Analisis funcional para las ecuaciones ... - branching nature

ANALISIS FUNCIONAL - LENGUAJE DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
José Darío Sánchez Hernández
Bogotá -Colombia. Agosto- 2008
danojuanos@hotmail.com
danojuanos@tutopia.com
danojuanos@yahoo.com
El lenguaje nos pemite la comunicación y el aprendizaje en las Ecuaciones
Diferenciales Parciales junto con la teoría de conjuntos. Por esta razón
presento a mis amables amigos del ciberespacio los conceptos de mayor
utilidad en el desarrollo de los diversos tópicos que se encuentran en
aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales y que pertenecen a la
humanidad, por esta razón no dudo en ponerlos en el ciberespacio para una
buena formación del matemático por vias virtuales.
CAPÍTULO 1
ALGUNOS CONCEPTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL
1. Sea H , un dominio acotado, !! " , V ÐHÑ
denotará al conjunto de
todas las funciones definidas en H tales que
L !a b œ sup
_
kBC k
!
H
Bß C −
BÁC
kBC
a b a bk
!
Tomando l l! œsup H
lBl a b [!, V ÐHÑ
es un espacio de Banach con
norma l l , es decir, un espacio vectorial normado y completo.
† !
!
a) Sean 0ß1 − V ÐHÑ ; veamos como ejemplo que l†
l ! tiene la propiedad
triangular
!
l01l! œsup l01 a baBl
b sup
B−H
H
Bß C −
BÁC
l01 a baB01 b a baCl
b
lBCl!
pero
k0aBb1aBbk Ÿl0aBbll1aBblŸsup
l0aBblsup
l1aBbl
H
H
luego

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 2
ahora
luego
de donde
sup l0aBb 1aBbl Ÿ sup l0aBbl sup l1aBbl
H H H
l0B1B0C1C
a b a b a a b a bbl
lBCl
Teniéndose finalmente
l0aBb0aCbl
l1aBb1aCbl
lBCl! lBCl! ! !
! Ÿ Ÿ L a0bL a1b
L! a0 1b Ÿ L! a0bL!
a1b
l01l! œsup H
la01baBblL!
a01b
Ÿ
Ÿsup
l0aBblL a0bsup
l1aBblL a1b
H
l01l! Ÿl0l! l1l!
! !
b) Demostremos ahora que la norma l† l!
es completa
_
Supongamos que Ö0 8×
8œ" es una sucesión de Cauchy en la V ÐHÑ-norma,
esto quiere decir que lim l0 0 l œ !.
8ß7Ä_
8 7
Si B−Hßl0 8 aBb0 7 aBblŸsup H
l0 8 aDb0 7 aDblŸl0 8 0 7 l!
, entonces
_
Ö08aB b × 8œ" es sucesión de Cauchy, como d es completo se tiene por lo
tanto que lim 0 aBb
existe en d. Se define ahora una función
8Ä_
8
Veamos que 0 esta en V!ˆ H‰
.
0ÀH ⎯→d
B Ä lim 0 B œ 0 B
8Ä_ 8 a b a b
Se conoce que l0 l l0 l Ÿ l0 0 l , por que
8 ! 7 ! 8 7 !
l0 l œ l0 0 0 l Ÿ l0 0 l l0
l
8 ! 8 7 7 ! 8 7 ! 7 !
_
Por lo tanto Ö0 l 8 l!
× 8œ" es una sucesión de Cauchy de donde es
convergente y es acotada, en esta forma existe P ! tal que
l0 l Ÿ P para todo 8 "
8 !
H
!
!

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 3
Teniéndose así que
c08aBb08aCbd
lBCl 8
! Ÿ l0 l ! Ÿ P para todo BßC − H con B Á C
Manteniendo a B e C fijos tenemos (pasando al límite)
c08aBb08aCbd c0aBb0aCbd
lim
8Ä_ lBCl! œ
lBCl!
Ÿ P
Tomando el sup tenemos
de donde 0−V
ÐHÑ.
!
L!a0b œ sup
Ÿ P
kBC k
!
H
Bß C −
BÁC
k0B0C
a b a bk
c) Demostremos ahora que 08 Ä 0 en la V ÐHÑ-norma
Sean Bß C − H, B Á C fijos para todo B − H . Para % ! existe un entero
positivo RÐ% Ñ; si 78 RÐ%
Ñ, entonces
Para todo B −H
l0 0 l
8 7 ! %
l00 a baC00 b a baDl
b
8 7 lCDl! 8 7 !
%
8 7 8 7
k0 aBb0 aBbk Ÿl0 0 l
así pasando al límite cuando 7 Ä_
8 8
k0 aBb0aBbk ! Ÿ % para todo B − H
8
l00 a baC00 b a baDl
b
lCDl
Tomando el supremo tenemos
de donde
sup H
l0 aBb 0aBbl ! Ÿ
8
l00 a baC00 b a baDl
b
lCDl
!
8 8
%
l00 a 8 baC00 b a 8 baDl
b
lCDl!
H
8
Ÿ % sup l0 aBb0aBbl
Tomando el supremo sobre
H
tenemos

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 4
8 8
L!a08 0b œ sup
Ÿ%
sup
l08aBb0aBbl
kCDk
!
H
H
Bß C −
BÁC
ka00baC00 b a baDbk
L!a08 0b sup H
l08aBb0aBblŸ% para todo 8 RÐ%
Ñ
luego
l08 0l! Ÿ % para todo 8 RÐ%
Ñ
2. DEFINICIÓN.
Sea „ un espacio vectorial sobre ‚ y existe una función de
„‚ „ en ‚ denotada por ØÙ , À „‚„ ⎯→‚
tal que
a 0ß1 b Ä Ø0ß1Ù
a) Ø0ß0Ù ! para todo 0 − „ y Ø0ß0Ù œ ! Í 0 œ !
b) Ø0ß1ÙœØ1ß0Ù para todo 0ß1−„
c) Si 0ß1ß2 − „ entonces Ø0ß 1 2Ù œ Ø0ß 1Ù Ø0ß 2Ù
d) Si ! − ‚ ß0ß1 − „
Ø! 0ß1Ùœ!
Ø0ß1Ù
œ
Ø0ß ! 1Ù œ ! Ø0ß 1Ù
A ØÙÀ , „‚„ ⎯→‚
se le denomina producto interno (positivamente
"
definido). Se define aØ0ß 0Ùb#
œ l0l
# # # #
NOTA. Si 0ß1−„ , l01l l01l œ# l0l # l1l
En efecto,
#
l0 1l
œ Ø0 1ß 0 1Ù œ Ø0ß 0Ù Ø0ß 1Ù Ø1ß 0Ù Ø1ß 1Ù
# #
œ l0l
# e/Ø0ß1Ùl1l
Análogamente
Sumando se tiene
# # #
l01l œl0l # e/Ø0ß1Ùl1l
# # # #
l01l l01l œ# l0l # l1l
3. PROPOSICIÓN.
Si 0ß1 − „, entonces lØ0ß 1Ùl Ÿ l0ll1l

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 5
DEMOSTRACIÓN. Demostrar esta desigualdad es equivalente a demostrar
que
1
ll 1
¹ Ø0ß Ù¹ Ÿ l0l esto es equivalente a demostrar que lØ0ß 2Ùl Ÿ l0
l
para todo 2−„ ßcon l2l
œ" .
Supongamos que 2−„ y l2l
œ" y 0−„
, se considera el número
0 Ø0ß 2Ù2 − „ así
! Ÿ l0 Ø0ß 2Ù2l # œ Ø0 Ø0ß 2Ù2ß 0 Ø0ß 2Ù2Ù
œ Ø0ß 0Ù Ø0ß Ø0ß 2Ù2Ù ØØ0ß 2Ù2ß 0Ù ØØ0ß 2Ù2ß Ø0ß 2Ù2Ù
# #
œ l0l
Ø0ß 2ÙØ0ß 2Ù Ø0ß 2ÙØ2ß 0Ù Ø0ß 2ÙØ0ß 2Ùl2l
# # # # # #
œ l0l # lØ0ß 2Ùl lØ0ß 2Ùl l2l œ l0 l lØ0ß 2Ùl
De donde se recibe que
Tomando raíz tenemos
# #
|Ø0ß 2Ùl Ÿ l0l
lØ0ß 2Ùl Ÿ l0l
4. PROPOSICIÓN.
Si 0ß1 − „, entonces l01l Ÿl0ll1l
# # # # #
DEMOSTRACIÓN. l0 1l œ l0l # e/Ø0ß 1Ù l1l Ÿ l0 l #lØ0ß 1Ùl l1l
Ÿ l0 l # + # l0ll1ll1l # œ al0ll1lb
#
Tomando raíz cuadrada tenemos
l01l Ÿl0ll1l.
5. COROLARIO.
l† l œ aØßÙ b
" #
es una norma sobre „
6. DEFINICIÓN. Si Š „ß l† l œaØ†ß †Ù b
" #
‹ es un espacio de Banach, en este caso
a „ se le denomina espacio de Hilbert y se le denota con [.
7. DEFINICIÓN.
Supongamos que [ es un espacio de Hilbert y 0ß1 − [, si
Ø0ß1Ùœ! , entonces se dice que 0ß1 son ortogonales (o perpendiculares)

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 6
¼
Si W § [ se denota por W œ Ö0 − [ ÎØ0ß 1Ù œ ! para todo 1 − W× y es
llamado el complemento ortogonal de W
W ¼ es un subespacio lineal de
[. (Esto es claro ya que
¼
Ø0 ! 1ß 2Ù œ Ø0ß 2Ù ! Ø1ß 2Ù œ ! a2 − W Í 0ß 1 − W
).
8. PROPOSICIÓN.
Si À es un subespacio lineal cerrado de [ y 0−[
entonces existe un único elemento 1−À, tal que
w w w
l01l l01l
para todo 1 −Àß1 Á1
DEMOSTRACIÓN. Sea .œinf el02lÎ2−Àf, existe una sucesión
_
_
Ö0 8× 8œ" § À tal que . œ lim l0 08l, veamos que Ö0 8×
8Ä_
8œ" es una sucesión
de Cauchy
# # # #
l0 0 l œla0 0ba0 0bl œ# l0 0l # l0 0l % ¼"
8 7 8 7 8 7 a08 07b0¼
#
# #
Ÿ# l0 0l # l0 0l
%.
Pasando al límite
8 7
lim
8ß7Ä_ 8 7 # # # #
l0 0 l Ÿ #. #. %. œ !
_ 8 8œ"
entonces Ö0 × es una sucesión de Cauchy en À.
Como À es cerrado existe 1−À
tal que
donde
1œ lim 0
8Ä_ 8
l01l œlim
l0 0l
œ.
8Ä_ 8
Veamos finalmente la unicidad; supongamos que 1 − À y que
l01l œl01 w l, tenemos ahora las siguientes consideraciones
# # # #
# % %
# " w #
œ. %
l11l
¼ " w
a b¼
" w "
#
w w
0 11 œ la01ba01bl œ Š # l01l # l01l l11l
‹
Como ¼ " w ¼ # w w
0 a11b . , se sigue que l11l
œ! de donde 1œ1.
#
#
w
#

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 7
9. Sea [ un espacio de Hilbert. Si À es un subespacio cerrado en [ y
0−[ entonces existe un único elemento 1−[
tal que
w w w
.3=> aÀß0b œ l0 1l l0 1 l para todo 1 − Àß 1 Á 1 (ver 8.)
10. DEFINICIÓN.
Si 0ß1 − [ y Ø0ß1Ù œ !, en este caso se dice que 0 y 1 son
ortogonales (ver 7.)
NOTACIÓN. 0¼1ÍØ0ß1Ùœ! .
¼
11. DEFINICIÓN.
Sea W § [, W œ Ö1 − [ ÎØ0ß 1Ù œ ! para todo 0 − W× es
llamado el complemento ortogonal de W. (ver 7.)
12. PROPOSICIÓN.
Si À es un subespacio cerrado de [, entonces À ¼ es un
subsespacio cerrado de [.
DEMOSTRACIÓN. Para demostrar que es cerrado supongamos que
_
¼
Ö0 × es una sucesión en À y que 0 − [ es tal que
8 8œ"
¼
lim l0 0l
œ !
8Ä_ 8
À ¼
Para ver que 0−À
, vemos que Ø0ß1Ùœ! para todo 1−À.
8
Si
1−À
entonces
# # #
8 8 8 # #
lØ0ß 1Ùl œ lØ0ß 1Ù Ø0 ß 1Ùl œ lØ0 0ß 1Ùl Ÿ l0 0 l l1l
Ä !
así lØ0ß1Ùlœ! de donde Ø0ß1Ùœ!ß entonces 0−À ¼ .
NOTA. À
À
¼
œ Ö!×
EJERCICIO. [ œ ÀŠÀ
¼
_ 8 8œ"
SOLUCIÓN. Escojamos en À un sistema ortonormal completo Ö : × y
_
8 8 8 8
8œ"
_
8 #
8œ"
w
[
pongamos 2œ!
- : , - œØ0ß:
Ù. Puesto que, debido a la desigualdad
de Bessel, la serie ! - es convergente, el elemento 2 existe y 2 − À.
Sea 0− , tomemos 2 œ02, es evidente que para todo 8
w
Ø2 ß : Ù œ Ø0 2ß : Ù œ !
8 8
y como cualquier elemento de À se puede representar en la forma

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 8
_
0 œ ! + :
8œ"
8 8
tenemos para
0 − À
que
_
w
w
Ø2 ß 0 Ù œ ! + Ø2 ß : Ù œ !
8œ"
8 8
es decir 2 − À .
w
¼
Supongamos ahora que además de la descomposición obtenida 0 œ22 w
existe otra descomposición
" " w "
"
w ¼
0œ2 2ß 2 −Àß 2 −À
Entonces, tenemos para cualquier 8
Ø2" ß : 8Ù œ Ø0ß : 8Ù œ -8
y de aquí se deduce que 2" œ 2ß 2" w œ 2
w .
_
13. DEFINICIÓN.
Si OœÖ : 8× 8œ" es una sucesión en [ y Ø: 8ß: 7Ùœ$
78 en
este caso se dice que O es un conjunto ortonormal.
_
8 8œ"
14. TEOREMA.
Si OœÖ : × es un conjunto ortonormal de [ entonces
7
3Ñ ! lØ0ß Ùl Ÿ l0l
8œ"
: 8 # #
_
8 8œ"
(desigualdad de Bessel)
33Ñ Si Ö ! × es una sucesión de ‚ entonces
7 7
¾! !: 8 8 0 ¾ ¾!
Ø0ß: 8Ù:
8 0¾
para todo entero positivo 7.
8œ" 8œ"
DEMOSTRACIÓN. 3Ñ De la definición de la norma se tiene que
7 #
7 7
! Ÿ ¾! Ø0ß : 8Ù: 8 0¾
œ ¤ 0 ! Ø0ß : 8Ù: 8ß 0 ! Ø0ß : 8Ù:
8¥
œ
#
8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7 7
! : 8 : 8
! : 8 : 8
! : 8 : 8
! : 8 : 8
8œ" 8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7
#
: 8 : 8 : 8 : 8 : 8 : 8
8œ" 8œ" 8œ"
7
#
#
:
8œ"
œ l0l ¢ 0ß Ø0ß Ù £ ¢ Ø0ß Ù ß0£ ¢ Ø0ß Ù ß Ø0ß Ù £
=l0l ! Ø0ß ÙØ0ß Ù ! Ø0ß ÙØ0ß Ù ! Ø0ß ÙØ0ß Ù œ
œ l0l !
lØ0ß Ùl

