Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales 2 ...

Resolución numérica de sistemas de ecuaciones
lineales
2 Métodos directos
2.1 Eliminación Gaussiana: factorización LU.
2.2 Otras factorizaciones: factorización LDU, de Crout y de
Cholesky.
2.3 Normas matriciales. Condicionamiento y estabilidad.
Empecemos repasando el concepto de norma en R n .
Definición 1 Llamaremos norma en R n a toda aplicación ‖·‖ : R n −→ R + verificando
1. ‖x‖ 0, ∀x ∈ R n
2. ‖x‖ =0⇐⇒ x =0
3. ‖αx‖ = |α| ‖x‖ ∀α ∈ R, ∀x ∈ R n
4. ‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖, ∀x, y ∈ R n
Como ejemplos importantes, además de la norma Euclídea, tenemos
( ∑
• Norma Euclídea: ‖x‖ 2 = √ n n∑
x 2 i =
i=1
i=1
• Norma infinito: ‖x‖ ∞ = max i |x i |
x 2 i
) 1/2
• Norma uno: ‖x‖ 1 =
n∑
|x i |
i=1
Ahora, de forma análoga extendemos la definición para introducir el concepto de norma
en el espacio vectorial de las matrices M n×m .

Definición 2 Llamaremos norma matricial en M n×m a toda aplicación ‖·‖ : M n×m −→
R + verificando
1. ‖A‖ 0, ∀A ∈M n×m
2. ‖A‖ =0⇐⇒ A =0
3. ‖αA‖ = |α| ‖A‖ ∀α ∈ R, ∀A ∈M n×m
4. ‖A + B‖ ‖A‖ + ‖B‖, ∀A, B ∈M n×m
5. ‖AB‖ ‖A‖‖B‖, ∀A, B ∈M n×m
Notemos que con respecto a la definición de norma en R n hemos añadido la última
condición. Teniendo en cuenta que en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
y en otros problemas básicos una de las operaciones elementales es el producto de una
matriz por un vector, operación que, cuando es posible realizarla debido a las dimensiones
de ambos factores, el resultado es un vector. Por tanto podemos calcular su norma, la
cual sería interesante compararla con la norma de los factores.
Definición 3 Diremos que una norma vectorial ‖·‖ v en R n y una norma matricial ‖·‖ M
en M n×m son compatibles si
‖Ax‖ v ‖A‖ M ‖x‖ v , ∀x ∈ R n , ∀A ∈M n×m .
Antes de dar algún ejemplo de normas matriciales definiremos el concepto de radio espectral
de una matriz cuadrada.
Definición 4 Llamaremos radio espectral ρ(A) de una matriz cuadrada A ∈M n×n a
ρ(A) = max
1in {|λ 1|, |λ 2 |, . . . , |λ n |}
siendo {λ 1 ,λ 2 , . . . , λ n } el conjunto de los valores propios de A.
Vamos a resaltar tres normas matriciales compatibles con las normas vectoriales comentadas
anteriormente.
• Norma dos (norma espectral):
‖A‖ 2 = ρ(A T A) 1/2 ,
que es una norma compatible (e inducida) por la norma Euclídea vectorial
• Norma infinito:
{ m
}
∑
‖A‖ ∞ = max |a ij | ,
1in
que es una norma compatible (e inducida) por la norma infinito vectorial
j=1

