Texto de estudio de Radiacion Termica y Electrones en un Solido

Radiación de Cuerpo Negro y Electrones en un Metal
C.O. Dib ∗ , apuntes para la asignatura FIS-140, UTFSM
Depto de Física, Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile
(Dated: June 16, 2010)
Esta es una versión preliminar, de modo que léala en forma crítica. Si tiene comentarios o correcciones,
informe a su profesor.
Este artículo usa sin demostrar los resultados que se demuestran en el artículo Fundamentos de la
Mecánica Estadística. Se aplican los resultados a (1) gases de bosones (radiación de cuerpo negro)
y (2) gases de fermiones de alta densidad (electrones en un metal).
I. INTRODUCCIÓN: RADIACIÓN TÉRMICA O
“DE CUERPO NEGRO”
Un fierro caliente emite luz (roja). El sol emite luz desde
su superficie. El cuerpo humano también emite, pero en
el infrarrojo. Todos estos fenómenos son ejemplos de lo
que se denomina radiación térmica.
Esto es distinto a la radiación que emite un átomo cuando
un electrón cae de un nivel excitado a un nivel inferior;
en esos casos, la radiación tiene una sola frecuencia (que
corresponde al salto entre niveles de energía electrónicos
según hν = ∆E e ). Esto también es distinto a la radiación
que re-emite un cuerpo por reflexión (esto es el fenómeno
común de iluminación: cuando incide luz sobre un objeto,
una fracción de esa luz es reflejada por su superficie); el
espectro (frecuencias) de la luz reflejada depende tanto
de las propiedades de absorción-reflexión de la superficie,
como del espectro de la luz incidente.
En el caso de la radiación térmica, la emisión es en todas
las frecuencias, con un espectro característico de la forma:
dI
dν (ν) ∼
ν3
e Aν − 1 , (1)
donde A es una constante relacionada con la temperatura
(más precisamente, A = h/kT).
A este espectro se le llama de cuerpo negro, para indicar
que la emisión no depende de la estructura del material
(idealmente, un cuerpo es negro si no refleja nada
ni emite ningún color preferencialmente).
EJERCICIO: haga un gráfico de esta función, para distintos
valores de A.
Se puede notar que el máximo del espectro corresponde
a una frecuencia ν m proporcional a T (numéricamente,
hν m ≈ 2,8kT).
Si uno integra ese espectro para todas las frecuencias,
obtiene la emisividad total (potencia emitida por cada
∗ Derechos reservados. Reproducción total o parcial del material
requiere permiso del autor.
unidad de área del cuerpo emisor):
I ≡ Pot
Area = σ SB T 4 (2)
Esto se conoce como la ley de Stefan-Boltzmann. La
constante de Stefan-Boltzmann tiene el valor σ SB =
5,67 × 10 −8 [W/m 2 K 4 ].
EJERCICIO: Integrando la distribución espectral de la
Ec. (1), demuestre que la emisividad total I (Ec. 2) es
proporcional a T 4 (ojo: no necesita resolver la integral
explícitamente).
EJERCICIO: Calcule la potencia total emitida por el
cuerpo humano. Para ello, haga una estimación razonable
de la superficie (piel) y de su temperatura (ojo:
temperatura en Kelvin, no en Celsius).
EJERCICIO: Considerando que el Sol está a 150 millones
de km de distancia y que el ángulo que subtiende
el diámetro solar en el cielo es de 0,5 grados, estime el
radio del Sol. Luego, sabiendo que la radiación solar en
la Tierra es de aprox. 1,5 kW/m 2 , estime la potencia
total emitida por el Sol, y según eso la temperatura de
su superficie (llamada “fotósfera”). Calcule el valor de
ν m .
EJERCICIO: El Universo es una gran cavidad llena de
radiación a una temperatura de 2,7 K. El descubrimiento
de esta radiación es una prueba contundente de la teoría
de la expansión del Universo (el Big Bang). Determine
la frecuencia de máxima intensidad de ese espectro, ν m .
A qué parte del espectro electromagnético corresponde
Lea sobre el tema en la wikipedia, buscando por radiación
de fondo de microondas (Cosmic Microwave Background,
o CMB).