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 9
7 # 7 7
33Ñ !Ÿ¾!!: 8 8 0¾
œ¢ !!: 8 8 0ß!
!: 8 8 0£
8œ" 8œ" 8œ"
7 7 7 7
œ ¢ !!: ß! !: £ ¢ !!: ß0£ ¢ 0ß! !: £ l0l
8 8 4 4 8 8 8 8
8œ" 4œ" 8œ" 8œ"
7 7 7 7
! Ÿ !! !! Ø: ß: Ù! ! Ø: ß0Ù! ! Ø0ß:
Ùl0l
8 4 8 4 8 8 8 8
8œ" 4 œ" 8œ" 8œ"
7 7 7
# #
! 8 ! 8 : 8 ! 8 : 8
8œ" 8œ" 8œ"
œ ! l l ! Ø ß0Ù! Ø0ß Ùl0 l a"
b
Ahora tenemos por otro lado lo siguiente
7 7
! #
lØ0ß: Ù! l œ !aØ0ß: Ù! bˆ Ø0ß: Ù!
‰
8 8 8 8 8 8
8œ" 8œ"
7
œ ! ˆ Ø0ß : ÙØ0ß : Ù Ø0ß : Ù! ! Ø0ß : Ù ! ! ‰
8œ"
7
8 8 8 8 8 8 8 8
œ ! ˆ # #
lØ0ß : Ùl ! Ø0ß : Ù ! Ø0ß : Ù l!
l ‰ a#
b
8œ"
Así de uno y dos tenemos
8 8 8 8 8 8
7 #
7 7
# # #
¾! !: 8 8 0¾
œ l0l
! lØ0ß: 8Ù! 8l !
lØ0ß:
8Ùl
8œ" 8œ" 8œ"
7 7
#
#
l0l ! #
lØ0ß : 8Ùl œ ¾0 ! Ø0ß : 8Ù:
8¾
8œ" 8œ"
Tomando la raíz cuadrada se recibe
7 7
¾ !!: 8 8 0 ¾ ¾0!
Ø0ß: 8Ù:
8¾
8œ" 8œ"
_
15. PROPOSICIÓN . Si OœÖ : 8×
8œ" es un conjunto ortonormal en [ y además
_
Ö × es una sucesión de números complejos, entonces se tiene que la
! 8 8œ"
_
_
8 8 8 #
8œ" 8œ"
serie !!: converge si y sólo si ! l!
l es convergente.
En el caso de tener convergencia se tiene
_
# _ #
¾! !: 8 8¾ œ ¾!
! 8¾
8œ" 8œ"
DEMOSTRACIÓN. a) Basta con observar lo siguiente:
#
#

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 10
7 # 7 7 7 7
¾! !: 8 8¾
œ ¢ !!: 8 8ß! !: 8 8£
œ !! 8Ø: 8ß!: 8 8Ù œ ! l!
8l
8œ5 8œ5 8œ5 8œ5 8œ5
7 # 7
b) Como ¾! ¾ ! #
!: 8 8 œ l!
8l tomando límite cuando 7 Ä _ se tiene
8œ" 8œ"
_
8 8œ"
_
_
¾! !: 8 8¾
œ ! l!
8l
8œ" 8œ"
#
16. Si OœÖ : × es un conjunto ortonormal en [, entonces
¼
¼
3. 0 − ÒOÓ œ Öcombinaciones lineales de O× entonces ! Ø0ß: Ù:
œ !
33. 0 − ÒOÓ entonces 0 œ ! Ø0ß : Ù:
_
8 8
8œ"
7 7
Dado % ! , existe !! 8: 8 tal que ¾ !! 8: 8 0 ¾ %
ya que
8œ" 8œ"
7 7
º ! Ø0ß : 8Ù: 8 0º Ÿ ¾!
! 8: 8 0¾
%
8œ" 8œ"
7
por lo tanto ! Ø0ß : Ù: Ä 0
8œ"
8 8 7p_
_
#
_
8œ"
#
8 8
17. DEFINICIÓN.
Si OœÖ : 8 × 8œ" es un conjunto ortonormal; a O se le
denomina base ortonormal de [, si
_
0−!
Ø0ß: Ù: para todo 0−[
8œ"
8 8
_
18. PROPOSICIÓN.
OœÖ × es una base ortonormal si y sólo si
: 8 8œ"
_
#
l0l œ ! lØ0ß Ùl
8œ"
: 8 #
En efecto, Como hemos visto [ œÒOÓŠÒOÓ ¼
así
¼
0 −[ œÒOÓŠÒOÓ Í0 œ52œ!
Ø5ß: Ù:
2
Ahora
_
8œ"
8 8
_
#
_
# # #
l l ¾! ¾ l l !
#
0 œ : 8Ø5ß : 8Ù 2 œ lØ5ß : 8Ùl l2l
8œ" 8œ"

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 11
_
Como ! lØ0ß : Ùl œ l0l se sigue que l2l
œ !.
8œ"
8 # # #
19. DEFINICIÓN . Supongamos que „ y … son espacios vectoriales. Si ƒ es
un subespacio de „ y XÀƒ ⎯→…
es una función tal que
Xa! 0 " 1b œ ! Xa0b" Xa1b
para todo ! " , − d (ó ! ß" − ‚) para todo
0ß1 − ƒ , en ese caso a X se le denomina un operador lineal de „ a ….
Se denota por HX a b œƒ
œ"al dominio de X"
VaXb œXaƒb œÖXa0bÎ0− ƒ ל"recorrido de X"
RaX b œ Ö0 − ƒ Î X a0b
œ !× œ "subespacio nulo de X " o en núcleo de X .
20-a. EJEMPLO. Supongamos que 5ÀÒ+ß,Ó‚Ò+ß,Ó⎯→d
es una función
continua. Se define
, À VaÒ+ß,Ób⎯→VaÒ+ß,Ób
'
+
,
,Ò0ÓB a b œ 5BßC0C.C
a b a b
l† l la norma de VaÒ+ß,Ób
_
Veamos que , está bien definida.
Dado % ! , existe $ ! tal que si lBßC a baBßCbl$
entonces
w
w
l5BßC a b5BßC
a bl
w
w
%
l0 l a,+
b
!
esto se tiene por hipótesis. Dado 0−V ÐÒ+ß,ÓÑsi lBBl$
tenemos
w '
+
,
l, a0baBb,
a0baB b l œ ¹ a5BßC a b5BßC
a bb0C.C
a b ¹
,
Ÿ ' l5 a Bß C b 5 a w
B ß C b ll0 a C b % ,
l.C Ÿ ' l0 a C b l.C %
+ l0 l a,+
b +
!
w
w
por lo tanto ,
está bien definida.
Continuidad y linealidad
, ,
,! Ò 0ÓaBb œ' 5BßC a b! 0C.Cœ a b !'
5BßC0C.Cœ a b a b !, Ò0ÓB a b
+ +
, , ,
,Ò01Óœ' 5aBßCba0aCb1aC bb.Cœ'
5aBßCb0aC b.C'
5aBßCb1aC b.C
+ + +

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 12
œ , Ò0ÓaBb,
Ò1ÓaBb
Además para 1 − VÐÒ+ß ,ÓÑ es posible hallar 0 − VÐÒ+ß ,ÓÑ tal que
,Ò0ÓaBb
œ 1.
Este operador es llamado operador de Fredholm
20-b.
EJEMPLO
(útil). Consideremos el siguiente problema
a8b a8"
b
C + 8" C â+ ! Cœ2 ab >
œ
w 8"
C a! b œ!œC a! b œâœC a!
b
a"
b
donde
+ß+ßáß+
! " 8"
son constantes.
Aplicando la transformada de Laplace a
a"
b
se tiene
¿ ˆ a8b‰ ¿ ˆ a8"
b
C + C ‰ â+ ¿ aCb œ¿
a2 ab > b
8" !
Lo anterior es completamente equivalente a
De donde
8 8"
8" !
¿ aC ba= + = â+ b œ ¿ Ò2 a> bÓ œ : a=
b
¿aCb
œ
:a=
b
=
8+ =
8"
â+
8" !
de donde tomando la inversa
Así
" :a=
b
" "
"
=
8+ =
8"
8" â+ ! =
8+ =
8"
8" â+ !
Cœ¿ Š ‹ œ¿ Ò : ab =Ó‡ ¿ Š ‹
œ2 ab >‡1> ab
'
!
>
Cœ 1> a 0b2 a0b.
0
se puede entonces definir el operador
8
XÀV
Ò!ß+Ó⎯→VÒ!ß+Ó
a8b a8"
b
0 Ä Xa0b œ0 + 0 â+ 0
8" !

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 13
y si Xa0b œ 2 a> b se tiene que 0 œ 1 a>0b2 a0b.
0 , donde
y
'
!
>
1> abœ
Š ‹
¿ " "
=
8+ =
8"
â+
8" !
Ò!ß+Ó‚Ò!ß+Ó⎯→d
a>ß 0b Ä 1 a> 0b
es el núcleo de la transformación.
21. En lo que sigue „ y … son espacios de Banach.
DEFINICIÓN. Sea
7!, tal que
XÀ„ ⎯→…
un operador lineal, si existe un número real
lXa0bl Ÿ 7l0l
, para todo 0 − HÐXÑ
… „
entonces se dice que X es un operador acotado en HÐXÑ.
Si X
es acotado, se define
lXl œ inf š 7ÎlXa0bl… Ÿ 7l0l„
, para todo 0 − HÐXÑ ›
como la "norma" del operador X .
Este inf siempre existe pues 7 !. Es fácil ver que
…
lXl œ sup
l0l
œ sup lXab
1 l
„
ll 1 œ "
0−HÐXÑ
0Á!
lXa0bl
lXa0bl
l0l
…
Puesto que si sup
œ7! , y , lXa0b l … Ÿ7l0l
„ para todo
0−HÐXÑ
„
0Á!
lXa0bl…
l0 l
!
„
0−HÐXÑ entonces Ÿ7, para todo 0−HÐXÑ así 7 Ÿ7 y por lo
tanto es una cota inferior del conjunto
š 7ÎlX a0bl Ÿ 7l0l
, para todo 0 − HÐX Ñ›
.
… „
„
…

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 14
lXa0bl
l0 l !
…
Si 0−HÐXÑ, 0Á! entonces Ÿ7 de donde
lXa0bl Ÿ 7 l0l
para todo 0 − HÐXÑ,
… ! „
por lo tanto
7! − š 7ÎlXa0b l …
Ÿ 7l0l
„
para todo 0 − HÐXÑ›
.
Luego 7! œ lXl
„
Ahora consideremos 5ÀÒ+ß,Ó‚Ò+ß,Ó⎯→d
continua y
, ÀVÒ+ß,Ó⎯→V Ò+ß,Ó donde , Ò0ÓaBb œ 5aBßCb0aC b.C
0Ä,
Ò0Ó
'
+
,
En aVaÒ+ß ,Óbß
l l
†
_
b
tenemos
teniéndose
, ,
l, Ò0ÓBlœ a b ¹ ' 5BßC0C.C a b a b ¹ Ÿ'
k5BßC a bkl0C a bl.C
+ +
,
sup
'
+
Bß C − Ò+ß ,Ó
Ÿ l5aBßCbl l0aCbl.C
Ÿ sup l5aBßCbl a,+ bl0l œ 7l0l
Bß C − Ò+ß ,Ó
l, a0bl Ÿ 7l0l
Luego el operador , es acotado.
EJERCICIO. Consideremos el siguiente espacio:
se define
_
_
! !
#
V ! #
aHb œ ˜−V aHbÎß ß −V ! aH ba3ß4ß "Ÿ3ß4ŸR ß!!
"
B
B B
3 3 4
#
l l l l ! `
œ ½ ½ !
`
½ ½
#! !
R
R
`B3 3œ" !
`B3`B4
3ß4 œ" !
entonces V
#! aHb
es un espacio vectorial normado. Tomando

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 15
• #!
!
PÀV aHb⎯→V ÐHÑ
R
R
#
`
Ä PÒÓ œ ! + !, `
-
34 `B `B 3 `B
3ß4 œ" 3œ"
3 4 3
demostrar que P es acotado. Además demostrar que si P es elíptico
entonces P es uno a uno (es una consecuencia del principio del máximo
ver notas breves)
#! #!
NOTACIÓN. • V aHb
œ š 0 − V aHbÎ0l`H
œ !›
22. TEOREMA.
Sea XÀ„ ⎯→…
un operador lineal. Xes un operador acotado
en HÐX Ñ si y sólo si X es continuo.
La demostración se sigue de la desigualdad de Lipschitz
lXa0bXa1bl œ lXa0 1bl Ÿ lXll0 1l
Consideremos el espacio a
… „
V "
aÒ+ß ,Óbß l†
l
"
QÀV
aÒ+ß,Ób⎯→VaÒ+ß,Ób
w
0Ä0
_
b el operador
no es continua, basta tomar operadores cerrados como los dados por la
_
sucesión Ö 8>×
sin 8œ"
23. TEOREMA. (Función abierta) Si „ y … son espacios de Banach y
PÀ„ ⎯→ … es un operador lineal continuo y sobreyectivo entonces P ( es
abierta) aK abierto en „ se tiene que PaKb
es abierto en ….
NOTACIONES. En
„ se usa para las bolas
Wa0b œe0Îl00 l < f œE0ß< a b
< ! ! !
W< œ E a!ß< b œ Ö0Îl0l

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 16
Se sabe de la teoría de conjuntos que si
y 0ÀQ⎯→R
es una función entonces
0Š Y! ‹ œ 0aY!
b
! !
ÖY ! × es una familia de conjuntos
Puesto que K es cualquier abierto en „, es reunión de bolas abiertas, por
lo tanto es suficiente demostrar que PW a < a0!
bb
es abierto. Ahora sea Lun
abierto en …, esto implica que dado 5! − L existe una vecindad Z5 !
tal
que Z 5 § L. Entonces es suficiente demostrar que si 1! œ Pa0!
bentonces
!
para cada W a0 b existe Y a1 b tal que PaW a0 bb ¨ Y a1
b
< ! = ! < ! = !
Nótese que PW a b ¨Y Í(como Pes lineal ) PW a b ¨Y
" < < ßy , l11l
> ! ! ! !
Sea 0" − W> a0! b Í 0" œ 0 0! donde 0 − W> . Para un tal 0"
, tenemos
P0 a " b œP0 a bP0 a ! b œP0 a b1! y el conjunto ÖP0× a b de tales elementos
0−W cubre a Y .
>
_
Demostremos ahora que para
Veamos ahora que PW a b es denso en la bola Y, se puede obtener 0 −W
tal que P0 a b œ1 y l1 1l
sea pequeña.
! ! !
" < ! "
Tomando => se ve que PW a " b es denso en Y= a1! b, entonces PW a # b posee
todos los vectores de la forma P0 a ! bP0 a b donde 0−W" y PW a # b es denso
=
en Y . Esto demuestra que PaW b es denso en Y tomando < œ .
= " <
#

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 17
PARTE IMPORTANTE DE LA DEMOSTRACIÓN. Mostremos que
bola Y : (para esto se usa la completez de „).
PW a b
"
contiene una
Sea 1−Yß < mostremos que existe 0 tal que P0 a b œ1. Escojamos $ ß
"
!$ " ( $ œ
#, se sigue de la rapidez de la convergencia). Se construyen
_
_
dos sucesiones Ö1 × , Ö0 × tales que
8 8œ" 8 8œ"
0 − „ ß 1 œ Pa0 bß lim l11 l œ !
8 8 8 8
8Ä_
_
Ö0 8 × 8œ" es convergente, puesto que el espacio „ es completo, podemos
por lo tanto tomar lim tal que . Dado que es
8Ä_ 8 "
0 œ 0 l0l Ÿ a"$
b
P
continua (puesto que por hipótesis P es acotado) se ve que
P0 a b œ lim P0 a b œ lim 1 œ1
8Ä_
8 8
8Ä_
Esto demuestra que PŠ W ‹ ¨Y y por lo tanto PW a b ¨Y donde
:œ

