Formas con todas sus caras planas - Ciencia en la Escuela

Todos los objetos tienen una forma y ocupan un lugar
en el espacio que podemos medir por medio de la
Geometría. Así, Geo (tierra) y Metron (medida),
vocablos griegos, originan la palabra Geometría,
considerada la rama de la Matemática que estudia las
formas y sus relaciones.
Óvalo Polar, obra cinética de Jesús Soto, uno de
los máximos exponentes del arte cinético universal.
Nació en el estado Bolívar (1923- ), donde hay
un Museo que lleva su nombre. Ha realizado
exposiciones en Venezuela, Francia, Estados
Unidos, Italia y muchos otros países. La obra
engalana la sala de entrada del edificio Fundación
Polar en Caracas.
Fotografía: Sabina Caula
El Universo está escrito en el
lenguaje de la matemática y sus
caracteres son triángulos, círculos
y otras figuras geométricas, sin las
cuales es humanamente imposible
entender una palabra de él
Galileo Galilei (1564-1642)
Matemático, físico y astrónomo italiano

018
Johannes Kepler (1571-1630)
Astrónomo y matemático alemán
Descubriendo el mundo de las formas
Completa el patrón
En la naturaleza se encuentran muchas formas y otras son hechas por las personas
Observa que todas las
caras de estos tres
objetos son planas.
Otras formas tienen partes
curvas y partes planas.
Las latas de atún y los dos
vasos son ejemplos de esto.
Estas partes son planas
Estas partes son curvas
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1
Estas son redondas por todas partes, es
decir, tienen forma esférica.
Fotografías: R. Chovet

Formas completamente redondas
Los
cuerpos que
observas son redondos
por todas partes pero de
ellos sólo visualizamos su
superficie, que es de forma
esférica y la denominamos esfera
(superficie esférica). La esfera
conjuntamente con la región
del espacio encerrada por
ella la llamamos esfera
sólida (˝bola˝).
El corte o intersección de un plano con una
esfera es una circunferencia.
Esta es una propiedad característica de la
esfera.
Circunferencia
Si el plano pasa por el centro de la esfera,
resulta una circunferencia máxima (su radio
es igual al radio R de la esfera). Al considerar
la esfera sólida y el corte con un plano se
obtiene el círculo. Si el plano pasa por el
centro C, resulta un círculo máximo.
C
R
P
Plano
Circunferencia
máxima
Circunferencia y círculo
Del espacio al plano
INTERESANTE
P2 Si consideramos una varilla de longitud R,
fijada en un extremo C y la movemos
libremente en el espacio, el otro extremo
describe un esfera de radio R. Esto significa
que la distancia de cualquier punto P de la
esfera a su centro no varía y esta distancia
es igual al radio R.
Al hacer un corte a una esfera con un plano, por ejemplo un limón
o una cebolla de forma esférica cortada con un cuchillo, resulta
una circunferencia sobre la esfera, en la concha del limón. El
círculo es la circunferencia junto con la región del plano encerrada
por ella.
INTERESANTE
Para construir una circunferencia tomamos una
tachuela o un clavo que fijamos a una hoja de
papel. Amarramos una cuerda en la tachuela o
clavo y en el otro extremo un lápiz que movemos
para trazar la circunferencia sobre el papel. La
distancia de un punto P de la circunferencia a
su centro C no varía y esta distancia es igual al
radio R.
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C
Diámetro
Tachuela
R
C
P
R
P 1
Lápiz
Radio
P
019

