ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS POR EL ... - unne
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<strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> <strong>POR</strong><br />
<strong>EL</strong> METODO <strong>DE</strong> LA RIGI<strong>DE</strong>Z
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 1<br />
Introducción<br />
Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fines del siglo XIX, tienen las<br />
cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática. Desgraciadamente,<br />
conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los aplicaba en casos prácticos, y<br />
en aquella época, esto era un gran defecto.<br />
Por esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de reducir el<br />
conjunto de cálculos. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo<br />
(Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicable sólo a determinados tipos de<br />
estructuras.<br />
La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos conducían a<br />
sistemas con un gran número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver manualmente.<br />
Con los computadores, capaces de realizar el trabajo numérico, esta objeción no tiene ahora<br />
sentido, mientras que la generalidad de los métodos permanece. Esto explica por qué los<br />
métodos matriciales deben en su tratamiento básico de las estructuras más al siglo XIX que al<br />
XX.<br />
El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de estructuras. Desde el<br />
punto de vista teórico , permite utilizar métodos de cálculo en forma compacta, precisa y, al<br />
mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el tratamiento de la teoría de estructuras<br />
como unidad, sin que los principios fundamentales se vean oscurecidos por operaciones de<br />
cálculo, por un lado, o diferencias físicas entre estructuras, por otro.<br />
Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis de estructuras<br />
y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de computación.<br />
En contraste con estas ventajas, debe admitirse que los métodos matriciales se caracterizan<br />
por una gran cantidad de cálculo sistemático<br />
Las virtudes del cálculo con computadora radican en la eliminación del la preocupación por las<br />
operaciones rutinarias, el ingenio necesario para preparar el modelo con que se pretende<br />
representar la realidad y el análisis crítico de los resultados.<br />
Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una interpretación final, el<br />
refinamiento en el análisis carece de sentido.<br />
Método de la Rigidez<br />
Hipótesis: Estructura lineal- Todos los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las<br />
cargas- Pequeñas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no distorsionada).<br />
Las barras son rectas y de sección constante.<br />
Para estudiar una estructura por el método de la rigidez, al igual que en cualquier otro<br />
problema elástico, disponemos de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse.<br />
Ecuaciones de compatibilidad<br />
Ecuaciones constitutivas<br />
Ecuaciones de equilibrio
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 2<br />
Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones de barras con los<br />
desplazamientos nodales. Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas,<br />
relacionamos las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales<br />
Introduciendo estas últimas relaciones en las ecuaciones de equilibrio se obtiene un conjunto<br />
de ecuaciones de fuerzas nodales en función de desplazamientos nodales, que pueden ser<br />
consideradas como Ecuaciones de Equilibrio de la estructura en función de desplazamientos.<br />
La resolución de este sistema de ecuaciones nos permite obtener el valor de las incógnitas<br />
(desplazamientos nodales), a partir de los cuales se obtienen las solicitaciones de las barras<br />
de la estructura, así como las reacciones.<br />
Cuando se van a calcular las relaciones esfuerzos de extremo de barra - desplazamientos, es<br />
natural escoger un sistema de coordenadas que haga estas ecuaciones lo más sencillas<br />
posible.<br />
Tomaremos por lo tanto como eje x el que coincide con el eje geométrico de la pieza y los ejes<br />
y y z coincidentes con los ejes principales de la sección transversal.<br />
Tal sistema pertenece a la barra, y no depende de la orientación de la misma en la estructura y<br />
lo denominaremos sistemas de ejes locales.<br />
Por el contrario, cuando las piezas se unen entre sí para formar la estructura, es necesario<br />
tener un sistema de coordenadas común para todos los movimientos y esfuerzos de extremo<br />
de barras para poder aplicar las condiciones de equilibrio y compatibilidad. A dicho sistema lo<br />
denominaremos sistema de ejes globales.<br />
Dichos esfuerzos de extremos de barras y desplazamientos dependerán del tipo de estructura<br />
que estamos resolviendo, para barras de:<br />
a) Reticulado Plano: tendremos dos desplazamientos por nudo<br />
b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.<br />
En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales.<br />
c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo. (una rotación en el plano del pórtico y dos<br />
traslaciones), como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, un esfuerzo de corte y<br />
un momento flector.<br />
d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y tres rotaciones. como<br />
solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos momentos<br />
flectores y un momento torsor.<br />
e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento normal al plano de la<br />
grilla) y dos rotaciones alrededor de los ejes contenidos en el plano mencionado). Los<br />
esfuerzos son un cortante y dos momentos (un torsor y un flector).<br />
Método de la Rigidez utilizando una<br />
computadora<br />
Una de las características más importantes del método de la rigidez es la forma en que las<br />
propiedades elásticas de las piezas, y su orientación dentro de la estructura, son introducidas<br />
en el cálculo antes de que se efectúe ninguna consideración sobre el equilibrio o la<br />
compatibilidad de los nudos.
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 3<br />
Esto nos permite establecer relaciones entre las fuerzas de extremo de barras y los<br />
desplazamientos de nudo. Estas relaciones expresadas en forma matricial se denomina o<br />
conforma la matriz de rigidez de barra.<br />
Al considerar la interrelación de cada barra con las demás se obtiene un sistema global de<br />
ecuaciones que define el comportamiento de toda la estructura y nos conduce a la solución del<br />
problema.<br />
Podemos considerar seis etapas fundamentales en la solución de un problema:<br />
1) Identificación estructural<br />
2) Cálculo de la matriz de rigidez de barra y del vector de cargas nodales equivalentes<br />
3) Cálculo de la matriz de rigidez global y del vector de cargas global de la estructura.<br />
4) Introducción de las condiciones de borde<br />
5) Solución del sistema de ecuaciones<br />
6) Cálculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones nodales.<br />
Identificación estructural.<br />
Esta etapa consiste en definir a través de números y datos las barras de la estructura.<br />
a) Definir un sistema de ejes globales para la estructura. Las coordenadas de los nudos se<br />
refieren a dicho sistema.<br />
b) Conectividad de los elementos, identificando para cada barra el nudo inicial y el final. A<br />
cada barra está asociado un sistema de ejes locales al cual se refieren todas las dimensiones<br />
y características de la barra. El mismo queda definido automáticamente por el orden<br />
establecido para la numeración de los nudos de la barra.<br />
El eje x local coincide con el eje geométrico de la barra, siendo el sentido positivo el que va del<br />
nudo inicial (nudo de menor numeración) al final (nudo de mayor numeración). Los otros ejes<br />
locales deberán coincidir con los ejes principales de Inercia de la sección transversal de la<br />
barra formando un triedro directo.<br />
c) Propiedades de la sección transversal de cada barra. Dependiendo del tipo de estructura<br />
(reticulado, pórtico plano, pórtico espacial, emparrillado) se debe dar el área de la sección<br />
transversal, los momentos de inercia en relación a los ejes principales y la inercia a la torsión.<br />
d) Propiedades del material. Se debe indicar, para cada barra, el módulo de elasticidad<br />
longitudinal y/o el módulo de elasticidad transversal.<br />
e) Especificación de los vínculos: se debe indicar el nombre del nudo que tiene una o más<br />
restricciones y cuales son las mismas.<br />
f) Descripción de la carga: se da el nombre del nudo y los componentes de globales de las<br />
cargas externas y las reacciones de empotramiento perfecto en relación a los ejes locales de<br />
la barra, si hay cargas en el tramo.<br />
Matriz de Rigidez y Vector de Cargas Nodales Equiv.<br />
a) Barra de reticulado plano<br />
Consideremos una barra de reticulado plano, supongamos que la misma esté arbitrariamente<br />
orientada con relación a un sistema de ejes globales X e Y.