II.
EXPLICACIÓN DE LA RADIACIÓN DE
CUERPO NEGRO
Queremos saber cómo se explica el fenómeno de emisión
de radiación térmica. A nivel más simple, debemos recordar
dos cosas:
• En los sistemas termodinámicos que intercambian
energía, habrá un flujo neto de energía de un lado a

2
otro hasta que se alcance el equilibrio; la situación
de equilibrio se alcanza cuando la temperatura es
igual en todos los sistemas.
• En un material a temperatura dada, los átomos
están en permanente agitación. La agitación de
cargas eléctricas genera la emisión de radiación.
Definamos una situación de equilibrio: imagine un cuerpo
a temperatura T, con una cavidad interior (todos los
cuerpos, aunque sean aparentemente macizos, se comportan
como una cavidad para la radiación electromagnética).
Los átomos emiten radiación debido a su
agitación térmica, la cual llena la cavidad; a su vez, esa
radiación incide sobre los átomos y es absorbida. En este
continuo proceso de emisión y absorción, se establece un
equilibrio, quedando una distribución estacionaria de radiación
en la cavidad.
Cuantitativamente, queremos derivar la distribución (1).
Este fue uno de los problemas más sobresalientes del siglo
XIX, y sólo pudo ser explicado por Max Planck en 1900,
postulando la existencia de “cuantos” de radiación, y
abriendo así las puertas a la Física Cuántica.
A. Intento de Rayleigh y Jeans (tema opcional)
Sugerencia: este es un tema sólo de valor histórico; puede
saltarlo y pasar directamente a la sección siguiente.
Rayleigh y Jeans consideraron a la radiación térmica
como ondas estacionarias en una cavidad, y supusieron
que cada modo normal se comportaba como un grado de
libertad termodinámico con energía kT/2.
Esto corresponde al teorema clásico de la mecánica estadística
llamado Teorema de equipartición de la energía:
en un sistema en equilibrio térmico a temperatura T,
cada grado de libertad adquiere en promedio una energía
kT/2. Por ejemplo, en un gas monoatómico clásico, cada
átomo tiene energía 3kT/2, porque cada átomo tiene tres
grados de libertad (traslación en las tres dimensiones del
espacio).
El problema aquí es determinar cuántos grados de libertad
(o modos normales) de ondas electromagnéticas estacionarias
hay en la cavidad.
Considere una cavidad cúbica, de arista L. Cada grado
de libertad, o modo normal de oscilación del campo electromagnético,
corresponde a una onda estacionaria que
tenga un nodo en la paredes. Esto significa que el largo
L de la cavidad debe ser un número entero de medias
longitudes de onda. Si identificamos cada modo normal
por el valor del vector número de onda, ⃗ k, entonces éste
debe ser de la forma:
⃗ k = (kx , k y , k z ) = π L (n x, n y , n z ) (3)
donde n x , n y , n z son enteros positivos.
EJERCICIO: Compruebe que esos valores de k corresponden
a un número entero de medias longitudes de
onda en el largo L. Para ello, basta que fije n x = n y = 0,
y escoja diversos valores de n z . Debería encontrar que a
lo largo del eje Z, la onda tiene un número entero de λ/2
entre z = 0 y z = L.
La frecuencia correspondiente a cada modo está relacionada
con el número de onda como es usual: ν =
c| ⃗ k|/2π.
EJERCICIO: Compruebe que esta expresión es lo mismo
que c = λ ν.
Cada ⃗n = (n x , n y , n z ) corresponde a un modo normal.
Estos valores son puntos en un espacio tridimensional,
vértices de cubos de arista unitaria, que ocupan todo el
octante positivo. La frecuencia de cada modo es simplemente
ν = (c/2L)|⃗n|.
EJERCICIO: Dibuje un sistema de coordenadas tridimensional
XYZ. Dibuje los puntos que corresponden a x,
y y z enteros positivos.