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 18
l0l Ÿ l0 l$ $ â Í l0l Ÿ "$ $ â œ a"$
b
"
# # "
_
NOTA. Sea Ö0 × una sucesión 0 œ 0 ! a0 0 b, así:
8"
8 8œ"
8 " 3" 3
3œ"
_
0œlim
0 œ0 !a0 0b.
8 " 3" 3
8Ä_ 3œ"
24. TEOREMA.
Si „ y … son espacios de Banach y PÀ„ ⎯→…
es un operador
lineal acotado y P
"
es una biyección entonces P À … ⎯→„
es un operador
lineal acotado.
DEMOSTRACIÓN. P es lineal . Puesto que si 1 − … entonces 1 œ Pa0b
con
0−„, así
" " " " " " "
P Ò1" 1ÓœP # cPP a a1" bbPP a a1# bbd œPP cP a1" bP a1#
bd
" "
œP a1bP a1b
De otra forma sería
" #
"
" # " # " # " # " #
1 1 œP0 a bP0 a b œP0 a 0b ÍP a1 1b
œ0 0
pero
"
0" œ Pa1" b Í 1" œ P a0"
b
por lo tanto
así
P " es acotada
" "
" # " #
0 0 œ P a1 bP a1
b
" " "
" # " #
P a1 1 b œ P a1 bP a1
b
P
" "
es acotada
Í P
es continua
"
Sea WœP À… ⎯→„
por el teorema de la función abierta se sigue que W
es continua esto implica que cada abierto Kde „, W " aKb
es abierto en …,
pues,
" "
W aKb œ aP b "
aKb œ PaKb

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 19
25. DEFINICIÓN.
Supongamos que „ y … son espacios de Banach.
Denotemos por _„… a ß b œ ÖQ À „ ⎯→…
ÎQ es un operador lineal acotado × .
Si „ œ … entonces _„… a ß b œ _„ a b.
26. a_„…
a ß bß l† lb donde l†
l es la norma de los operadores acotados, es
un espacio de Banach.
Demostremos que
l†
l
es una norma
3Ñ Si Q − _„… Ð ß Ñ entonces lQl œ sup lQaB bl
!
0−„
l 0 l œ "
Si lQl œ !, entonces ! œ lQab
1 l… Ÿ lQll1l„ entonces lQab
1 l…
œ ! para
todo 1−…
ÍQÐ1Ñœ! para todo 1−…
ÍQœ! .
33Ñ Si ! − ‚ y Q − _ Є ß … Ñ entonces
l! Ql œ sup l! Qa0bl…
œ sup l! llQa0bl œ l! lsup
lQa0bl…
œ l!
llQl
0−„ 0−„ 0−„
l0l œ " l0l œ " l0l
œ "
333Ñ Si Qß X − _„… Ð ß Ñ, entonces
laQ Xba0bl… œ lQa0bXa0bl… Ÿ lQa0bl… lXa0bl…
Ÿ lQl l0l lXl l0l Ÿ elQl lXl
fl0l
para todo 0 −
… „ … „ … … „ „
pasando al supremun entonces lQXl ŸlQllXl
3@Ñ Seguidamente demostremos que _„… Ð ß Ñ es completo en esta norma
_
l† l. Supongamos que ÖX 8× 8œ" es una sucesión de Cauchy en _„… Ð ß Ñ
entonces lim lX X l œ !. Si 0 − „ se tiene que
8ß7Ä_
8 7
lX a0bX a0bl œlaX X ba0bl ŸlX X ll0l
Ä!
8 7 … 8 7 … 8 7
entonces tenemos que lX8a0bX7a0bl
Ä ! cuando 8ß7 Ä _ por lo tanto
_
ÖX8a0 b× 8œ" es una sucesión de Cauchy en …, entonces lim X8a0b
existe
8Ä_
en … (por ser … un espacio de Banach). Se define
XÀ„ ⎯→…
0ÄX a 0 b œ lim X a 0 b
8Ä_
8
…

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 20
X es trivialmente lineal, nos basta por lo tanto ver que es acotado.
Sabemos que ¹ lX llX l¹
Ÿ lX X l Ä ! esto quiere decir que
8 7 8 7
_
ÖX l 8 l×
8œ" es una sucesión de Cauchy de números reales, por lo tanto
existe < ! tal que lim lX l œ< . Luego usando esto tenemos que
teniéndose que
Luego
8Ä_
8
lXl œ sup lXa0bl œ sup Š ½lim
X a0b½‹
Ÿ <
l0l
œ " l0l
œ "
lXa0bl
l l
0
Ÿ<
8Ä_ 8
lXa0bl Ÿ < l0l
de donde X − _„… Ð ß Ñ
_
Veamos que la sucesión ÖX 8× 8œ" converge a X , ya que ÖX 8×
8œ" es una
sucesión de Cauchy en _„… Ð ß Ñ entonces dado % !, existe RÐ%
Ñ ! tal
que si 87 RÐ% Ñ se tiene que lX X l %
Para todo 0−„ se tiene que
Tomando límite cuando 7 Ä_
8 7
lX a0bX a0bl Ÿ lX X ll0l Ÿ l0l
8 7 8 7 %
lim lX a0bX a0bl Ÿ % l0l Í ½X a0blim
X a0b½
Ÿ % l0l
7Ä_
8 7 8 7
7Ä_
Esto quiere decir que lX8 Xll0l Ÿ % l0l
para todo 0 − „. Por lo tanto
_
lX Xl
Ÿ %, luego lim X œ X
8 8
8Ä_
EJERCICIO. Supongamos que 5 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó⎯→d
es una función continua y
_
existe una sucesión de funciones Ö5 8× 8œ" ß donde 58
À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó⎯→d
es
una función continua y lim l5 5l
œ !. Si
8Ä_ 8 _
" "
O Ò0ÓaBb œ ' 5 aBß Cb0aC b.C ß y , OÒ0ÓaBb œ ' 5aBß Cb0aC b.C ß a0 − VÐÒ!ß "ÓÑ
8 ! 8
!
_
8 8œ"
entonces demostrar que ÖO × converge a O en _V Ð Ò!ß "ÓÑ.

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 21
En efecto,
Luego,
" "
laO Oba0b l œ sup ¹ ' 5BßC0C.C a b a b ' 5aBßC0C.C
b a b ¹
8 ! ! 8
B−Ò!ß"Ó
" "
sup ' a b sup
'
! 8a b
8 _ !
B−Ò!ß"
B−Ò!ß"Ó
œ k5 Bß C 5 Bß C kl0aCbl.C Ÿ l5 5 l l0aCbl.C
Ó
Ÿ l5 5 l l0l
8 _ _
lO8 Ol Ÿ l5 58 l_
Ä !Þ
NOTA. Cuando
posible escribir
58aBßCb
es continua por el teorema de Weierstrass es
8
5 aBßCb œ ! < aBb9
aCb
8 7 8
7œ"
Esto es a 58aBßCb
polinómicas
se le pueden separar las variables mediante funciones
Observemos la ecuación de la forma
"
0B a b' !
5BßC0C.Cœ1C a b a b a b aMb
5 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó⎯→ d continua. Supongamos que se tiene el siguente
problema: Dado 1 − VÐÒ!ß "ÓÑ, se desea determinar 0 tal que satisfaga la
«
"
siguiente implicación: Si XÒ0ÓaBb œ' !
5aBßCb0aC b.C
es un operador lineal
entonces el problema aMb tendrá la forma aM Xb0 œ 1
»
Si se desea que una tal 0 exista, esto se tendrá cuando aM Xb
sea un
operador invertible.
27. Supongamos que XÀ„ ⎯→ „, donde „ es un espacio de Banach y
"
X−_„ Ð Ñ (es lineal acotado) si lXl„
" entonces aMXb
existe y
"
aMXb
−_„ Ð Ñà en ese caso se dice que MX es invertible.
8 8
DEMOSTRACIÓN. Si lXl ", entonces ya que lX l Ÿ lXl
para todo entero
positivo 8, entonces sabemos que ! 8
X Ÿ !
8 "
l l lXl
œ .
_
_
8œ! 8œ!
"lX
l

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 22
Como _„ Ð Ñ es un espacio de Banach y ! lXl
converge entonces ! X
converge en
_„ Ð Ñ
además se tiene que
_
_
8 8
8œ! 8œ!
_ 8 8
8 5 5
8œ! 8Ä_
5œ" a"
b 8Ä_
8œ!
8
lim ! ˆ 5 5" ‰ 8"
lim a b
8Ä_
5œ!
a# b 8Ä_
a$
b
aMX b† ! X œaMXblim
! X œ lim aMX b† ! X
œ X X œ MX œ M
a" b Recuérdese que _„ Ð Ñ⎯→
_„ Ð Ñ
QÄP†Q
es una operación continua
a# b Se trata de una suma telescópica
_
8 8 8
8œ!
8Ä_
a b!
8
$ X converge y lX ! l Ÿ lXl
Ä !, entonces lim X œ !•
_
8
"
Por lo anterior tenemos que aMXb œ!
X .
Para el problema aMb
tendríamos que la solución (en el caso de que
_
lXl
") es 0 œ ! X 8
a1b.
8œ!
28. Supongamos que „ es un espacio de Banach y PßPßP −_ Є
Ñ. Si
" "
lPP llP l " , entonces P −_„
Ð Ñ (es decir, P es invertible)
! !
8œ!
! ! "
PRUEBA. Denotemos por
EœP P !
entonces
PœP EœPaMP Eb
! ! ! "
ya que
" " "
! ! !
lP El Ÿ lP llEl œ lP llPP l "
por el teorema anterior a#( b tenemos aM P Eb
es invertible y
"
!
_
_
" 8 8
! ! ! !
8œ! 8œ!
"
a b ! "
a b ! "
MP E œ P E œ aP aP Pbb
! " " "
!
ya que P − _„ Ð Ñ y aM P b − _„ Ð Ñ entonces
" " " "
! !
P œ aM P Eb P − _„ Ð Ñ
!

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 23
Además
_
" " 8 _
" " 8 "
! ! ! !
8œ! 8œ!
P œ Œ! aP Eb P œ ! aP aP!
Pbb
P
Veamos ahora
_
" " " 8 "
! ! ! ¾
8œ"
_
Ÿ ¾ P! " 8
aP!
Pb
¾ P
"
!
8œ"
_
" 8 "
Ÿ lP! llP!
Pl
P!
8œ"
lP P l œ ¾! aP aP!
Pbb
P
"
!
! a b l l
! a b l l
Sea = lP llPP l " por hipótesis luego
!
_
_
8
! !
! ! "
!
8œ" 8œ"
Por lo tanto
! al P "
ll P P lb l P "
l œ ! 8 " "
l P l œ
l P l
" " " "
! !
lP P l Ÿ a"
b lP l aMMb
29. DEFINICIÓN.
Sea „ un espacio de Banach, y XÀ„ ⎯→ „ es un operador
lineal ( X no es necesariamente acotado) al conjunto
3a b ˜
"
X œ - − ‚ Îa- M Xb
− _ Є
Ñ
se le denomina conjunto resolvente de X. Al complemento 5ÐXÑ de 3ÐXÑ
en ‚ ( 5 ÐXÑ œ ‚ 3ÐXÑ) se le denomina el espectro de XÞ
Si
- − 3ÐXÑ se denota por VÐ-ßXÑ œ Ð-M XÑ "
V a†ßXb
À 3 ÐXÑ⎯→_ Є
Ñ
"
- Ä a-M Xb
V a†ßXb se le denomina el operador resolvente de X.
NOTA. 1. Puede suceder que X no sea invertible pero existe - tal que
-MX es invertible por que -MX œ-ˆ X
M ‰ y existe - tal que ¼X¼
" .
- -
2. Recordemos el teorema de Banach para operadores acotados: Sea X
un operador lineal acotado, que efectúa una transformación biunívoca del

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 24
espacio de Banach „ sobre el espacio de Banach …. Entonces el operador
inverso X " es acotado (ver el teorema 24.)
30. Si X−_„ Ð Ñ, entonces -−3ÐXÑsi y sólo si a-MXb
es una biyección.
Notación:
- − 5ÐXÑ Í
Ú
Ý a- M X b no es 1-1
a
Í b 0 − „ tal que a-M X ba0b
œ !ß 0 œ Î !
Û
Í b0 œ Î ! tal que Xa0b
œ -0
Ý
Ü a-MXb
no es sobre
también se tiene que
5aX b § F a! b œ Ö- − ‚ Îl-l Ÿ lX l×
lX
l
por que
-MX œ-ˆ X
M ‰ y es invertible Í ¼X¼ "ÍlXl
Ÿl-l
- -
Si consideramos sup l l œ el radio espectral de X .
« »
-
- − 5ÐXÑ
31. DEFINICIÓN.
Supongamos XÀ„ ⎯→ „ es una aplicación lineal y „ un
Va ßXbVa ! ßXb
espacio de Banach. Si - − 3ÐXÑ y lim
existe, en este caso se
dice que V a†ßXb es analítica en .
!
- !
- -
- Ä -
--!
EJERCICIO. Demostrar que la función V a†ßXb es continua en 3ÐXÑ.
Sugestion: Tomar P! œ -!
M X, P œ -M X usar aMMb
para la construcción
de % y $ .
32. TEOREMA.
Si X es un operador lineal acotado esto es X − _„ Ð Ñ
entonces
a" b 3aXb œ Ö- − ‚ Îa-M X bes invertible × es abierto
a# b V a†ßXb
À 3 ÐXÑ⎯→_ Є
Ñ
- ÄVa-ßXb œa-MXb
"
!
es una función analítica.
DEMOSTRACIÓN. a" b Supongamos que -!
− 3ÐXÑ
esto quiere decir que
"
a- MXb y a- MXb
−_ Є Ñ. Si - −‚
y supongamos que
! !
entonces
la b a bl¼ "
-MX - MX a-
MXb
¼ "
! !

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 25
l- -l¼
"
a-
M Xb
¼ "
! !
pero esto equivale a que
l- -l Ÿ ¼a- M Xb ¼ œ $
aMMMb
! ! " "
!
Por el teorema 28. anterior, si - − ‚ satisface aMMMb entonces a-M Xbes
invertible por lo tanto
esto muestra que
F$ !
a-! b œ Ö-Îl-- ! l $ ! × § 3ÐXÑ
3aX
b
es abierto.
a# b Supongamos que - − 3ÐXÑ
entonces
!
" "
VÐ-ß XÑ VÐ-! ß XÑ œ a-M Xb a-!
M X b
œa-MXb ca-! MXba-MXbda-!
MXb
œVa-ßXbVa- ßXba- -b
Obteniéndose que
" "
! !
VÐ-ßXÑVÐ-!
ßXÑ
--
œ VÐ-ßXÑVÐ-!
Pasando al límite tenemos
!
ßXÑ
lim
-Ä-
!
VÐ-ßXÑVÐ-!
ßXÑ
--
!
#
œ V Ð-
ßXÑ
!
Así el límite existe y VÐ † ß XÑ es analítica en 3ÐXÑ.
33. TEOREMA. Si „ Á eF f y si X − _ Є Ñ entonces 5ÐXÑ
no es vacío.
DEMOSTRACIÓN. Supongamos que 5ÐX Ñ œ F entonces VÐ † ß X Ñ es analítica en
‚. Para todo l-l lXl
se tiene que
así
_
" 8
- -
8œ!
" "
VÐ-ßXÑœa-MXb œ- ˆ X
M ‰ œ-"!
ˆ X‰

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 26
_ _ _
8 8 8
- - -
8œ! 8œ! 8œ!
"
l l ¾ ! ˆ X‰ "
¾ k k¾! ˆ X‰ "
VÐ-ß XÑ œ - œ - ¾ Ÿ k-
k!
¼X¼
œ
¸ "
- ¸
"¼X
¼
-
de donde
cuando
lVÐ ß XÑl
Ÿ
- Ä_ , tenemos
"
-
l-llXl
lim l VÐ - ß XÑ l œ !
-Ä_
Esto equivale a que dado % ! , existe Q! tal que l-l Q, entonces
kVÐ- ß XÑk<
%
Luego VÐ-ß XÑ es acotado, por lo tanto por el teorema de Liouville se
tiene que VÐ-ß XÑ es constante, así para todo - ß - ß - Á -
Así para todo 0−„ ,
" "
" # " #
" # " #
a- MXb œa- MXb
Í- MX œ-
MX
a- MXba0b œa-
MXba0b,
" #
lo cual es equivalente a que para todo 0−„ ,
o equivalentemente para todo 0−„ ,
-" 0œ-#
0
a- -
b0 œ !
" #
como -" Á- #, entonces 0œ! para todo 0−„ , así „ œÖ F× lo cual es apob
contradictorio por la hipótesis. Por lo tanto 5ÐX Ñ Á F.
34. LEMA.
Si X−_„ Ð Ñy P5aXb
œsup
l-l
entonces
P
- − 5ÐXÑ
8
aXb œ lim inflX l " 8
aP
aXb
Ÿ lXlb
5 5

