El Geoplano como Herramienta Didáctica para la Enseñanza de la ...
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<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> <strong>como</strong> <strong>Herramienta</strong> Didáctica <strong>para</strong> <strong>la</strong><br />
Enseñanza <strong>de</strong> <strong>la</strong> Geometría<br />
Luis F. Cáceres Ph.D<br />
César A. Barreto<br />
Universidad <strong>de</strong> Puerto Rico, Recinto Universitario <strong>de</strong> Mayagüez<br />
Abril 30 <strong>de</strong> 2011<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
¿Que es el <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong><br />
<strong>El</strong> geop<strong>la</strong>no es un elemento didáctico que ayuda a introducir y<br />
afianzar gran parte <strong>de</strong> los conceptos <strong>de</strong> <strong>la</strong> geometría p<strong>la</strong>na, al ser<br />
una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una<br />
mayor comprensión <strong>de</strong> diversos términos <strong>de</strong> esta materia.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
¿Que es el <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong><br />
<strong>El</strong> geop<strong>la</strong>no es un elemento didáctico que ayuda a introducir y<br />
afianzar gran parte <strong>de</strong> los conceptos <strong>de</strong> <strong>la</strong> geometría p<strong>la</strong>na, al ser<br />
una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una<br />
mayor comprensión <strong>de</strong> diversos términos <strong>de</strong> esta materia.<br />
Se pue<strong>de</strong>n formar figuras geométricas.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
¿Que es el <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong><br />
<strong>El</strong> geop<strong>la</strong>no es un elemento didáctico que ayuda a introducir y<br />
afianzar gran parte <strong>de</strong> los conceptos <strong>de</strong> <strong>la</strong> geometría p<strong>la</strong>na, al ser<br />
una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una<br />
mayor comprensión <strong>de</strong> diversos términos <strong>de</strong> esta materia.<br />
Se pue<strong>de</strong>n formar figuras geométricas.<br />
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferencias<br />
entre <strong>para</strong>lelismo-perpendicu<strong>la</strong>ridad.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
¿Que es el <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong><br />
<strong>El</strong> geop<strong>la</strong>no es un elemento didáctico que ayuda a introducir y<br />
afianzar gran parte <strong>de</strong> los conceptos <strong>de</strong> <strong>la</strong> geometría p<strong>la</strong>na, al ser<br />
una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una<br />
mayor comprensión <strong>de</strong> diversos términos <strong>de</strong> esta materia.<br />
Se pue<strong>de</strong>n formar figuras geométricas.<br />
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferencias<br />
entre <strong>para</strong>lelismo-perpendicu<strong>la</strong>ridad.<br />
I<strong>de</strong>ntificar <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre superficie-volumen, entre muchos<br />
otros conceptos<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Tipos <strong>de</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>s<br />
<strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> Cuadrado: Es el i<strong>de</strong>al <strong>para</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>scribir conceptos tales <strong>como</strong> segmentos,<br />
lineas poligonales abiertas,<br />
lineas poligonales cerradas, cálculo <strong>de</strong><br />
áreas y perímetros, entre otros.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Tipos <strong>de</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>s<br />
<strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> Cuadrado: Es el i<strong>de</strong>al <strong>para</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>scribir conceptos tales <strong>como</strong> segmentos,<br />
lineas poligonales abiertas,<br />
lineas poligonales cerradas, cálculo <strong>de</strong><br />
áreas y perímetros, entre otros.<br />
<strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> Isométrico: Es también<br />
conocido <strong>como</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> triángu<strong>la</strong>r,<br />
se contruye a través <strong>de</strong> triángulos<br />
equiláteros. Se usa frecuentemente en<br />
<strong>la</strong> contrucción <strong>de</strong> figuras tridimensionales.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Tipos <strong>de</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>s<br />
<strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> Cuadrado: Es el i<strong>de</strong>al <strong>para</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>scribir conceptos tales <strong>como</strong> segmentos,<br />
lineas poligonales abiertas,<br />
lineas poligonales cerradas, cálculo <strong>de</strong><br />
áreas y perímetros, entre otros.<br />
<strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> Isométrico: Es también<br />
conocido <strong>como</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> triángu<strong>la</strong>r,<br />
se contruye a través <strong>de</strong> triángulos<br />
equiláteros. Se usa frecuentemente en<br />
<strong>la</strong> contrucción <strong>de</strong> figuras tridimensionales.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> Circu<strong>la</strong>r: Es útil <strong>para</strong><br />
construir figuras inscritas, circunscritas,<br />