020
Formas con partes planas y superficies curvas
Cilindro
Todos estos cuerpos tienen partes planas y superficies
curvas, a este tipo de formas se les llama cilindro.
Si levantamos segmentos verticales en los puntos de
una circunferencia C (son segmentos perpendiculares
al plano que la contiene) y que tengan una misma
longitud, obtenemos una superficie cilíndrica.
El círculo limitado por la circunferencia C es una base.
El cilindro es el sólido definido por la superficie cilíndrica,
las dos bases de ésta y la región del espacio encerrada
por ellas.
Repite el patrón
Segmentos verticales
Base
Del espacio al plano
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Eje
Al hacer un corte en un cilindro recto
con un plano paralelo a las bases
(esto es, perpendicular al eje) resulta
un círculo.
Si el corte se hace con un plano
paralelo al eje, entonces resulta un
rectángulo.
Base
Superficie cilíndrica
(es la superficie lateral)
Circunferencia C
Johnson and Son
Company
Wisconsin, Estados Unidos
Base
Eje
Base
90°
OBSERVA
Dos tipos de cilindros, según que su eje
sea o no perpendicular a las bases.
Cilindro recto es aquél que
tiene su eje perpendicular a
las bases.
Cilindro oblicuo es
aquél que no tiene su
eje perpendicular a las
bases.
Base
Hilos
Base
Varilla
Base
Base
INTERESANTE
Para construir un cilindro, primero debes recortar
dos bases circulares del mismo radio hechas
con cartón, luego pasas hilos de la misma
longitud por agujeros en el borde de éstas, entre
una base y la otra. Colocas una varilla resistente
como eje (en el centro de las bases) de modo
que los hilos estén paralelos y permanezcan
tensos.
Eje

Cono
El cono es otro cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. Si
unimos con segmentos los puntos de una circunferencia C con otro
punto V situado fuera del plano de esa circunferencia, obtendremos una
superficie cónica.
El cono esta formado por la superficie cónica, la base circular de ésta
y la región del espacio encerrada por ellas.
Eje
= 90°
Base circular
Cono recto es aquél que
tiene su eje perpendicular
a su base.
Nudo
Vértice V Vértice V
Hilos
Varilla
Superficie cónica
(es la superficie lateral)
Circunferencia C
Del espacio al plano
Al cortar un cono recto con un plano paralelo
a la base (esto es, perpendicular al eje),
resulta un círculo.
El sólido obtenido al quitar la parte que
contiene al vértice es un
cono truncado o tronco de cono.
Base
INTERESANTE
Para construir un cono, primero debes
recortar una base circular en cartón,
luego pasas hilos de la misma longitud
por agujeros en el borde y los unes en
el otro extremo. Colocas una varilla
resistente como eje (desde la base hasta
el nudo de los hilos) de modo que los
hilos permanezcan tensos.
Base circular
Círculo
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Eje
Cono oblicuo es aquél
que no tiene su eje
perpendicular a su base.
Corte de Justicia
Londres, Inglaterra
Las ruedas más antiguas se construyeron en Sumeria, entre los años ¿3500 y 3000 a.C.? La forma
original de esas ruedas era la de un disco de madera fijado a un eje mediante espigas de madera.
Los egipcios utilizaron troncos de árboles para transportar grandes piedras. Se supone que la
primera rueda fue un trozo de tronco de árbol cortado en forma parecida a la de un cilindro.
Los incas, la cultura más desarrollada en América del Sur antes de la llegada de los españoles,
no conocieron la rueda y como hacían grandes construcciones en piedra utilizaban rodillos de
madera para transportar esas piedras, parecido a lo que hacían los egipcios.
Fotografías: R. Chovet
021

Formas con partes planas y superficies curvas
Del plano al espacio
(los cuerpos o sólidos de revolución)
Los griegos fueron los primeros en considerar la esfera como un
objeto matemático y la definieron como la superficie obtenida al
girar una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros.
El cilindro y el cono también se obtienen por rotación.
• Toma una tira de papel de 5 cm de ancho por 20
022
cm de largo y pégala a una varilla de cualquier
longitud. Al rotar la varilla visualizarás un cilindro.
• Toma un triángulo rectángulo ABV de hipotenusa
AV y ángulo recto en el vértice B. Al girar la
hipotenusa alrededor del cateto VB visualizarás el
cono.
Eje de rotación
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V
Templo de Delfos
Uno de los raros edificios circulares
de la arquitectura griega.
Eje de rotación
¿Qué se obtiene al girar una semicircunferencia
B
alrededor de su diámetro?
¿Qué se obtiene al girar un círculo alrededor de uno
de sus diámetros?
¿Qué se obtiene si giras un rectángulo alrededor de
uno de sus lados?
¿Qué se obtiene si en la construcción que hiciste de
un cilindro con hilos, tuerces (giras) media vuelta
los discos, uno hacia la derecha y otro hacia la
Chovet
R.
izquierda?
¿Qué se obtiene al hacer un corte en un cono recto
con un plano que contiene al eje? Fotografías:
Completa la sucesión
5 cm
20 cm
90°
A

