hará con el fin de
ilustrar a un estudiante de ingeniería, sin embargo, el lector elegirá el que comprenda mejor.
Método de vectores rotantes En este caso, cada M.A.S se representa por un vector posición de magnitud
(módulo) igual a su amplitud y girando con velocidad angular constante igual a su frecuencia angular w. Su
proyección (o componente, por ejemplo en dirección y) corresponderá a la elongación del M.A.S. De esta
forma el cálculo de la superposición se reducirá a una suma de vectores, figura 4.1.
29

Figura 4.1: Vectores rotantes
El resultado es otra oscilación armónica (M.A.S.) también de frecuencia angular w, con elongación y, amplitud A
y fase inicial ϕ 0 ,
tal que,
y = A sin ( w t + ϕ 0
)
(4.3)
A 2 = A 2 1 + A2 2 + 2A 1 A 2 cosδ (4.4)
tanϕ 0 = A 1 sinϕ 01 + A 2 sinϕ 02
A 1 cosϕ 01 + A 2 cosϕ 02
(4.5)
en donde δ = ϕ 1 − ϕ 2 = ϕ 01 − ϕ 02 corresponde a la diferencia de fase inicial entre las oscilaciones armónicas que
se superponen.
Método trigonométrico
Las ecuaciones 4.1 y 4.2 se transforman en,
y 1 = A 1 sin w t cosϕ 01 + A 1 cos w t sinϕ 01 (4.6)
y 2 = A 2 sin w t cosϕ 02 + A 2 cos w t sinϕ 02 (4.7)
y por tanto,
y = y 1 + y 2 = ( A 1 cosϕ 01 + A 2 cosϕ 02
)
sin w t +
(
A1 sinϕ 01 + A 2 sinϕ 02
)
cos w t (4.8)
30

Definiendo,
A sinϕ 0 ≡ ( A 1 sinϕ 01 + A 2 sinϕ 02
)
(4.9)
A cosϕ 0 ≡ ( A 1 cosϕ 01 + A 2 cosϕ 02
)
(4.10)
y reemplazando las ecuaciones 4.9 y 4.10 en la ecuación 4.8 se obtiene las mismas ecuaciones 4.3, 4.4 y
4.5.
Método de la variable compleja
Las ecuaciones de las oscilaciones a superponer se pueden escribir así,
y 1 = A 1 sin ( w t + ϕ 01
)
= Im
{
A 1 e i(w t+ϕ 01) } = Re { ỹ 1
}
(4.11)
y 2 = A 2 sin ( w t + ϕ 02
)
= Im
{
A 2 e i(w t+ϕ 02) } = Re { ỹ 2
}
(4.12)
en donde ỹ 1 y ỹ 2 corresponden a las variables complejas en donde y 1 y y 2 son su parte imaginaria de
acuerdo a la maravillosa fórmula de Euler, e iθ = cosθ + i sinθ.
Al sumar las ecuaciones 4.11 y 4.12 se obtiene,
y = Im { ỹ } = Im
{Ae i(w t+ϕ 0) } = Im { } {[
] }
ỹ 1 + ỹ 2 = Im A 1 e iϕ 01
+ A 2 e iϕ 02
e i w t (4.13)
en donde se define la amplitud compleja, Ã, como,
à ≡ Ae iϕ 0
≡ A 1 e iϕ 01
+ A 2 e iϕ 02
(4.14)
y por lo tanto su módulo cuadrado es,
ỹ = Ãe i w t (4.15)
A 2 = ( Ã )( Ã ) ][
]
⋆ ⋆
=
[A 1 e iϕ 01
+ A 2 e iϕ 02
A 1 e iϕ 01
+ A 2 e iϕ 02
[
][
]
A 2 = A 1 e iϕ 01
+ A 2 e iϕ 02
A 1 e −iϕ 01
+ A 2 e −iϕ 02
A 2 = A 2 1 + A2 2 + A 1 A 2
[
e i(ϕ 01−ϕ 02) + e
−i(ϕ 01 −ϕ 02) ]
que corresponde a la ecuación 4.4.
A 2 = A 2 1 + A2 2 + 2A 1 A 2 cos ( ϕ 01 − ϕ 02
)
En la ecuación 4.4 al término 2A 1 A 2 cosδ se le denomina término de interferencia. Como puede deducirse
de ese término, la amplitud del M.A.S. resultante varía dependiendo de la diferencia de fase inicial,
obteniendo su máximo valor cuando δ = 0 (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se superponen
están en fase, en cuyo caso se denomina a este fenómeno interferencia constructiva y A = A 1 + A 2 .
Cuando la diferencia de fase es δ = π (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se superponen
están en oposición, se obtiene la denominada interferencia destructiva, y A = |A 1 − A 2 |. Ver figura 4.2.
31