poĺıgonos regu<strong>la</strong>res, entre otros.<br />
Ayuda a c<strong>la</strong>rificar los conceptos <strong>de</strong> radio,<br />
diámetro y cuerda.<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Uso <strong>de</strong>l <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>s <strong>como</strong> P<strong>la</strong>no Cartesiano<br />
Otra forma <strong>de</strong> usar el <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> es trabajarlo <strong>como</strong> un p<strong>la</strong>no<br />
cartesiano, en don<strong>de</strong> cada c<strong>la</strong>vo <strong>de</strong>nota un punto en el p<strong>la</strong>no,<br />
<strong>como</strong> se muestra en <strong>la</strong> figura<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Uso <strong>de</strong>l <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>s <strong>como</strong> P<strong>la</strong>no Cartesiano<br />
Otra forma <strong>de</strong> usar el <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> es trabajarlo <strong>como</strong> un p<strong>la</strong>no<br />
cartesiano, en don<strong>de</strong> cada c<strong>la</strong>vo <strong>de</strong>nota un punto en el p<strong>la</strong>no,<br />
<strong>como</strong> se muestra en <strong>la</strong> figura<br />
(1,6)<br />
<strong>El</strong> punto (1, 6) representa un movimiento <strong>de</strong> forma horizontal y<br />
luego 6 movimientos <strong>de</strong> forma vertical. Si en cambio se tomará el<br />
punto (6, 1) este representaría seis movimiento <strong>de</strong> forma horizontal<br />
y luego un movimientos <strong>de</strong> forma vertical. Es por esto que cada<br />
punto en el p<strong>la</strong>no es una pareja or<strong>de</strong>nada, es <strong>de</strong>cir, el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong><br />
los números, indica <strong>la</strong> posición en el que se ubicará el punto en el<br />
p<strong>la</strong>no.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Uso <strong>de</strong>l <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>s <strong>como</strong> P<strong>la</strong>no Cartesiano<br />
Otra forma <strong>de</strong> usar el <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong> es trabajarlo <strong>como</strong> un p<strong>la</strong>no<br />
cartesiano, en don<strong>de</strong> cada c<strong>la</strong>vo <strong>de</strong>nota un punto en el p<strong>la</strong>no,<br />
<strong>como</strong> se muestra en <strong>la</strong> figura<br />
(1,6)<br />
(6,1)<br />
<strong>El</strong> punto (1, 6) representa un movimiento <strong>de</strong> forma horizontal y<br />
luego 6 movimientos <strong>de</strong> forma vertical. Si en cambio se tomará el<br />
punto (6, 1) este representaría seis movimiento <strong>de</strong> forma horizontal<br />
y luego un movimientos <strong>de</strong> forma vertical. Es por esto que cada<br />
punto en el p<strong>la</strong>no es una pareja or<strong>de</strong>nada, es <strong>de</strong>cir, el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong><br />
los números, indica <strong>la</strong> posición en el que se ubicará el punto en el<br />
p<strong>la</strong>no.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Recor<strong>de</strong>mos: Áreas y Perímetros <strong>de</strong> Figuras P<strong>la</strong>nas I<br />
Figura Área Perímetro<br />
l<br />
l<br />
A = l 2<br />
P = 4l<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Recor<strong>de</strong>mos: Áreas y Perímetros <strong>de</strong> Figuras P<strong>la</strong>nas I<br />
Figura Área Perímetro<br />
l<br />
l<br />
A = l 2<br />
P = 4l<br />
h<br />
b<br />
A = b · h<br />
P = 2b + 2h<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Recor<strong>de</strong>mos: Áreas y Perímetros <strong>de</strong> Figuras P<strong>la</strong>nas I<br />
Figura Área Perímetro<br />
l<br />
l<br />
A = l 2<br />
P = 4l<br />
h<br />
b<br />
A = b · h<br />
P = 2b + 2h<br />
a<br />
c<br />
h<br />
b<br />
A = b · h<br />
2<br />
P = a + b + c<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Recor<strong>de</strong>mos: Áreas y Perímetros <strong>de</strong> Figuras P<strong>la</strong>nas II<br />
Figura Área Perímetro<br />
b<br />
a<br />
h<br />
A = b · h<br />
P = 2a + 2b<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Recor<strong>de</strong>mos: Áreas y Perímetros <strong>de</strong> Figuras P<strong>la</strong>nas II<br />
Figura Área Perímetro<br />
b<br />
a<br />
h<br />
A = b · h<br />
P = 2a + 2b<br />
a<br />
b<br />
h<br />
B<br />
A =<br />
(B + b) · h<br />
2<br />
P = 2a + B + b<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo I<br />
Example<br />
Construya y calcule el perímetro <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente figura.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Solución I<br />
Note que <strong>la</strong> figura se pue<strong>de</strong> se<strong>para</strong>r en triángulos rectángulos <strong>como</strong><br />
se muestra a continuación.<br />
Así po<strong>de</strong>mos calcu<strong>la</strong>r los valores que correspon<strong>de</strong>n a cada uno <strong>de</strong><br />
los segmentos, utilizando el teorema <strong>de</strong> Pitágoras<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo II<br />
Example<br />
Construya y calcule el área <strong>de</strong>l triángulo sombreado si el área total<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente figura es 22 unida<strong>de</strong>s cuadradas.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Solución II<br />