Así, el número de modos corresponde al volumen en el
espacio de ⃗n, d 3 n, y para frecuencias ν en un rango dν, el
número de modos es el volumen en el espacio de ⃗n de un
octavo de casquete esférico, de espesor dn = (2L/c)dν,
que es:
1
8 × 4πn2 dn = 4π 8
( 2L
c
) 3
ν 2 dν
= 4πV
c 3 ν2 dν (4)
En verdad hay que agregar un factor 2 para contar los dos
modos de polarización que hay por cada valor de número
de onda: (8πV/c 3 )ν 2 dν.
Por lo tanto, la energía en la radiación, en un rango dν,
debería ser el producto de este número de modos por la
energía de cada modo que, como dijimos, es kT/2:
dU = kT 2 × 8πV
c 3 ν2 dν (5)
Esta es la expresión de Rayleigh-Jeans. Lamentablemente
está mala: si uno integra todas las frecuencias,
el resultado es infinito:
u ≡ U V = 4π ∫ ∞
c 3 kT ν 2 dν → ∞. (6)
Esto claramente no tiene sentido: la densidad de energía
de la radiación no puede ser infinita. Debido a que la
divergencia aparece a altas frecuencias, a esto se le llama
la catástrofe ultravioleta.
0

Esta es exactamente la forma del espectro (1) que
B. Enter Planck: La solución Cuántica
= 8πhV ν 3
c 3 e hν/kT − 1 dν. (11) subsistema gaseoso formado por todos los fotones
que tienen un mismo valor de ⃗ k.
estábamos buscando. Además, si integramos las frecuencias,
obtenemos la densidad total de energía en la radiación,
que es finita:
Para solucionar la catástrofe ultravioleta, Max Planck
postula que la energía en cada modo no es kT/2, como
implicaría el teorema de equipartición. El postula que en
cada modo, la energía aparece en un número entero de
u ≡ U V = 8π5 k 4
15h 3 c 3 T 4 . (12)
“cuantos”, cada uno proporcional a la frecuencia: en el
modo ⃗ k, la energía sería algún valor E k = n k hν, donde h EJERCICIO: Obtenga la expresión anterior integrando la
es un factor de proporcionalidad universal (la constante disribución espectral de Planck (Ec. 11). Para ello va a
de Planck), y n k = 0,1,2, . . . es el número de cuantos. necesitar la integral definida ∫ ∞
x 3 /(e x −1) dx = π 4 /15.
0
Planck usa el resultado de Boltzmann: para un sistema
en equilibrio térmico a temperatura T, la probabilidad de
que un subsistema (modo ⃗ k) se encuentre en un estado
con energía E k es:
Finalmente, si calculamos la emisividad (flujo que sale
por unidad de área del material), veremos que es simplemente
la densidad de energía multiplicada por c/4 (la
derivación de esto quedará para después):
P(n k ) = C × e −E k/kT
(7)
= C × e −n k hν/kT .
I = 2π5 k 4
15h 3 c 2 T 4 . (13)
EJERCICIO: De acuerdo a esta expresión, calcule el
EJERCICIO: Demuestre que la constante C debe tener valor numérico de la constante de Stefan-Boltzmann.
el siguiente valor, para que P(n k ) sea efectivamente una
probabilidad (note que se trata de una suma geométrica): EJERCICIO: Usando la distribución espectral en frecuencia
(Ec. 11), encuentre la distribución espectral en
C = 1 − e −hν/kT (8) longitudes de onda, du/dλ. Note que debe usar ν = c/λ
no sólo para reemplazar la variable, sino también el elemento
diferencial.
Con esta distribución de probabilidad para el número de
cuantos, P(n k ), el número promedio de cuantos en el EJERCICIO: Encuentre el valor de longitud de onda para
modo ⃗ k, o número de ocupación y denotado como f k ,
la cual el espectro du/dλ es máximo, en función de la
es:
temperatura. Esta relación se llama la ley de desplazamiento
de Wien (Wilhelm Wien, colega de Max Planck,
∞∑
obtuvo el premio Nobel en 1911 por este trabajo.) Note
f k ≡ 〈n k 〉 = C n e −nhν/kT
que, debido a que los rangos dν no son iguales a los rangos
n=0
dλ, el máximo de la distribución du/dλ no está en
=
1
e hν/kT − 1 . (9) c/ν m , donde ν m es la frecuencia del máximo de du/dν.