Formas con todas sus caras planas
Poliedros
Muchas de las edificaciones construidas por los
humanos y algunos cuerpos de la naturaleza, tienen
forma de poliedros. Los poliedros son cuerpos
limitados por un número finito de superficies planas.
Las superficies planas son polígonos que reciben
el nombre de caras del poliedro. La intersección
de dos caras es una arista y el punto de intersección
de más de dos caras es un vértice.
Observa algunos poliedros y sus nombres de acuerdo al número de caras.
Octaedro
8 caras
Cara
Poliedro de Caracas
Una edificación donde su cobertura es una suma de
poliedros colocados de tal manera que asemeja una
superficie curva.
Vértice
Arista
Nonaedro
9 caras
Pentaedro
5 caras
Sus caras son polígonos: triángulos, rectángulos,
paralelogramos que no son rectángulos, trapecios,
pentágonos, etc. Un poliedro es convexo si al
colocar dos dedos sobre el mismo, los cuales
determinan los puntos A y B, todo el segmento AB
así determinado está dentro del poliedro. También
se dice que un poliedro es convexo si está situado
en un mismo lado de uno cualquiera de sus planos
de apoyo (plano que contiene una cara). Todos
los poliedros arriba representados son convexos.
Dodecaedro
12 caras
Si contamos las caras, los vértices y las aristas del octaedro convexo
se cumple con la Fórmula de Euler V-A+C = 2.
Construye una tabla como la de al lado y verifica la Fórmula de Euler.
VERIFICACiÓN
Poliedros
V
Número
de vértices
Octaedro 6 12 8
Leonhard Euler (matemático suizo 1707-1783) fue uno de los más prolíficos matemáticos. Publicó
más de 850 obras en vida y dejó muchísimos trabajos sin publicar. Desde 1771, cuando quedó
totalmente ciego, dictaba a sus asistentes o escribía en un largo pizarrón las fórmulas para ellos.
En geometría es conocido por la Recta de Euler y por la Fórmula de Euler.
A
Hexaedro
6 caras
B
Convexo
A ti, mar de los sueños angulares, flor de cinco
formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro
Hexaedro
6 caras
Rafael Alberti (Poeta español, 1902-1999;
Premio Cervantes 1983)
Heptaedro
7 caras
A
Número
de aristas
La «Recta de Euler» es la recta determinada por el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un
triángulo. La «Fórmula de Euler» relaciona el número de caras, vértices y aristas en un poliedro.
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C
Número
de caras
023