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 4<br />
Supondremos que la barra es recta, de sección transversal constante y que el material<br />
responde a la ley de Hooke.<br />
Fig. nº 1-Sistema local de ejes<br />
En la barra i de la figura el nudo inicial es el j y el final es el k , quedando definida la<br />
orientación de los ejes locales x e y.<br />
Considerando que no existen deformaciones iniciales y que la deformación es elástica el<br />
alargamiento de la barra i estará dado por:<br />
i<br />
L<br />
Xk<br />
L<br />
X j<br />
∆ L = D − D<br />
(1)<br />
Donde D L xk y D L xj son los desplazamientos del nudo k y j respectivamente en la dirección local<br />
x l .<br />
Para una barra de reticulado existe una sola solicitación posible que es el esfuerzo axil o<br />
normal.<br />
Suponiendo un material elástico lineal sometido a esfuerzo de tracción tendremos para los<br />
nudos j y k respectivamente:<br />
F<br />
X J<br />
EA<br />
EA<br />
= − ∆Li<br />
FX<br />
= ∆L<br />
k<br />
i<br />
(2)<br />
L<br />
L<br />
F<br />
F<br />
X J<br />
X K<br />
EA L L<br />
= − (DXK<br />
− DXJ<br />
)<br />
(3)<br />
L<br />
EA L L<br />
= (DXK<br />
− DXJ<br />
)<br />
(4)<br />
L<br />
Donde:<br />
E= Módulo de elasticidad<br />
L= Longitud de la barra<br />
A= Area de la sección transversal de la barra.<br />
Como en la dirección y l para barras de reticulado no existen solicitaciones podemos expresar<br />
las ecuaciones anteriores en forma matricial:
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 5<br />
⎡F<br />
⎢<br />
⎢<br />
F<br />
⎢F<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
F<br />
XJ<br />
YJ<br />
XK<br />
YK<br />
⎡ EA<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎢<br />
L<br />
⎥<br />
⎢<br />
=<br />
0<br />
⎥<br />
⎢ EA<br />
⎥<br />
⎢−<br />
⎥ ⎢ L<br />
⎦ ⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
EA<br />
−<br />
L<br />
0<br />
EA<br />
L<br />
0<br />
⎤<br />
0 ⎡D<br />
⎥ ⎢<br />
0⎥<br />
⎢ D<br />
⎥x⎢<br />
0⎥<br />
⎢D<br />
⎥ ⎢<br />
0⎥⎦<br />
⎣<br />
D<br />
L<br />
XJ<br />
L<br />
YJ<br />
L<br />
XK<br />
L<br />
YK<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
(5)<br />
La expresión (5) corresponde a la ecuación matricial de la barra i en coordenadas locales y<br />
expresa las Fuerzas de extremo de barra<br />
DI<br />
~<br />
L<br />
A la Matriz que relaciona<br />
en coordenadas locales SI<br />
~<br />
L<br />
~<br />
L<br />
~<br />
L<br />
~<br />
~<br />
L<br />
L<br />
FI y<br />
~<br />
L<br />
~<br />
L<br />
FI en función de los desplazamientos de nudos<br />
DI se la denomina matriz de Rigidez de barra de reticulado<br />
. Expresando en forma compacta o simbólica:<br />
FI = SI .DI<br />
(6)<br />
La ecuación (6) define las fuerzas de extremo F j y F k para cualquier pareja de corrimientos D j ,<br />
D k dados. Estas ecuaciones son simétricas, como podíamos esperar a partir del teorema de<br />
reciprocidad. No es posible, sin embargo, ”resolverlas” y obtener los desplazamientos (D) en<br />
términos de las fuerzas (F), puesto que la matriz S es singular. Esto refleja el hecho de que la<br />
pieza puede sufrir un movimiento arbitrario de conjunto, sin afectar las fuerzas que actúan en<br />
sus extremos.<br />
Interpretación física de la Matriz de Rigidez de barra<br />
Si en la ecuación (5), hacemos nulos todos los desplazamientos excepto D L<br />
xj que es igual a la<br />
unidad, entonces los esfuerzos en los extremos de la barra serán los indicados en la figura<br />
Fig.nº2 - Corrimiento unitario D xj<br />
F<br />
EA<br />
EA<br />
= y F = −<br />
(7)<br />
L<br />
L<br />
XJ X K
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 6<br />
que corresponden a la primera columna de S.<br />
De la misma forma podemos hacer D L yj =1 y el resto de los corrimientos nulos, siendo en este<br />
caso nulos los esfuerzos en los extremos de barra, ya que se considera una barra doblemente<br />
articulada y pequeños desplazamientos. Por esta razón los cuatro valores de la segunda<br />
columna son nulos.<br />
Si en cambio hacemos D L xK =1 y el resto de los desplazamientos nulos, los esfuerzos serán:<br />
F<br />
F<br />
EA<br />
EA<br />
= −<br />
y F<br />
(8)<br />
L<br />
L<br />
X J X K<br />
=<br />
= 0 y F 0<br />
(9)<br />
Y J Y K<br />
=<br />
que corresponden a la tercera columna de la matriz de rigidez de la barra i<br />
Fig. nº3 - Corrimiento unitario D xk<br />
En forma análoga se puede analizar la cuarta columna aplicando un desplazamiento D yk =1<br />
Asociando los desplazamientos y reacciones de nudos en las direcciones indicadas en la<br />
figura, podemos deducir el significado físico de la matriz de rigidez de la barra.<br />
Con lo cual podemos observar que los elementos Sij de la matriz de rigidez, representan las<br />
fuerzas que se generan en i al aplicar un desplazamiento unitario en j, permaneciendo fijos los<br />
restantes.
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 7<br />
Además para un desplazamiento del nudo k obtenemos una reacción en j que es la misma<br />
que la obtenida en k para un desplazamiento en j, lo cual nos es expresado por la simetría de<br />
la matriz de rigidez.<br />
⎡<br />
⎤<br />
1 ⎢ EA EA<br />
0 − 0⎥<br />
2<br />
⎢ L L ⎥<br />
SI L = ⎢ 0 0 0 0⎥<br />
(10)<br />
~ 3 ⎢ EA EA ⎥<br />
⎢−<br />
0 0⎥<br />
4 ⎢ L L ⎥<br />
⎣ 0 0 0 0⎦<br />
También podemos ver que una columna j está formada por las reacciones debidas a un<br />
desplazamiento unitario impuesto en la dirección j, y una fila i no es más que las reacciones en<br />
i debido a corrimientos unitarios impuestos en las distintas direcciones.<br />
b) Barra de Pórtico Plano<br />
En base al significado físico de los elementos de la matriz de rigidez, deduciremos la Matriz de<br />
Rigidez para una barra de Pórtico Plano en coordenadas locales.<br />
Para este tipo de elemento corresponden tres desplazamientos por nudo (2 traslaciones y una<br />
rotación en el plano).<br />
Fig. nº 4<br />
La matriz de rigidez se obtiene dando desplazamientos unitarios de a uno por vez en las<br />
direcciones de la figura mientras los otros permanecen nulos.
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 8<br />
Fig. nº 5 - Desplazamientos unitarios p/ pórtico plano<br />
Las reacciones mostradas en la figura nº5 constituyen las respectivas columnas de la matriz<br />
de rigidez de la barra de Pórtico Plano de la ecuación (11)<br />
⎡F<br />
⎢<br />
⎢F<br />
⎢ F<br />
⎢<br />
⎢ F<br />
⎢<br />
F<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
F<br />
L<br />
Xj<br />
L<br />
Yj<br />
L<br />
Zj<br />
L<br />
kj<br />
L<br />
yk<br />
L<br />
Zk<br />
⎡<br />
EA<br />
L<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎤ ⎢ 0<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ 0<br />
⎥ = ⎢<br />
⎥ ⎢−<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢ 0<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎢ 0<br />
⎢⎣<br />
EA<br />
L<br />
12EI<br />
3<br />
L<br />
6EI<br />
2<br />
L<br />
0<br />
12EI<br />
−<br />
3<br />
L<br />
6EI<br />
2<br />
L<br />
Escribiendo en forma compacta:<br />
L<br />
~<br />
L<br />
~<br />
~<br />
L<br />
0<br />
0<br />
6EI<br />
2<br />
L<br />
4EI<br />
L<br />
0<br />
6EI<br />
−<br />
2<br />
L<br />
2EI<br />
L<br />
−<br />
EA<br />
L<br />
0<br />
0<br />
EA<br />
L<br />
0<br />
0<br />
0<br />
12EI<br />
−<br />
3<br />
L<br />
6EI<br />
−<br />
2<br />
L<br />
0<br />
12EI<br />
3<br />
L<br />
6EI<br />
−<br />
2<br />
L<br />
⎤<br />
0 ⎥<br />
6EI ⎥<br />
⎥ ⎡ D<br />
2<br />
L ⎥ ⎢<br />
2EI ⎥ ⎢ D<br />
⎢<br />
L<br />
⎥ D<br />
⎥.<br />
⎢<br />
0 ⎥ ⎢D<br />
⎥ ⎢<br />
D<br />
6EI ⎥ ⎢<br />
−<br />
2 ⎥ ⎢⎣<br />
D<br />
L<br />
4EI<br />
⎥<br />
⎥<br />
L ⎥⎦<br />
FI = SI .DI<br />
(12)<br />
L<br />
Xj<br />
L<br />
Yj<br />
L<br />
Zj<br />
L<br />
Xk<br />
L<br />
yk<br />
L<br />
Zk<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
(11)<br />
Esta matriz relaciona las fuerzas de extremo de barra con los desplazamientos nodales en<br />
ejes locales.
