Capítulo 2 Estado Plano - unne

Capítulo 2
Estado Plano
INTRODUCCIÓN
Para el desarrollo de esta clase, será necesario contar con los siguientes insumos
surgidos durante el dictado de la asignatura Modulo 1:
• Tensor de tensiones
• Tensor de deformaciones
• Tensor constitutivo
• Ecuaciones del equilibrio
• Ecuaciones de compatibilidad.
El presente tema se desarrollará para cada uno de los puntos anteriores.
OBJETIVO GENERAL
Reducir el caso general visto hasta el momento al dominio del plano. Esto facilita la
resolución del problema elástico general siempre y cuando las características de la
estructura admita tal simplificación. En relación a esto último veremos al final del tema
algunos ejemplos de este tipo de estructuras.
El problema debe separarse en dos situaciones. El Estado Plano de Tensiones (EPT) y el
Estado Plano de Deformaciones (EPD).
ESTADO PLANO DE TENSIONES
Supongamos un cuerpo como el de la figura a continuación.
e

Por lo que τ 13 = τ 23 = τ 33 = 0 y además como no se considera a la dimensión X 3 también
∂(.)
se impone que = 0 y obviamente todas la funciones de tensión quedarán
∂x
3
supeditadas solamente al dominio X 1 , X 2 .
Cabe mencionar que al definir (1), (2) y (3) estamos dando cumplimiento a la relación:
~
n
~
T
t = T .n = T.n Por cuanto en
~
~
~
⎧
⎪
⎪
Γ
⎪
⎨
⎪
⎪Γ
⎪
⎪⎩
⎧ 0 ⎫
+ ⎪ ⎪
yΓ
n = ⎨ 0 ⎬
~
⎪ ⎪
⎩±
1⎭
⎧n1
⎫
⎪ ⎪
n = ⎨n
2 ⎬
~
⎪ ⎪
⎩ 0 ⎭
−
e
implica que
t
n
=
⎧t
⎪
⎨t
⎪
⎩
n
1
n
2
0
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
En cuanto a las deformaciones (suponiendo isotropía):
ε
ε
γ
11
22
12
=
1
E
1
=
E
2 1
=
E
[ τ − μ( τ )]
11
[ τ22
− μ( τ11)
]
( + μ)
τ
τ
12
22
=
12
G
con
E = Módulo de elasticidad o de Young
G = Módulo de elasticidad transversal
μ = Módulo de Poisson
γ
13 = γ 23 =
0
μ
pero al analizar la deformación longitudinal según X 3 , resulta ε 33 = − ( τ11
+ τ22
) (4)
E
Por lo que el tensor de deformaciones queda:
⎡ γ12
⎤
⎢ ε11
0
2
⎥
⎢γ
⎥
21
D = ⎢ ε22
0 ⎥
~ ⎢ 2
⎥
⎢ 0 0 ε33
⎥
⎢
⎣
⎥
⎦
donde ε 33 no es una incógnita porque a través de (4) se puede escribir
μ
ε 33 = − ( ε11
+ ε22
). Realizando operaciones algebraicas y escribiendo todo en
1− μ
forma tensorial, pero usando notación de Voigt:
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡τ11
⎤ ⎢1
μ 0 ⎥ ⎡ε11
⎤
⎢1
μ 0 ⎥
⎢ ⎥ E ⎢μ
⎥ ⎢ ⎥
EPT E
⎢
τ22
⎥
=
1 0
⎢
ε 22
− μ ⎢
⎥ ⎥
con C = ⎢μ
1 0 ⎥
2
1
~
2
⎢ ⎥
− μ
⎣τ
1
1− μ ⎢
12 ⎦ ⎢0
0 ⎥ ⎢⎣
γ12
⎥
1− μ
⎥
⎦
⎢0
0 ⎥
⎣ 2 ⎦
⎣ 2 ⎦
siempre que estemos en presencia de un material isotrópico.