Figura 4.2: Interferencia: constructiva y destructiva
Con frecuencias diferentes (Pulsaciones)
Sean las siguientes dos oscilaciones armónicas,
y 1 = A 1 sin ( w 1 t + ϕ 01
)
y 2 = A 2 sin ( w 2 t + ϕ 02
)
(4.16)
(4.17)
por simplicidad se supondrá que, ϕ 01 = ϕ 02 = 0 y que A 1 = A 2 = A. Empleando el método trigonométrico
se obtiene,
Resultando,
[( w1 − w
) ] 2
y = y 1 + y 2 = 2A cos
t sin
2
[( w1 + w 2
2
) ]
t
y = A m sin ( w ) t (4.18)
en donde A m = 2A cos(w m t) se denomina amplitud modulada, w m es la frecuencia angular de modulación de la
amplitud,
y w corresponde al promedio de la frecuencia angular,
w m = |w 1 − w 2 |
2
w = w 1 + w 2
2
(4.19)
(4.20)
32

La energía asociada con esta oscilación, por ser proporcional al cuadrado de la amplitud (la energía de
un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud), debe variar entre máximos y mínimos con una
frecuencia que es el doble (la función cos 2 x tiene doble frecuencia que la función cos x): es decir, la energía
fluctúa con una frecuencia en Hz igual al doble de la frecuencia con que fluctúa la amplitud, o sea el doble
de la frecuencia de modulación de la amplitud,
f p = |f 1 − f 2 | (4.21)
en donde f p se conoce con el nombre de frecuecnia de pulsación o de palpitación.
Si las frecuencias difieren poco entre sí, es decir, w m

Con igual frecuencia (Polarización)
Los M.A.S a superponer son,
x = A x sin ( w t + ϕ 0x
)
(4.23)
y = A y sin ( w t + ϕ 0y
)
(4.24)
Eliminando el parámetro tiempo se obtiene la trayectoria seguida por la partícula que está simultaneamente
bajo los dos movimientos descritos por esas dos ecuaciones. Estas últimas se pueden transformar
así,
Combinándolas: , (4.25)×sinϕ 0y − (4.26)×sinϕ 0x se obtiene,
x
= sin w t cosϕ 0x + cos w t sinϕ 0x (4.25)
A x
y
= sin w t cosϕ 0y + cos w t sinϕ 0y (4.26)
A y
x
sinϕ 0y − y sinϕ 0x = sin w t sin ( )
ϕ 0y − ϕ 0x
A x A y
Combinándolas: , (4.25)×cosϕ 0y − (4.26)×cosϕ 0x se obtiene,
x
cosϕ 0y − y cosϕ 0x = −cos w t sin ( )
ϕ 0y − ϕ 0x
A x A y
Combinando las dos últimas ecuaciones, (4.27) 2 +(4.28) 2 , se obtiene,
(4.27)
(4.28)
x 2
A 2 x
+ y 2
A 2 − 2x y cos ( )
ϕ 0x − ϕ 0y = sin
2 ( )
ϕ 0x − ϕ 0y
y A x A y
x 2
A 2 x
+ y 2
A 2 − 2x y cosδ = sin 2 δ (4.29)
y A x A y
en donde δ = ϕ 0x −ϕ 0y corresponde a la diferencia de fase. Esta es la ecuación de una elipse que en general estará
rotada respecto a los ejes x y.
En definitiva la trayectoria seguida por la partícula bajo la acción de dos fuerzas ortogonales, −→ F x = −k −→ x
y −→ F y = −k −→ y , es una elipse o un caso particular de ella como una circunferencia o una recta. Esto dependerá
de la diferencia de fase δ, figura 4.3 (en esta figura se debe tener en cuenta que δ = ϕ 0x − ϕ 0y y que el eje
z sale ortogonalmente de la hoja). La elipse puede ser recorrida por la partícula en el sentido de las agujas
del reloj o en el sentido contrario. Esto se puede probar en la simulación que se presenta más adelante.
Si es recorrida en el sentido en que la velocidad angular señale la parte positiva del eje z, se dirá que hay
polarización elíptica (o circular si es del caso) levógira. En caso contrario será dextrógira.
A este fenómeno se le conoce con el nombre de polarizacón. Hay entonces: polarización elíptica dextrógira
y levógira, polarización circular dextrógira y levógira. La trayectoria de la partícula también puede resultar
rectilínea (caso particular de la elipse), en cuyo caso se dice que la polarización es lineal. Para definir
completamente el estado de polarización elíptico o circular, es necesario definir en que sentido gira la
partícula. Así mismo, para definir completamente el estado de polarización lineal, es necesario definir el
ángulo de inclinación de esta trayectoria. Estos conceptos son fundamentales para estudiar la polarización
34