Descubriendo las formas con todas sus caras planas
Poliedros platónicos
Poliedros regulares son aquellos poliedros convexos en los que todas sus caras son polígonos
regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Los poliedros
regulares han intrigado a los matemáticos por miles de años. La existencia de sólo cinco tipos
de poliedros regulares figuran en la explicación que dio Platón a ciertos fenómenos en su
famoso diálogo Timeo. Estos poliedros se asocian a los cuatros elementos (Fuego, Tierra,
Aire, Agua) y al Universo. Los cinco poliedros regulares son llamados Poliedros Platónicos.
Compendium
Julio Pacheco Rivas
Pintor venezolano (1953- )
Galería de Arte Nacional
024
La Armonía de las
esferas
según Kepler
Icosaedro
(agua)
Dodecaedro
(universo)
Tetraedro
(fuego)
Observa los
cinco poliedros
regulares, las caras
idénticas que se
encuentran en cada
vértice y el elemento
que representan.
Los pitagóricos (siglo VI a.C.) pensaban que los planetas se movían en superficies esféricas cuyo centro era la Tierra.
Dichos movimientos producían sonidos armónicos a los que llamaron “la música de las esferas”. Así explicaban el universo
con esta teoría de “Armonía celeste”. Muchos siglos después, en 1595, el astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571-
1630), en sus consideraciones acerca de la armonía matemática del Universo, formuló una teoría en relación con las
distancias entre los planetas para lo cual se valió de los cinco poliedros regulares metidos dentro de esferas: seis esferas
que correspondían a los seis planetas conocidos en su tiempo (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) separados
(en ese orden) por el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro y el icosaedro. Kepler intentó encontrar las razones
de por qué solamente existían seis planetas y cinco poliedros regulares. Su teoría fue posteriormente desechada con el
descubrimiento de Urano en 1781.
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Platón
Filósofo griego (428-347 a.C.)
Octaedro
(aire)
Cubo
(tierra)

Otros poliedros: Pirámides
Entre las culturas antiguas de México destacan la
teotihuacana, la maya y la azteca. En Teotihuacán estaban
las pirámides del Sol y la Luna. La civilización Maya (s. III-
XVI) tuvo su desarrollo en México y Centroamérica. Hicieron
grandes construcciones utilizando la piedra. Entre éstas
destacan los templos elevados a una gran altura como las
cinco pirámides de Tikal. También los aztecas (en México),
en la gran ciudad de Tenochtitlán, una de las mayores del
mundo para la época de la llegada de los españoles, hicieron
grandes construcciones, algunas de ellas de forma piramidal.
La palabra pirámide evoca uno de los monumentos construidos por los antiguos
egipcios. Los más grandes sólidos geométricos hechos por el hombre se construyeron
cerca de 2600 años a.C. Uno de estos sólidos es la Gran Pirámide de Egipto, en la
foto, la única de las siete maravillas del mundo todavía en existencia. Esta pirámide
se realizó colocando más de dos millones de bloques de piedra, pesando entre 2 y
150 toneladas cada una. La Gran Pirámide pertenece a los poliedros llamados
pirámides.
Aunque los egipcios y los mayas escogieron la forma cuadrada para la base de sus pirámides, otros
polígonos también pueden ser utilizados como base. Observa:
Pirámide cuadrada Pirámide triangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal
Del espacio al plano
Toma una esfera, un cubo, una pirámide o un cono y haz incidir
una luz sobre ellos para que genere una sombra sobre la pared.
¿Cómo es la sombra de cada uno de ellos?
Caras laterales
triángulos
Las caras laterales de una pirámide
son triángulos que tienen un punto
común. Este punto común recibe el
nombre de vértice de la pirámide.
Vértice V
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025

Descubriendo las formas con todas sus caras planas
Liceo del Futuro
Poitiers, Francia
Prismas
Uno de los tipos más comunes de poliedros lo constituyen los prismas o
cajas. Observa algunos prismas:
026
Bases rectangulares
Prisma rectangular o caja Prisma triangular Prisma hexagonal
La Casa de Piedra en los valles de Aragua, de la etapa precolombina, fue construida con grandes piedras o lajas que se
sostenían entre sí. Su entrada era de forma “prismática”, con dos piedras de 3,5 m de largo cuyos lados constituían las
paredes del estrecho zaguán, apoyándose en el suelo y con separación de 1,5 m. Sobre esas dos lajas se situaba otra
de 4 m de largo con un saliente de 1,5 m a manera de porche. No se localizó, pero se tiene referencia de ella por una
memoria de la Dirección General de Estadísticas de Venezuela de 1873.
Fuente: E. Arcila Farías, Historia de la Ingeniería en Venezuela, 1961.
Repite la secuencia
Bases triangulares
Bases
hexagonales
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Paralelogramos
Prisma
Paralelogramos
Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadas
bases del prisma. Los prismas se nombran por la forma de sus bases.
En un prisma, las caras que no son bases se denominan caras laterales.
Los prismas cuyas caras laterales son rectángulos, se llaman prismas
rectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos. Los prismas rectangulares
rectos o “cajas” también son llamados paralelepípedos.
Uno de los paralelepípedos más utilizado es el cubo.
RETO
Con 36 cubos formamos el prisma de la
derecha (3 x 3 x 4).
¿Cuántos prismas diferentes podemos
formar con los treinta y seis cubos?

