APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

x 4 – 60x 3 + 1 224x 2 = x 4 + 144x 2 – 60x 3 – 8 640x + 900x 2 + 129 600
180x 2 + 8 640x – 129 600 = 0
x 2 +48x – 720 = 0
–48 ± √2 304 + 2 880 –48 ± √5 184
x = = =
2
2
–48 ± 72
2
x = 12
x = –60 (no vale)
(En x = 12 hay un mínimo, pues L'(x) < 0 a la izquierda de ese valor y L'(x) > 0
a su derecha).
Por tanto, el punto del suelo debe situarse a 12 m del poste de 12 m (y a 18 m del
poste de 18 m).
46 Determina el radio de la base y la altura de un cilindro de 54 cm 2 de área
total para que su volumen sea máximo.
h
r
Área total = 2πrh + 2πr 2
2πrh + 2πr 2 54 – 2πr
= 54 8 h =
2
2πr
Volumen = πr 2 h
V = πr 2 54 – 2πr · 2
= r(27 – πr 2 ) = 27r – πr 3
2πr
Buscamos el máximo de V:
V' = 27 – 3πr 2 8 27 – 3πr 2 = 0 8 r 2 27 9
= = 8
3π π
3
8 r = (la solución negativa no vale).
√π
Comprobamos si el volumen es máximo:
3
V'' = –6πr 8 V''
(
< 0, es un máximo.
√π
)
3 27 – π (9/π) 18 √π 6√π
Si r = 8 h = = =
√π π (3/√ — π ) 3π π
Por tanto, para que el volumen sea máximo debe ser:
3
6√π
r = › 1,7 cm y h = › 3,4 cm
√π
π
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Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas