PROYECTO FINAL: EQUILIBRIO LIQUIDO VAPOR ANÁLISIS ...

PROYECTO FINAL: EQUILIBRIO LIQUIDO VAPOR
ANÁLISIS NUMERICO
NATALIA BURGOS URIBE
DAYANA R FIGUEROA
RESUMEN
El siguiente informe desarrolla el método de
NEWTON-RAPHSON en MATLAB, aplicado como
una solución numérica a problemas típicos dentro de
la ingeniería química como son el equilibrio liquido
vapor y la determinación de propiedades
características de este estado como son la
temperatura y las composiciones.
INTRODUCCIÓN
Varios procesos industriales importantes, por
ejemplo, destilación, absorción y extracción, ponen
en contacto a dos fases entre las que, cuando no
están en equilibrio, se efectúa una transferencia de
masa. La velocidad de transferencia de cada
especie depende de la separación del sistema
respecto al equilibrio ( T,P.X ,Y) del sistema.
En la mayor parte de los procesos industriales las
fases que coexisten son vapor y liquida aunque
también se han encontrado sistemas liquido liquido,
vapor –sólido y y liquido sólido.. A continuación
haremos un planteamiento de un problema en donde
se requiere conocer el comportamiento en el
equiibrio para un sistema liquido vapor y los cálculos
correspondientes para determinar la temperatura y
composiciones de las fases de este sistema.
PROBLEMA:
Considere un liquido en equilibrio con su vapor. Si el
liquido esta formado por los componentes 1,2,3,4;
con los datos dados a continuación calcule la
temperatura y la composición del vapor en el
equilibrio a la presión total de 75 psia.
COMPONENTE
Composición
del
Liquido% mol
Presión de
vapor del
componente
Puro (psia)
a150K a 200K
1 10.0 25.0 200.0
2 54.0 14.7 60.0
3 30.0 4.0 14.7
4 6.0 0.5 5.0
Para resolver este problema se plantean las
siguientes ecuaciones:
Para la presión de vapor:
ln (pio ) = Ai + Bi /T 1 (1)
Donde i =1,2,3,4 y Ten K.
La presión total del sistema será: PT = ∑ Pi 2
Considerando que la mezcla de estos cuatro
componentes, a las condiciones de presión y
temperatura dadas, obedecen las leyes de Raoult y
de Dalton.
P T = ∑ pi 0 xi ( 3)
Donde: pi 0 = Presión de vapor de cada componente.
P T = presión total del sistema.
Pi = Presión parcial de cada componente.
xi = Fracción mol de cada componente en
el liquido.
De la ecuación de presión de vapor se tiene que
Pi o = Ai + Bi /T 1 i= 1,2,3,4
Despejando piº de 1 y reemplazándola en 3
tenemos:
P T = ∑ xi exp ( Ai + Bi/T)
Entonces despejando nos queda una ecuación la
cual es funcion de la temperatura. La ecuación es la
siguiente:
f(T) = P T - ∑ xi exp (Ai + Bi/T) = 0 (4)
Para obtener Ai y Bi realizamos el siguiente
procedimiento:
Hacemos p 1 º, i = presión de vapor del componente i
a T 1 =150 K
p 2 º,i = presión de vapor del componente i a T 2 = 200
K
Entonces
Ln (p 1 º,i ) = Ai + Bi/T1 i = 1,2,3,4 (5)
Ln (p 2 º,i) = Ai + Bi/T2 i = 1,2,3,4 (6)
Restando estas ecuaciones se tiene
Ln (p 1 º,i / p 2 º,i) = Bi ( 1/T1 – 1/T2 )
De donde
Bi = (ln p 1 º,i / p 2 º,i ) / ( 1/T1 – 1/T2 )
Reemplazando estos valores conocemos Bi y
podemos obtener Ai de la ecuación (4).
VALORES INICIALES
Ahora para hallar un valor inicial de T para resolver la
ecuación 4, se considera el componente dominante
de la mezcla que en este caso de acuerdo a los
datos dados en la tabla es el componente 2, y se usa
P T en lugar de p 2 º en la ecuación 1 que es la de
presión de vapor. Es decir,