Dibuja en los
cuadros vacíos
las figuras que
faltan
Relaciones espaciales
B
F
A
E
C
G
Escuela de Atenas (Detalle)
Principal sitio de reunión de pensadores griegos
Realizada por Rafael Sanzio (1483-1520)
¿Puedes construir un cubo
con tres bandas iguales de
papel de diferentes colores,
de forma tal que las caras
opuestas sean del mismo
color?
Con
110 esferas se
construyen 3 pirámi-
des de base cuadrada
¿Cuáles serán sus
bases y el número
de pisos?
Tengo que pensarlo
A
D
Un cubo se puede
dividir exactamente
en tres pirámides.
Una de ellas es la
pirámide cuadrada de
vértices E, F, G, H y
C. Nombra los cinco
vértices de las otras
dos pirámides que
B
dividen el cubo.
H
F
El dibujo
corresponde a una
estructura metálica.
Una persona quiere
ir del punto A al B,
sin retroceder ni
subir.
¿Cuántas rutas
puede elegir?
¿Cuántas esferas
necesitarás para construir
esta pirámide de base
cuadrada?
¿Y si su base es un
triángulo equilátero?
La pirámide FHAC
divide al cubo en 5
pirámides
triangulares. Señala
los otros cuatro
vértices de las otras
cuatro pirámides
triangulares.
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A
E
C
G
B
D
H
027

En el lanzamiento de un
transbordador espacial se
utiliza un cohete a los fines
de colocarlo en órbita. La
ilustración muestra la
configuración de los tanques
de combustible de oxígeno
líquido, de hidrógeno líquido
y el intertanque que es un
conector mecánico entre los
otros tanques.
028
Luz blanca
Maqueta del transbordador
NASA, Cabo Kennedy, EE.UU.
Las abejas y la geometría
Geometría y tecnología
Utilizando las dimensiones de las partes de los
componentes del transbordador se puede calcular
aproximadamente el volumen total de los tres tanques.
Para ello hay que considerar que:
la forma del tanque de hidrógeno es cilíndrica con tapas,
el tanque de oxígeno es la combinación de un cono, un
cilindro
y una media esfera.
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Geometría y ciencia
¿Has visto un panal de abejas? Visto de frente se parece a un piso cubierto de
mosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectos
hexagonales. Entre el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular,
este último tiene el menor perímetro para un área establecida. Esto significa
que en los panales de abejas en forma de prisma hexagonal se usa menos cera
para su construcción.
El prisma y la luz
El prisma es utilizado para producir el espectro de colores desde el rojo
hasta el violeta. La luz blanca que incide en una de las caras laterales de
un prisma triangular cambia de curso cuando pasa a través del prisma y
da origen al espectro de colores, según muestra la figura.
Fotografías: R. Chovet