Figura 4.3: Estados de polarización
de la luz y en general la polarización de las ondas electromagnéticas, fenómeno que tiene gran aplicación
en la tecnología moderna de comunicaciones, entre muchas otras.
Ejercicio 4.2 Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dos
movimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 4sin(πt)y y = 3sin ( )
πt + ϕ 0
cuando: (a) ϕ 0 = 0, (b) ϕ 0 = π 2 , (c) ϕ 0 = π, (d) ϕ 0 = 3π 2
. Hacer un gráfico de la trayectoria de la partícula para
cada caso y señalar el sentido en cual se desplaza la partícula.
Con diferente frecuencia (Figuras de Lissajous)
Las oscilaciones a superponer son las siguientes,
x = A x sin ( w x t + ϕ 0x
)
y = A y sin ( w y t + ϕ 0y
)
(4.30)
(4.31)
En este caso si la relación entre las frecuencias w y
w x
es un número racional, la trayectoria seguida por la
partícula corresponderá a las denominadas figuras de Lissajous.
Video 4.5
Video 4.6
Lissajous con oscilaciones eléctricas.
Lissajous con luz láser modulada con espejos vibrando ortogonalmente.
Simulación 4.3
Figuras de Lissajous.
35

Figura 4.4: Señal cuadrada como una combinación de funciones seno
4.3 Análisis de Fourier
Gracias al teorema de Fourier, desarrollado por el matemático francés Fourier (1807-1822) y completado
por el matemático alemán Dirichlet (1829), es posible demostrar que toda función periódica continua, con
un número finito de máximos y mínimos en cualquier período, puede desarrollarse como una combinación
de senos y cosenos (armónicos).
Desde el punto de vista de la física, significa, que una oscilación que no es armónica se puede representar
como una combinación de oscilaciones armónicas. Cada armónico (oscilación armónica presente) tendrá
su propia amplitud, frecuencia y fase. El armónico fundamental es el de frecuencia más baja. Las frecuencias
de los demás armónicos serán múltiplos de esta. Además la periodicidad de la oscilación estará dada por el
período del armónico fundamental.
Un ejemplo es una oscilación cuyo cronograma es una señal cuadrada. La representación de ella como
una combinación de armónicos es la siguiente (figura 4.4):
y = sin [ 2π ( f ) t ] + 1 3 sin[ 2π ( 3 f ) t ] + 1 5 sin[ 2π ( 5 f ) t ] + ···
Simulación 4.4
Análisis de Fourier.
36

C A P Í T U L O
5
OSCILACIONES FORZADAS
5.1 Oscilaciones amortiguadas
Las oscilaciones consideradas en los capítulos anteriores son de amplitud constante y se denominan oscilaciones
no amortiguadas. La constancia en la amplitud significa constancia en la energía; en la oscilación
alternativamente la energía cinética se transforma en energía potencial y viceversa.
Cualquier fuerza de rozamiento es disipativa, es decir su trabajo disipa energía en forma de calor, o lo
que es lo mismo, se consume energía mecánica. Si esta pérdida no se compensa aportando energía desde el
exterior, la amplitud se reduce constantemente: la oscilación es amortiguada .
Las fuerzas de rozamiento en medios fluidos se oponen a la velocidad, y a valores no muy altos de ésta,
son proporcionales a ella, es decir, −→ f r = −b −→ V . Aquí b es la constante de proporcionalidad y depende de la
viscosidad del fluido y de la geometría del cuerpo: en el caso de una esfera, b = 6πRη siendo η la viscosidad del
medio fluido y R el radio (esta es conocida como la ley de Stockes).
Supóngase por ejemplo, el sistema masa-resorte sumergido en un medio viscoso (aire, aceite, ...). En la
figura 5.1 se ilustra este sistema sumergido en un fluido de baja viscosidad, de tal forma que logre oscilar. En
la figura 5.1 A se ilustra el resorte con su longitud original; en la figura 5.1 B el sistema con la masa acoplada
y en situación de equilibrio dentro del medio viscoso; en la figura 5.1 C la masa se ha retirado de la posición
de equilibrio.
En la figura 5.2 se ilustran los diagramas de fuerzas para la masa, en las situaciones B (equilibrio) y C (no
equilibrio): −→ E corresponde a la fuerza Arquimediana, kξ y k ( ξ + y ) corresponden a la fuerza Hookeana y f r
corresponde a la fuerza de rozamiento.
Aplicando la primera ley de Newton, en la situación de equilibrio (B), se obtiene,
+ ↓ ∑ F y = 0 ⇒ mg − E − kξ = 0 (5.1)
si se define como peso aparente, P a = mg − E, la ecuación anterior toma la forma,
P a = kξ (5.2)
Aplicando la segunda ley de Newton, en la situación de no equilibrio (C), se obtiene,
+ ↓ ∑ F y = mÿ
P a − k ( ξ + y ) − f r = mÿ (5.3)
37