• Norma uno:
}
{ n∑
‖A‖ 1 = max
1jm
i=1
|a ij |
,
que es una norma compatible (e inducida) por la norma uno vectorial.
Ejemplo 5 Sea la matriz
entonces
⎛
A = ⎝
1 2 3 4
2 1 7 1
−2 −1 −7 0
⎞
⎠
‖A‖ 2 = (max{0, 0.0709, 14.9011, 124.0280}) 1/2 = √ 124.0280 = 11.1368,
‖A‖ ∞ = max{1 + 2 + 3 + 4, 2 + 1 + 7 + 1, 2 + 1 + 7 + 0} = 11,
‖A‖ 1 = max{1+2+2, 2 + 1 + 1, 3+7+7, 4 + 1 + 0} = 17.
Una vez tenemos definidos los conceptos de normas matriciales y vectoriales podemos
estudiar elementalmente diversos conceptos relacionados con la estabilidad de la resolución
numérica de sistemas de ecuaciones lineales. Así, dado el sistema de ecuaciones lineales
escrito en forma matricial
Ax= b, A ∈M n×n , x, b ∈ R n , (1)
con A invertible de modo que el sistema posea una única solución dada por A −1 b. Ahora
nos podemos plantear qué es lo que sucede cuando modificamos ligeramente el segundo
miembro de la ecuación, es decir, el vector b. Así nuestro nuevo sistema será
A ̂x = ̂b. (2)
La pregunta que nos hacemos es: ¿se parecen las dos soluciones x y ̂x
‖x − ̂x‖ = ‖A −1 b − A −1̂b‖ = ‖A −1 (b − ̂b)‖ ‖A −1 ‖‖b − ̂b‖.
Notemos que en las operaciones anteriores hemos supuesto que las normas matriciales y
vectoriales son compatibles. Nos interesa saber no sólo la distancia entre las dos soluciones,
sino también la diferencia relativa para darnos una idea de la magnitud de la diferencia
entre ambas, es decir ‖x − ̂x‖/‖x‖. Operando
‖x − ̂x‖
‖x‖
1
‖x‖ ‖A−1 ‖‖b − ̂b‖ = 1
‖b − ̂b‖
‖x‖ ‖A−1 ‖‖b‖
‖b‖
= 1
‖b − ̂b‖
‖x‖ ‖A−1 ‖‖Ax‖
‖b‖
1
‖b − ̂b‖
‖x‖ ‖A−1 ‖‖A‖
‖b‖ .
El resultado anterior nos dice que la distancia relativa entre ambas soluciones es menor
que la distancia relativa entre ambos segundos miembros multiplicado por un factor
κ(A) =‖A −1 ‖‖A‖

que se denomina número de condición de la matriz A. Este número nos indica si el
sistema se comporta bien con respecto a pequeñas perturbaciones de los datos del sistema
lineal. Si κ(A) es grande el sistema lineal está mal condicionado y cualquier método de
numérico de resolución nos puede dar muchos problemas y respuestas totalmente erróneas,
por contra, si κ(A) es pequeño entonces el sistema está bien condicionado y no planteará
problemas de estabilidad a la hora de resolverlo.
Ejemplo 6 Sea el sistema lineal Ax = b con
A =
⎛
⎜
⎝
10 7 8 7
7 5 6 5
8 6 10 9
7 5 9 10
⎞
⎟
⎠ ,
⎛
b = ⎜
⎝
32
23
33
31
⎞
⎟
⎠
cuya solución exacta es x = (1, 1, 1, 1). Si ahora en lugar de b usamos el vector ̂b =
(32.1, 22.9, 33.1, 30.9) T entonces la solución es ̂x = (9.2, −12.6, 4.5, −1.1). Notemos que
la perturbación en b verifica ‖b − ̂b‖ 1 /‖b‖ 1 =0.0034 y ‖b − ̂b‖ ∞ /‖b‖ ∞ =8.4034 · 10 −4
mientras que ‖x − ̂x‖ 1 /‖x‖ 1 =6.85 y ‖x − ̂x‖ ∞ /‖x‖ ∞ = 13.6. Es decir, un pequeño
cambio en el segundo miembro ha dado lugar a una solución completamente diferente.
Análogamente, si perturbamos la matriz A del sistema
à =
⎛
⎜
⎝
el resultado será ˜x =(−81, 137, −34, 22).
10 7 8.1 7.2
7.08 5.04 6 5
8 5.98 9.89 9
6.99 4.99 9 9.98
Si calculamos el número de condición para la matriz A del sistema tendremos
κ(A) 1 = κ(A) ∞ = 4488.
⎞
⎟
⎠ ,
2.4 Estrategias de pivotaje: pivote parcial y total.
Durante el proceso de resolución de un sistema lineal mediante el método de Gauss podemos
encontrarnos con algún pivote nulo, entonces hemos de permutar la fila correspondiente
con otra cuyo pivote no sea nulo. Esta operación, la de permutar filas es interesante
realizarla no sólo cuando se anula algún pivote sino también cuando el pivote es sensiblemente
inferior en tamaño a los elementos situados por debajo en la misma columna.
Ejemplo 7 Sea el sistema lineal dado por
10 −6 x +y =2
x +y =0
}