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 9<br />
Fig.nº 6 - Solicitaciones para barra de Pórtico Plano<br />
Cargas nodales equivalentes<br />
Hasta ahora hemos supuesto que las cargas estaban aplicadas en los nudos, y por lo tanto<br />
existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de aplicación de las cargas y los<br />
desplazamientos que están siendo calculados. Si esto no ocurriera, por ejemplo tuviéramos<br />
cargas en el tramo de las barras, en forma distribuida o concentrada, debemos sustituir las<br />
cargas en las mismas por un sistema de cargas equivalentes aplicadas en los nodos que<br />
produzca en la estructura el mismo efecto que las cargas originales.<br />
Aplicando el principio de superposición, que es válido por haber supuesto que el sistema es<br />
lineal, podemos descomponer las cargas tal como se indica en la figura:<br />
Fig.nº 7 - Barra de pórtico con cargas en el tramo<br />
Como podemos observar las cargas, reacciones y deformaciones de la estructura a) serán<br />
equivalentes a la suma de los dos estados b) y c).<br />
Como las deformaciones de nodos en b) son nulas, serán iguales las deformaciones de los<br />
casos c) y a). O sea que las cargas de c) producen la misma respuesta estructural en lo<br />
referente a desplazamientos de nudos que las cargas originales. Estas serán entonces las<br />
cargas equivalentes en los nudos, que no son más que las reacciones de empotramiento<br />
perfecto cambiadas de signo.
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 10<br />
Los esfuerzos en los extremos de barra se obtienen por la suma de los casos (b) y (c).<br />
~<br />
a<br />
~<br />
b<br />
F = F + F<br />
~<br />
c<br />
~<br />
a<br />
D = D<br />
~<br />
c<br />
Por lo tanto a la ecuación (12) habrá que adicionarle las fuerzas de empotramiento perfecto<br />
del caso b).<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
FI = SI .DI + AI<br />
(13)<br />
~ ~ ~ ~<br />
L<br />
AI representa el vector de fuerzas de empotramiento perfecto de la barra en coordenadas<br />
~<br />
locales.<br />
Rotación de ejes en el plano<br />
Hasta el momento expresamos la matriz de rigidez del elemento barra, tanto de reticulado<br />
plano como de pórtico plano, según un sistema de ejes locales, estando los desplazamientos y<br />
esfuerzos de extremo de barra referidos a los mismos.<br />
No obstante, según ya lo mencionamos, antes de poder aplicar las condiciones de equilibrio<br />
en los nudos y de compatibilidad de desplazamientos es necesario transformar las fuerzas y<br />
corrimientos a un sistema de ejes globales.<br />
Fig. nº 8 - Rotación de un vector<br />
Supongamos el vector V de la figura referido al sistema de ejes X e Y.<br />
Las componentes del mismo serán<br />
Vx=V.cos α Vy=V.sen α (14)<br />
En el sistema de ejes x L e y L , las componentes serán<br />
V L x =V.cos(α-θ) V L y =V.sen(α-θ) (15)
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 11<br />
Luego:<br />
V L x =V.cos α.cos θ + V.sen α.sen θ (16)<br />
V L y =V.sen α.cos θ - V.cos α.sen θ (17)<br />
Teniendo en cuenta la ecuación (14) y escribiendo en forma matricial:<br />
⎡V<br />
⎢<br />
⎣V<br />
L<br />
X<br />
L<br />
Y<br />
⎤ ⎡ cos θ<br />
⎥ = ⎢<br />
⎦ ⎣−<br />
sen θ<br />
o en forma compacta:<br />
sen θ⎤<br />
⎡V<br />
⎥.<br />
⎢<br />
cos θ⎦<br />
⎣V<br />
X<br />
Y<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(18)<br />
L<br />
~<br />
V = R .V<br />
(19)<br />
~<br />
~<br />
A la matriz de cosenos directores ~<br />
R la llamaremos matriz de rotación.<br />
Si queremos el pasaje del sistema local al global, en este caso la matriz de rotación es la<br />
transpuesta de ~<br />
R .<br />
⎡V<br />
⎢<br />
⎣V<br />
X<br />
Y<br />
⎤ ⎡cos<br />
θ<br />
⎥ = ⎢<br />
⎦ ⎣sen<br />
θ<br />
− sen θ⎤<br />
⎡V<br />
⎥.<br />
⎢<br />
cos θ ⎦ ⎣V<br />
L<br />
X<br />
L<br />
Y<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(20)<br />
~<br />
~<br />
T<br />
~<br />
L<br />
V = R V<br />
(21)<br />
Premultiplicando la ecuación (19) por R ~<br />
−1<br />
~<br />
~<br />
−1<br />
~<br />
L<br />
V = R V<br />
(22)<br />
Lo que implica que R ~<br />
es una matriz ortogonal (su inversa es igual a su traspuesta):<br />
~<br />
−1<br />
R = R<br />
~<br />
T<br />
(23)<br />
Ecuación fundamental de la barra en el sistema global<br />
Tanto las solicitaciones como los desplazamientos pueden expresarse como vectores en el<br />
plano, podemos entonces aplicar la transformación lineal antes vista para llevar los esfuerzos y<br />
desplazamientos de extremos de barra del sistema local al global.<br />
D<br />
~<br />
D<br />
~<br />
L<br />
J<br />
L<br />
K<br />
= R .D<br />
~<br />
~<br />
~ J<br />
= R .D<br />
~ K<br />
(24)
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 12<br />
Donde<br />
L<br />
~ J<br />
D y<br />
L<br />
~ K<br />
coordenadas locales y<br />
D representan respectivamente los desplazamientos de los nudos j y k en<br />
D .,<br />
~ J<br />
globales.<br />
Escribiendo en forma compacta:<br />
Siendo:<br />
D representan los mismos desplazamientos en coordenadas<br />
~ K<br />
DI L = RT.DI<br />
(25)<br />
~ ~ ~<br />
⎡R<br />
⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎢ R<br />
⎣ ~ 0 ~ 0<br />
RT ~<br />
(26)<br />
~<br />
~ ⎥⎦<br />
La matriz de rotación de la barra por incluir ambos nudos de la misma.<br />
~<br />
L<br />
DI contiene los desplazamientos de los dos nudos de la barra en coordenadas locales y ~<br />
Di<br />
los desplazamientos de los mismos en coordenadas globales.<br />
Para las solicitaciones tendremos:<br />
FI L = RT.FI<br />
(27)<br />
~ ~ ~<br />
L<br />
FI contiene las solicitaciones de los dos extremos de la barra en coordenadas locales y FI<br />
~<br />
~<br />
en coordenadas globales.<br />
La inversa de la matriz de rotación de la barra será:<br />
⎡<br />
−1<br />
R ⎤<br />
−1<br />
= ⎢ ~ 0<br />
RT ~ ⎥<br />
−1<br />
⎢ R ⎥<br />
⎣ ~ 0 (28)<br />
~<br />
~ ⎦<br />
Pero como<br />
L<br />
1<br />
R − = T<br />
~<br />
L<br />
R será<br />
~<br />
L<br />
L<br />
−1<br />
RT = RT<br />
~ ~<br />
T<br />
FI = SI .DI + AI<br />
(29)<br />
~ ~ ~ ~<br />
T<br />
L<br />
FI = RT .FI<br />
(30)<br />
~ ~ ~<br />
T<br />
L<br />
L<br />
T<br />
L<br />
FI = RT .SI .DI + RT .AI<br />
(31)<br />
~ ~ ~ ~ ~ ~<br />
T<br />
L<br />
T<br />
L<br />
FI = RT .SI .RT.DI<br />
+ RT .AI<br />
(32)<br />
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~<br />
FI = SI .DI + AI<br />
(33)<br />
~ ~ ~ ~
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 13<br />
T<br />
L<br />
SI = RT .SI .RT<br />
(34)<br />
~ ~ ~ ~<br />
T<br />
L<br />
AI = RT .AI<br />
(35)<br />
~ ~ ~<br />
Matriz de rotación para barra de reticulado plano<br />
⎡ cos θ sen θ 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
− sen θ cos θ 0 0<br />
RT =<br />
⎥<br />
(36)<br />
~ ⎢ 0 0 cos θ sen θ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 − sen θ cos θ⎦<br />
⎡<br />
2<br />
2<br />
c c.s − c − c.s⎤<br />
⎢<br />
2<br />
2 ⎥<br />
⎢ c.s s − c.s − s<br />
Si =<br />
⎥<br />
.EA/L (37)<br />
~ ⎢ 2<br />
2<br />
− c − c.s c c.s ⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
2<br />
2<br />
⎢⎣<br />
− c.s − s c.s s ⎥⎦<br />
Matriz de rotación para barra de pórtico plano<br />
⎡ cos θ sen θ 0 0 0 0⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
− sen θ cos θ 0 0 0 0<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 1 0 0 0⎥<br />
RT = ⎢<br />
⎥<br />
(38)<br />
~<br />
⎢ 0 0 0 cos θ sen θ 0⎥<br />
⎢ 0 0 0 − sen θ cos θ 0⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ 0 0 0 0 0 1<br />
⎦
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 14<br />
Matriz de Rigidez de barra de Pórtico Plano<br />
SI =<br />
~<br />
(EAc<br />
2<br />
( −EAc<br />
/ L<br />
(EAcs / L<br />
− 6EIs<br />
2<br />
/ L<br />
+ 12EIs<br />
− 12EIcs / L<br />
/ L<br />
− 12EIs<br />
( −EAcs / L + 12EIcs / L<br />
2<br />
2<br />
− 6EIs / L<br />
2<br />
2<br />
/ L<br />
2<br />
3<br />
3<br />
/ L<br />
)<br />
3<br />
3<br />
)<br />
)<br />
)<br />
(EAcs / L<br />
(EAs<br />
2<br />
( −EAcs / L + 12EIcs / L<br />
( −EAs<br />
/ L<br />
2<br />
6EIc<br />
/ L<br />
− 12EIcs / L<br />
− 12EIc<br />
2<br />
/ L<br />
− 12EIc<br />
2<br />
6EIc / L<br />
2<br />
2<br />
/ L<br />
2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
/ L<br />
)<br />
3<br />
)<br />
)<br />
)<br />
− 6EIs / L<br />
6EIc / L<br />
4EI / L<br />
6EIs / L<br />
− 6EIc / L<br />
2EI / L<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( −EAc<br />
( −EAcs / L + 12EIcs / L<br />
(EAc<br />
2<br />
2<br />
/ L<br />
/ L<br />
(EAcs / L<br />
− 12EIs<br />
2<br />
6EIs / L<br />
+ 12EIs<br />
− 12EIcs / L<br />
2<br />
6EIs / L<br />
2<br />
2<br />
/ L<br />
3<br />
/ L<br />
3<br />
3<br />
3<br />
)<br />
)<br />
)<br />
)<br />
( −EAcs / L + 12EIcs / L<br />
(EAs<br />
(EAcs / L<br />
(EAs<br />
2<br />
2<br />
/ L<br />
6EIc<br />
/ L<br />
− 12EIc<br />
2<br />
2<br />
/ L<br />
− 12EIcs / L<br />
+ 12EIc<br />
− 6EIc / L<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
/ L<br />
3<br />
3<br />
/ L<br />
3<br />
)<br />
)<br />
)<br />
)<br />
2<br />
− 6EIs / L<br />
2<br />
6EIc / L<br />
2EI / L<br />
2<br />
6EIs / L<br />
− 6EIc / L<br />
4EI / L<br />
2<br />
Tabla nº 1
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 17<br />
Matriz de Rigidez y Vector de Cargas Global de la Estruct.<br />
Fig.º 9 - Reticulado Plano<br />
Las ecuaciones de equilibrio exigen que las cargas externas aplicadas en los nudos deben<br />
ser iguales a la suma de las solicitaciones de extremo de las barras que concurren al nudo.<br />
Siendo el vector de cargas externas aplicadas en j :<br />
⎡<br />
−<br />
⎤<br />
⎢A<br />
⎥<br />
A −<br />
Xj<br />
= ⎢ −<br />
⎥<br />
~ j<br />
⎢ ⎥<br />
(39)<br />
A<br />
⎢<br />
⎣ Yj<br />
⎥<br />
⎦<br />
La ecuaciones matriciales de las barras a) y b) son:<br />
FI<br />
~<br />
FI<br />
~<br />
a<br />
b<br />
= SI<br />
~<br />
a<br />
= SI<br />
~<br />
b<br />
.DI<br />
~<br />
a<br />
.DI<br />
~<br />
b<br />
+ AI<br />
~<br />
a<br />
+ AI<br />
~<br />
b<br />
(40)<br />
Que pueden representarse en función de los nudos de la siguiente forma:<br />
⎡Fi<br />
⎢ ~<br />
⎢Fj<br />
⎢⎣<br />
~<br />
a<br />
a<br />
⎡ Fj<br />
⎢ ~<br />
⎢Fk<br />
⎢⎣<br />
~<br />
dónde:<br />
⎤ ⎡Sii<br />
⎥ =<br />
⎢ ~<br />
⎥ ⎢Sji<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
~<br />
b<br />
b<br />
a<br />
a<br />
⎤ ⎡Sjj<br />
⎥ =<br />
⎢ ~<br />
⎥ ⎢Skj<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
~<br />
b<br />
b<br />
a<br />
⎤ ⎡<br />
a<br />
⎡<br />
a<br />
Sij Di ⎤ AI ⎤<br />
~ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ i<br />
.<br />
~<br />
+<br />
~ ⎥<br />
a ⎥ a<br />
⎢<br />
a<br />
Sjj ⎢Dj<br />
⎥ AI ⎥<br />
~ ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
~ ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
~ j ⎥⎦<br />
b<br />
⎤ ⎡<br />
b<br />
Sjk Dj ⎤ ⎡AI<br />
~ ⎥<br />
. ⎢ ~ ⎥ + ⎢ ~<br />
b ⎥ ⎢ b<br />
Skk ⎥ ⎢AI<br />
⎥<br />
Dk<br />
~ ⎦ ⎢⎣<br />
~ ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
~<br />
b<br />
j<br />
b<br />
k<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
(41)<br />
Fi<br />
~<br />
a<br />
Di<br />
~<br />
a<br />
AIi<br />
~<br />
= vector solicitación en el extremo i de la barra (a)<br />
= vector deformación en el extremo i de la barra (a)<br />
a<br />
= vector fuerza de empotramiento perfecto en el extremo i de la barra (a)<br />
17
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 18<br />
a<br />
Sij = submatriz conteniendo los coeficientes de rigidez del nudo i que provienen de un<br />
~<br />
desplazamiento unitario del nudo j de la barra (a)<br />
Las condiciones de equilibrio para el reticulado de la figura en el nudo j resultan:<br />
−<br />
A Fj<br />
~ j −<br />
~<br />
a<br />
− Fj<br />
~<br />
b<br />
= 0<br />
−<br />
a<br />
A Fj Fj<br />
~ j =<br />
~<br />
+<br />
~<br />
−<br />
a<br />
b<br />
a<br />
a<br />
a<br />
A Sji .Di Sjj .Dj AI Sjj .Dj Sjk .Dk AI<br />
~ j =<br />
~ ~<br />
+<br />
~ ~<br />
+ ~<br />
+<br />
j ~ ~<br />
+<br />
~ ~<br />
+ ~<br />
a<br />
b<br />
b<br />
b<br />
b<br />
b<br />
j<br />
(42)<br />
(43)<br />
Por condición de compatibilidad de desplazamientos:<br />
a<br />
j<br />
b<br />
j<br />
j<br />
a<br />
i<br />
c<br />
D = D = D ; D = D = D ; D = D =<br />
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~<br />
D<br />
(44)<br />
~<br />
i<br />
i<br />
Reemplazando la (44) en la (43) y extendiendo el razonamiento a los nudos restantes:<br />
b<br />
k<br />
c<br />
k<br />
k<br />
A<br />
−<br />
a<br />
a b<br />
b<br />
a b<br />
Sji .Di (Sjj Sjj ).Dj Sjk .Dk AI<br />
~ j = + + + + +<br />
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~<br />
AI<br />
j ~ j<br />
A<br />
−<br />
a<br />
a c<br />
c<br />
a<br />
AI c<br />
Sij .Dj (Sii Sii ).Di Sik .Dk AI<br />
~ i = + + + + +<br />