Figura 5.1: Sistema masa-resorte sumergido en un fluido
Figura 5.2: Diagramas de fuerzas sobre la masa en el sistema masa-resorte sumergido en un fluido
38

Figura 5.3: Oscilador forzado
como P a = kξ y f r = bẏ la ecuación se reescribe así,
ÿ + b m ẏ + k m y = 0 (5.4)
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador
√
armónico amortiguado. En ella se define como
constante de amortiguamiento a γ = b
2m . Además w = k
m
es la frecuencia angular propia con la cual oscilaría
el sistema sin amortiguamiento. Con base en esto la ecuación se puede escribir así,
ÿ + 2γẏ + w 2 y = 0 (5.5)
Sólo, en el caso en que γ < w, habrá oscilación. La oscilación en este caso, es tal que su amplitud
decrece exponencialmente, y aunque el movimiento ya no es periódico, si es aproximadamente isocrónico.
Cada oscilación se hace en el mismo tiempo, pero con menos amplitud y con una frecuencia angular,
w ′ = √ w 2 − γ 2 , donde w ′ < w. A estas oscilaciones se les denomina subamortiguadas, y la solución de la
ecuación diferencial es,
y = Ae −γt sin ( w ′ t + ϕ 0
)
(5.6)
Simulación 5.1
Oscilaciones amortiguadas.
5.2 Oscilaciones forzadas
En la oscilaciones amortiguadas, se observó que para bajos rozamientos, el sistema oscilante se amortiguaba
exponencialmente.
Si se desea que la partícula mantenga la oscilación se le debe entregar energía. La mejor forma de hacerlo
es mediante una fuerza externa oscilante (imaginarse "columpiando" a un niño). En la figura 5.3 se ilustra
un sistema físico que puede oscilar forzadamente. Lo componen un amortiguador, un resorte y una masa.
El diagrama de fuerzas de la masa está ilustrado en la figura 5.4.
Si se supone que la fuerza externa tiene la forma, f (t) = f 0 sin ( w f t + ϕ 0
)
, y que la fuerza de rozamiento
(viscosa) tiene la forma, f r = −bẋ , se obtiene aplicando la segunda ley de Newton,
+ → ∑ F x = mẍ
ẍ + 2γẋ + w 2 x = f 0
m sin( w f t + ϕ 0
)
(5.7)
39

Figura 5.4: Diagrama de fuerzas en el oscilador forzado
en donde w f corresponde a la frecuencia angular del la fuerza oscilante externa, f 0 la amplitud de dicha
√
fuerza, γ = b
2m la constante de amortiguamiento y w = k
m
la frecuencia propia del oscilador (recordar que
la constante del oscilador armónico es , k = mw 2 ).
La solución corresponde a una superposición de la solución a la ecuación diferencial homogénea (x h ),
con una solución particular (x p ) :
La solución de la homogénea corresponde a la del oscilador amortiguado,
x = x h + x p (5.8)
x h = Ae −γt sin ( w ′ t + β 0
)
(5.9)
donde w ′ = √ w 2 − γ 2 y donde la amplitud A y la fase inicial β 0 dependen de las condiciones iniciales de
la oscilación.
La solución de la homogénea se denomina transitoria ya que a medida que avanza el tiempo va decayendo
en forma exponencial hasta anularse. En definitiva permanece la solución x p , a la cual se denomina
solución estacionaria.
La solución particular, que se asumirá oscilante es,
con,
x = x p = A p sin ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.10)
F 0
A p = √ ( ) 2
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f
(5.11)
tanδ =
2γw f
w 2 − w 2 f
(5.12)
donde la amplitud A p y la fase δ no dependen de las condiciones iniciales sino de que tan cerca se
encuentren las frecuencias w y w f . Se observa además que δ corresponde a la diferencia de fase entre la
elongación y la fuerza externa oscilante.
40