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 27
8 8
DEMOSTRACIÓN. Denotemos por a5aXbb
œ Ö- Î- − 5ÐXÑ×
. Vamos a
8 8
8
demostrar que a5aX bb § 5 aX b supongamos que " − a5aXbb
entonces
existe - − 5ÐXÑ tal que - 8 œ " − a5aXbb
8 ya que X es acotado entonces
a-MXb no es uno a uno , ó, a-MXb
no es sobre (recuérdese que
- − 5aXb).
Supongamos que a- MXb
no es uno a uno entonces existe 0−„
, 0Á!
tal que
Por lo tanto
de donde se sigue que
a-MXba0b œ!ß Xa0b
œ-0
# #
X a0b œ XaXa0bb œ Xa-0b œ -Xa0b
œ - 0
8 8 8 8
X a0b œ - 0 Í aM †-
X ba0b
œ !
8 8 8 8
esto es - − 5aX b de donde en este caso a5aX bb § 5aX bÞ
Supongamos ahora que -M X no es sobreyectiva, entonces se tiene que
Va- MXb
Á„ (el rango de -MX)
Pero se tiene que
8 8 8" 8# 8"
a- MX b œa-MXba- M-
XâX b
8 8
Luego el rango de - MX está contenido en Va-MXb
(Recuérdese que si P§O†LÊVP a b §VO a b y VP a b §VL a b además
OÒLa„ bÓ§O a„ b Á„).
8 8 8 8
Por lo tanto Va- MX b Á„ o sea que a-
MX b no es sobreyectivo, lo
8 8
cual implica que - − 5ÐX Ñ, por lo tanto tenemos
8 8
a5aX bb § 5aX
b
8 8
Esto implica que para todo - −5ÐXÑßl- lœl-l ŸP5aXb
entonces
5 8 "
5 5
8 " 8 "
8 8 8
l-l Ÿ aP aX bb ß P aXb Ÿ aP
aX bb Ÿ lX
l

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 28
8
P 5 aXb Ÿ lim inflX l
" 8
Þ
"
35. TEOREMA . Supongamos que X−_„ Ð Ñ, la serie - ! 8 8
- X es tal que
3Ñ converge si l-l P 5 aX
b
_
8œ!
33Ñ
diverge si k-k
< P 5 aX
b
DEMOSTRACIÓN. Sabemos que para todo -, l-l lXl
entonces
_
"
Va ßXb œ ! 8 8
- - - X y VІßXÑ es analítica en
8œ!
Ö-Îl-l P 5 aX b×
ael resolventeb
||T||
a
γ (Τ)
σ
γ
Por lo tanto para todo -,
P 5 aX
b
" _
8 X
8
8œ!
VÐ-ß XÑ=
- ! -
(Recuérdese el teorema de Laurent el cual afirma que toda función
analítica en una corona 3# lDl3"
es desarrollable en serie de Laurent
en esta corona. Teniéndose así una independencia en los coeficientes del
_
desarrollo 0aDb œ !
8 "
+ aD + b + œ '
0D a b
.D).
Si
8œ!
8 8
" "
8 8
l-l P 5 aXb Ÿ lim inflX l Ÿ lim suplX
l
8 8
# 13
# aD+
b 8"
entonces esto quiere decir que la serie diverge en - P5aXb.

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 29
36.1 COROLARIO. P 5 aXb œ lim sup lX
l .
8Ä_
8 " 8
" "
8 8
8Ä_
36.2 COROLARIO.
P 5 aXb œ lim lX l8 Š Ÿ lX l8
œ lXl‹
NOTA. Debe tenerse que
P 5 aXb
lX l.
P 5 aXb
Á lXl
y se tiene un ejercicio donde
37-1. TEOREMA DE HAHN-BANACH.
Sea F un espacio de Banach real y Q un subespacio de F. Sea J un
funcional lineal acotado sobre Q aJ À Q⎯→db con norma lJlQ. Entonces
existe un funcional acotado KÀF⎯→d
tal que
+Ñ K0 œ J0ß para cada 0 − Q
,Ñ lKl œ lJl Q
En otras palabras K es una extensión de J a Fsin aumento en la norma.
37-2. TEOREMA . Sea F un espacio de Banach real, Q un subespacio de F.
Sea J un funcional lineal acotado sobre Q con norma lJl Q
. Sea
1−Fß1Á! y 1ÂQ. Si;
R œ Ö0 ! 1Î0 − Qß ! − O×
Entonces existe un funcional K acotado K À R⎯→dtal que
a+ b K0œJ0, para todo 0−R
ab , lKl œ lJl
R
R
DEMOSTRACIÓN. 1. 0!
1 está bien definido, porque supongamos que
w w w w w
0! 1œ0 ! 1, entonces 00 œa! !
b1. Como 00 −Q de donde
se tendría que 1−Q contra la hipótesis.
2. Para K se tiene que Ka0 ! 1b
œ K0 ! K1 œ J0 ! < donde < œ K1.
w
ww
3. Sean 0ß0 −Q se tiene
w ww w ww w ww w ww
J0 J0 œJa0 0 b ŸlJlQl0 0 l œlJlQla0 1ba0 1bl
w
ww
Ÿ lJl l0 1llJl l0 1l
Q
Q

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 30
de donde
lJl l0 1lJ0 Ÿ lJl l0 1lJ0
Q
ww ww w w
Q
w
4. Manteniendo fijo 0 y variando 0 , se denomina
y análogamente
Wœsup
š lJl l0 1lJ0
›
ww
0 − Q
Q
ww
ww ww
X œinf
š lJl l0 1lJ0
›
w
0 − Q
obteniéndose de 3., que WŸX.
Q w w
5. Se toma ahora un número # en WßX‘
, para el cual escribimos 0 en
w ww
lugar de 0 y 0 obteniéndose la siguiente desigualdad
lJl l01lJ0 Ÿ#
ŸlJl l01lJ0
Q
Sumando J0 a todos los términos llegamos a
de donde
pues
lJl l0 1l Ÿ J0 #
Ÿ lJl l0 1l
Q
lK01lŸ a b lJlQ
l01l
K0 a ! 1b
œJ0!#
donde se ha tomado ! œ"
6. Se pueden considerar los siguientes casos para !
3Þ ! œ !ß 33Þ ! œ "Þ 333Þ ! !ß 3@Þ ! œ "ß @Þ ! !
3ÞCuando
! œ! es claro, pues en ese caso K0œJ0
33Þ Cuando ! œ " se hace como en 5.
Q
Q

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 31
" "
333Þ Cuando ! ! se toma 0 ! 1 œ ! a! 0 1b
y se nota que ! 0 − Q y lo
podemos utilizar en el papel de 0 en el caso 33Þ y se obtiene la expresión
siguiente
" "
Q
kK0 a ! 1bk œk! Ka! 01bk Ÿl! llJl l! 01l œlJl l0!
1l
3@Þ Para ! œ " se tiene
lK01lœlK a b a01lŸ b lJl l01l œlJl l01l
Q
Q
Q
@Þ
Es claro, y se hace igual al caso 333Þ
Caso complejo. Sea F un espacio de Banach complejo, Q un subespacio
complejo de F. F puede ser considerado un espacio real y Q también,
así tomemos 0−Qentonces
J0 œ ! 3" ß ! ß"
− d
œJ03J0
" #
por lo tanto
! œJ0,
" œJ0
" #
J
y J
" #
son funciones lineales reales y acotadas ya que
J0" œ !" 3"
"
J0# œ !# 3"
#
Ja0" 0# b œ J" a0" 0# b3J# a0" 0# b œ J" a0" bJ" a0# b3aJ# 0" J# 0#
b
œ aJ a0 b3J a0 bbaJ a0 b3J a0 bb œ Ja0 bJa0
b
pues,
" " # " # # # " #
J" a0" 0# b œ! " !
# œJ" 0" J" 0#
Sea - −dentonces Ja-0b œ- a! 3" b œ-! 3a-" b œ-Ja0b.
J
, J son acotadas; puesto que
" #
entonces
lJ0lœl " ! lŸl! 3" lœlJ0lŸlJlQ
l0l
l l l l
J Ÿ J
" Q Q
#

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 32
Ahora tenemos
pero también
3J a0b œ J a30b œ J" a30b 3J#
a30b
de donde
así tenemos
3J a0b œ 3J" 0 J#
0,
J" a30b œ J#
a0b
J 0 œ J" 0 3J"a30b
Sea K" una funcional lineal acotada extensión de J"
a todo F con
lK" l œ lJ" lQ
El candidato que cumple el teorema es K dado por
KœK03K " "a30b
y se demuestra que: a" b K es lineal, a# bKes acotada con lKl œ lJl.
a" b K es lineal
a+ b Para 0 0 ß
" #
Ka0" 0# b œK" a0" 0# b3K" c3a0" 0#
bd
œ
œK0 " " K0 " # 3K c " a30" bK" a30#
bd
œ
œ cK 0 3K a30bd cK 0 3K a30 bd œ Ka0 b Ka0
b
" " " " # " # " #
ab , Para a! 3"
b0,
Kca! 3" b0d œ K" ca! 3" b0d3K"
c3a! 3"
b0d
œ K" a! 0 3" a30bb 3K"
a! a30b " 0b
œ ! K" 0 " K" a30b3c" K" a0b!
K"
a30bd
œ ! K" 0 " K" a30b3" K" a0b3!
K"
a30b
œ a! 3" bK" a0b 3a! 3" bK" a30b œ a! 3"
baK" 0 3K"
a30bb
œ a! 3"
bKa0b

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 33
a# bK es acotada
Mostremos que lJ" lQ
œ lJl
Para 0−Q, J0œ0lJ0ldonde
0 œ"
entonces
" " "
" " "
|J0lœ Ja0 0b œJa0 0b ŸlJ ll0
0l œlJ ll0l
lJl œ lJ
l
Q
Análogamente lKl œ lK l, así lKl œ lJl
•
"
Q
" Q
37.2 TEOREMA.
Sea F un espacio de Banach y sea 0 Á ! en F. Existe un
J−F ‡ , JÁ! tal que J0œlJll0l entonces J0 œ lJ0l.
DEMOSTRACIÓN. Sea QœÖ! 0×ßJÀQ⎯→O
una función definida por
Ja! 0b œ ! l0l, J es lineal y J es acotada porque
lJa! 0blœ¹ ! l0l¹
œl! ll0l œl! 0l " l!
0l ÊlJl
œ"
Ahora se usa el teorema de Hahn-Banach para extender a F.
37.3 Si F Á Ö!× existen funciones lineales acotadas J Á !, J − F ‡ tales
que para 0ß1 − Fß0 Á 1ßJ0 Á J1.
DEMOSTRACIÓN. Después de usar el teorema 37.2 y hallar una extensión
tenemos que 01Á! , así Ja01b œl01l
y como es natural
! Á Ja0bJa1b œ l0 1l entonces Ja0b Á Ja1b
Así los funcionales en un espacio de Banach distinguen los elementos
de F.
38. Si „ es un espacio de Banach entonces „ ‡ œ _ Є
ßdÑ es un espacio de
Banach.
‡ ‡
39. Si „ es un espacio de Banach y 0−„ entonces existe 0 −„
tal que
0 ‡
a0b œ l0l y l0 l œ ".

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 34
DEMOSTRACIÓN. Ò0ÓœÖ! 0Î! −d× .
‡
Se define 0 ÀÒ0Ó⎯→
d si +0−Ò0Ó,
entonces 0 a! 0b œ ! l0l.
En particular para ! œ" se tiene 0 ‡ a0b œl0l. Ahora
‡ ‡ l0 a!
0bl l0 a0bl l0l
l0 l œ sup ¹ 0 a1b¹
œ sup
l!
0l œ sup
l0l œ
l0lœ "
ll 1 œ "
! −d
! −d
1−Ò0Ó
‡ ‡
‡ ‡
Por el teorema de Hahn Banach, se extiende 0 À „⎯→d tal que l0 l œ "
39.1 COROLARIO.
Si „ es un espacio de Banach y 0−„
y 0 ‡ a0b
œ! , para
‡ ‡
todo 0 − „ entonces tenemos que 0œ! .
40. PROPOSICIÓN.
Supongamos que „ es un espacio de Banach. Si 0−„
,
entonces l0l
œ sup ¹ 0 a0b¹
‡ ‡
0 −
0 ‡
l
„
l œ "
DEMOSTRACIÓN. Por 39. l0l
Ÿ sup ¹ 0 a0b¹
Para ver el recíproco, se sabe que
‡
‡ ‡
0 −
0 ‡
l
„
l œ "
‡ ‡ ‡
l0 a0bl Ÿ l0 ll0l Ÿ l0l si l0 l œ "
por lo tanto pasando al supremun se tiene
sup
‡ ‡
0 −
0 ‡
l
„
l œ "
De donde se sigue la igualdad.
‡
‡
¹ 0 a0b¹
Ÿ l0l
NOTACIÓN. a" b Si [ es un espacio de Hilbert y 2 − [ entonces
Ø2ß † Ù À [⎯→d
0ÄØ2Þ0Ùœ2 ‡ a0b
este es un funcional lineal y el teorema de Riesz garatiza que todo
funcional se puede escribir en esta forma.
‡ ‡
a# b Supongamos que „ es un espacio de Banach, si 0 − „ y 1 − „
denotaremos por

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 35
‡
0 ß1¡ ‡
œ 0 ab 1
‡ ‡ ‡
41. PROPIEDADES . Si !" ß − d,
0 ß1 − „ ß 0ß1 − „
ab 3 0 ‡ ß! 0 " 1¡ œ! 0 ‡ ß0¡ "
0 ‡ ß1¡
‡ ‡
a33b 0 1ß0¡ ‡
! " œ! 0ß0¡ ‡
"
1ß0¡
a b ¸ ‡ ¡ ¸ ‡
333 0 ß 0 Ÿ l0 ll0l
‡
a3@ b 2 ß 0¡
‡ ‡
Si œ ! para todo 2 − „ entonces 0 œ !.
42-1. DEFINICIÓN.
Supongamos que „ y … son dos espacios de Banach y
P−_„… Ð ß Ñ (0perador lineal acotado). Se define
P À … ⎯→„
‡ ‡ ‡
‡ ‡ ‡ ‡ ‡
Si 0 − … entonces P a0 b œ 0 aPa0bb
para todo 0 − „
P ‡ es lineal
‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡
42-2. LEMA.
0 ß1 − … entonces 0 1 œ a0 1b
En efecto;
a01b aBb œ 01ßB¡
œØ0ßBÙØ1ßBÙœ0 aBb1 aBb œa0 1 baBbßaB−
‡ ‡ ‡
‡ ‡ ‡ ‡ ‡
…
P a0 ba2b œ 0 aPa2b b
a2 − „
‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡
P a0 1 ba2b œ a0 1 baPa2bb œ 0 aPa2bb1 aPa2bb œ P a0 ba2bP a1 ba2b
‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡
P a! 0 ba2b œ a! 0 baPa2bb œ ! 0 aPa2bb œ ! P a0 ba2b
‡
P es un operador acotado, llamado operador adjunto de PÞ
43. PROPOSICIÓN.
Si „ y … son espacios de Banach y PÀ„ ⎯→…
es un
‡ ‡ ‡
operador lineal P À … ⎯→ „ es el operador lineal adjunto, entonces
‡
lP l œ lPl
de donde sale la acotación de P ‡
‡ ‡ ‡ ‡ ‡
„
DEMOSTRACIÓN. lP a0 ba0bl œ l0 aPa0bbl Ÿ l0 llPa0bl Ÿ l0 llPll0lß a0 −

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 36
Por lo tanto se tiene
‡ ‡ ‡ ‡ ‡
lP a0 bl Ÿ l0 llPlß para todo 0 − „
Luego
queda acotado y tenemos
P ‡ ‡
lP l Ÿ lPl
Para el recíproco tenemos
‡ ‡ ‡ ‡
„
lP0 a bl œsup
¹ 0 aP0 a bb¹ œsup
¹ Pa0 a0bb¹
ŸlPll0lß a0−
‡
l0 l œ "
‡
l0 l œ "
entonces
‡
Por lo tanto lP l œ lPlÞ
‡ ‡ ‡ ‡
0 − …
0 − …
lPl Ÿ lP ‡ l
Por ejemplo en el caso del Laplaciano
œ
# # #
` ` `
â
`B `B `B
# # #
" #
8
donde
•#!
!
À V aHb⎯→V aHb
se puede demostrar, integrando por partes que
@ , ¡ œ ' @œ'
@œ ß@¡
H
H
NOTACIÓN. Supongamos que W§„ donde „ es un espacio de Banach, se
denota por
Si
W ‡ § „
‡
¼ ‡ ‡ ‡
W œ š 0 − „ Î 0 ß0¡
œ ! para todo 0 − W›
se simboliza por
aW ‡ ¼
b œ š 0 − „ Î 0 ‡ ß0¡
œ ! para todo 0 ‡ − W
‡ ›.