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i ~ i<br />
A<br />
−<br />
c<br />
b c<br />
b<br />
b<br />
= Ski .Di+<br />
(Skk + Skk ).Dk+<br />
Skj .Dk+<br />
AI +<br />
k<br />
~ k<br />
~<br />
~<br />
~<br />
~<br />
~<br />
~<br />
~<br />
~<br />
AI<br />
~<br />
c<br />
k<br />
(45)<br />
Si la organizamos en forma matricial:<br />
18
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 19<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤<br />
⎤<br />
⎢ A −<br />
a c<br />
a<br />
c<br />
⎡ ⎤ ⎡ a c<br />
~ i ⎥ ⎢<br />
Sii + Sii Sij Sik<br />
⎥ ⎢<br />
AI + AI<br />
⎢ ⎥<br />
⎥<br />
⎢ ⎥ ~ ~<br />
− ⎢<br />
~<br />
~ Di ~ i ~ i<br />
⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥ = ⎢<br />
+<br />
⎥ +<br />
⎢<br />
+<br />
⎢ ⎥<br />
⎥<br />
⎢<br />
A ~<br />
a<br />
a b<br />
b<br />
a b<br />
Sji Sjj Sjj Sjk . Dj AI AI<br />
~ j<br />
⎥<br />
~ j ~ j<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢<br />
−<br />
⎥<br />
c<br />
b<br />
b c<br />
b c<br />
⎢<br />
+ ⎥ Dk<br />
~ (46)<br />
~ ~ ~ ~<br />
Ski Skj Skk Skk<br />
⎣ ⎦ ⎢AI<br />
+ AI<br />
⎣<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣<br />
A ⎥<br />
⎦ ⎣ ~ ~ ~ ~ ⎦<br />
~ ~ k ~ k<br />
~ k<br />
⎦<br />
Que representa el sistema global de ecuaciones de la estructura, escribiendo en forma<br />
compacta:<br />
−<br />
A+<br />
A<br />
~ ~<br />
Dónde:<br />
eq<br />
= S .D<br />
~ ~<br />
(47)<br />
−<br />
A = vector de acciones externas aplicadas en los nudos.<br />
~<br />
S = matriz de rigidez global de la estructura<br />
~<br />
D = vector deformación de nudos<br />
~<br />
A = = vector de cargas nodales equivalentes (fuerzas de empotramiento perfecto<br />
~ eq<br />
cambiadas de signo) debido a las cargas aplicadas en los tramos de barras.<br />
Haciendo:<br />
A = A<br />
− + A<br />
(48)<br />
~ ~ ~ eq<br />
A = S .D<br />
(49)<br />
~ ~ ~<br />
El vector A representa las cargas nodales equivalentes más las cargas aplicadas en los<br />
nudos.<br />
La ecuación (49) no puede ser resuelta (la matriz S es singular) si no se aplican las<br />
condiciones de contorno o de borde de la estructura.<br />
Esquema de la formación de la matriz de rigidez global y del vector<br />
de cargas<br />
Consideremos el reticulado de la figura nº 9. La matriz de rigidez global del reticulado<br />
tendrá 6 filas y 6 columnas ya que son 3 nudos y cada uno tiene 2 grados de libertad (un<br />
desplazamiento según el eje x y uno según el eje y). La contribución de cada nudo deberá<br />
ser colocada en las posiciones que se indican en la figura nº10.<br />
Los nudos i,j,k definen las filas y columnas de la matriz (submatrices)<br />
19
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 20<br />
I j k<br />
i<br />
a+c a+c a a c c<br />
a+c a+c a a c c<br />
S = j<br />
a A a+b a+b b b<br />
a A a+b a+b b b<br />
k<br />
c C b b b+c b+c<br />
c C b b b+c b+c<br />
Fig. nº 10: Esquema Formación Matriz Reticulado<br />
i J k<br />
i<br />
a<br />
~ ii<br />
c ~ ii<br />
S + S<br />
a<br />
S<br />
~ ij<br />
c<br />
S<br />
~ ik<br />
S =<br />
j<br />
a<br />
S<br />
~ ji<br />
b<br />
~ jj<br />
a ~ jj<br />
S + S<br />
b<br />
S<br />
~ jk<br />
k<br />
S<br />
a<br />
~ ki<br />
S<br />
b<br />
~ kj<br />
b<br />
S + S<br />
c<br />
~ kk ~ kk<br />
Las submatrices tendrán tantas filas y columnas como grados de libertad tenga cada nudo.<br />
En el caso del reticulado este número es 2.<br />
Analicemos la posición en figura nº 10 de las submatrices de la matriz de rigidez de la barra<br />
b de la figura nº 9.<br />
⎡S<br />
⎢ ~<br />
⎢S<br />
⎢⎣<br />
~<br />
a a<br />
S<br />
a ii ~ ij<br />
S 1 =<br />
a a<br />
~ S<br />
ji ~ jj<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎡S<br />
⎢ ~<br />
⎢S<br />
⎢⎣<br />
~<br />
b b<br />
S<br />
b jj ~ jk<br />
S 1 =<br />
b b<br />
~ S<br />
kj ~ kk<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎡<br />
c c<br />
S S ⎤<br />
c<br />
= ⎢ ~ ~<br />
S 1<br />
ii ik ⎥<br />
⎢<br />
c c<br />
(50)<br />
~ S S ⎥<br />
⎢⎣<br />
~ ki ~ kk ⎥⎦<br />
Las submatrices son de orden 2x2. La posición<br />
figura nº 10 a partir del siguiente esquema:<br />
b<br />
~ jj<br />
S = indica fila j columna j<br />
b<br />
S<br />
~ jk<br />
S<br />
b<br />
~ kj<br />
= indica fila j columna k<br />
= indica fila k columna j<br />
S1<br />
~<br />
b<br />
en la matriz<br />
S está indicada en al<br />
~<br />
S<br />
b<br />
~ kk<br />
= indica fila k columna k<br />
Nótese que en las posiciones dónde ya existen valores provenientes de otras barras, estos<br />
son sumados a aquellos.<br />
20
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 21<br />
Generalizando, debemos considerar una barra de reticulado que une los nudos j y k según<br />
la figura nº11.<br />
Figura nº 11<br />
Las posiciones ocupadas por la matriz de rigidez de la barra (m) en la matriz de rigidez<br />
global son las siguientes:<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2(j-1)+1<br />
2(j-1)+2<br />
2(k-)+1<br />
2(k-)+2<br />
1<br />
2<br />
.<br />
.<br />
2(j-1)+1 X X X X<br />
S<br />
~<br />
=<br />
2(j-1)+2 X X X X<br />
.<br />
2(k-1)+1 X X X X<br />
2(k-1)+2 X X X X<br />
Figura nº 12 - Posiciones ocupadas por una barra de Reticulado Plano en la matriz<br />
de Rigidez Global<br />
Para un pórtico plano o estructuras con 3 grados de libertad por nudo tendríamos la<br />
siguiente configuración:<br />
21
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 22<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3(j-1)+1<br />
3(j-1)+2<br />
3(j-1)+3<br />
3(k-1)+1<br />
3(k-1)+2<br />
3(k-1)+3<br />
1<br />
2<br />
.<br />
.<br />
3(j-1)+1 X X X X X X<br />
3(j-1)+2 X X X X X X<br />
S<br />
~<br />
=<br />
3(j-1)+3 X X X X X X<br />
.<br />
3(k-1)+1 X X X X X X<br />
3(k-1)+2 X X X X X X<br />
3(k-1)+3 X X X X X X<br />
Figura nº 13 - Posiciones ocupadas por una barra de Pórtico Plano en la matriz de<br />
Rigidez Global<br />
Del mismo modo, un vector de cargas equivalentes en los nudos para una barra de la figura<br />
nº11 ocupa la posición indicada en la figura nº 14 del vector acciones globales nodales.<br />
A =<br />
~<br />
1<br />
2<br />
.<br />
3(j-1)+1<br />
3(j-1)+2<br />
3(j-1)+3<br />
.<br />
X<br />
X<br />
X<br />
A =<br />
~<br />
1<br />
2<br />
.<br />
.<br />
2(j-1)+1<br />
2(j-1)+2<br />
.<br />
X<br />
X<br />
3(k-1)+1 X<br />
3(k-1)+2 X<br />
3(k-1)+3 X<br />
2(k-1)+1<br />
2(k-1)+2<br />
X<br />
X<br />