Museo del Louvre
París, Francia
Geometría y arte
La presencia de la matemática en el arte se manifiesta desde tiempos
remotos. Los griegos utilizaron la geometría en la construcción de
sus monumentos. Los artistas del Renacimiento (s. XV), entre los
cuales mencionaremos a Rafael Sanzio y Leonardo Da Vinci, crearon
la perspectiva para representar la profundidad. La Última Cena,
obra cumbre del equilibrio y de estudio de caracteres, donde se
manifiesta un uso acentuado de la perspectiva, marcó una nueva
etapa en la pintura. Además, los árabes (s. XII-XV) en la región de
Andalucía, decoraron sus palacios mediante un espléndido arte
geométrico. En el siglo XX muchos artistas han utilizado figuras
geométricas en sus obras: Jesús Soto, Cruz Diez, Maurits Escher,
Pablo Picasso, Vasili Kandinsky, Salvador Dalí, Piet Mondrian, René
Magritte, para mencionar algunos.
Algunas obras artísticas combinan
las formas geométricas,
como la mostrada a continuación,
Reptiles (1943) del pintor y grabador
holandés Maurits Escher
(1898-1972). Sus obras tienen
un gran componente geométrico.
Vibración,
Cuadrado 2
Jesús Soto
En el Paseo de Euclides
(1953), de René Magritte
(belga, 1898-1967)
observamos un techo en
forma de cono montado
sobre una torre cilíndrica y
una calle en perspectiva
extendida al infinito con un
efecto visual de “parecerse”
a otro cono.
Construcción 2
Carlos Cruz Diez
Los reptiles salen del
papel donde están dibujados,
saltan al libro de
biología, pasan por la
escuadra para llegar al
dodecaedro, caen en un
tronco de cono y por último
regresan al plano
de donde salieron.
A partir del mundo plano
(bidimensional) se crea
un mundo espacial
(tridimensional).
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029

Ventana didáctica
Estrategias sugeridas al docente
Construir un tetraedro
030
Poliedro con flores
Maurits Escher
Hoy se considera una necesidad desde un punto de vista didáctico, científico, histórico
y cultural, recuperar el contenido espacial e intuitivo de la Geometría, el cual se puede
lograr desde los primeros años de edad mediante un cierto componente lúdico, posponiendo
las formalizaciones para cursos posteriores. Así, debe comenzarse por incentivar a los
niños a descubrir propiedades de los objetos que los rodean mediante observaciones,
manipulaciones, establecimiento de relaciones. Inducirlos a reconocer el espacio mediante
recorridos, trayectorias, distancias... Entrenarlos a visualizar formas para luego
representarlas, analizar las diferencias entre realidad y representación, espacio y plano.
De esta manera puede darse cuenta de que en el espacio un objeto se puede manipular
pero la representación del mismo objeto en un plano, por ejemplo, no se puede manipular.
Pensemos en una fotografía, a pesar de "ver" que es idéntica a la realidad no deja de
ser más que una representación de la realidad. A continuación se presenta una experiencia
en la cual se pueden seguir los diferentes pasos que conducen a una aproximación a la
forma de trabajar la Geometría en Educación Básica.
Estrellas (xilografía), 1948
M.C. Escher
Construir un tetraedro (no regular)
Fase exploratoria
Se presenta un conjunto de sólidos (cubo, cono, cilindro, tetraedro,
paralelepípedo). Los alumnos señalarán sus diferencias y semejanzas.
Una vez determinadas sus semejanzas y diferencias, el docente realizará
preguntas como las siguientes: ¿cuáles poseen cuatro caras? ¿Qué
formas tienen las caras? ¿Cuáles de estos sólidos tienen todas sus
caras con formas de triángulo isósceles? Con lo que identificarán al
tetraedro no regular.
Fase de construcción
El docente ha preparado figuras triangulares cuyas caras son triángulos
isósceles de 6 cm de base y 6 cm de altura. Ha dividido al grupo de
alumnos en equipos y entrega un modelo a cada uno de los equipos
diciendo que deben representar cuatro figuras con las mismas medidas
que las entregadas por el docente, usando para ello el compás y la
regla.
Fase de planeamiento del problema
El docente pedirá a los alumnos que ensamblen las cuatro figuras cuyas
caras son triángulos isósceles (que han sido construidas por ellos) para
obtener un modelo de tetraedro. Por ensayo y error los alumnos llegarán
a comprender que pueden obtener la solución por varias vías.
Se darán cuenta de que con un patrón como el indicado en rojo no podrán alcanzar la solución:
Se realizará una discusión colectiva con todos los equipos y se revisarán los conceptos de cara, aristas, vértices, triángulos
isósceles, etc....
La sesión finalizará con una actividad creativa por parte de los alumnos construyendo una nueva figura con todos los
tetraedros de los diferentes equipos.
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Información actualizada
Páginas web
TIMSS. Ejemplos: Geometría
www.ince.mec.es/timss/geom.htm
The Geometry Center: www.geom.umn.edu
Mega Mathemathics: www.c3.lanl.gov/mega-math
Riverdeep: www.riverdeep.net
Math resources inc: www.mathresources.com
Quiz Lab: www.funbrain.com
Teacher created materials: www.teachercreated.com
Meridian Creative Group: www.meridiancg.com
Miguel de Guzmán Ozámiz:
www.mat.ucm.es/depots/am/guzman
Videos
Espace en fête. Centre National de Divulgation
Pedagogique (CNDP), París, Francia.
Cordes a jouer: CNDP, París, Francia.
Geometría en la Educación Básica: Centro Nacional
para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia
-CENAMEC-, Venezuela.
La armonía de los mundos: Serie Cosmos de Carl
Sagan, Vol. III. Turner Home Entertainment (1994).
M.C. Escher. Geometría y mundos imposibles.
Audiovisuales Mare Nostrum. Madrid, España.
Resultados
Esta es una de las soluciones
Con
110 esferas se
construyen una
piramide de base 6,
una de base 3 y otra
de base 2
Bibliografía
Baena Ruiz, Julián y otros (1998), La esfera, Edit.
Síntesis, Madrid, España.
De Guzmán, Miguel (1994) Para pensar mejor, Pirámide
S.A., Madrid, España.
Memorias (1998) III Congreso Iberoamericano de
Educación Matemática, Caracas, Venezuela.
National Principles and Standard for School
Mathematics (NCTM-2000).
ICMI Study Perspectives on the teaching of geometry
for the 21st century. Editado por C. Mammana y Vinicio
Villani (1998). Kluwer Academics Publishers, Holanda.
Revistas
Curriculum Administrator. EE.UU.
Education Enfantine Nathan. Francia.
Emma, Investigación e Innovación en Educación
Matemática, Bogotá. Colombia.
Grand N IREM, Grenoble. Francia.
Enseñanza de la Matemática, Sociedad Venezolana de
Educación Matemática. Venezuela.
Mathemathics Teachers. EE.UU.
Recherches en Didactique des Mathématiques. Francia.
The Elementary School Journal. EE.UU.
Necesitamos 30 esferas para generar
esta piramide con base cuadrada y
sólo se requieren 20 esferas para la
de base triángulo equilátero.
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031