Figura 5.5: Amplitud vs Frecuencia de la fuerza externa
Estudio de situaciones especiales en el estado estacionario
De lo explicado en el párrafo anterior se deduce que el sistema siempre termina oscilando con la frecuencia
del agente externo, w f . Es decir la respuesta del sistema que permanece es simplemente la particular,
x = A p sin ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.13)
Resonancia en la amplitud Surge la siguiente pregunta: ¿Para qué valores de la frecuencia externa se obtiene
el máximo valor en la amplitud A esta situación se le conoce con el nombre de resonancia en la amplitud
. Para responder a esta pregunta se debe calcular los puntos críticos de la ecuación 5.11,
Evaluando la segunda derivada en este punto crítico se obtiene,
d A p
= 0
d w f
√
w f = w 2 − 2γ 2 (5.14)
d 2 A p
d w 2 f
∣ w f = w 2 −2γ 2 < 0
Es decir, en w f = √ w 2 − 2γ 2 , hay máxima amplitud A p , que es:
( )
F0
( )
Ap
máx =
m
√
2γ 1 + w 2 f
(5.15)
En el caso ideal de que no existiese la fuerza de amortiguamiento, γ = 0, la amplitud de la oscilación
forzada se haría muy grande, tendería a infinito, y la frecuencia w f de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia
propia del oscilador w
En la figura 5.5, se muestra la amplitud vs la frecuencia de la fuerza externa, en estado estacionario.
Como se observa en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye
rápidamente cuando la frecuencia w f de la fuerza oscilante externa se hace mayor que la frecuencia propia
de la fuerza recuperadora del oscilador w.
41

Ejercicio 5.1 Demostrar la ecuación 5.14.
Resonancia en la energía Otra pregunta que surge es la siguiente: ¿Para qué valores de la frecuencia externa
w f se obtiene el máximo valor en la amplitud de velocidad A esta situación se le conoce con el nombre
de resonancia en la energía. Para responder a esta pregunta se debe tener en cuenta que la velocidad del
oscilador forzado en el estado estacionario es,
Por tanto la amplitud de la velocidad es igual,
V x = w f A p cos ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.16)
w f f 0
V 0 = w f A p = √ ( ) 2
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f
En w f = w, hay un máxmo en la amplitud de velocidad, es decir también hay un máximo en la energía
cinética, lo que se denomina resonancia en la energía cinética.
Ejercicio 5.2
Demostrar que si w f = w, V 0 es máximo.
De la ecuación 5.12, se deduce que cuando hay resonancia en la energía cinética, δ = π 2
, es decir en estado
estacionario, en resonancia en la energía, la velocidad y la fuerza externa f = f 0 sin ( )
w f t + ϕ 0 oscilante
están en fase:
(
V x = w f A p cos w f t + ϕ 0 − π )
= w f A p sin ( )
w f t + ϕ 0
2
Cuando la constante de amortiguamiento es pequeña (γ ⋍ 0) y hay resonancia en la energía w f = w se
da simultáneamente la resonancia en la amplitud.
Simulación 5.2
Oscilaciones forzadas.
Algo más sobre el fenómeno de resonancia El fenómeno de resonancia es muy importante para explicar
muchos avances tecnológicos como: la televisión, la radio, los espectros de la luz, la construcción de edificios
sismoresistentes, el laser, las cajas de resonancia en los instrumentos musicales, ...
Un ejemplo clara del fenómeno de resonancia es el desafortunado colapso del puente de Tacoma: en el
año de 1940 en un puente en Tacoma, EUA, unos meses después de haber sido completado, un temporal
azotó la región, y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia justamente igual a una
de las frecuencias características del puente (más exactamente fue debido a los efectos periódicos de la
turbulencia del aire generada en el puente). El puente entró en resonancia con el viento y empezó a oscilar
con una amplitud muy grande que lo destruyó. Este hecho es general: si un sistema mecánico entra en
resonancia puede ocurrir que se destruya.
Video 5.1
Video 5.2
Video 5.3
Caída del puente de Tacoma por el efecto de la resonancia (un famoso desastre de la ingeniería).
Resonancia en un oscilador mecánico.
Péndulos resonando.
42