Note que <strong>la</strong> figura se pue<strong>de</strong> se<strong>para</strong>r <strong>como</strong> se muestra a<br />
continuación.<br />
B<br />
E<br />
C<br />
D<br />
A<br />
Así po<strong>de</strong>mos calcu<strong>la</strong>r el área <strong>como</strong> <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
figuras en <strong>la</strong>s que se dividió, es <strong>de</strong>cir:<br />
A = A total − (B + C + D + E) = 3<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo III-1<br />
Example<br />
Construya y calcule el área y el perímetro <strong>de</strong> <strong>la</strong>s siguientes figuras.<br />
A<br />
B<br />
D<br />
C<br />
E<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo III-2<br />
Con los calculos anteriores complete <strong>la</strong> siguiente tab<strong>la</strong>.<br />
Figura Área Número <strong>de</strong> puntos sobre el bor<strong>de</strong><br />
A<br />
B<br />
C<br />
D<br />
E<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo III-2<br />
Con los calculos anteriores complete <strong>la</strong> siguiente tab<strong>la</strong>.<br />
Figura Área Número <strong>de</strong> puntos sobre el bor<strong>de</strong><br />
A 6 14<br />
B<br />
C<br />
D<br />
E<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo III-2<br />
Con los calculos anteriores complete <strong>la</strong> siguiente tab<strong>la</strong>.<br />
Figura Área Número <strong>de</strong> puntos sobre el bor<strong>de</strong><br />
A 6 14<br />
B 3.5 9<br />
C<br />
D<br />
E<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo III-2<br />
Con los calculos anteriores complete <strong>la</strong> siguiente tab<strong>la</strong>.<br />
Figura Área Número <strong>de</strong> puntos sobre el bor<strong>de</strong><br />
A 6 14<br />
B 3.5 9<br />
C 2 6<br />
D<br />
E<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo III-2<br />
Con los calculos anteriores complete <strong>la</strong> siguiente tab<strong>la</strong>.<br />
Figura Área Número <strong>de</strong> puntos sobre el bor<strong>de</strong><br />
A 6 14<br />
B 3.5 9<br />
C 2 6<br />
D 9 20<br />
E<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo III-2<br />
Con los calculos anteriores complete <strong>la</strong> siguiente tab<strong>la</strong>.<br />
Figura Área Número <strong>de</strong> puntos sobre el bor<strong>de</strong><br />
A 6 14<br />
B 3.5 9<br />
C 2 6<br />
D 9 20<br />
E 1 4<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo III-2<br />
Con los calculos anteriores complete <strong>la</strong> siguiente tab<strong>la</strong>.<br />
Figura Área Número <strong>de</strong> puntos sobre el bor<strong>de</strong><br />
A 6 14<br />
B 3.5 9<br />
C 2 6<br />
D 9 20<br />
E 1 4<br />
¿ <br />
¿Es posible <strong>de</strong>ducir una re<strong>la</strong>ción entre el área y el<br />
número <strong>de</strong> puntos sobre el bor<strong>de</strong><br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick<br />
La formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick re<strong>la</strong>ciona el área <strong>de</strong> un poĺıgono simple cuyos<br />
vértices tienen coor<strong>de</strong>nadas enteras con el número <strong>de</strong> puntos en su<br />
interior y en su bor<strong>de</strong>.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick<br />
La formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick re<strong>la</strong>ciona el área <strong>de</strong> un poĺıgono simple cuyos<br />
vértices tienen coor<strong>de</strong>nadas enteras con el número <strong>de</strong> puntos en su<br />
interior y en su bor<strong>de</strong>.<br />
Formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick (Sin Puntos Interiores)<br />
Sea B el número <strong>de</strong> puntos en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong>l poĺıgono, entonces el<br />
área A <strong>de</strong>l poĺıgono se pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r a partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong>:<br />
A = B 2 − 1<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick<br />
La formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick re<strong>la</strong>ciona el área <strong>de</strong> un poĺıgono simple cuyos<br />
vértices tienen coor<strong>de</strong>nadas enteras con el número <strong>de</strong> puntos en su<br />
interior y en su bor<strong>de</strong>.<br />
Formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick (Sin Puntos Interiores)<br />
Sea B el número <strong>de</strong> puntos en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong>l poĺıgono, entonces el<br />
área A <strong>de</strong>l poĺıgono se pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r a partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong>:<br />
A = B 2 − 1<br />
Formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick (Con Puntos Interiores)<br />
Sea i el número <strong>de</strong> puntos interiores <strong>de</strong>l poĺıgono y B el número <strong>de</strong><br />
puntos en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong>l poĺıgono, entonces el área A <strong>de</strong>l poĺıgono se<br />
pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r a partir <strong>de</strong> <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong>:<br />
A = i + B 2 − 1<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>
Ejemplo IV<br />
Example<br />
Construya y calcule el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente figura utilizando <strong>la</strong><br />
Formu<strong>la</strong> <strong>de</strong> Pick.<br />
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto<br />
<strong>El</strong> <strong>Geop<strong>la</strong>no</strong>