Nació en Altagracia de Orituco, estado
Guárico, en 1955. Realizó sus estudios
de matemáticas en la Universidad Central
de Venezuela, donde obtuvo la
licenciatura en 1978. Posteriormente, en
la misma universidad, completó su
formación obteniendo el título de Doctor
en Ciencias, mención matemáticas, en
1989, y realizó estudios postdoctorales
en el Instituto Tecnológico de
Massachusetts (MIT), en el período 1991-
92. El doctor Méndez es un reconocido
especialista en Análisis Combinatorio,
área en la que ha realizado contribuciones
muy destacadas. Han sido
particularmente significativos sus trabajos
sobre especies de Moebius, especies
tensoriales y funciones simétricas. Con
el primero de ellos obtuvo en 1991 el
premio al Mejor Trabajo en Matemáticas
otorgado por el CONICIT. Con su trabajo
sobre funciones simétricas obtuvo
nuevamente, en 1996, el referido premio.
Ha sido profesor visitante de prestigiosas
instituciones académicas en el exterior y
ha publicado más de veinte trabajos en
algunas de las mejores revistas de
matemáticas. Es actualmente investigador
asociado titular del IVIC, profesor titular
de la UCV, es miembro del Sistema de
Promoción al Investigador y colabora con
la Asociación Venezolana de
Competencias Matemáticas en la
preparación de jóvenes que participan
en olimpíadas internacionales de
matemáticas. Obtuvo el Premio “Lorenzo
Mendoza Fleury” de Fundación Polar en
el año 1993.
Fotografía: F. Fernández
Miguel Méndez
La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*
Muchos problemas de conteo de arreglos de objetos han sido estudiados desde la
antigüedad hasta nuestros días. Por ejemplo: número de combinaciones de n cosas
tomando k de ellas cada vez. Este tipo de problemas se puede considerar con repetición
de los objetos que aparecen en los arreglos o sin ella, por ejemplo, contar la cantidad
de banderas diferentes, con tres franjas de distintos colores, que se pueden hacer con
los colores amarillo, azul y rojo, es un ejemplo muy sencillo de conteo sin repeticiones,
pero si lo que queremos es contar el número de placas de automóvil que se pueden
hacer con la nomenclatura que actualmente tenemos en Venezuela, tres letras y tres
números, entonces hay que contar las posibles repeticiones, pues por ejemplo XDK 332
es una placa y aquí el 3 aparece dos veces. Por cierto, ¿cuántas placas se pueden
hacer? Otros problemas interesantes son los siguientes: contar el número de palabras
de una cierta longitud que pueden formarse usando un cierto número de letras. De
cuántas formas se pueden distribuir los números del 1 al 9 en un cuadrado con nueve
casillas, cuyas filas, columnas y diagonales tienen la misma suma (cuadrados mágicos).
¿Con 16 o 25 casillas? Un ejemplo muy importante que relaciona la Combinatoria con
la Geometría se menciona en este fascículo: si tomamos un poliedro convexo (la definición
aparece en la página 023 de este fascículo) e indicamos con V el número de vértices,
A el número de aristas o lados y C el número de caras y calculamos V-A+C, siempre
obtendremos 2, teniendo así la famosa fórmula de Euler V-A+C=2, la cual forma parte
de un grupo de resultados muy interesantes que hoy en día se estudian en diversas
ramas de la matemática, como son la Geometría, la Topología y el Álgebra.
La resolución de problemas como los mencionados en el párrafo anterior ha cobrado
gran importancia en los últimos años debido a sus aplicaciones en muchas áreas,
particularmente en las ciencias de la computación. Las técnicas creadas para resolver
dichos problemas han sido sistematizadas en lo que hoy se conoce como combinatoria
enumerativa, un área de la matemática que está en pleno desarrollo.
* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y
productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y
en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González,
el biólogo José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