a) Pórtico plano<br />
b) Reticulado plano<br />
Figura nº 14 Posición del vector Acciones nodales<br />
22
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 23<br />
Formación de la MATRIZ de RIGI<strong>DE</strong>Z GLOBAL en forma de matriz<br />
banda-simétrica.<br />
La Matriz de Rigidez Global de la estructura es simétrica respecto de la diagonal principal y<br />
tiene normalmente características de matriz de bandas. Por ello no es necesario almacenar<br />
todos los elementos de la matriz toda vez que esto implica tiempo de procesamiento para el<br />
computador y además mayor memoria de almacenamiento. Bastará entonces almacenar los<br />
elementos del triángulo superior (o el inferior) de la matriz. También esta parte triangular<br />
superior (o el inferior) puede sufrir una racionalización del arreglo matricial de números. Esto<br />
se corrige aprovechando la característica de banda de la matriz y previniendo su<br />
reorganización para un arreglo bidimensional de dimensión NGLTxB dónde:<br />
NGLT= es el número de grados de libertad total de la estructura.<br />
B= es el semi largo de banda del sistema.<br />
Sea el ejemplo de la figura nº 15. La Matriz de Rigidez de la estructura en su forma de<br />
almacenamiento convencional representada en la figura nº 16-a y en la forma de banda<br />
simétrica en la figura nº 16-b.<br />
Figura nº 15: Ejemplo de Reticulado Plano.<br />
Figura nº 16: Formas de almacenamiento de la Matriz de Rigidez<br />
Nótese que el semi-ancho de banda está vinculado a la mayor diferencia de numeración entre<br />
nudos que están unidos por una barra. En el caso de la figura nº 15, la mayor diferencia entre<br />
dos nudos de una barra es 2 y el semi-ancho de banda es 6. De modo general el semi-ancho<br />
de banda es obtenida por B=(L+1)*N1. Dónde L es la mayor diferencia entre nudos que<br />
23
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 24<br />
concurren a una misma barra y N1 es el número de grados de libertad del nudo. En el caso del<br />
Reticulado Plano N1=2, y entonces el semi ancho de banda es B=(2+1)x2=6.<br />
Influencia de la Numeración de nudos sobre el ancho de Banda<br />
En el ejemplo que sigue se puede apreciar como varían tanto la cantidad de elementos<br />
a almacenar como el semiancho ancho de banda con la forma de numerar los nudos de<br />
la estructura.<br />
Condiciones de Contorno o de Borde<br />
Un sistema de ecuaciones :<br />
A = S .D correspondiente a una estructura completa antes de<br />
~<br />
~<br />
~<br />
aplicar las condiciones de contorno es IN<strong>DE</strong>TERMINADO, pues S es singular. La razón de<br />
~<br />
esta singularidad es el resultado de no haber considerado las vinculaciones o apoyos de la<br />
estructura con el exterior. Al introducir las condiciones de vínculo desaparece la<br />
indeterminación (o singularidad de la matriz de rigidez), siempre que el número de vínculos<br />
sea por lo menos el mínimo necesario para eliminar los movimientos de cuerpo rígido de la<br />
estructura.<br />
El conocimiento de determinados corrimientos nodales, disminuye el número de incógnitas,<br />
tornándose innecesarias las ecuaciones correspondientes a estos corrimientos.<br />
La eliminación de la ecuación de un desplazamiento implica la destrucción de la banda de la<br />
matriz, lo cual exigiría un reacomodamiento de las incógnitas del problema.<br />
Al sistema de ecuaciones<br />
A = S .D<br />
(51)<br />
~<br />
~<br />
~<br />
Podemos expresarlo de la siguiente forma:<br />
24
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 25<br />
A<br />
~ I<br />
A<br />
~ II<br />
S<br />
~ I,I ~ I,II<br />
= ~ . ~<br />
(52)<br />
S<br />
~ II,I<br />
S<br />
S<br />
~ II,II<br />
D<br />
φ<br />
~ II<br />
Dónde:<br />
A = reacciones de apoyo con desplazamiento impedido.<br />
~ I<br />
momento desconocemos.<br />
A<br />
~ II<br />
= agrupa las fuerzas externas sobre nodos con desplazamientos<br />
D =0, reacciones que por el<br />
~ I<br />
D<br />
~ II<br />
desconocidos.<br />
S = Matriz de rigidez (cuadrada) que relaciona fuerzas conocidas (cargas externas<br />
~ II,II<br />
con desplazamientos desconocidos D .<br />
~ II<br />
A )<br />
~ II<br />
Técnica número 1:<br />
Suprimir o eliminar de la Matriz de Rigidez del sistema las columnas correspondientes a<br />
desplazamientos impedidos y las filas correspondientes a reacciones exteriores.<br />
Ventaja: reduce el tamaño del sistema de ecuaciones a resolver (en un orden determinado por<br />
los grados de libertad eliminados por los apoyos). Dicha reducción es importante en el caso de<br />
pocas barras y muchos vínculos externos, fácilmente aplicable en forma manual, es la técnica<br />
que emplearemos en el curso.<br />
Desventaja: no podemos resolver así desplazamientos prescriptos.<br />
Técnica número 2:<br />
Un artificio usado normalmente para introducir un desplazamiento conocido en la dirección i,<br />
consiste en hacer el elemento de la diagonal principal de la matriz S de la línea i igual a 1 y<br />
anular todas las restantes posiciones pertenecientes a esa línea y columna. Luego debe ser<br />
colocado el valor del corrimiento conocido d −<br />
i en la posición anteriormente ocupada por a i , y<br />
también pasar al vector<br />
A los coeficientes<br />
~<br />
S<br />
ij<br />
~<br />
.<br />
−<br />
d i<br />
con el signo cambiado.<br />
~<br />
⎧S<br />
⎪<br />
⎪<br />
S<br />
⎪.<br />
⎪<br />
⎨.<br />
⎪S<br />
⎪<br />
⎪.<br />
⎪<br />
⎩S<br />
11<br />
21<br />
i1<br />
n1<br />
.d<br />
.d<br />
.d<br />
.d<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+ S<br />
+ S<br />
+ S<br />
+ S<br />
12<br />
22<br />
i2<br />
n2<br />
.d<br />
.d<br />
.d<br />
2<br />
2<br />
.d<br />
2<br />
2<br />
+ .... + S<br />
+ .... + S<br />
+ .... + S<br />
1i<br />
ii<br />
+ .... + S<br />
2i<br />
ni<br />
.d<br />
.d<br />
.d<br />
i<br />
i<br />
.d<br />
i<br />
+ .... + S<br />
+ .... + S<br />
+ .... + S<br />
i<br />
1n<br />
in<br />
+ .... + S<br />
2n<br />
.d<br />
nn<br />
.d<br />
.d<br />
n<br />
n<br />
.d<br />
n<br />
= a<br />
= a<br />
= a<br />
n<br />
i<br />
1<br />
2<br />
= a<br />
n<br />
(53)<br />
25
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 26<br />
⎧<br />
⎪S<br />
⎪<br />
⎪S<br />
⎪<br />
⎪<br />
.<br />
⎨.<br />
⎪<br />
⎪0<br />
⎪<br />
⎪.<br />
⎪<br />
⎪⎩<br />
S<br />
11<br />
21<br />
n1<br />
.d<br />
.d<br />
.d<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+ S<br />