Video 5.4
Resonancia en varillas en voladizo (cantilever).
Video 5.5
Haciendo cantar copas.
Video 5.6
Figuras de Cladni en placa circular
Video 5.7
Figuras de Cladni en placa rectangular
Promedio de la potencia recibida en estado estacionario El sistema físico recibe energía de la fuerza oscilante
externa. La potencia recibida en estado estacionario es,
( −→f ) ( −→Vx
)
P r eci bi d a = • = f V x
P r eci bi d a = [ f 0 sin ( w f t + ϕ 0
)][
w f A p cos ( w f t + ϕ 0 − δ )]
promediando en un período de oscilación P,
P r eci bi d a = 1 P
∫ P
0
(P r eci bi d a )d t = 1 2 f 0w f A p sinδ
⎡
⎤⎡
⎤
P r eci bi d a = 1 2 f f 0
2γw f
0w f ⎢ √
⎣ ( )
⎥⎢
√
2 ⎦⎣
( )
⎥
2 ⎦
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 w
f
2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f
f0 2γw 2 f
P r eci bi d a = [ ( ) ] (5.17)
2
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f
Promedio de la potencia disipada en estado estacionario
realizado por la fuerza de amortiguamiento,
( −→fr ) ( −→Vx
)
P di si pad a = • =
(−bV −→ ) ( −→Vx
)
x • = −bVx
2
P di si pad a = −bw 2 f A2 p cos2 ( w f t + ϕ 0 − δ )
El sistema físico disipa energía debido al trabajo
P di si pad a = − 1 2
(
2mγ
)
w
2
f A2 p
f0 2γw 2 f
P di si pad a = − [ ( ) ] (5.18)
2
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f
En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza
externa oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa
de su interacción con el medio que le rodea. De esta forma se mantiene la energía del oscilador forzado
constante en valor medio.
43

Caso 1 w f > w A p ⋍ f 0
tanδ ⋍ −0 ⇒ δ ⋍ π x = f 0
sin ( w
mw 2 mw 2 f t + ϕ 0 + π )
f
f
Caso 3 w f ⋍ w A p ⋍ f 0
bw 2 f
tanδ → ∞ ⇒ δ → π 2
x = f 0
bw f
sin ( w f t + ϕ 0 + π 2
Tabla 5.1: Aproximaciones
)
En resonancia de energía la potencia obtiene su mayor valor promedio,
P r eci bi d a = 1 2 f 0w f A p (5.19)
que corresponde al valor máximo de energía recibida por el oscilador. Es decir, en resonancia de energía
(w f = w ), la fuerza oscilante externa realiza la máxima transferencia de potencia al sistema.
Resumen
Cuando un oscilador es forzado por una fuerza oscilante externa:
El oscilador termina oscilando con la frecuencia del agente externo (de la fuerza oscilante externa).
Al comienzo del forzamiento, el oscilador entra en un transiente. No "sabe" cómo acomodarse a la
vibración que le están imponiendo, que generalmente es a una frecuencia que no es la propia.
Si la frecuencia de la fuerza oscilante externa es igual a la frecuencia propia del oscilador (o al menos
está muy cerca), éste adquiere oscilaciones de muy buena amplitud y a este estado se le denomina
RESONANCIA.
En resonancia, la fuerza oscilante externa y la velocidad del oscilador quedan en fase, permitiendo
máxima transferencia de energía en la unidad de tiempo (máxima potencia).
Una discusión interesante
En un parágrafo atrás, se ilustró que la solución de la ecuación diferencial del oscilador armónico forzado
es,
x = A p sin ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.20)
con A p y δ dadas por las ecuaciones 5.11 y 5.12.
Se discutirá los siguientes casos especiales: w f > w y w f ⋍ w .
Analizando la ecuación de la dinámica del oscilador forzado,
mẍ + bẋ + kx = f 0 sin ( w f t + ϕ 0
)
(5.21)
según la solución, se tiene para las derivadas,
ẋ = w f A p cos ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.22)
ẍ = −w 2 f A p sin ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.23)
considerando que el orden de magnitud de las funciones seno y coseno es uno y que todos los términos
de la ecuación 5.21 los contienen como factores. Por lo tanto, se puede decir que los ordenes de magnitud
para los términos del miembro izquierdo de dicha ecuación son los siguientes,
44