EJERCICIO: Determine la potencia neta perdida por el
EJERCICIO: Demuestre este resultado. Para hacer la
suma hay un truco: primero llame a ≡ e −hν/kT . Luego
tome la derivada respecto a a en la expresión sumatoria
cuerpo humano, considerando una temperatura de la piel
de 25 grados y una atmósfera de 15 grados. Note que hay
radiación desde el cuerpo hacia afuera y viceversa.
que usó para determinar C.
Con este resultado, tenemos que la energía promedio III. RADIACIÓN TÉRMICA: RESUMEN
en cada modo no es kT/2, como supusieron Rayleigh y
Jeans, sino:
El trabajo de Planck nos permite entender la radiación
hν
hν f k =
e hν/kT − 1 , (10) de cuerpo negro como un gas de fotones, de la siguiente
manera:
y la energía total de la radiación se calcula igual que
antes (ver Ec. 5): multiplicando la energía de cada modo
(Ec. 10) por la cantidad de modos con esa energía,
• los “cuantos” de energía son “partículas de luz”
(fotones), cada una con su energía E = hν y su
momentum ⃗p = ⃗ k.
(8πV/c 3 )ν 2 dν:
• Para cada valor de ⃗ k, que clásicamente es un modo
8πV
normal, hay un número entero de fotones. En el
dU = hν f k
c 3 ν2 dν
sentido de un gas, cada modo normal constituye un
3

4
• En cada modo o subsistema definido por ⃗ k, la
única variable es el número de fotones. Sabiendo el
número promedio de fotones, se sabrá todo lo que
se puede saber de ese subsistema (energía, etc).
• El número promedio de fotones en cada modo es:
f k =
donde E k = hν .
1
e E k/kT
− 1 , (14)
• La cantidad de modos que hay con frecuencia ν,
dentro de un rango dν, se puede calcular considerando
la cantidad de ondas estacionarias en un
cubo de volumen V = L 3 . El resultado es
8πV
c 3 ν2 dν, (15)
que incluye un factor 2 que cuenta los dos estados
de polarización por cada valor de ⃗ k.
• El número total de fotones está dado por:
∫ 8πV
N =
c 3 ν2 dν × f k (16)
y la energía total del sistema es:
∫ 8πV
U =
c 3 ν2 dν × f k E k , (17)
con E k = hν.
IV.
GAS DE FERMIONES
Los electrones libres en un sólido se pueden modelar como
un gas de fermiones. El tratamiento es similar al de los
fotones, excepto por dos diferencias fundamentales: (i)
los fermiones obedecen el principio de exclusión de Pauli
y (ii) el número de electrones es una cantidad conservada.
Otra diferencia, aunque no fundamental, es que en el
caso de electrones no hablamos de modos normales con
número de onda ⃗ k sino de orbitales con momentum ⃗p (lo
que, en todo caso, es lo mismo según De Broglie: ⃗p = ⃗ k).
La condición (i) implica que el número de electrones
en un modo (orbital) dado, n p , sólo puede ser cero o
1. La condición (ii) implica que debemos usar la expresión
modificada de distribución de Boltzmann que
contiene un potencial químico, para permitir fluctuación
de partículas:
P(n p ) = Ce −np(Ep−µ)/kT , (18)
donde µ es el potencial químico, que es algo análogo a
la temperatura: la temperatura es aquéllo que se iguala
en equilibrio entre sistemas que intercambian energía; el
potencial químico se iguala en equilibrio ante intercambio
f(E)
1
0.5
0
0.5 1 1.5 2
FIG. 1: Número de ocupación, f p vs. Energía para un gas de
fermiones; la escala de energías está en unidades de µ. Curva
sólida (segmentada) es para T = 0, 01µ(0, 2µ).
de partículas. Sin embargo, para lo que queremos hacer
aquí, µ es sólo un parámetro que nos permite mantener
fijo el número total de partículas en la distribución ante
cambios de otros parámetros como la temperatura.