cuya solución es (x, y) = (−2000000/999999, 2000000/999999) ≈ (−2.000002, 2.000002).
Si ahora planteamos el método de Gauss realizando las operaciones con 4 dígitos de precisión
tendremos
( 10
−6
1 2
1 1 0
)
( )
F 2 +(−10 6 ) F 1 −→F 2 10
−6
1 2
−−−−−−−−−−−−−−−→
0 1− 10 6 −2 · 10 6 .
Como realizamos las operaciones con 4 dígitos tendremos que 1 − 10 6 ≈−10 6 y así el
sistema se convierte en
10 −6 x +y =2
−10 6 y = −2 · 10 6 }
cuya solución es (x, y) = (0, 2).
El punto crucial ha sido escoger el pivote a (0)
11 = 10 −6 , el cual es muy inferior en valor
absoluto al elemento que se encuentra por debajo de él.
Este problema se puede ilustrar geométricamente. El sistema inicial se puede ver como la
búsqueda del punto de intersección entre dos rectas
r 1 ≡ 10 −6 x +y =2
r 2 ≡ x +y =0
cuya gráfica aparece a la izquierda en la figura 2.
}
5
2.0001
'
r 2
y
0
r 1
r 2
r 1
y
2
'
-5
5 0 5
x
1.9999
5 0 5
x
Figure 1: Izquierda: sistema lineal original visto como la intersección de dos rectas. Derecha:
sistema lineal después de aplicar Gauss con 4 dígitos de precisión visto como la intersección de
dos rectas.
En la misma figura representamos a la derecha el sistema lineal resultante de aplicar el
método de Gauss con 4 dígitos de precisión.
}
r 1 ′ ≡ 10 −6 x +y =2
r 2 ′ ≡ 10 6 y =2· 10 6
Notemos que a pesar de que en el sistema original el punto de corte es evidente no sucede
lo mismo en el transformado, donde ambas rectas son casi paralelas y por tanto es muy
difícil precisar dónde se encuentra la intersección de ambas rectas.

En cambio, si escogemos como pivote el elemento de mayor valor absoluto dentro de la
primera columna y permutamos las filas tendremos
( 10
−6
1 2
1 1 0
)
( )
(
F 1 −→F
−−−−−−−−→
2 1 1 0 F 2 +(−10 −6 ) F 1 −→F 2 1 1 0
−−−−−−−−−−−−−−−→
10 −6 1 2
0 1− 10 −6 2
)
.
Y realizando las operaciones con 4 dígitos tendremos que 1 − 10 −6 ≈ 1 y así el sistema se
convierte en
}
r 1 ′′ ≡ x +y =0
r 2 ′′ ≡ y =2
cuya solución es (x, y) = (−2, 2) que sí que es la solución del sistema original con 4 dígitos.
Gráficamente las dos rectas del nuevo sistema lineal vendrán dadas por la figura . En
dicha figura se puede observar como ambas rectas determinan de forma clara el punto de
corte.
5
5
r 2
''
r 2
y
0
r 1
y
0
''
r 1
-5
5 0 5
x
-5
5 0 5
x
Figure 2: Izquierda: sistema lineal original visto como la intersección de dos rectas. Derecha:
sistema lineal después permutar las filas y de aplicar Gauss con 4 dígitos de precisión visto como
la intersección de dos rectas.
Del ejemplo anterior podemos deducir que hay que permutar las filas no sólo cuando se
anula el pivote correspondiente a (k−1)
kk
, sino cuando existe algún elemento a (k−1)
jk
con j > k
tal que |a (k−1)
kk
| < |a (k−1)
jk
|. Es decir, lo que vamos a buscar es el elemento a (k−1)
jk
con
j k con mayor valor absoluto y permutaremos dicha fila con la k-ésima. De este modo
tendremos que los multiplicadores en el método de Gauss una vez realizada la permutación
verifican
|l ik | = |a(k−1) ik
|
1, ∀i, k.
|a (k−1)
kk
|
Esta técnica se denomina pivote parcial. De forma matricial lo que hay que introducir es
una matriz elemental de permutación

⎛
P ij =
⎜
⎝
1
. . .
1
0 1
1 0
1
⎞
⎟
⎠
−→ fila i-ésima
−→ fila j-ésima
.. .
1
De esta forma aparecerán entre las matrices M (k) de los multiplicadores de la eliminación
Gaussiana matrices de permutación
M (n−1) . . . M (j) P js M (j−1) . . . M (i) P ir M (i−1) . . . M (1) A = U.
Notemos que P −1
ij
= P ij , así
A =(M (1) ) −1 . . . P ir (M (i) ) −1 ... (M (j−1) ) −1 P js (M (j) ) −1 . . . (M (n−1) ) −1 U = M U.
Notemos que si ha habido permutaciones la matriz M no es una matriz triangular inferior.
Para tener una descomposición LU realizamos en primer lugar las permutaciones y a
continuación la descomposición LU de la matriz permutada. Es decir,
P ir . . . P js A = PA=(˜M (1) ) −1 (˜M (2) ) −1 . . . (˜M (n−1) ) −1 Ũ = L Ũ.
donde las matrices ˜M (i) hay que calcularlas partiendo de la nueva matriz original PA(se
obtienen mediante permutaciones de filas de las matrices M (i) ). La ventaja es que ahora
no habrá que realizar permutaciones de filas y tendremos una descomposición LU.
Ejemplo 8 Sea la matriz
⎛
⎜
⎝
1 2 3 4
4 5 2 8
2 5 3 1
2 2 2 2
⎞
⎟
⎠ .