+ S<br />
+ S<br />
12<br />
22<br />
n2<br />
.d<br />
.d<br />
.d<br />
2<br />
2<br />
+ 0 + .... +<br />
2<br />
+ .... + 0 + .... + S<br />
+ .... + 0 + .... + S<br />
−<br />
d + .... +<br />
i<br />
+ .... + 0 + .... + S<br />
1n<br />
2n<br />
nn<br />
.d<br />
.d<br />
.d<br />
n<br />
n<br />
−<br />
0 = d<br />
n<br />
= a<br />
i<br />
1<br />
= a<br />
2<br />
= a<br />
n<br />
− S<br />
1i<br />
− S<br />
− S<br />
2i<br />
ni<br />
−<br />
.d<br />
i<br />
−<br />
.d<br />
−<br />
.d<br />
i<br />
i<br />
(54)<br />
En forma matricial<br />
S<br />
11<br />
S<br />
.<br />
21<br />
.<br />
0<br />
.<br />
.<br />
S<br />
n1<br />
S<br />
12<br />
S<br />
.<br />
22<br />
.<br />
0<br />
.<br />
.<br />
S<br />
n2<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
.<br />
.<br />
...<br />
0<br />
0<br />
.<br />
.<br />
1<br />
.<br />
.<br />
0<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
.<br />
.<br />
...<br />
S<br />
1n<br />
S<br />
.<br />
2n<br />
.<br />
0<br />
.<br />
.<br />
S<br />
nn<br />
d<br />
1<br />
d<br />
.<br />
2<br />
.<br />
. −<br />
d<br />
.<br />
i<br />
.<br />
d<br />
n<br />
a<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
n<br />
− S<br />
− S<br />
.<br />
− S<br />
1i<br />
2i<br />
ni<br />
−<br />
.d<br />
i<br />
−<br />
.d<br />
.d<br />
i<br />
=<br />
.<br />
(55)<br />
−<br />
d i<br />
.<br />
.<br />
−<br />
i<br />
Como caso particular, cuando un corrimiento di sea nulo, o sea, cuando exista un vínculo en la<br />
dirección i, la ecuación anterior toma la siguiente forma:<br />
S<br />
11<br />
S<br />
.<br />
21<br />
.<br />
0<br />
.<br />
.<br />
S<br />
n1<br />
S<br />
12<br />
S<br />
.<br />
22<br />
.<br />
0<br />
.<br />
.<br />
S<br />
n2<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
.<br />
.<br />
...<br />
0<br />
0<br />
.<br />
.<br />
1<br />
.<br />
.<br />
0<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
...<br />
.<br />
.<br />
...<br />
S<br />
1n<br />
S<br />
.<br />
2n<br />
.<br />
0<br />
.<br />
.<br />
S<br />
nn<br />
d1<br />
a1<br />
d 2 a 2<br />
. .<br />
.<br />
. .<br />
− =<br />
(56)<br />
d 0<br />
i<br />
. .<br />
. .<br />
d an<br />
n<br />
Es importante mencionar, que con esta forma de aplicación de las condiciones de borde, las<br />
cargas que están aplicadas en la dirección i del apoyo quedarían sin considerar.<br />
Ventaja: No destruye la organización simétrica y banda del sistema de ecuaciones. Es<br />
fácilmente implementable en computador.<br />
Técnica número 3:<br />
Modificar los coeficientes de la diagonal principal en la matriz de rigidez del sistema que<br />
correspondan a desplazamientos impedidos.<br />
26
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 27<br />
Siendo una ecuación cualquiera en el sistema:<br />
a<br />
i<br />
∑<br />
ai<br />
− S ij .d j<br />
= ∑ S ij .d j + S ii .d i ⇒ d i =<br />
(57)<br />
S<br />
Luego, haciendo S ii suficientemente grande (por ejemplo multiplicarlo por 10 20 ) obtenemos un<br />
d i próximo a cero.<br />
Ventajas: no altera la organización del sistema de ecuaciones, ni tampoco reduce el orden del<br />
sistema.<br />
Desventaja: puede provocar problemas numéricos.<br />
ii<br />
Solución del sistema global de ecuaciones<br />
Una vez introducidas las condiciones de borde o contorno en el sistema de ecuaciones,<br />
podemos resolverlo mediante cualquier método conocido (Gauss, Cholesky, Gauss Jordan,<br />
etc.)<br />
Existen en la literatura métodos eficientes de cálculo teniendo en cuenta la simetría, banda y<br />
forma específica de archivo. La solución de la ecuación 55 nos provee los corrimientos o<br />
desplazamientos de los nudos de la estructura.<br />
Muchas veces existe más de un estado de carga. Para esta situación se pueden desarrollar<br />
algoritmos de solución que trabajando con más de un vector de cargas (término<br />
independiente) nos dan como respuesta más de un vector desplazamiento (uno para cada<br />
estado de cargas).<br />
Cálculo de solicitaciones en extremos de barras<br />
La ecuación matricial de una barra (m) con conexiones i,j se expresa en forma particionada de<br />
acuerdo a la ecuación 41:<br />
F<br />
m<br />
~ i<br />
F<br />
m<br />
~ j<br />
= S<br />
m<br />
~ ii<br />
= S<br />
m<br />
~ ji<br />
.D<br />
.D<br />
i<br />
i<br />
+ S<br />
m<br />
~ ij<br />
+ S<br />
m<br />
~ jj<br />
.D<br />
.D<br />
j<br />
j<br />
+ A<br />
m<br />
~ i<br />
+ A<br />
m<br />
~ j<br />
(58)<br />
Los desplazamientos<br />
D ,<br />
~ i<br />
D son obtenidos del vector desplazamiento de nudos de la<br />
~ j<br />
estructura, solución del sistema de ecuaciones (54). Particionada la matriz de rigidez de la<br />
m m m<br />
m m<br />
barra “m” (S ,S ,S ) y el vector de empotramiento perfecto (A , A ) , deben ser<br />
~ i,i<br />
~ i,j ~ j,j<br />
almacenadas al confeccionar la matriz de rigidez global y el vector de cargas global.<br />
Entretanto, dependiendo de la capacidad de memoria del procesador, puede ser más<br />
aconsejable recalcular la matriz de rigidez y el vector de reacción de empotramiento perfecto<br />
de cada barra, para después obtener con el término (58) las solicitaciones de extremo de barra<br />
m m<br />
(F y F ) .<br />
~ i<br />
~ j<br />
Las solicitaciones de barras nos interesan referirlas al sistema de ejes de coordenadas locales,<br />
ya que en esta forma tendremos los esfuerzos normales, cortantes, etc. Para esto debemos<br />
hacer una rotación de ejes sobre las solicitaciones obtenidas por (58), para lo cual:<br />
~ i<br />
~ j<br />
27
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 28<br />
F<br />
~ i<br />
F<br />
~ j<br />
m,L<br />
m,L<br />
= R .F<br />
~<br />
~<br />
m<br />
~ i<br />
= R .F<br />
m<br />
~ j<br />
. (59)<br />
Esta no es la única forma de obtener las solicitaciones de las barras. Podemos obtener los<br />
corrimientos D y D y transformarlos a coordenadas locales mediante el producto con R .<br />
~ i<br />
~ j<br />
Entonces tendríamos las ecuaciones (58), todas en coordenadas locales para así obtener las<br />
solicitaciones en las mismas coordendadas.<br />
Cálculo de las reacciones de nudos<br />
Para un nudo sobre un apoyo, podemos obtener las acciones de todas las barras que<br />
concurren a un nudo y sumarlas.<br />
El resultado de esta suma será el vector reacción del nudo.<br />
~<br />
R<br />
~ i<br />
−<br />
p<br />
∑<br />