De donde
Ln (P T ) = A2 + B2 / T
T = B2 / ln ( P T ) – A2
Con este resultado inicial y las consideraciones ya
mencionadas, utilizamos el método de NEWTON -
RAPHSON para hallar la temperatura del sistema
(temperatura de burbuja) en el equilibrio.
METODO DE NEWTON - RAPHSON
X i +1 = x i – f (x i ) / f’’ (x i )
Donde: f’’ ( T ) = - ∑ xi exp ( Ai + Bi / T ) * ( - B i / T2 )
Y= f (T) = PT - ∑ xi exp (Ai + Bi/T) = 0
ALGORITMO UTILIZADO
Para encontrar una raíz de la ecuación f ( xi+1) = 0,
proporcionar la función f ( xi ) y su derivada df( xi ) y
los datos:
DATOS: Valor inicial x 0 , criterio de convergencia
(EPS) o error absoluto, criterio de exactitud (EPS1) y
numero máximo de iteraciones MAXIT.
RESULTADOS: La raiz aproximada x o un mensaje
de falla.
PASO 1: Hacer I = 1
PASO 2: Mientras I< MAXIT, repetir los pasos 3 a 7.
PASO 3: Hacer x1 = x 0 – f( x 0 ) /df (x 0 ) (calcula x I )
PASO 4: Si ABS (x1 – x 0 ) < EPS, entonces
IMPRIMIR x 1 y TERMINAR. De otro modo
CONTINUAR.
PASO 5: Si ABS (f(x 1 ) ) < EPS1 , entonces
IMPRIMIR x 1 y TERMINAR. De otro modo
CONTINUAR.
PASO 6: Hacer I = I + 1.
PASO 7: Hacer x 0 = x 1
PASO 8: IMPRIMIR mensaje de falla ‘’ EL METODO
NO CONVERGE A UNA RAIZ ‘’ y terminar.
EL PROGRAMA UTILIZADO EN MATLAB ES EL
SIGUENTE:
Función que permite calcular la temperatura de
equilibrio.
function natalia
clc
clear all
fprintf('----------------\n');
fprintf('-------------- CALCULO DE
TEMPERATURAS DE EQUILIBRIO -------\n');
fprintf('----------------------------------------\n\n');
P1 = [ 25; 14.7; 4.0; 0.5 ];
P2 = [ 200.0; 60.0; 14.7; 5.0 ];
T1 = 150 ;
T2 = 200 ;
B = log ( P1 ./ P2 ) / ( 1/T1 - 1/T2 );
A = log ( P1) - B/T1 ;
X = [ 0.10; 0.54; 0.30; 0.06 ];
PT = 75;
I = 0;
f =1;
EPS = 0.000001;
T = B (2 ) / ( log ( PT) - A (2 ) );
fprintf (' T f(T) \n', T, f )
while (abs(f)>eps)&(I

2. Analizando un poco el método podemos observar
que este solo es útil si la raíz hallada es real y por lo
tanto habrá convergencia de lo contrario no existirá
convergencia y esto ocurre en casos en los cuales la
raíz es un punto de inflexión, no hay raíz real o si el
valor inicial esta muy alejado de la raíz buscada y
alguna otra parte de la función atrapa la iteración.
3. El método de NEWTON-RAPHSON requiere la
evaluación de la primera derivada de f(x), este
requisito parecería sin importancia pero no lo ya que
estos son problemas reales, donde la función f(x)
esta dada en forma tabular
4. seria importante resaltar que que existen
algunos métodos para resolver f(x) = 0 que no
requieren el calculo de f ’(x) pero que tienen las
propiedades favorables de convergencia del método
de NEWTON-RAPHSON.
BIBLIOGRAFÍA
1. CHAPRA, S.C. y Canale, R. Métodos
Numéricos para ingenieros Editorial
McGraw-Hill,México,1989.
2. apuntes de clase
3. Nakamura, Análisis Numerico y
Visualización Grafica con Matlab Math Works
Inc. Y Prentice may, México, 1997.
4. SMITH, Van Ness. Abbott. Introducción a la
Termodinámica en Ingeniería Química
Editorial McGraw-Hill,México, 2001.