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 37
44. PROPOSICIÓN 1. Supongamos que „ y … son espacios de Banach,
entonces si X−_„…
Ð ß Ñ tenemos
ab 3 Si VÐXÑ es el recorrido de X, entonces
‡ ¼
VX a b œRX a b
a33bSi VÐXÑ es cerrado entonces VÐX Ñ también lo es y además
‡ ¼
VÐX Ñ œ RaXb
‡
44.1 PROPOSICIÓN 2. Supongamos que „ es un espacio de Banach. Si la
bola cerrada unitaria
Hœš 0−„
Îl0l
Ÿ" ›
es compacta, entonces „ es de dimensión finita.
44.2 PROPOSICIÓN 3. Supongamos que „ es un espacio de Banch. Si ` Á „
es un subespacio cerrado de „,
!%
" entonces existe un elemento
0−„ ` tal que l0l œ" y l01 l "%
para todo 1−`
45. DEFINICIÓN.
Supogamos que „ y … son espacios de Banach y XÀ„ ⎯→…
_
es un operador lineal, si para toda sucesión Ö0 8 × 8œ" en „, se tiene que
l08 l„ Ÿ < , para algún < ! y para todo 8 ", entonces existe una
_
_
subsucesión ˜08 tal que ˜Xa08
b
converge en …, en este caso
5 5œ" 5 5œ"
decimos que X es un operador lineal compacto.
46. PROPOSICIÓN.
Supongamos que „ es un espacio de Banach. Si
XÀ„ ⎯→ „ es un operador lineal compacto - −‚ , - Á! entonces
Ra-M Xbes de dimensión finita.
_
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que Ö0 8× 8œ" es una sucesión de Ra-M X b tal
que l08l
Ÿ " como X es compacto, entonces existe una subsucesión
_
˜ _
08 de Ö0 8× Xa08
b Ä 1 5 Ä _
5 5œ"
8œ" tal que en „ cuando y tenemos
5
" " "
que a-M Xba08b œ! a b entonces 08 œ Xa08
b Ä 1 cuando 5Ä_ , por
5 - 5 -
_
lo tanto Ö0 8 × 5œ" es una subsucesión convergente, esto quiere decir que
5
la bola cerrada unitaria en Ra-M Xb es compacta por lo tanto Ra-M Xb
es dimensión finita. (Vea 44.1 proposición 2.)

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 38
.
ab
" Como a-MXba08b œ! entonces tenemos que -08 œXa08b
de donde
" "
08 œ
-Xa08b, en particular 08 œ
-Xa08
b
5 5
.
47. PROPOSICIÓN . Si XÀ„ ⎯→ „ es un operador compacto entonces
‡ ‡ ‡
X À „ ⎯→„
es un operador lineal compacto.
DEMOSTRACIÓN. Recordemos primero el Lema de Arzela-Ascoli:
Supongamos que „ es un espacio de Banach y H § „, tal que H es
compacto. Si W§ VH‚ Ð ß Ñ, W es uniformemente acotado y equicontinuo,
entonces W es relativamente compacto (esto es completamente
equivalente a decir que cualquier sucesión
_
Ö0 8×
8œ" en W tiene una
subsucesión convergente en VH‚ Ð ß Ñ.
Veamos ahora la demostración de 47., para lo cual debemos mostrar que
la imagen de la bola unitaria de „ ‡ es relativamente compacta.
Denotemos por W y W ‡ las bolas unitarias cerradas de „ y „
‡
respectivamente. Consideremos los elementos de W ‡ definidos sobre
‡
XaWb. Demostraremos que W es uniformemente acotado y equicontinuo
como subconjunto de V ÐX ÐWÑß ‚ Ñ
‡ ‡
Si 0 − W y 1 œ Xa0b
− XÐWÑ, entonces
‡ ‡ ‡
l0 a1bl œ l0 aXa0bbl Ÿ l0 llXll0l œ lXl
‡ ‡ ‡
(pues l0 l œ "ß l0l
œ "). Como todo esto es para todo 0 − W se sigue
‡
que W es uniformemente acotado en XÐWÑ.
‡ ‡
Veamos ahora la equicontinuidad: Si 0 −W y 1" œXa0" b;
1# œXa0#
b −XÐWÑ
entonces
‡ " ‡ # ‡ " # ‡ " # " #
l0 a1 b0 a1 bl œ l0 a1 1 bl Ÿ l0 ll1 1 l Ÿ l1 1 l
‡
Por lo tanto W es equicontinuo en V ÐXÐWÑß‚
Ñ. Aplicando el lema de
‡ _ ‡
Arzela-Ascoli si Ö0 8×
8œ" es una sucesión de W entonces existe una
‡ _ ‡ _
subsucesión Ö0 8 × 5œ" de Ö0 8× 8œ" la cual converge en V ÐX ÐWÑß ‚ Ñ entonces
5
para todo % ! existe R" tal que si 7ß5 R
sup
0−W
pero esto es equivalente a que
¼ ‡ ‡
0 aXa0bb0 aXa0bb¼
8 8
5 7
%

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 39
sup
0−W
o equivalentemente
¼ ‡ ˆ ‡ ‰ ‡
a b ˆ ‡
X 0 0 X 0 ‰ a0b¼
8 8
5 7
%
sup
0−W
Según la definición de
¼ ‡ ˆ ‡ ‰ ‡ ˆ ‡
X 0 X 0 ‰‘
a0b¼
8 8
5 7
%
l†
l
‡
, la anterior desigualdad es equivalente a
¼ ‡ ˆ ‡ ‰ ‡ ˆ ‡
X 0 X 0 ‰ ¼ para todo 5ß7 R
8 8
5 7
%
Luego ˜ ‡ ˆ ‡
X 0 85
‰ es una sucesión de Cauchy en un espacio de Banach
luego es una subsucesión convergente y tenemos que X ‡ es compacto.
48. PROPOSICIÓN.
Si XÀ„ ⎯→ „ es un operador lineal compacto y - −‚
ß
- Á! entonces Va-MXbß Va-MX
‡ b son subespacios cerrados de „ .
DEMOSTRACIÓN. Demostremos que VÐ-M XÑ es cerrado. Supongamos que
_
_
˜08 es una sucesión en VÐ- M XÑ y ˜08
converge a 0 − „ en la „-
8œ" 8œ"
norma, entonces existe 2 − tal que
8 „
Ð-M XÑa28b
œ 08
para cada entero positivo 8− . Si ˜18
8œ"
es una sucesión de RÐ-MXÑ
entonces
Ð-MXÑa2 1 b œÐ-MXÑa2 b œ0
_
8 8 8 8
para todo entero positivo 8 ( el problema queda resuelto cuando existe
_
˜1 8
8œ"
§ RÐ- M XÑ que sea acotada). Nuestro problema queda resuelto
_
_
si existe una sucesión ˜18 en RÐ-MXÑ tal que ˜28 18
sea
8œ" 8œ"
acotada; es decir, existe Q! tal que
. a28b œ.3=> ˜28ßRÐ-MXÑ
ŸQ
Si no existe esta sucesión en
RÐ-M XÑ
entonces
. a2 b œ .3=> a2 ß RÐ M X Ñb
Ä _ß cuando 8 Ä _
8 8 -

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 40
Si
2
2 œ , entonces .3=> ˆ 2 ß RÐ-M X щ
œ "
8 a b
8
.2 8 8
Lo anterior quiere decir que para cada entero positivo 8 existe
58 − RÐ- M XÑ tal que " Ÿ ¼28 58¼
#, entonces denotemos por
A8 œ 28 58 donde lA8l
Ÿ #. Entonces ya que X es compacto existe una
_ _ _
subsucesión de ˜A8 denotada también por ˜A8 tal que ˜XA8
8œ" 8œ" 8œ"
converge. Además
Ð-M XÑaA b œ Ð-M Xш 2 5 ‰ œ Ð-M Xш 2 ‰
08
œ Ä !
8 8 8 8
Å
58 − RÐ-M XÑ
(por que 08
es acotada) cuando 8 Ä _. Por lo tanto
lim
8Ä_
Lo cual es equivalente a
Ð-MXÑA a b œ! Í lim a-A XaA bb
œ!
8 8 8
8Ä_
"
8 8 Í 8 8
8Ä_ 8Ä_ 8Ä_ - 8Ä_
lim -A œ lim XaA b lim A œ lim XaA
b
.2 a b
entonces existe A−„ tal que A8
ÄA cuando 8Ä _Þ. Esto quiere decir
que XaA b Ä XaAb
cuando 8 Ä _ , o sea
8
Ð-MXÑaA b Ä-AXaAb œÐ-MXÑaAb
8
.A a b Ä.A a b
si 8Ä_
8
pero .A a b œ! y para todo 8ß .A a 8b ", pero #.A a b lo cual esapob
contradictorio, pero antes veamos que .A a 8b
", tenemos que si
1−RÐ- MXÑ se tiene que
lA 1l œ ¼2 a5 1 b¼ .3=> ˆ 2 ‰ œ "
por lo tanto
8 8 8 8
. aA b œinf˜l0 1lÎ1−RÐ-MXÑ "
8 8
8
lo cual contradice el hecho: .A a 8b Ä.A a b œ! cuando 8Ä_ . Esta
_
contradicción demuestra que existe una sucesión ˜18
8œ"
en RÐ-M XÑ tal
_
que ˜2 1 es acotada. Si denotamos por @ œ 2 1 entonces
8 8 8œ"
8 8 8

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 41
_
existe una subsucesión de ˜@
8 denotada también por ˜@
8
tal que
8œ" 8œ"
˜X a@
b
_ converge a un @ − „ . Tenemos
8 8œ"
Ð-MXÑ@ a b œ0 Ê@ œXˆ @ 8 ‰
08
a@0b
Ä œ!
8 8 8
- - -
cuando 8Ä _ , así Ð-MXÑ a@ b ÄÐ-MXÑa1b
œ0 −VÐ-MXÑ.
‡ ¼
COROLARIO. a" b VÐ-M XÑ œ RÐ- M X Ñ
a# b VÐ-M X Ñ œ RÐ-M XÑ
8
‡ ¼
DEMOSTRACIÓN. Basta observar lo siguiente
‡ ‡ ‡ ‡
Ð-M XÑ 0 a0b œ 0 aÐ-M XÑa0bb œ 0 Ð-0 Xa0bÑ
a" b œ 0 a-0b0 aXa0bb œ -0 ‡ a0b-0 a0b
œ !
a# b
‡ ‡ ‡ ‡ ‡ ‡
œ -0 a0bX a0 ba0b œ Ð-0 X 0 Ña0b
‡ ‡
œÐ- MX Ñ0 a ba0b
para todo 0
Luego
‡ ‡ ‡ ‡
Ð-M XÑ a0 b œ Ð-M X Ña0 bÞ
49. PROPOSICIÓN.
Si XÀ„ ⎯→ „ es un operador lineal compacto y
- − ‚ ß-
Á !, entonces existe un entero positivo 8 tal que
8 8"
RÐMXÑ a - b œRÐMXÑ a - b
NOTA. Recuérdese que - MX À„ ⎯→„
.
8 8"
DEMOSTRACIÓN. Claramente RÐMXÑ a - b §RÐMXÑ
a - b. Supongamos
8 8"
ahora que RÐMXÑ a - b ÁRÐMXÑ a - b entonces
8 8"
RÐMXÑ a - b §RÐMXÑ a - b
8 8
además RÐ-MXÑ
es cerrado (por que a-MXb
es compacto). Por un
8"
lema anterior, para cada entero positivo 8 existe 08
− RaÐ-M XÑ b tal
que
8 8 "
#
8
.3= a0 ß RaÐ-M XÑ bb y
l0 l œ "
_
Si
78
se tiene que
8
8" 8
7 7 7 7
Ð-MXÑ aa-MXba0 bXa0 bb
œa-MXb a0 bXa-MXb a0 b œ!

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 42
Por lo tanto a-MXba0 bXa0 b −RaÐ-MXÑ
b, esto implica que
7 7
lXa08bXa07bl œl-08 a-MXba08bXa07bl
œl-ll0 - " aa-MXba0 bXa0
bbl
l - l
8 8 7
_
Entonces ˜Xa0 8 b
no tiene una subsucesión convergente lo cual es
8œ"
imposible ya que X es compacto y l0 l œ ".
8
8
#
*******
CAPÍTULO 2
§1. EL ESPACIO MÁS SIMPLE DE SOBOLEV
1.El análisis funcional ha surgido inicialmente como una herramienta
fundamental en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales;
amparándome en esta afirmación me propongo exponer algunos
conceptos básicos muy poco estudiados en el común de los cursos.
Sea H §d R un dominio acotado. Sea [!
el espacio de Hilbert real de las
funciones de cuadrado real integrable definido en H
# #
[!
œ œ0 À H ⎯→ d‚ ' 0 .B _ œ ¿ aHb
con el producto interno dado por
H
Øß @Ù œ ' @ .B para ß @ − [
! !
H
Sea ahora V " el espacio de funciones reales continuamente diferenciales
en H con producto interno dado por
R
Øß @Ù"
œ ' ` `@
”!Š ‹Š ‹ @•.B
H
5œ"
Sea el completado de .
[ V
" "
`B
`B
5 5

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 43
2 . TEOREMA 1. Existe un subespacio vectorial [" de [! tal que V " § ["
y
؆٠" puede ser extendido de V" ‚ V " a [" ‚[" tal que a[
" ß؆Ù"
b es un
espacio de Hilbert completo y V " es denso en .
DEMOSTRACIÓN. Se define de manera natural
[ "
[ œ − [
" !
_
8 8œ"
_
8 8œ" " 8
8Ä_
existen Ö × § V ß lim l l!
œ ! y
„
Ö × es sucesión de Cauchy con respecto a l†
l
"
Ÿ
[ " es obviamente un subespacio lineal de [ ! , sin embargo
posteriormente mostraremos este aspecto. Definimos inicialmente el
producto interno en [ ; sean ß @ − [ se define
_
" "
Øß @Ù œ lim Ø ß @ Ù
" 8 8 "
8Ä_
_
donde Ö 8× 8œ" ß Ö@ 8× 8œ" son sucesiones de Cauchy para la norma l†
l " tales
que lim l l œ ! y lim l@ @ l œ !.
8Ä_
8 ! 8
8Ä_
!
Veamos que este producto está bien definido
3. lim Ø ß@ Ù
8Ä_ 8 8 existe.
Puesto que existe una constante Q independiente de 8tal que
y
l l Ÿ Qß l@ l Ÿ Q
8 " 8 "
kØ 8ß @ 8 Ù" Ø 7ß @ 7 Ù" k œ lØ 8ß @ 8 @ 7 Ù" Ø 8 7ß @ 7 Ù"
l
Ÿ l l l@ @ l l@ l l l Ÿ Q cl@ @ l l l d
8 " 8 7 " 7 " 8 7 " 8 7 " 8 7 "
_
Así eØ 8ß @ 8 Ù" f8œ"
es una sucesión de Cauchy de números reales. Como d
es completo se tiene la existencia de lim Ø
8Ä_ 8 ß @ 8 Ù "
33Þ Para demostrar que esta definición tiene significado completo es
w _ w _
necesario demostrar que si e 8f8œ" y e@
8f8œ"
son otras sucesiones en V "
que son de Cauchy con respecto a la -norma, y
y tales que
V "
lim l l œ !ß lim l@ @ l œ !
8Ä_
w
w
8 ! 8
8Ä_
!