Si realizamos el proceso de la eliminación Gaussiana obtendremos
⎛
⎜
⎝
1 2 3 4
4 5 2 8
2 5 3 1
2 2 2 2
⎛
F 2 ←→F
−−−−−→
3
⎜
⎝
⎞ ⎛
⎟
⎠ −−−−−→ F 1←→F 2
⎜
⎝
4 5 2 8
0 2.5 2 −3
0 0.75 2.5 2
0 −0.5 1 −2
⎜
⎝
⎛
F 4 −(1.4/1.9) F 3 →F 4
−−−−−−−−−−−−−−→
4 5 2 8
1 2 3 4
2 5 3 1
2 2 2 2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
F 2 +(−1/4) F 1 → F 2
F 3 +(−2/4) F 1 → F 3
F 4 +(−2/4) F 1 → F 4
−−−−−−−−−−−−−−→
F 3 − (0.75/2.5) F 2 → F 3
F 4 − (−0.5/2.5) F 2 → F 4
−−−−−−−−−−−−−−−−−→
4 5 2 8
0 2.5 2 −3
0 0 1.9 2.9
0 0 0 −4.7368
Que puesto de forma matricial será
siendo
M (1) =
M (3) =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
−1/4 1 0 0
−2/4 0 1 0
−2/4 0 0 1
⎞
⎟
⎠
M (3) M (2) P 23 M (1) P 12 A = U
⎞
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 −1.4/1.9 1
⎟
⎠ M (2) =
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎛
U = ⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
4 5 2 8
0 0.75 2.5 2
0 2.5 2 −3
0 −0.5 1 −2
4 5 2 8
0 2.5 2 −3
0 0 1.9 2.9
0 0 1.4 −2.6
1 0 0 0
0 1 0 0
0 −0.75/2.5 1 0
0 0.5/2.5 0 1
⎞
⎟
⎠
4 5 2 8
0 2.5 2 −3
0 0 1.9 2.9
0 0 0 −4.7368
Notemos que M (3) M (2) P 23 M (1) P 12 no es una matriz triangular inferior. En efecto
⎛
⎞
0 1 0 0
M (3) M (2) P 23 M (1) P 12 = ⎜ 0 −0.5 1 0
⎟
⎝ 1 −0.1 −0.3 0 ⎠ .
−0.7368 −0.5263 0.4211 1
En cambio, si realizamos la eliminación Gaussiana a la matriz P 23 P 12 A tendremos
⎛
⎞ ⎛
⎞
4 5 2 8 4 5 2 8
P 23 P 12 A = ⎜ 2 5 3 1
⎟
⎝ 1 2 3 4 ⎠ −→ ⎜ 0 2.5 2 −3
⎟
⎝ 0 0.75 2.5 2 ⎠
2 2 2 2 0 −0.5 1 −2
⎛
⎞ ⎛
⎞
4 5 2 8
4 5 2 8
−→ ⎜ 0 2.5 2 −3
⎟
⎝ 0 0 1.9 2.9 ⎠ −→ ⎜ 0 2.5 2 −3
⎟
⎝ 0 0 1.9 2.9 ⎠ = U
0 0 1.4 −2.6 0 0 0 −4.7368
⎞
⎟
⎠
.
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
.

A continuación detallamos el algoritmo de la eliminación Gaussiana con pivote parcial:
Eliminación Gaussiana con pivote parcial
Para k =1, . . . , n − 1
Encontrar j k tal que |a j k| = max kln {|a lk |}
Si a jk =0entonces la matriz es singular
FIN
en caso contrario permutar fila k-ésima con la j-ésima
a ks ←→ a js , s = k, . . . , n,
b k ←→ b j .
fin si
Para i = k +1, . . . , n
l ik = a ik /a kk
Para r = k +1, . . . , n
a ir = a ir − l ik a kr
fin para
b i = b i − l ik b k
fin para
fin para
FIN