APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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31 Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x 3 – 24x 2 + 72x – 15 en su punto de inflexión. y = 2x 3 – 24x 2 + 72x – 15 y' = 6x 2 – 48x +72 y'' = 12x – 48 El punto de inflexión será: f''(x) = 0 8 12x – 48 = 0 8 x = 4 8 (4, 17) En ese punto, la pendiente de la recta tangente es: m = f'(4) = –24 Así, la ecuación de la recta pedida es: y = f(4) + m (x – 4) y = 17 – 24(x – 4) y = –24x + 113 32 Dada la curva y = x 4 – 4x 3 : a) ¿Cuál es la función que nos da la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera b) Halla el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máxima. a) La función pedida es la de su función derivada: f'(x) = 4x 3 –12x 2 b) Para ello hay que hallar el máximo de la función f': f''(x) = 12x 2 –24x f''(x) = 0 8 12x 2 –24x = 12x (x – 2) = 0 8 x = 0 y x = 2 Hallamos la tercera derivada: f'''(x) = 24x – 24 f'''(0) = –24 < 0 8 (0, 0) es un máximo. f'''(2) = 24 > 0 8 (2, –16) es un mínimo. El punto pedido es el (0, 0). 33 Una feria ganadera permanece abierta al público desde las 10 hasta las 20 horas. Se sabe que el número de visitantes diarios viene dado por: N(t) = –20(A – t) 2 + B, 10 Ì t Ì 20 Sabiendo que a las 17 horas se alcanza el número máximo de 1 500 visitantes, determina el valor de A y de B. La función pasa por el punto (17, 1 500). Su derivada es igual a 0 en t = 17, punto en el que alcanza el máximo: 28 Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas
UNIDAD 7 N(17) = –20(A – 17) 2 + B = 1 500 N'(t) = 40(A – t) 8 N'(17) = 40(A – 17) = 0 8 A = 17 N(17) = –20(17 – 17) 2 + B = 1 500 8 B = 1 500 Comprobamos que hay un máximo en t = 17: N''(t) = –40 < 0, es un máximo. 34 El número de vehículos que ha pasado cierto día por el peaje de una autopista viene dado por la función: ° t – 3 ( ) — 2 § + 2 si 0 Ì t Ì 9 3 N(t) = ¢ § t – 15 10 – ( ) — 2 si 9 Ì t Ì 24 £ 3 donde N indica el número de vehículos y t el tiempo transcurrido en horas desde las 0:00 h. a) ¿Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje b) ¿A qué hora pasó el mayor número de vehículos ¿Cuántos fueron a) Para saber cuándo la función es creciente, estudiaremos el signo de su derivada. Las funciones con las que N(t) está definida son continuas y derivables si 0 Ì t < 9 y si 9 < t Ì 24. Estudiamos la derivabilidad en t = 9: ° 2 t – 3 § — ( ) — si 0 Ì t
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