Es importante analizar el campo de desplazamiento para este caso. El vector de
⎡u1( x1,
x 2 ) ⎤
desplazamiento será u =
⎢
( )
⎥
⎢
u 2 x1,
x 2 ⎥
. El signo de pregunta en el tercer elemento se
~
⎢⎣
⎥⎦
debe a lo siguiente: la relaciones geometricas deducidas con anterioridad dan:
∂u1
∂u
2 ∂u
3
ε 11 = ; ε22
= ; ε33
= lo que genera una incongruencia porque habíamos
∂x1
∂x
2 ∂x
3
∂(.)
μ
dicho que = 0 , sin embargo ε 33 = − ( τ11
+ τ22
) ≠ 0 y combinando queda, luego
∂x
3
E
de algo de álgebra:
∂u
3 μ ⎛ ∂u1
∂u
2
⎞
+
0 junto con
x 1
⎜ +
x x
⎟ =
∂ 3 − μ ⎝ ∂ 1 ∂ 2 ⎠
∂u
3 ∂u1
γ13
= + = 0
∂x1
∂x
3
∂u
3 ∂u
2
γ 23 = + = 0
∂x
2 ∂x
3
Restricción que es muy difícil de cumplir en todos los casos!!!. Esto implica que el EPT
es ideal, en realidad existen tensiones τ 33 pero son ignoradas por tener un muy bajo
valor en tan pequeño espesor. Por lo anterior, en EPT se consideran como incógnitas
⎡u1( x1,
x 2 ) ⎤
relevantes en desplazamientos a u =
⎢
( )
⎥
⎢
u 2 x1,
x 2
~
⎥
⎢⎣
_ ⎥⎦
Ecuaciones del equilibrio y compatibilidad:
∂τ
ij
∂x
i
+ X
j
= 0
con i,j=1,2
2
∂ γ12
∂
=
∂x
1∂x
2 ∂
indicadas.
ε
2
11
2
x
2
∂ ε
+
∂
2
22
2
x1
que es la única remanente debido a las imposiciones
ESTADO PLANO DE DEFORMACIONES
Consideremos el cuerpo de la figura:
⎧X
e ⎪
Γ − t = ⎨X
~
⎪
⎩ 0
: 2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
1

Si consideramos que el tubo de la figura tiene una longitud muchísimo mas grande que
la dimensión de la porción que analizamos (usualmente 1 m) podemos suponer que
tendrá impedido todo corrimiento o deformación en la dirección del eje X 3 (isotrópico)
además las cargas másicas o de borde no mostrarán componente según ese eje. Por lo
anterior el tensor de deformaciones quedará:
⎡
⎢ ε
⎢γ
D = ⎢
~ ⎢ 2
⎢ γ
⎢
⎣ 2
11
21
13
γ
ε
γ
12
2
22
23
2
γ
2
γ
ε
13
23
2
33
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=========
⎡
⎢ ε11
⎢γ
21
= ⎢
⎢ 2
⎢ 0
⎢
⎣
γ
2
ε
12
D 22
~
0
⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
0⎥
⎥
⎦
∂(.)
con γ 13 = γ 23 = ε33
= 0 , adicionando = 0 .
∂x
3
En cuanto a las tensiones podemos partir de la relación constitutiva general planteada
anteriormente en función de las constantes de Lamé.:
μ.E
E
T = 2G D+
I λe
con e = ε11
+ ε22
, λ =
y G =
~ ~ ~
( 1+ μ)( 1−
2μ)
2 ( 1+ μ )
reduciendo al plano, teniendo en cuenta la forma de la matriz de deformaciones y
procediendo algebraicamente:
τ
τ
11
22
E(1 − μ)
⎡
=
(1 )(1 2 )
⎢ε
+ μ − μ ⎣
E(1 − μ)
⎡
=
(1 )(1 2 )
⎢ε
+ μ − μ ⎣
+
1
+
1
. ε
. ε
E(1 − μ)
⎡ μ
τ33
=
.(
(1 )(1 2 )
⎢ ε11
+ ε
+ μ − μ ⎣1− μ
E
τ12
= γ12,
τ13
= τ23
= 0
2(1 + μ)
quedando el tensor de tensiones:
11
22
μ
− μ
μ
− μ
22
11
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
22
⎤
) ⎥
⎦
⎡τ11
τ12
0 ⎤
T = (τ ij ) =
⎢
⎥
⎢
τ21
τ22
0
⎥
⎢⎣
0 0 τ33
⎥⎦
Pero τ 33 es una incógnita secundaria debido a que, tomando
1
ε 33 = [ τ33
− μ( τ11
+ τ22
)] = 0 ⇒ τ33
= μ( τ11
+ τ22
).
E
Escribiendo la forma tensorial, usando nuevamente notación de Voigt:

⎡τ
⎢
⎢
τ
⎢⎣
τ
11
22
12
⎤
⎥
⎥
=
⎥⎦
⎡
⎢ 1
⎢
E(1 − μ)
⎢ μ
(1 + μ)(1
− 2μ)
⎢1− μ
⎢
⎢ 0
⎢⎣
1
μ
− μ
1
0
⎤
0 ⎥
⎥ ⎡ε
0 ⎥ ⎢
⎢
ε
⎥
1−
2μ
⎥ ⎢⎣
γ
⎥
2(1 − μ)
⎥⎦
11
22
12
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎡ μ ⎤
⎢ 1
0
1
⎥
⎢
− μ
⎥
E(1 )
con C EPD − μ ⎢ μ
=
1 0 ⎥
~ (1 + μ)(1
− 2μ)
⎢1− μ
⎥
⎢
1−
2μ
⎥
⎢ 0 0 ⎥
⎢⎣
2(1 − μ)
⎥⎦
* E
* μ
Aquí es interesante nombrar E = y μ = sustituyendo arriba y
(1 − μ)
(1 − μ)
realizando transformaciones algebraicas, se simplifica la expresión:
⎡
⎤
*
⎡τ11
⎤ ⎢ 1 μ 0 ⎥ ⎡ε
⎤
*
11
⎢ ⎥ E ⎢ *
⎥ ⎢ ⎥
⎢
τ22
⎥
=
⎢
μ 1 0
⎥ ⎢
ε22
* ⎥
⎢ ⎥ − μ
⎣τ
1
2
*
⎦ ⎢ 1− μ
12
⎥ ⎢⎣
γ12
⎥⎦
⎢
0 0
⎣ 2 ⎥⎦
que es equivalente a EPT con sustitución de los módulos normales por los definidos
aquí.
Para el caso de EPD y considerando isotropía, no existen incongruencias como las
indicadas en EPT ya que aquí las deformaciones y corrimientos según X 3 estás
realmente impedidos. Quizás podría mencionarse que para el caso del caño, que no hay
cargas según X 3 y sin embargo hay tensiones. Nuevamente, debe aceptarse que hay
confinamiento aunque realmente no haya.
Queda agregar que las ecuaciones del equilibrio y las constitutivas son idénticas al caso
de EPT.
SOLUCION DEL PROBLEMA ELASTICO PARA AMBOS CASOS
Las ecuaciones de Navier Stokes, quedan
EPT:
2 1+ μ ∂e
Xi
∇ (u i ) + + = 0 con i= 1,2 y e = ε11
+ ε 22 + ε33
1−
2μ
∂x
i G
EPD
2 1 ∂e
Xi
∇ (u i ) + + = 0 con i= 1,2 y e = ε11
+ ε 22 + ε33
1−
2μ
∂x
i G
mas condción de borde en desplazamientos.
Y las de Beltrami Mitchell:
EPT:

2
∂X1
∂X
2
∇ ( τ11
+ τ22
) = −(1
+ μ)(
+ )
∂x1
∂x
2
EPD
2
1 ∂X1
∂X
2
∇ ( τ11
+ τ22
) = − ( + )
1 − μ ∂x1
∂x
2
mas condición de borde en tensiones.
BIBLIOGRAFIA
• TIMOSHENKO
• OLIVELLA
• MALVERN
• AWRUCH
• APUNTES