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 44
Entonces se tiene
lim Ø ß @ Ù œ lim Ø ß @ Ù
8Ä_
w w
8 8 " 8 8 "
8Ä_
w w w w w
lØ 8ß @ 8Ù" Ø 8ß @ 8 Ù" l œ lØ 8ß @ 8 @ 8Ù" Ø 8 8ß @ 8 Ù"
l
w w w
Ÿ l l l@ @ l l l l@
l
8 " 8 8 8 8 " 8 "
w
_
Como las sucesiones el 8l" f8œ" y el@
8l"
f8œ"
son acotadas, basta por lo
tanto demostrar que
lim l l œ !ß lim l@ @ l œ !
8Ä_
w
w
8 8 " 8 8
8Ä_
"
Pero esto es una consecuencia del siguiente lema. (
w
w
Pues l 8 8l Ÿ l 8 l! l 8l
Ä ! Ñ.
! !
_
. LEMA ÖA 8 8œ"
"
3 . Si es un sucesión de V tal que
lim lA l œ !
8Ä_ 8 !
_
A 8 8œ"
"
y e f es una sucesión de Cauchy en V , entonces
lim lA l œ !
8Ä_ 8 "
DEMOSTRACIÓN. En primer lugar se tiene que
' `A8 `A7 ’ “ ' Œ! `A8 `A7
.B Ÿ ’ “ cA8 A 7 d
#
.B
H
# R
#
`B `B `B `B
H 5œ"
5 5 5 5
Así
#
' `A8 `A7
#
’ “ .B Ÿ lA A l .
H
`B
`B
5 5
8 7 "
_
8
Ahora cada una de las sucesiones š
`B
›
5
de Cauchy en P # aHb.
`A
_
8œ"
5 œ "ß #ß á ß R
es una sucesión
Por el teorema de Riesz-Fischer existen funciones
lim ½
8Ä_
#
`A8
`B 5 !
5
D ½ œ! .
DßDßáßD
" # R
tales que

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 45
Sea : una función en V"
con soporte compacto contenido en H. Por la
desigualdad de Schwarz
º ' `A8 `A8 `A8
Š D ‹:.Bº
œ¹ Ø D ß: Ù ¹ Ÿ½ D ½ l: l Ä! cuando 8Ä_
H
`B 5 `B 5 ! `B 5 ! !
5 5 5
Por consiguiente
' D .B œ ' `A8
5: lim :
`B
.B
H
8Ä_
H
Integrando por partes (recordando que lim A œ ! )
'
5
8Ä_ 8
'
`: `:
.B œ A .B œ ØA ß Ù Ä !
: `A 8
`B 8`B 8 `B !
5 5 5
H
H
cuando 8Ä_ ; puesto que lA8!
l Ä! , cuando 8Ä_ .
Por consiguiente
'
H
D 5: .B œ !
Puesto que : es una función arbitraria en V " con soporte compacto
contenido en H, D5
œ !ß 5 œ "ß #ß á R.
Como por hipótesis
y
entonces
#
lA l œ'
A .B Ä ! cuando 8 Ä _
8 !
`A
lim ' Š ‹
8Ä_
H
`B
8 5
#
H
8 #
.B œ ' D .B œ !
R
H
5 #
#
lA l œ'
”! `A8
#
Š ‹ A •.B Ä ! cuando 8 Ä _
8 "
`B5
8
H 8œ"
#
Retornando a la prueba del teorema, vemos que ؆٠" está bien definido y
es cuestión de rutina la verificación de que ؆٠" es un producto interno en
[ " .

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 46
Veamos ahora que [" es un subespacio, sean y @ en ["
así existen
_ _
sucesiones Ö 8× 8œ" y Ö@ 8 × 8œ" en V"
, sucesiones de Cauchy con respecto a
la -norma ( l†
l ) y tales que
V " "
lim l l œ !ß lim l@ @ l œ !
8Ä_
8 ! 8
8Ä_
!
Sean
A8 œ 8 @ 8 para 8œ"ß#ß$ßáß A8 −V"
_
lA A l Ÿ l l l@ @ l
8 7 " 8 7 " 8 7 "
Así ÖA 8× 8œ" es una sucesión de Cauchy con respecto a la norma l†
l " y
l@@A8 l! Ä! cuando 8Ä_ , por consiguiente @−["
(pues
l@ a 8 @ 8bl! Ÿ l 8l! l@@ 8l! Ä! , cuando 8Ä_Ñ
Sea ! un número real, la sucesión Ö ! 8 × 8œ" es de Cauchy con respecto a la
norma l† l" y l! ! 8 l!
Ä !, cuando 8 Ä _, por lo tanto ! − [". Por
lo tanto [ es un subespacio lineal de [ .
" !
Finalmente mostremos que a
_
[ " ß؆٠"
_
b es un espacio compacto.
Sea Ö 8 × 8œ" una sucesión de Cauchy en ["
con respecto a la norma l†
l " .
Puesto que V " es obviamente denso en ["
con respecto a la topología
inducida por ؆٠para cada 8 existe @ −V
tal que
ahora
" 8 "
l@ l
8 8 "
l@ @ l Ÿ l@ l l l l @ l
"
8
8 7 " 8 8 " 8 7 " 7 7 "
_
así Ö@ 7× 7œ" es una sucesión de Cauchy con respecto a la norma l†
l "
Puesto que l@ 8 @ 7l! Ÿ l@ 8 @ 7l" entonces la sucesión Ö@ 8×
8œ" es una
sucesión de Cauchy con respecto a la norma l† l!
. Por el teorema de
#
Riesz-Fischer existe −[ tal que ( por la completez de ¿ ÐHÑ)
Por lo tanto
!
lim l@ l œ !
8Ä_ 8 !
. Ahora como
−[ "
Ø@ ß@ Ù œ lim Ø @ ß @ Ù
8 8 " 7 8 7 8 "
7Ä_
_

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 47
se sigue que
Puesto que
luego
Por lo tanto
lim l@ l œ!
8Ä_
8 "
"
8 " 8 8 " 8 " 8 8 "
l l Ÿ l @ l l@ l Ÿ l@ l
lim l l œ !
8Ä_ 8 "
[ " es completo con respecto a la norma l†
l"
4. DEFINICIÓN 1. El espacio a[ " ß؆٠" b dado por el teorema anterior es
llamado espacio simple de Sobolev .
§2. DESIGUALDAD DE POINCARÉ
5. DEFINICIÓN 2. Sea V ‰ " el conjunto de funciones continuamente
‰
diferenciables con soporte compacto contenido en H. V " es un
‰ ‰
subespacio de V " definido en el §1. Sea [" la adherencia de V " en [",
esto es
5.1 DESIGUALDAD DE POINCARÉ
‰ ‰ [ "
[" œ V"
R #
‰
Sea UÒÓ œ ' ` !Š ‹ .B, para − V . Si se extiende UÒBÓ a [ por
H5œ"
`B
continuidad, existe una constante
para todo −[ ‰ " .
5
#
! !
< ! !
" "
tal que
< l l Ÿ UÒÓ a‡
b

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 48
DEMOSTRACIÓN. Es suficiente mostrar que existe una constante < ! tal que
‰
a‡ bse tenga para − , puesto que si a‡
b se tiene entonces vale para
V "
−[ ‰ " por continuidad.
Probemos el resultado en dos dimensiones; puesto que H es acotado,
existe un cuadrado cerrado y acotado E, con los lados paralelos a los
ejes coordenados conteniendo a H en su interior.
(-R,R)
(R,R)
Ω
(-R,-R)
figura 1
(R,-R)
Sean aVß VbßaVßVbßaVßVbßaVß Vb
los vértices de E (ver figura1).
‰
Sea − V"
, puesto que el soporte de está contenido en el interior de H
" #
y −G Ðd Ñ
Por lo tanto
de donde
B
'
V
BßC a b œ a=ßC.= b para ÐBßCÑ−H
B
#
# #
V B
V V B
# B B B
a aBß Cbb œ Š ' " † a=ß C b.= ‹ Ÿ Š ' " .=‹Š'
a=ß C b.=
‹
#
B
V
a aBßCbb ŸaBV b'
#
a=ßC b.=Ÿ#V ' #
a=ßC b.=
V
B
usando integral iterada como producto de integrales tenemos
así
V
' #
V V
' ' #
V V
' ' #
aBß C b.B Ÿ #V a=ß C b.= .= œ #V Š .=‹Š a=ß C b.=
‹
V V V B
V V
V
V
œ#V a#V b'
# #
V
a=ßC b.=œ%V ' #
a=ßC b.=
V
B
V
B
B
B

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 49
'
V
V
V
aBßC a bb .BŸ%V'
aBßC.B
b
# # #
V B
Integrando nuevamente con C
tenemos
V V V V
' ' aBß C b.B .C Ÿ %V ' ' aBß C b.B .C
# # #
V V V V B
#
V V
Ÿ %V ' ' ˆ # # # # #
Bß C Bß C .B .C œ %V Bß C Bß C .B.C
V V Ba b ''
Ca b‰ ˆ ‰
Ba b Ca b
E
Pero
'' # '' # '' # #
aBß C b.B .C œ aBß C b.B .C Ÿ aBß Cb aBß C b‘
.B .C
E
H
E
œ '' ˆ # #
aBß Cb aBß C b‰
.B .C œ UÒÓ
H
B
C
B
C
Por lo tanto si
"
< ! œ
entonces
%V # #
! l l!
.
< Ÿ UÒÓ
§3. SELECCIÓN DEL PRINCIPIO DE RELLICH
6. TEOREMA (Rellich). Sea e: 5 f
_ 5œ" § [
‰
" una sucesión acotada con respecto a
_
_
la norma l† l" . Existe una subsucesión Ö : 54× 4œ" de Ö : 5×
5œ"
que converge en
[ ! con respecto a l† l! .
Antes de probar este teorema veamos primero el siguiente
6.1 LEMA . (Desigualdad de Friederich). Sea H un dominio acotado (abierto
conexo). Dado cualquier % ! existen AßAßáßA −[ ÐHÑ
tales que
donde
" # 8 !
8
a b ! #
‰
:: ß Ÿ Ð: ßA Ñ % UÒ: Ó para todo : − [ ÐHÑ a"
b
5œ"
5 "
Ø:< ß Ù œ a:< ß b œ ' :

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 50
R #
UÒ: Ó œ ' `:
!Š ‹ .B si : − V
‰
H 5œ"
‰
(ver §2) y UÒ†Ó definido por continuidad en .
`B
5
DEMOSTRACIÓN. Consideremos solamente el caso de dos dimensiones.
Sea W œÖBßC a bÎ!ŸBŸ=ß!ŸCŸ=×
un cuadrado de lados paralelos a
los ejes. Si aBßCbßaBßCb
−W entonces
" " # #
B# C#
k: aBßCb: aBßCb k œ¹ ' : aBßC b.B'
: aBßC.C
b ¹
"
[ "
# # " " B B " C C #
Elevando al cuadrado tenemos
" "
#
# #
k: aBßCb: aBßCb k œ¹ ' : aBßC b.B'
: aBßC.C
b ¹
B C #
# # " " B B " C C #
" "
B# C#
Ÿ# Š ' : aBßCb‹ # Š ' : aBßC b.C‹
B
# #
B " C C #
" "
# # # # #
6.2 NOTA . Sabemos que !ŸÐ+,Ñ œ+ #+,, Í #+,Ÿ+ ,
tómese
# # # # # # #
Í+ #+,, Ÿ#+ #, Í a+, b Ÿ#+ #,
B# C#
+œ'
: aBßC b.B y ,œ'
: aBßC b.C
B
B " C C #
" "
Por el binomio de Newton tenemos
# #
: aBßC # # b# : aBßC " " b: aBßC # # b:
aBßC " b Ÿ
"
B
# C
#
# #
Ÿ# Š ' : aBßC b.B‹ # Š ' : aBßC b.C‹
B
B " C C #
" "
Por la desigualdad de Schwarz se tiene
#
B# B# B# Š ' a b ‹ ' ' #
B#
a b a b'
#
: Bß C .B Ÿ .B : Bß C .B œ B B : aBß C b.B
B B " B B B " # " B B "
" " " "
=
Ÿ= '
!
: B # aBßC " b.B
Luego tenemos
# #
# # " " # # "
: aBßCb# : aBßCb: aBßCb:
aBßCb
Ÿ
"

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 51
=
Ÿ #='
#
=
BßC .B#='
#
: a b : aB ßC b.C
! B " ! C #
Integrando con
B "
los dos lados tenemos
=
' #
= =
' ' #
: aBßC b.B # : aBßCb : aBßC b.B : aBßC b.B Ÿ
! # # " # # ! " " " ! " " "
de donde
#
=
# #
=
Ÿ#= '
#
: aBßC b.B#= ' : aB ßC b.C
! B " ! C #
#
= =
#
= : aB# ßC# b# : aB# ßC# b' : aB" ßC " b.B" ' : aB" ßC b.B"
Ÿ
"
! !
#
=
# #
=
Ÿ#= '
#
: aBßC b.B#= ' : aB ßC b.C
! B " ! C #
integrando una vez más con
B #
los dos lados recibimos
=
= ' #
= = =
B ß C .B #' ' B ß C B ß C .B .B = ' #
: a b : a b: a b : aB ß C b.B
! # # # ! ! " " # # " # ! " " "
$
=
# #
= =
Ÿ #= '
#
: aBß C b.B #= ' ' : aB ß C b.C .B
! B " ! ! C # #
Ahora integrando con
C "
obtenemos
= = = = = =
! # # # ! # # # ! ! " " " " ! ! " " "
#
= ' # #
: aB ß C b.B #' : aB ß C b.B ' ' : aB ß C b.B .C = ' ' : aB ß C b
"
.B .C
$
= =
# $
= =
Ÿ #= ' '
# $
: aBß C b.B.C #= ' ' : aB ß C b.C .B œ #= U Ò:
Ó
! ! B " " ! ! C # # W
Finalmente integrando con
C #
se tiene
#
= =
#
= = = =
= ' ' : aB ß C b.B .C #' ' : aB ß C b.B .C ' ' : aB ß C b.B .C
! ! # # # # ! ! # # # # ! ! " " " "
#
= =
= ' ' :
# a
%
BßC b .B.C Ÿ#=U Ò : Ó
! !
" " " " W
Pero esto es completamente lo mismo que
#
#= '' # %
: aBß C b.B.C #
'': aBß C b.B.C
Ÿ #= UWÒ:
Ó
W
De donde se obtiene que
W
#