F<br />
m<br />
~<br />
m=<br />
1<br />
i<br />
= 0<br />
→<br />
R<br />
~ i<br />
=<br />
p<br />
∑<br />
F<br />
m<br />
~<br />
m=<br />
1<br />
i<br />
p<br />
∑<br />
m<br />
R = F<br />
(60)<br />
~ i<br />
~<br />
m=<br />
1<br />
i<br />
dónde p es el número de barras ligadas al nudo i y<br />
R es la reacción del nudo i.<br />
Si hacemos esta misma suma para un nudo que no sea apoyo, tendremos como resultado las<br />
cargas aplicadas al nudo. Es importante que las solicitaciones del extremo de barra sean<br />
referidas a un sistema global de coordenadas.<br />
~ i<br />
28
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 29<br />
TOPICOS ESPECIALES EN <strong>ANALISIS</strong><br />
<strong>MATRICIAL</strong><br />
Efectos Térmicos<br />
Lo analizamos en forma similar al caso de cargas aplicadas en el tramo.<br />
Fig. nº 17<br />
( T1<br />
+ T2<br />
)<br />
(T1<br />
− T2<br />
)<br />
δ X j<br />
= α t .L ; θ j = −α t .L<br />
(61)<br />
2<br />
h<br />
El giro dθ de un tramo de viga dx será:<br />
(T1<br />
− T2<br />
)<br />
dθ = −α t .dx<br />
(62)<br />
h<br />
teniendo en cuenta que:<br />
2<br />
2<br />
dθ<br />
d y<br />
= = −<br />
2<br />
dx dx<br />
M<br />
E.I<br />
d y (T1<br />
− T2<br />
)<br />
= −α<br />
2 t<br />
(63)<br />
dx<br />
h<br />
integrando dos veces y particularizando para el nudo j.<br />
dy<br />
j<br />
(T1<br />
− T2<br />
) 2<br />
= −α t . L (64)<br />
2.h<br />
Las fuerzas de empotramiento necesarias para restaurar el extremo de la barra a su posición<br />
primitiva serán: (para pórtico plano).<br />
N<br />
Q<br />
M<br />
L<br />
j<br />
L<br />
j<br />
L<br />
j<br />
E.A<br />
(T1<br />
+ T2<br />
)<br />
0 0 α t . .L<br />
L<br />
2<br />
12.E.I 6.E.I (T1<br />
− T2<br />
) 2<br />
= 0<br />
− . − α t . .L<br />
(65)<br />
3<br />
2<br />
L L<br />
2.h<br />
6.E.I 4.E.I (T1<br />
− T2<br />
)<br />
0 −<br />
− α t . .L<br />
2<br />
L L<br />
h<br />
29
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 30<br />
P<br />
~ j<br />
= S . δ<br />
(66)<br />
~ jj<br />
~ j<br />
Cómo estas fuerzas son de empotramiento perfecto, y además están en coordenadas locales,<br />
hay que llevarlas al sistema global y restarlas (cargas nodales equivalentes) al vector de<br />
cargas en los nudos.<br />
N<br />
Q<br />
M<br />
L<br />
j<br />
L<br />
j<br />
L<br />
j<br />
E.A<br />
α t .(T1<br />
+ T2<br />
).<br />
2<br />
= 0<br />
(67)<br />
E.A<br />
− α t .(T1<br />
− T2<br />
).<br />
h<br />
Apoyos elásticos<br />
Un apoyo elástico se caracteriza por el hecho<br />
de que el desplazamiento que sufre es<br />
proporcional a la fuerza que recibe, definida por<br />
su constante de resorte k (fuerza necesaria<br />
para producir un desplazamiento unitario)<br />
Un desplazamiento δ genera una fuerza k. δ en<br />
la misma dirección.<br />
Siendo una ecuación cualquiera en el sistema:<br />
a<br />
i S ijδ<br />
j + Sii<br />
.<br />
i<br />
Fig. nº 18<br />
= ∑ δ<br />
(68)<br />
Si establecemos ahora el equilibrio en el nudo “i” teniendo en cuenta la fuerza del resorte:<br />
− k.<br />
δ ∑ δ<br />
(69)<br />
a<br />
i + ai<br />
= S ijδ<br />
j + Sii<br />
.<br />
i Sijδ<br />
j + (Sii<br />
+ k).<br />
i<br />
i<br />
= ∑ δ<br />
(70)<br />
Es decir debemos sumar la rigidez del resorte k en la diagonal principal de la matriz de rigidez<br />
del sistema en la fila y columna correspondiente a la dirección en la que actúa el resorte.<br />
30
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 31<br />
Apoyos deslizantes no concordantes<br />
Fig. nº 19<br />
Si el plano de desplazamiento no es paralelo a uno de los ejes globales, debemos modificar la<br />
ecuación matricial de la estructura, transformando en el nodo en cuestión los vectores fuerza y<br />
desplazamiento al sistema de ejes global.<br />
~ 1<br />
~ 1<br />
~ 1<br />
L<br />
~ 1<br />
~ 1<br />
L<br />
~ 1<br />
δ = R . δ<br />
F = R .F<br />
(71)<br />
dónde el “1” indica el número de nodo.<br />
Con<br />
cosβ<br />
senβ<br />
0<br />
R = − senβ<br />
cosβ<br />
0<br />
(72)<br />
0<br />
0<br />
1<br />
R<br />
~ 1<br />
.F<br />
F<br />
~ 2<br />
F<br />
~ 1<br />
~ 3<br />
F<br />
~ 4<br />
L<br />
S<br />
~ 11<br />
S<br />
~ 1<br />
~ 21 ~ 22 ~ 23 ~<br />
=<br />
~ 2<br />
(73)<br />
0<br />
~<br />
0<br />
~<br />
S<br />
~ 12<br />
S<br />
S<br />
~ 32<br />
0<br />
~<br />
S<br />
S<br />
~<br />
~ 33<br />
S<br />
0<br />
~ 43<br />
S<br />
~<br />
~ 34<br />
S<br />
0<br />
0<br />
~ 44<br />
.<br />
R<br />
. δ<br />
δ<br />
δ<br />
~ 3<br />
δ<br />
~ 4<br />
~ 1<br />
L<br />
S =3x3 para pórtico plano<br />
~ ij<br />
En esta ecuación es lo mismo premultiplicar<br />
~ 1<br />
L<br />
δ por<br />
R que postmultiplicar la primera<br />
columna de S por R . Por otra parte, premultiplicando la primera fila a ambos lados de la<br />
~ ~ 1<br />
T<br />
igualdad por R no se altera la igualdad y además considerando que en sistemas de<br />
~<br />
1<br />
coordenadas ortogonales R .R = I<br />
~<br />
T<br />
1<br />
~ 1<br />
~<br />
~ 1<br />
31
ESTABILIDAD III – CAPITULO IV: <strong>ANALISIS</strong> <strong>MATRICIAL</strong> <strong>DE</strong> <strong>ESTRUCTURAS</strong> Pág. 32<br />
F<br />
~ 1<br />
F<br />
~ 2<br />
F<br />
~ 3<br />
F<br />
L<br />
~ 4<br />
R<br />
T<br />
~ 1<br />
S<br />
.S<br />
~ 11<br />
.R<br />
~ 1<br />
=<br />
~ 21 ~ 1 ~ 22 ~ 23 ~ ~ 2<br />
(74)<br />
0<br />
~<br />
0<br />
~<br />
.R<br />
~ 1<br />
R<br />
T<br />
~ 1<br />
S<br />
S<br />
.S<br />
~ 32<br />
0<br />
~<br />
~ 12<br />
S<br />
S<br />
~<br />
~ 33<br />
S<br />
0<br />
~ 43<br />
S<br />
~<br />
~ 34<br />
S<br />
0<br />
0<br />
~ 44<br />
δ<br />
δ<br />
.<br />
δ<br />
~ 3<br />
δ<br />
~ 4<br />
L<br />
Resumen: Se modifica la ecuación matricial de toda la estructura, premultiplicando la fila,<br />
T<br />
correspondiente al nodo con apoyo inclinado por R y postmultiplicando la columna<br />
correspondiente por<br />
R .<br />
~ 1<br />
Técnica alternativa<br />
Consiste en adicionar un barra ficticia que deberá impedir desplazamientos en la dirección “v”<br />
y permitir desplazamientos en la dirección “u” y giro. Para que esto sea posible, el área de la<br />
sección transversal de la misma deberá ser mucho mayor que las barras restantes y la inercia<br />
mucho menor a la de las otras barras. (Además de pequeña longitud para evitar acortamientos<br />
de la barra ficticia)<br />
~<br />
1<br />
Fig. nº 20<br />
32