¿Cuál es el sólido?
Material
Un cartón o papel como el situado aquí abajo, donde se colocarán
un cubo, un prisma de base hexagonal, un cono, una pirámide
de base triangular, una esfera, una pirámide de base cuadrada,
un cilindro, un prisma de base triangular y un prisma de base
rectangular.
¡A jugar!
Plantillas para construir algunos sólidos
Pega estas dos páginas en papel de cartulina para que puedas recortarlas
y armarlas luego.
¿Cuál es el sólido?
Antes de armar la figura trata de adivinar ¿cuál es?
¿Cómo jugar?
Uno de los jugadores, seleccionado para conducir
el juego, escribe en un papel el nombre de uno
de los sólidos, a escondidas de los otros
jugadores.
Cada uno de los otros jugadores tiene derecho
en su turno, a hacer una pregunta cuya respuesta
le dé pistas para llegar a saber ¿Cuál es el
sólido?
Las preguntas deben ser hechas de tal manera
que las respuestas sean SÍ o NO, por ejemplo:
¿Su base es cuadrada? ¿Todas las caras se
encuentran en un punto?
El jugador que haga una pregunta clave para
saber ¿Cuál es el sólido? luego de recibir la
respuesta, puede descubrirlo y debe explicar
cómo llegó a esa conclusión.
En cada ronda habrá un ganador, al final del
juego gana quien haya descubierto la mayor
cantidad de sólidos.
La esfera deberá ser
representada con
una metra grande u
otro objeto esférico.
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 2 - El mundo de las formas - GEOMETRÍA 1