APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

22 De la función f (x) = ax 3 + bx sabemos que pasa por (1, 1) y que en ese
punto tiene tangente paralela a la recta 3x + y = 0.
a) Halla a y b.
b) Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y de
decrecimiento.
a) f (x) = ax 3 + bx; f'(x) = 3ax 2 + b. La pendiente de la recta es –3.
f (1) = 1 8 a + b = 1 a = –2
f'(1) = –3 8 3a + b = –3 b = 3
f (x) = –2x 3 + 3x
b) f'(x) = –6x 2 +4
√ — 2 √ — x = –—, f
2
( ) –— = – √— 2
f'(x) = 0 8 –3(2x 2 2 2
– 1) = 0
√ — 2 √ — x = —, f
2
( ) — = √— 2
2 2
–√ – —
2
2
√ – —
2
2
Signo de la derivada:
f' < 0 f' > 0 f' < 0
√2 √2
La función: es decreciente en
(–@, –
)
«
(
, +@
).
2 2
√2 √2
es creciente en – ,
).
2 2
(
(
√2)
√2)
√2
tiene un mínimo en – , – .
2
√2
tiene un máximo en , .
2
(
°
¢
°
¢
£
£
s23
De la función f (x) = x 2 + ax + b se sabe que:
— Tiene un mínimo en x = 2.
— Su gráfica pasa por el punto (2, 2).
Teniendo en cuenta estos datos, ¿cuánto vale la función en x = 1
f'(x) = 2x + a
Además:
“Tiene un mínimo en x = 2” 8 f'(2) = 0 8 2 · 2 + a = 0 8 a = –4
“Su gráfica pasa por (2, 2)” 8 f(2) = 2 8 2 2 + (–4) · 2 + b = 2 8
8 b – 4 = 2 8 b = 6
Por tanto: f(1) = 1 2 + a + b = 1 + (–4) + 6 = 3
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Unidad 7. Aplicaciones de las derivadas