La constante C se determina de modo que ∑ n p
P(n p ) =
1. En este caso, n p = 0, 1 solamente, de modo que:
1 =
E
1∑
Ce −n(Ep−µ)/kT 1
⇒ C =
. (19)
1 + e−(Ep−µ)/kT n=0
Así también, el número promedio de electrones en un
orbital con momentum ⃗p (“número de ocupación”) es:
f p ≡ 〈n p 〉 =
1∑
n Ce −n(Ep−µ)/kT
n=0
=
1
e (Ep−µ)/kT + 1 . (20)
Las velocidades de los electrones en un metal no son relativistas,
de modo que aquí podemos usar E p = p 2 /2m.
EJERCICIO: Compruebe que f p < 1 para todo valor de
energía, T y µ. Es eso consistente con el hecho de que
las partículas sean fermiones
EJERCICIO: Grafique f p como función de E p , para un
valor de µ > 0 fijo, y para un valor de kT comparable a µ.
Haga lo mismo, pero para un valor de kT muy pequeño
(mucho menor que µ). Cómo es la función en el límite
T → 0 Qué representa µ en estos gráficos
EJERCICIO: Demuestre que el número de ocupación f p
para una energía µ + x es igual al “número de desocupación”
(1 − f p ) para una energía µ − x. Visualice e
interprete esta propiedad en el gráfico de la función f p
vs. E p .
El número total de fermiones en el gas es (ver Ec. 16):
N = 2 V ∫
h 3 d 3 1
p
e (Ep−µ)/kT + 1 . (21)

El prefactor 2 se debe a los dos estados de spin del de lo cual se deduce que la energía promedio por electrón,
U = 8πV ∫ √ 2mE F
h 3 dp p4
Haciendo la integral, podemos despejar C” y reemplazarla.
La integral normalizada queda:
0 2m
8πV (2m)3/2
=
5h 3 E 5/2
F , (27) 1 = 4 ) 3/2
∫ ∞
√ dv v 2 e −mv2 /2kT ,
π 2kT 0
electrón. Como el integrando no depende de la dirección
de ⃗p sino sólo de su módulo, podemos hacer la integral
a T = 0, es una fracción de E F (un poco más que la
mitad, porque hay más orbitales a mayor energía):
angular de inmediato:
N = 8πV ∫
p 2
U/N = 3
h 3 dp
e (Ep−µ)/kT + 1 , (22)
5 E F
EJERCICIO: Calcule la energía de Fermi, y por lo tanto
donde E p = p 2 /2m. Asimismo, la energía en el gas de
electrones (ver Ec. 17) es:
la energía promedio de los electrones libres en un material
de Cobre, suponiendo que T → 0, sabiendo que la
U = 8πV ∫
densidad del Cobre es 8,92 g/cm 3 , que la masa atómica
p 2
h 3 dp E p
e (Ep−µ)/kT + 1 . (23) del Cobre es 63,5 g/mol, y que cada átomo de Cobre
provee en promedio un electrón libre.
EJERCICIO: La temperatura en verdad es T = 300 K.
Algo importante de notar es que, si la densidad de electrones
N/V es un valor fijo, a mayor temperatura, µ debe
Es eso T → 0 En general, T → 0 significa “T muy
pequeña comparada con algo...” Suponga que el gas de
ser menor; de otro modo, la expresión daría un número
electrones fuera clásico, en cuyo caso, la energía promedio
por electrón sería 3kT/2. Compare ese valor con el
mayor de electrones, lo que es inconsistente. Esto se ve
del gráfico, pues a T altas, f p empieza a tener mayores
promedio calculado anteriormente. Qué puede decir de
contribuciones para E mayor; la única forma de mantener
la integral N en un valor fijo es haciendo que µ se
T es grande o pequeña Entonces, con qué está comparando
kT para decir que T es muy pequeña
desplace hacia un valor menor.
Hay dos regímenes importantes: T = 0 (en general, T ≪
µ) y T alta.
