APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD
7
44 Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo
y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se
desea que el perímetro de la pista sea de 200 m, halla las dimensiones que
hacen máxima el área de la región rectangular.
y
Perímetro de la pista = 2x + π · y = 200
200 – 2x
Despejamos: y =
π
200 – 2x 200x – 2x 2
Área del rectángulo = x · y = x · =
π
π
Derivamos:
200 4x
100
A' = – = 0 8 x = 50 m 8 y = m
π π
π
x
4
(A'' = – ; A''(50) < 0 8 x = 50 es máximo).
π
45 Dos postes de 12 m y 18 m de altura distan entre sí 30 m. Se desea tender un
cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de
estos. ¿Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del
cable sea mínima
La longitud total del cable es:
12 m
18 m L(x) = √x 2 + 12 2 + √(30 – x) 2 + 18 2 ; es decir:
x 30 – x L(x) = √x 2 + 144 + √x 2 – 60x + 1 224
30 m
L'(x) =
2x
+
2x – 60
=
x
+
x – 30
=
2√x 2 + 144 2√x 2 – 60x + 1 224 √x 2 + 144 √x 2 – 60x + 1 224
=
x √ — x 2 – 60x — + 1 224 + (x – 30) √ — x 2 + 144
√(x 2 + 144) (x 2 – 60x + 1 224)
L'(x) = 0 8 x √x 2 – 60x + 1 224 + (x – 30) √x 2 + 144 = 0
x √x 2 – 60x + 1 224 = –(x – 30) √x 2 + 144
x 2 (x 2 – 60x + 1 224) = (x – 30) 2 (x 2 + 144)
x 4 – 60x 3 + 1 224x 2 = (x 2 – 60x + 900)(x 2 + 144)
Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas
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