Para la fuerza de inercia,
Para la fuerza amortiguadora,
Para la fuerza recuperadora,
mẍ ⋍ mw 2 f A p (5.24)
bẋ ≃ bw f A p (5.25)
kx ≃ k A p (5.26)
Estos tres términos deben compensar la fuerza externa oscilante cuyo orden de magnitud es f 0 . Con base
en esto se puede concluir:
Caso 1 w f > w La fuerza amortiguadora y la fuerza recuperadora son despreciables frente a la fuerza de
inercia. En este caso la fuerza externa oscilante se compensa con la fuerza de inercia. El sistema es "cuasilibre".
La aceleración y la fuerza están en fase, δ = π . Esto corresponde a la solución,
x = f 0
mw 2 sin ( w f t + ϕ 0 + π ) (5.28)
f
tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.
En cuanto a la absorción de energía del sistema: En el primer y cuarto cuarto del periodo, la fuerza y la
velocidad son antiparalelas y el sistema cede energía; en el segundo y tercer cuarto del periodo absorbe la
misma cantidad. El efecto total en un periodo vuelve a ser nulo.
Caso 3 w f ⋍ w La fuerza de inercia se compensa con la fuerza recuperadora. Por tanto la fuerza externa
oscilante se compensa con la fuerza amortiguadora. Esto corresponde a la solución,
x = f (
0
sin w f t + ϕ 0 + π )
bw f 2
(5.29)
tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.
En cuanto a la absorción de energía del sistema, como la velocidad estará en fase con la fuerza oscilante,
el sistema absorberá potencia constantemente. Sin embargo como se demostró arriba, ecuación 5.19, el
sistema disipará esa misma cantidad de energía: hay equilibrio energético entre lo que entra de energía por
unidad de tiempo y lo que sale.
45

C A P Í T U L O
6
6.1 Circuitos LC : Oscilaciones eléctricas
OSCILACIONES ELECTRICAS
El equivalente mecánico del circuito LC (L: Inductancia, C : Capacitancia) son las oscilaciones de un
sistema masa-resorte.
En primer lugar, se estudiará las oscilaciones que se producen en un circuito LC , figura 6.1.
La diferencia de potencial entre las placas de un condensador es igual a,
V c = q C
(6.1)
Para aplicar la ley de Kirchoff de las mallas, es necesario adoptar una convención para el signo de esta
diferencia de potencial. Para comprender esto, se debe pensar que es claro que transportar una carga positiva
desde la terminal negativa a la terminal positiva debe representar un aumento en la energía potencial
del circuito, es decir la diferencia de potencial es positiva. Recorrer el condensador en la dirección opuesta
daría lugar a una disminución de la energía potencial, es decir una diferencia de potencial negativa. En el
caso de la situción instantánea de la figura 6.1, debe deducirse que para el sentido de corriente ilustrado,
V c = − q C
(6.2)
Para el caso de la diferencia de potencial en la bobina de inductancia L, se tiene que,
V L = −L di
d t
(6.3)
Figura 6.1: Circuito LC
47

ya que la inductancia en la bobina es una medida de la inercia de éste; es decir a mayor inductancia, será
más complicado cambiar la corriente que circula en el circuito. Si la corriente va en aumento,
y
di
d t > 0 (6.4)
V L ,0 (6.5)
lo que corresponde a una caída de potencial entre a y b a través del inductor. Por esta razón, el punto a
tiene mayor potencial que el punto b, como se ilustra en la figura 6.1.
Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff,
se obtiene,
V c +V L = 0 (6.6)
− q C − L di
d t = 0 (6.7)
Como i = d q/d t , llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden,
d 2 q
d t 2 + 1
LC q = 0 (6.8)
Esta ecuación diferencial describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia
o natural,
La solución de la ecuación diferencial es,
w = 1
LC
(6.9)
q = Q sin ( w t + ϕ 0
)
(6.10)
donde la amplitud Q y la fase inicial ϕ 0 se determinan a partir de las condiciones iniciales: la carga del
condensador q y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito d q/d t en el instante inicial t = 0.
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía almacenada en campo eléctrico en el
condensador más la energía almacenada en el campo magnético en la bobina,
q 2
E = E el éctr i ca + E mag néti ca = 1 2 C + 1 2 Li 2 (6.11)
La energía almacenada en la bobina tiene "naturaleza" de energía cinética, y la almacenada en el condensador,
tiene "naturaleza" de energía potencial. Esto se concebirá con mayor claridad un poco más adelante,
donde se hará una analogía mecano-electromagnética entre un sistema masa-resorte y un circuito
oscilante LC.
Una breve descripción de este proceso cada cuarto de período, es la siguiente,
Inicialmente el condensador está completamente cargado con una carga Q . Toda la energía está almacenada
en el campo eléctrico existente entre las placas del condensador.
48