Régimen degenerado (T = 0):
Régimen diluido o clásico (T alta):
Se llama gas diluido, o gas clásico, al caso en el que
f p ≪ 1 para todas las energías posibles de las partículas.
Viendo la expresión general de f p :
En este caso, la distribución queda:
1
{
f p =
1 if E p < µ
e (Ep−µ)/kT + 1 ,
f p =
(24)
0 if E p > µ
esta condición ocurre cuando µ es “muy negativo”, de
modo que e −µ/kT ≫ 1, y por lo tanto el término +1
Esto se llama “gas degenerado”: los electrones están
aglomerados en los niveles más bajos de energia que les
en el denominador se puede despreciar. En ese caso, f p
queda:
es posible, ocupando con probabilidad 1 todos los niveles
por debajo de µ y dejando totalmente vacíos los niveles
f p ≈ Ce −Ep/kT .
superiores. El valor de µ a T = 0 se llama energía de
Note que hemos llamado C a todo el factor que no depende
de la energía (depende de µ/kT, pero ésa es sólo
Fermi y se le denota por E F .
El cálculo de las integrales en tal caso es muy fácil: otra constante en la distribución).
N = 8πV ∫ √ 2mE F
La expresión para el número de partículas en el gas, en
h 3 dp p 2
este caso, no es otra cosa que la distribución de Maxwell-
0
Boltzmann:
= 8πV
3h 3 (2mE F) 3/2 . (25)
∫
N = V C ′ d 3 pe −Ep/kT ,
Esto significa que la energía de Fermi (el nivel de Energía
hasta donde llegan los electrones) está determinada por
donde C ′ es otra constante. Podemos nuevamente integrar
las variables angulares, y expresar el momentum
la densidad de electrones:
como velocidad:
( ) 2/3
E F = h2 1
∫ ∞
2m 8π N/V . (26)
N = V C” dv v 2 e −mv2 /2kT .
0
La energía en el gas también es simple de calcular:
La distribución de probabilidad para las velocidades es
simplemente el integrando, debidamente normalizado.
5

6
de donde identificamos la distribución de velocidades de
Maxwell-Boltzmann de un gas ideal clásico:
P(v) dv = √ 4 ( m
) 3/2
v 2 e −mv2 /2kT dv.
π 2kT
EJERCICIO: Haga gráficos de esta distribución para distintas
temperaturas. Note que a temperaturas más altas,
la distribución alcanza velocidades mayores, pero a la vez
se hace más plana, de modo que el área bajo la curva se
mantenga constante.
EJERCICIO: Demuestre que esta expresión está correctamente
normalizada, usando la definición de la función
Γ(z):
la propiedad recursiva Γ(z + 1) = zΓ(z), y los valores
Γ(1) = 1, Γ(1/2) = √ (2).
EJERCICIO: Demuestre que la energía promedio de una
partícula en el gas, 〈E K 〉 = m 〈 v 2〉 /2, es (3/2)kT.
PREGUNTA: Por qué usamos T = 0 en la distribución de
electrones en un metal, siendo que en el ambiente normal,
T ∼ 300 K
RESPUESTA: T = 0 es una aproximación, que significa
más correctamente T ≪ E F . Esta es una aproximación
correcta para los electrones en el metal, para los cuales
E F ∼ 10 eV, mientras que la temperatura ambiente de
300 K corresponde a kT ∼ 1/40 eV, que claramente es
mucho menor.
Γ(z) =
∫ ∞
0
e −u u z−1 du,
[1] Paul Tipler, Physics for Sceintists and Engineers, third
ed., extended, Worth Publishers, 1991. Capítulo 33: Interference
and Diffraction.
[2] Paul Tipler, Física para la Ciencia y la Tecnología, cuarta
ed., editorial Reverté, 2001. Capítulo 35: Interferencia y
Difracción.
[3] D. Halliday, R. Resnick and K. Krane, Physics, fourth ed.,
John Wiley & Sons, Inc., 1992. Capítulo 45: Interference;
capítulo 46: Diffraction; capítulo 47: Gratings and Spectra.
[4] Vea el sitio web: www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica
/negro/radiacion/radiacion.htm