APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD
7
s24
Calcula p y q de modo que la curva y = x 2 + px + q contenga al punto
(–2, 1) y presente un mínimo en x = –3.
y = x 2 + px + q 8 f'(x) = 2x + p
f(–2) = 4 – 2p + q = 1
f'(–3) = 2(–3) + p = 0 8 p = 6 (1) 8 4 – 2 · 6 + q = 1 8 q = 9
(1) Sustituimos en f(–2).
Por tanto: p = 6 y q = 9
25 Estudia los intervalos de crecimiento y de concavidad de las siguientes
funciones:
3x
a) f (x) = b) f (x) = x 4 + 8x 3 + 18x 2 – 10
1 + x 2
3x
a) f (x) = 8 f'(x) =
1 + x 2
f'(x) = 0 8 1 – x 2 = 0 8 x = ±1
Signo de la derivada:
–1 1
3(1 – x 2 )
(1 + x 2 ) 2
f' < 0 f' > 0 f' < 0
Crece en (–1, 1) y decrece en (–@, –1) « (1, +@).
f''(x) =
6x(x 2 – 3)
(1 + x 2 ) 3
f''(x) = 0 8 x = 0, x = √ — 3, x = –√ — 3
f'' < 0 f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0
– 3 0
3
Es cóncava en (–√ — 3, 0) « (√ — 3, +@) y convexa en (–@, –√ — 3) « (0, √ — 3).
b) f (x) = x 4 + 8x 3 + 18x 2 – 10 8 f'(x) = 4x 3 + 24x 2 + 36x
f'(x) = 0 8 x = 0, x = –3
Signo de la derivada:
f' < 0 f' < 0
f' > 0
–3 0
Crece en (0, +@) y decrece en (–@, 0).
Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas
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