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 52
'' # ''
:aBßCb %
=
: aBß C b.B .C Ÿ =
.B.C
= # UWÒ:
Ó
W
Así tenemos
W
'' # ''
:aBßCb
#
: aBß C b.B .C Ÿ » =
.B.C»
= UWÒ:
Ó a#
b
W
W
Para probar la desigualdad de Friedrich, sea E un cuadrado conteniendo a
‰
H . Si : − V"
ÐH Ñ, entonces : œ ! en EH. Definiendo una partición c en E
por cuadrados congruentes a W 5 de lados paralelos a los ejes
coordenados. Aplicando a# b a cada uno de los cuadrados W 5 obtenemos
donde
a:: ß b Ÿ a: ßA b = U Ò:
Ó
A œ
5
W
5 = 5 #
5 5
5
5
"
= 5
en W
! fuera de W
Sumando sobre el número 5 de la partición c se obtiene
8
a:: ß b Ÿ ! a: ßA b = U Ò:
Ó
5œ"
5 # #
#
tomando % de manera que = % obtenemos la desigualdad a"
b
5
W
c
_
7. TEOREMA DE RELLICH.
Sea Ö : × § ‰
5 5œ" ["
una sucesión acotada con respecto
_
_
a la norma l† l" . Existe una subsucesión Ö : 54× 4œ" de Ö : 5×
5œ"
que converge
en [ ! con respecto a la norma l l .
† !
_
‰
DEMOSTRACIÓN. Sea Ö : 5 × 5œ" una sucesión en ["
que es acotada con
respecto a la norma l l . En particular
†
"
a: ß: b œ : ß: ¡ ŸE,
UÒ:
ÓŸE
5 5 5 5 !
5
#
#

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 53
para alguna constante positiva E. Sean A7 4
con 4 œ "ß #ß á ß Ra7b
elementos de [!aHb
para los cuales se satisface la desigualdad de
"
Friederich con % œ
7
y 4œ"ß#ßáßRa7b.
_
Denotemos con Ö :"5× 5œ" a la sucesión de Ö : 5×
5œ" para la cual
_
Öa: "5 ß A "4 b× 5œ" con 4 œ "ß #á ß R a" b cumplen la desigualdad a"
b, entonces
_
Öa
ßA b×
es convergente puesto que de
: "5 "4 5œ"
ka: ßA ba: wßA bk œ ka: : wßA bk Ÿ l: :
wl lA l Ÿ #ElA
l
"5 "4 "ß5 "4 "5 "5 "4 "5 "5 ! "4 ! "4 !
_
se deduce que la sucesión
números reales.
_
: "5 "4 5œ"
Öa
ßA b×
es una sucesión de Cauchy de
Supongamos elegida la subsucesión Ö : 7"ß5× 5œ" de Ö : 5×
5œ" y por
_
_
_
recurrencia sea Ö : 75 , × 5œ" la sucesión de Ö : 5× 5œ" tal que ˜ˆ : 7ß5ßA7
4
‰ 5œ"
es convergente para 4 œ "ß #ß á ß Ra7b.
Se toma ahora la sucesión diagonal
_
_
< 5 œ:
5ß5
5 œ"ß#ßá
una vez más por la desigualdad de Friederich tenemos
Por
7
# "
5 5 5 5 5 5 7 7 5 5
4œ"
a< < ß< < b Ÿ !ˆ < < ßA ‰ Uc< < d a%
b
" # " # " # 4 " #
a$
brecibimos
Uc< < d Ÿ#Uc< d#Uc<
d Ÿ%E
5 5 5 5
" # " #
Así dado % ! se escoge 7Ð%
Ñcomo el más grande entero tal que
"
7Ð%
Ñ
%
)E"
Ÿ #
Puesto que la suma de la sumatoria en a% b es finita existe 5a% b − tal que
si 5ß5 5ÐÑentonces tenemos
" # %
R7ÐÑ a % b
! a< <
ßA b Ÿ
4œ"
5 5 7ß4 # %
" #
#
así l< 5 < 5 l! Ÿ % siempre que 5" ß5 # 5Ð% Ñ. Por lo tanto e<
5f5œ"
es una
" #
sucesión de Cauchy con respecto a l l , como [ es completo, entonces
† ! !
#
_

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 54
_
_
5œ" 5œ"
e< 5f es una subsucesión de e:
5f
l l
† !.
la cual es convergente en norma
§4. LA ALTERNATIVA DE FREDHOLM EN ESPACIOS DE HILBERT.
Sea L un espacio de Hilbert y X À L⎯→L
un operador completamente
continuo.
‡ ‡ ‡ ‡
8. TEOREMA.
Sea X À L ⎯→L el operador lineal adjunto entonces X es
completamente continuo, RMX a b es de dimensión finita y además
(aquí, RMX a b indica el núcleo de MX)
‡
a" b dimRaM Xb œ dim RaM X b
VMX a b es cerrado (donde VMX a b es el recorrido de MX)
a# b VaM Xb œ RaM X ‡ ¼
b
‡ ¼
a$ b VaM X b œ RaM Xb
‡
Si dimRaMXb œdimRaMX b œ! , entonces MX es una biyección y
además aMXb
" es acotado.
Probaremos el teorema inicialmente en el caso de un espacio de Hilbert,
pues el teorema es verdadero en espacios de Banach como lo veremos
posteriormente en 4.1.
8.1 LEMA 1.
Sea XÀL⎯→L
un operador lineal y completamente continuo,
entonces X ‡ es completamente continuo.
_
DEMOSTRACIÓN. Sea ÖB 8×
8œ" una sucesión acotada en L. El lema se sigue al
‡ _
‡ _
demostrar la existencia de una subsucesión eX B8 f5œ" de eX B8f5œ"
tal
5
que eXaX ‡ B 8 _
bf
5œ" sea convergente. Porque de esta afirmación se sigue
5
que
#
8 8 8 8 8 8
¼ ‡ ‡ ¼ ‡
X B X B Ÿ X ˆ B B ‰ ‡
ßX ˆ B B ‰¡
: ; : ; : ;
œ B B ßXˆ ‡
X ˆ B B ‰‰¡
Ÿ¼B B ¼¼Xˆ ‡
X ˆ B ‰‰ Xˆ ‡
X ˆ B ‰‰
¼
8 8 8 8 8 8 8 8
: ; : ; : ; : ;
Puesto que ¼ ¼ ‡
B8 B 8 es acotada independiente de : y ;, y ÖXaX aB 8 bb×
; : 5
‡ _
es una sucesión de Cauchy, ÖX B × es una sucesión de Cauchy. Así
85
5œ"

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 55
‡ _
‡
eX B8 f5œ"
es convergente y X es completamente continua. Finalmente
5
veamos la afirmación, se tiene
‡ ‡
5 5 5
lX B l Ÿ lX llB l œ lXllB
l
‡ _
entonces ÖX B 5×
5œ" es acotada ya que es X continua luego acotada y
ÖB 5×
5œ"
_ es una sucesión acotada. Así, como X es completamente continuo
‡ _ ‡ _
se sigue que existe una subsucesión ÖX B 7 × 5œ" de ÖX B 5×
5œ" tal que
5
‡ _
ÖX aX B b×
es convergente como se queria.
5
7 5œ"
8.2 LEMA 2.
Sea XÀL⎯→L
es un operador lineal completamente
continuo, RMX a b es de dimensión finita y
dimRMX a b œdimRMX
a b
DEMOSTRACIÓN. Supongamos por contradicción que dimRaMXb
no es
_
finito, entonces existe una sucesión ortogonal Ö : 8× 8œ" tal que : 8 œ X:
8
para todo 8. Por lo tanto para cada 7 Á 8
# #
8 7 8 7
lX: X: l œ l: :
l œ #
‡
pero esta es una contradicción apob
subsucesión de ÖX × es convergente.
: 8
contra el hecho de que alguna
Para la segunda parte del lema es suficiente demostrar que
‡
dimRMX a b dimRMX
a b
Pues en estas condiciones se tiene la otra desigualdad así
‡‡ ‡
dimRMX a b œdimRMX a b dimRMX
a b
Para mostrar la afirmación consideremos dos casos, cuando
dimensión finita y cuando L es de dimensión infinita.
L
es de
Supongamos entonces que L
dimL œ7. En estas condiciones
es de dimensión finita, digamos que
‡ ‡
7œdimVMX a bdimRMX a b œdimVMX a bdimRMX
a b
Sean ahora B−VaMXbßC−RaMX
b
algún A−L tal que
‡
entonces tenemos la existencia de

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 56
además
Por consiguiente
y
BœaMXbA
ØBßCÙœ M X AßC¡ ‡
a b œ AßaM X bC¡
œ!
B−RaMX
‡ ¼
b
, así
‡ ¼
VMX a b §RMX a b
‡ ¼
‡ ‡
dimVaMXb
ŸdimRaMX b œ7dimRaMX b œdimVMX
a b
‡ ‡‡ ¼
Por simetría (pues VaMX b §RaMX b œRaMXb
y
dimVaMX
‡ b Ÿâ )
Por consiguiente
Así,
‡
dimVMX a b ŸdimVMX
a b
‡
dimVMX a b œdimVMX
a b
‡ ‡
dimRaMXb œ7dimVaMXb œ7dimVaMX b œdimRaMX
b
Supongamos ahora que L no es de dimensión finita, pero separable. Sea
Ö: " ß: # ßáß : 5 × una base ortonormal para RaM Xb.
Como se está suponiendo que L
es separable existen
_
: 7 7œ"
Ö: 5" ß:
5# ßá×
tales que Ö × es una base ortonormal para L (en el sentido de que
para todo B en L, lim ¿ B ! R ØBß : 4Ù : 4¿
œ ! )
8
RÄ_ 4œ"
Sea :Bœ! ØBß: Ù : , claramente : œ:
8 5 5 8
5œ"
Para cada 7 sea
8 ‡

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 57
L7 œ 1/8Ö: " ß: # ßáß : 7×
el subespacio generado por Ö: ß: ßáß : × . Claramente se tiene
además
Denotemos por
" # 7
7 7 7 7 7 ‡ 7 7 7 "
: X: L § L y : X : L § L
‡ ‡
7 7 7 7
a: X: b œ : X :
W œ aM : X: b¹ y W œ aM : X : b¹
7 7 7 7 ‡ 7 ‡ 7
L
ab
7 7
Para 7 5, W : œ ! para 4 œ "ß #ß á ß 5 , pues
7 4
7
aM : 7X: 7b: 4 œ : 4 : 7XŒ!
Ø: 4ß: 5Ù: 5
œ : 4 : 7Xa: 4b
œ : 4 :
4 œ !
5œ"
. .
7 7 7 7 7
"
ab: : X: Œ! !: œ : X! ¢ !!: ß: £ : œ : !! : œ !!:
− L
7 7 3 3 7 3 3 5 5 7 5 5 6 6 7
3œ" 5œ" 3œ"
5œ" 6œ"
. .
Así existen 5 soluciones independientes ) ß) ßáß)
de W B œ ! en
" # 5
L 7 y podemos suponer que
e) ß) ßáß)
7 7 7
" # 5
f
L
7 7 7 7 ‡
es un conjunto ortonormal para cada
sucesiones
7. Ahora cada una de las 5
_
7) 7 4 7œ5"
˜:
4œ"ß#ßáß5
son acotadas; así, como es completamente continuo, podemos
suponer sin pérdida de generalidad que
Pero
X ‡
lim X : œ Z 4 œ "ß #ß á ß 5
7Ä_
‡ 7 7 4
) 4
‡ ‡ ‡
: X : ) Z œ : ˆ X : ) Z ‰ aM : bZ Ä ! a b, cuando 7 Ä _
7 7 7 4 7 7 7 4 7 4
4 4

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 58
Como l: l Ÿ " entonces
7
7Ä_ 7 ‡
7 7 4
lim : X : ) 4
œ Z 4 œ "ß #ß á ß 5
. .
‡
abaaA − LbŒ lim laM : 7bAl œ lim lA : 7Al
œ lim ¾A ! ØAß : 5Ù:
5¾
œ !
7Ä_ 7Ä_ 7Ä_
. .
Así
lim ) œ lim : X : ) œ Z 4 œ "ß #ß á ß 5 a%
b
7Ä_
‡
74 7 7 74
4
7Ä_
(recuerde que W ) œ ! œ aM : X : b ) )
Puesto que
entonces
Por lo tanto
Ahora como antes
Así
7 ‡ 7 7 ‡ 7 7
4 4
: ) Z œ : ˆ ) Z ‰ a: Z Z b Ä ! cuando 7 Ä _
7 7 4 7 7 4 7 4 4
4 4
7
5œ"
lim : œZ 4œ"ß#ßáß5
) 4
7Ä_ 7 7 4
lim X : œX Z 4œ"ß#ßáß5
7Ä_
‡ ‡
7 7 4
) 4
‡ ‡ ‡ ‡ ‡
: X : ) X Z œ : ˆ X : ) X Z ‰ aM : bX Z Ä ! a7 Ä _ b
7 7 7 4 7 7 7 4 7 4
Por consiguiente
y puesto que
4 4
7Ä_ 7 ‡ 7 ) 7 ‡
4 4
lim : X : œ X Z 4 œ "ß #ß á ß 5
‡
Z4 œ X Z4
4 œ "ß #ß á ß 5

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 59
Luego
a%
b
ØZ ß Z Ù œ lim Ø ) ß ) Ù œ $
3 4 73 74
34
7Ä_
‡
dimRaMX b 5œdimaMXb
8.3 LEMA 3.
Sea XÀL⎯→L
un operador lineal y completamente continuo
‡
entonces VaMXb œRaMX
b
¼ .
DEMOSTRACIÓN. Sea A−VÐMXÑ así AœÐMXÑ@ para @−L. Sea
‡
C−RaMX
b entonces
por lo tanto
ØAßCÙœ M X @ßC¡ ‡
a b œ @ßaM X bC¡
œ!
‡ ¼ ‡ ¼
A−RÐMX Ñ y VaMX b §RÐMX Ñ
Antes de mostrar la otra inclusión veamos que VMX a b es cerrado. Para
_
esto sea ÖA 7×
7œ" una sucesión en VÐM X Ñ y supongamos que
lA7 Al Ä ! cuando 7 Ä _, así existe una constante < tal que lA7l
Ÿ <
para todo 7 œ "ß #ß á , ahora como
VÐMXѧR a ‡
MX b ¼
para cada 7 existe un único @ 7 − RaM Xb tal que A7 œ aM X b@
7, puede
_
suponerse que la sucesión Ö@ 7×
7œ" es acotada, puesto que supongamos
_
por contradicción que existe una subsucesión ÖA 7 × tal que ¼
5œ" @ 7
¼ Ä _
5 5
"
cuando 75 Ä _. Si denotamos por D7 œ @ 7 entonces D7
œ " y
5 ¼@
7 ¼
l l
5 5
5
"
aMXbD7 œ †A
5 ¼ ¼ 7 . Por lo tanto
5
@
7 5
lim
7Ä_
5
aMXbD œ!
7
Puesto que lD7 5
l œ " y X completamente continuo podemos suponer,
sin pérdida de generalidad que lim XD œ . Por lo tanto
5
7Ä_ 7
lim D œ lim XD œ
7Ä_
7 7
7Ä_
5 5
5 5
5
5
¼

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 60
también se tiene que lim XD œ X , y por lo tanto œ X .
7Ä_ 7
5
5
Puesto que lD7 l œ " entonces por continuidad de X para todo 75
se tiene
5
que l l œ ".
_ ¼ ¼ ¼
Pero ÖD 7 × 5œ" §RMX a b y RMX a b es cerrado así −RMX a b y por
5
otra parte aMX bœ! , así −RÐMXÑ. Por lo tanto l l œ!ß obteniendo
una apob
contradicción.
Esta contradicción prueba la acotación de la sucesión Ö@ 7×
7œ" . Por la
_ _
continuidad completa de X existe una subsucesión Ö@ 7 5
× 5œ" de Ö@ 7×
7œ"
_
tal que la sucesión ÖX @ 7 ×
œ"
converge. Como @ 7 œ X @ 7 A7
entonces
5 k
5 5 5
lim @ œ lim X@ A así este límite existe, denotémoslo por
7Ä_
7 7
7Ä_
5 5
5 5
_
@œ
lim
@
7Ä_ 7
5
5
entonces
esto prueba que
@œX@A si y sólo si AœaMX b@ y A−VaMXb
VMX a b
es cerrado.
Para ver la otra parte del lema supongamos que
‡ ¼
VMX a b ÁRMX a b
Puesto que
‡ ¼
VMX a b §RMX a b
existe
¼
@−VaMXb RaMX b con l@ l Á!
Sea A−Lentonces aMXbA−VaMXb
y se tiene
¡ ‡
aMXbAß@ œ AßaMX b@ ¡ œ!
Por lo tanto
‡
Aß aM X b@ ¡ œ ! para todo A − L
‡
¼
‡ ‡
así aMX b@œ! para todo A−L , entonces @−RÐMX Ñ pero
‡ ¼
@−RÐMX Ñ en ese caso @œ! así ll @ œ! , y como ll @ Á! apob