Figura 6.2: Circuito RLC
El condensador se empieza a descargar, la corriente aumenta y en la bobina se produce una fem
(fuerza electromotriz) autoinducida que se opone al incremento de la corriente. Al cabo de un cuarto
de periodo, se alcanza la corriente máxima,
i máxi ma = Q w (6.12)
La corriente empieza a disminuir y en la bobina se produce una fem que se opone a que la corriente
disminuya. El condensador se empieza a carga y, el campo entre las placas del condensador cambia
de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q , y
la corriente en la bobina se ha reducido a cero.
Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la corriente aumenta, el campo en la bobina
cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la corriente alcanza su valor máximo.
La corriente decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico entre las placas del condensador
cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial.
6.2 Circuitos RLC : Oscilaciones eléctricas amortiguadas
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito habitual ya que todo circuito presenta una resistencia,
figura 6.2.
Aplicnado la ley de las mallas de Kirchoff,
como i = d q
d t ,
V R +V c +V L = 0 (6.13)
d 2 q
d t 2 + R d q
L d t + 1
LC q = 0 (6.14)
que corresponde a la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas, cuya solución es,
q = Qe −γ t sin ( w ′ t + ϕ 0
)
(6.15)
con, w ′ = √ w 2 − γ 2 y γ = R 2L . La amplitud Q y la fase inicial ϕ 0 se determinan a partir de las condiciones
iniciales: la carga del condensador q y la intensidad de la corriente eléctrica d q/d t en el circuito en
el instante inicial t = 0.
En las oscilaciones amortiguadas la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La carga máxima
del condensador va disminuyendo. La energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia
por efecto Joule.
En el caso en que γ = w, o que γ > w, no habrá oscilaciones. Corresponden respectivamente al amortiguamineto
crítico y al sobreamortiguamiento.
49

Figura 6.3: RLC forzado
6.3 Oscilaciones eléctricas forzadas
Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo. Para mantener la oscilación en el
circuito es necesario conectarlo a una fem alterna de frecuencia w, figura 6.3.
La ecuación del circuito es,
V R +V c +V L = V 0 sin ( w f t + ϕ 0
)
−Ri − q C − L di
d t = V 0 sin ( w f t + ϕ 0
)
Como i = −d q/d t, si la carga q disminuye con el tiempo, se obtiene la siguiente ecuación diferencial de
segundo orden,
d 2 q
d t 2 + R d q
L d t + 1
LC q = V 0
L sin( )
w f t + ϕ 0 (6.16)
Ecuación similar a la estudiada para describir las oscilaciones forzadas en un sistema masa-resorte.
6.4 Antenas: radio y televisión
Formalmente una antena se define como un dispositivo que sirve para transmitir y recibir ondas de
radio. Convierte la onda guiada por la línea de transmisión (el cable o guía de onda) en ondas electromagnéticas
que se pueden transmitir por el espacio libre. A su vez esta ondas pueden ser absorbidas por otro
dispositvo de estos.
Las antenas están hechas de alambre ó tubos de metal, asi que tienen inductancia (L) y resistencia (R).
La antena tiene capacitancia (C ), debido a la cercanía con la tierra y los objetos a sus alrededor, incluyendo
los soportes, como: la torre y la cama que la sustenta .
En la figura 6.4se ilustra una antena dipolo radiando ondas electromagnéticas.
En la figura se ilustra el proceso de sintonización (resonancia) del radio o la televisión. Variando la capacitancia
del circuito RLC receptor (antena receptora), se logra variar su frecuencia de resonancia, permitiendo
sintonizar la emisora (onda) deseada. Las ondas de las emisoras se están transmtiendo por el espacio
libre y generan oscilaciones forzadas de los electrones en la antena receptora. Es decir, estas ondas hacen el
papel de la fuente de corriente alterna ilustrada en el parágrafo anterior.
6.5 Analogía mecano-electromagnética
Ver la tabla 6.1.
50

Figura 6.4: Antena dipolo emisora (radiando)
Figura 6.5: Antena dipolo receptora
Sistema mecánico (Sistema masa-resorte) Sistema electromagnético (Circuito RLC )
m: masa L: Inductancia
x: Elongación q: Carga eléctrica
V x : Velocidad
k: constante de rigidez
√
k
i : Corriente eléctrica
Frecuencia angular propia: w =
m
Frecuencia angular propia: w = 1
Energía Cinética:K = 1 2 mV x 2 Energía Magnética:E mag n = 1 2 Li 2
Energía Potencial:U = 1 2 kx2 Energía Eléctrica:E el ect = 1 1
2 C q2
Tabla 6.1: Analogía mecano-electromagnética
1
C
LC
51