APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD
7
Comprobamos con f''' si existe punto de inflexión:
6
6
f''(x) = – + 6x 8 f'''(x) = + 6 8 f'''(1) 0
x 2
Para a = 6, la función tiene un punto de inflexión en x = 1.
x 3
PARA PROFUNDIZAR
42 Estudia la existencia de máximos y de mínimos relativos y absolutos de la
función y = | x 2 –4|. ¿Tiene puntos de inflexión
° x 2 – 4 si x < –2
§
f(x) = ¢ –x 2 + 4 si –2 Ì x Ì 2
§
£ x 2 – 4 si x > 2
° 2x si x < –2
§
f'(x) = ¢ –2x si –2 < x 2
En x = –2 no es derivable, pues f'(–2 – ) = –4 f'(–2 + ) = 4.
En x = 2 no es derivable, pues f'(2 – ) = –4 f'(2 + ) = 4.
• La derivada se anula en x = 0.
• Signo de la derivada:
f' < 0 f' > 0 f' < 0
–2
0
2
f' > 0
• La función tiene un máximo relativo en (0, 4).
No tiene máximo absoluto ( lím f(x) = lím f(x) = +@).
• Tiene un mínimo relativo en (–2, 0) y otro en (2, 0). En estos puntos, el mínimo
también es absoluto, puesto que f(x) Ó 0 para todo x.
• Puntos de inflexión:
° 2 si x < –2
§
f''(x) = ¢ –2 si –2 < x 2
• Signo de f'':
f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0
–2 2
x 8 +@
x 8 –@
• Tiene dos puntos de inflexión: (–2, 0) y (2, 0). Coinciden con los dos mínimos
absolutos.
Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas
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