APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
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3. Halla los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de la función:<br />
x 5<br />
y = – x 4 + x 3 1<br />
–<br />
5<br />
10<br />
• Máximos y mínimos: buscamos los puntos en los que la derivada es igual a 0.<br />
1<br />
y' = · 5x 4 – 4x 3 + 3x 2 = x 4 – 4x 3 + 3x 2 8 y' = 0 8 x 2 (x 2 – 4x + 3) = 0<br />
5<br />
° x = 0<br />
§<br />
¢<br />
§ x 2 – 4x + 3 = 0<br />
£<br />
x = 1<br />
x = 3<br />
Los posibles máximos y mínimos están en x = 0, x = 1 y x = 3.<br />
Comprobamos en la segunda derivada:<br />
y'' = 4x 3 – 12x 2 + 6x<br />
y''(0) = 0<br />
1<br />
y''(1) < 0 8 máximo 1,<br />
10<br />
11<br />
y''(3) > 0 8 mínimo ( 3, –<br />
2 )<br />
• Buscamos los puntos de inflexión:<br />
(<br />
)<br />
y'' = 0 8 4x 3 – 12x 2 + 6x = 0 8<br />
8 2x (2x 2 – 6x + 3) = 0<br />
x = 0<br />
2x 2 – 6x + 3 = 0<br />
2x 2 – 6x + 3 = 0<br />
3 + √ — 3<br />
x = — › 2,4<br />
2<br />
3 – √ — 3<br />
x = — › 0,6<br />
2<br />
Comprobamos en y''' = 12x 2 – 24x + 6:<br />
Puntos de inflexión:<br />
(<br />
)<br />
1<br />
0, – , (2,4; –3,4), (0,6; 0,014)<br />
10<br />
° y'''(0) 0<br />
§<br />
¢ y'''(2,4) 0<br />
§<br />
£ y'''(0,6) 0<br />
38<br />
Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas
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