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 61
obtenemos una contradicción. Esta contradicción prueba completamente
el lema.
Veamos finalmente la alternativa de Fredholm, primero mostremos que si
RaMXb œÖ!× , entonces VaMXb
œL
Si RaMXb
œ!ß el operador MX es uno a uno, de manera que si
suponemos VMX a b ÁL podemos pensar que la cadena
L ¨ L " ¨ L # ¨ L $ ¨ â donde
L 5" œ aM Xbˆ L
5 ‰
consta de infinidad de subespacios, pero esto es imposible pues vamos
5" 5
a demostrar la existencia de un 4− tal que L œL para todo 5 4.
Luego VMX a b œL.
Para ver la afirmación suponemos que no existe tal 4, es evidente que
todos los L 5 son distintos. En este caso podemos construir una sucesión
_ 5 5" 5"
ortonormal ÖB × tal que B −L ßB ÂL y son ortogonales a L
5 5œ"
5 5
Para 65
se tiene
XB XB œ B cB aMXbB aMXbBd
6 5 5 6 5 6
en consecuencia, lXB XB l " a b ya que
6 5
BaMXB b aMXB b −L
6 5 4
"
_
Luego, de la sucesión ÖX B 5 × 5œ" no se puede extraer ninguna subsucesión
convergente, lo cual contradice al hecho de ser X completamente
continuo. Recíprocamente mostremos que si VMX a b œL, se tiene
RaM X b œ Ö!× .
Como VMX a b œL, tenemos en virtud del lema 3. que
‡ ¼
VMX a b œRaMX b œL
‡
entonces RaMX b œÖ!× , pero por el lema 2.
‡
dimRaMX b œdimRaMXb œ! , por lo tanto RaMXb
œÖ!× lo cual
queriamos demostrar.
. .
Para aclarar ß usando la ortogonalidad se tiene
lXB6 XB5l œØB5ßB5ÙlB5 aMXbB5 aMXbB 6l
"
. .
5"
# #

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 62
4.1 ALTERNATIVA DE FREDHOLM PARA ESPACIOS DE BANACH.
9. PROPOSICIÓN.
Sea „ un espacio de Banach y supóngase que XÀ„ ⎯→ „
es un operador compacto y - − ‚ - Á !, a-M Xb
es sobre si y sólo si
a-M Xbes uno a uno.
DEMOSTRACIÓN. Sabemos por el corolario de 48 del cápitulo 1. que
VÐ-MXÑœRa-MX
‡ ¼
VÐ-MX ÑœRa-MXb
b
‡ ¼
y además supongamos que a-MXb es sobre. Si a-MXbno es uno a uno,
existe 0! − „, tal que a-M Xba0! b œ ! con 0!
Á !. Ya que a-M Xb
es
sobreyectivo existe 0 −„ tal que a-MXba0b
œ0 Á! además tenemos
entonces
#
" " !
a-MXb a0b œa-MXbaa-MXba0bb œa-MXba0b
œ!
" " !
#
" "
0 − RÐ-M XÑ y 0 Â RÐ-M XÑ
Por la misma razón existe 0 −„ tal que a-MXba0b
œ0 Á! , así
# # "
$ # #
# # "
a-MXb a0b œa-MXb aa-MXba0bb œa-MXb a0b
œ!
entonces
0 − RÐ-M XÑ
#
$
, además
#
a-MXb a0b œa-MXba0b
œ0 Á!
# " !
Por inducción existe una sucesión
˜
_
0 8
8œ"
tal que
esto quiere decir que
8 8"
8 ! 8 !
a-MXb a0 b œ0 Á! y a-MXb a0 b œa-MXba0 b œ!
8" 8
8
0−RÐ-MXÑ •0 ÂRÐ-MXÑ
para todo entero positivo 8. Entonces
8 8"
Ra-MXb
ÁRÐ-MXÑ
lo cual contradice la proposición 49 del Capítulo 1.

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 63
Recíprocamente, supongamos que a-M Xb
es uno a uno, esto quiere
‡ ‡ ¼
decir que a-MX b es sobreyectivo ( pues Va-MX b œRa-MXb
). Por lo
anterior tenemos que a-M X ‡ b es uno a uno y como
‡ ¼
Va-M Xb œ Ra- M X b
entonces a-M Xb
es sobreyectivo.
10. EJERCICIO. Si H es un dominio acotado en d y ! ! " " entonces
la inyección
es una aplicación lineal compacta
"
3 À V ÐHÑ⎯→
!
V ÐHÑ
Ä3 a b œ
R
NOTA.
lBCl a b a b lBCl a b a b lBCl a b a b
lBCl! œ diámetro de
lBCl" lBCl " ! Ÿ
lBCl"
† a
Hb
" !
§5. TEOREMA DE LAX MIGRAM
11. LEMA.
Sea FBßC a b una forma bilineal definida en un espacio de Hilbert
real L. Supóngase
a" b FaBßCb Ÿ G lBllCl
para todo BßC − L
#
#
" "
a# b FaBßB b G lBl
G ! para todo B − L.
Sea P un funcional lineal continuo en L. Existen aplicaciones lineales
X À L⎯→L W À L⎯→ L tales que
FaXBßCb
œØBßCÙ
FaCßWBb
œØBßCÙœØCßBÙ
para todo BßC −L
para todo BßC −L
‡ ‡
Además, X y W son biyecciones y X œ W ( X el operador adjunto de X)
DEMOSTRACIÓN. Para +−L fijo, se define P+ aBb œF a+ßB b. Por a" b P+
aBb
es
un funcional lineal acotado en L por el teorema de Riesz-Frechet existe
un único elemento ,−Ltal
que

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 64
F+ßC a b œØ,ßCÙ
para todo C−L.
Denotando , por ) entonces F a+ßCb
œ Ø ) +ßCÙ así la aplicación
) : L⎯→L )
es una aplicación uno a uno. Más aún por la hipótesis a#
b
+Ä +
se tiene que
así
#
l) + l œ F a+ß ) a+ bb Ÿ G l+ ll)
a+
bl
"
l)+ l Ÿ G # l+
l
obteniéndose así que )
es continua.
Veamos ahora que el rango de ) es cerrado, así supongamos que Ö, ×
es una sucesión en el rango de ) tal que
lim l, , l œ ,
7Ä_ 7
_
7 7œ"
para algún , − L , ahora , 7 œ ) + 7 para 7 œ "ß #ß á y + 7 − L . Por a#
b se
tiene que
#
G " l+ ; + : l Ÿ F a+ ; + : ß+ ; + : b œ ) a+ ; + : b ß+ ; + :¡
œ , , ß+ + ¡ Ÿ l, , ll+ + l
; : ; : ; : ; :
de donde se obtiene la desigualdad
"
; : ; :
l+ + l Ÿ l, , l
_
G "
siguiéndose que Ö+ 7× 7œ" es una sucesión de Cauchy en L, así existe
+−L tal que lim l+ + l œ! .
7Ä_ 7
Por la continuidad de )
se recibe
) +œ lim ) + œ lim , œ,
7Ä_
7 7
7Ä_
se sigue entonces que ,−(Rango de )) y Va) b es cerrado. ) sea también
sobre, porque si suponemos que ) no es sobre entonces existe A−L tal
que lAl
Á ! y A − VÐ) Ñ
¼ , teniéndose que
FaAß Ab œ Ø)
Aß AÙ œ !

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 65
Por la desigualdad
a#
b
se tiene
G lAl Ÿ FaAßAb
"
#
De aquí se sigue que lAl
œ !, llegando a una contradicción. Esta
contradicción muestra que ) es sobreyectiva.
Puesto que ) es uno a uno, sobre y continua, entonces ) tiene un inverso
continuo que es una biyección, denotemos con Xœ) " .
Si Bß C − L, entonces ØBß CÙ œ ) X Bß C¡ œ FaX Bß Cb
La existencia de W es probada en forma similar, dados BßC − L se sigue
de la definición de W y X que
‡
Por lo tanto X œ WÞ
XBßC¡ œ FaXBßWCb
œ BßWC¡
12. TEOREMA (Lax Milgram). Sea F satisfaciendo las mismas hipótesis del
lema de 11. Sea P una función lineal continua de L. Existen únicos
elementos @ y A en L tales que
F@ß a : b œPa: b œFa: ßAb
para todo : −L
DEMOSTRACIÓN. Por el teorema de Riesz-Frechet existe un único
que
Pa: b œ ØBß: Ù a:
− L
B−L
tal
Sea @œXB, AœWB donde X y W son dados por el lema, si : −L se
tiene
y
F@ß a : b œØBß: ÙœPa:
b
Fa: ßAb œ ØBß: Ù œ Pa:
b

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 66
Para la unicidad supongamos que @ œ XB y @" œ XB"
. Entonces si
F@ß a : b œF@ß a " : b se sigue que
por lo tanto
ØB, : Ù œ ØB ß : Ù de donde ØB B ß : Ù œ ! a:
− L
BœB
" "
así
@œXBœXB œ@
" " "
Análogamente se muestra que A es único.
§6. SOLUCIONES GENERALIZADAS DE PROBLEMAS CON VALORES DE FRONTERA
PARA ECUACIONES ELIPTICAS DE SEGUNDO ORDEN.
13. Denotemos como es costumbre por
PÒÓœ H a+ H b,H-œ0
`
3 34 4 3 3
donde H3 œ
`B 3
, + 34ß , 3ß-
son funciones acotadas y medibles en un dominio
H §d R .
Como ya lo habíamos definido en varias ocasiones
elíptico cuando
P es un operador
aM b + aBb%% ! salvo para % œ !ß 4 œ "ß #ß á ß R
34 3 4 4
También recordamos que P es fuertemente elíptico cuando
aMM b + 34aB b%% 3 4 + ! Œ!
% #
3
Considérese la ecuación
PÒÓœ0
R
3œ"
y supóngase que + 34ß , 3 son funciones reales, continuas y de clase V en
#
además - medible y acotada entonces 0 − V ÐHÑ
y real.
"
H
14. DEFINICIÓN 1.
Se dice que una función a valor real : es una función de
# R
prueba si : − V Ðd Ñ y : tiene soporte compacto contenido en H.

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 67
Multiplicando a la izquierda la ecuación
prueba : obtenemos
PÒÓœ0
por una función de
: PÒÓ œ : 0 Í : PÒÓ œ : H a+ H b :, H :- œ : 0
integrando sobre H se obtiene
3 34 4 3 3
' : P .B œ ' : H a+ H b.B ' :, H .B ' :- .B
3 34 4 3 3
H H H H
pero integrando por partes la primera integral, teniendo en cuenta que
=9: : § H es compacto, obtenemos
Luego
'
: H a+ H b.B œ ' + H a bH a:
b.B
H
3 34 4 34 4 3
H
' : P.B œ ' c+ H a bH a: b :, H a b -: d.B a"
b
H
Nótese además que
y
H
34 4 3 3 3
' + H a bH a: b.B œ ' + H a: bH a b.B œ ' ÒH a+ H a:
bbÓ.B
34 4 3 34 3 4 4 34 3
H H H
' a: , bH a b.B œ ' H a, : b.B
H
3 3 3 3
H
(se ha integrado por partes)
Luego
a"
b
se puede escribir en la forma
donde
' : ' : : : ' ‡
P.Bœ ÒH a+ Ha bbH a, b -Ó.Bœ P :.B
4 34 3 3 3
H H H
‡
P : œ H a+ Ha: bbH a, : b:
-
4 34 3 3 3
‡
P es llamado el " adjunto formal " de P
La anterior ecuación puede ser escrita en la forma
aMMMb aPß: b œ F aß: b œ aÞP
: b
‡

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 68
donde
y
F aß: b œ ' c+ 34aH3a: bbaH 4a bb, 3: H 3a b- :.B
d
H
aß Ab
œ '
#
A .B para ß A − _ ÐHÑ
H
Si , 3 œ! para 3œ"ß#ßáßR y + 34 œ+ 43 3ß4œ"ß#ßáßR entonces
‡
P: œ P :
‡
(pues P: œ H 3a+ 34H4: b-: y P : œ
H 4a+ 34H3: b-:
) y en este caso
se dice que P es auto-adjunto, además se tiene que F es un funcional
bilineal en y : tal que
d
Fß a : b œFa:
ß b.
" # #
15. DEFINICIÓN 2.
Supóngase que + 34ß, 4 − V ÐH Ñ y -ß0 − _ ÐH Ñ . Sea − _ ÐHÑ
se dice que es una solución débil de
si para toda función de prueba : se tiene
a3@ b aß P ‡ : b œ a0ß
: b
Por otra parte es una solución débil de
P œ
0 a#
b
‡
Pœ0 a$
b
si para toda función de prueba :
se tiene
‡
a3@ b aP: ß b œ a:
Þ0b
Nótese además que si se supone que los + 34ß , 4 y - son medible y acotados
en H, entonces la forma bilineal F es acotada en V " ‚ V " y puede
extenderse por continuidad a [" ‚ ["
a ver §1. b teniéndose
16. DEFINICIÓN 3.
Sea −[ " se dice que es una solución débil de la
‰
ecuación P œ
0 si para toda función : − [ " aver §#
b . se tiene que

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 69
ab @ F aß: bœ a0ß:
b
‡
Ahora se dice que es solución débil de la ecuación P œ 0 si
a@3b Fa: ß b œ a: ß 0b
para todo : − [ ‰
"
"
17. PROPOSICIÓN.
Si + 34ß , 3 − V aHb
para 3ß 4 œ "ß #ß á ß R entonces las
definiciones a# b y a$ b son equivalentes.
DEMOSTRACIÓN. Supóngase que + 34ß , 3 − V ÐHÑ para 3ß 4 œ "ß #ß á ß R y
supongase que −[ " es una solución de a#
b en el sentido de la definición
# R
3. Si : es una función de prueba entonces : − V Ðd Ñ y : tiene soporte
‰
compacto contenido en H por lo tanto : − ["; puesto que − ["
existe
"
una sucesión − V ÐHÑ
tal que
8
l l Ä! cuando 8Ä_
8 "
"
Por la continuidad de F
se sigue que
lim Fß a : b œFß a : b œa0ß:
b
8Ä_
Integrando por partes tenemos
8
aßP 8 ‡ : b œ aßH 8 4a+H 34 3a: bbH 3a, 3: b-:
b
œ ' aH a+ Ha: bb
H a, : b- : b.B
H
8 4 34 3 3 3
œ ' H a+ H a: bb.B ' H a, : b.B ' -:.B
8 4 34 3 8 3 3 8
H H H
œ ' + H a: bH a b.B ' , : H a b.B ' -:.B
34 3 4 8 3 3 8 8
H H H
œ ' a+ H a: bH a b, : H a b -:
b.B
H
œF a ß
34 3 4 8 3 3 8 8
8 :
b
Puesto que convergencia débil con respecto a la l† l"
-norma implica
convergencia débil respecto a la l l -norma se sigue que
†
!
y así
‡ ‡
8 8
8Ä_
8Ä_
aßP : b œ lim a ßP : b œ lim F a ß:
b
aß P ‡ : b œ a0ß
: b
de donde es una solución en el sentido de la definición 2.
Análogamente si es una solución de a$
b en el sentido de la definición 3.

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 70
entonces es solución de a$
b en el sentido de la definición 2., basta ver
que aP: ß b œ Fa:
ß b en forma totalmente análoga
8 8
aP: ß b œ ' H a+ H a: bb.B ' ,H a: b.B'
-: .Bœ
8 8 3 34 4 8 3 3 8
H H H
œ ' a+ H a bH a: b, H a: b- : b.B
34 3 8 4 3 8 3 8
H
a: 8 b
œF ß
Ahora supongamos que es una solución de a#
b en el sentido de la
definición 2. Sea : − [
‰ ", no es difícil demostrar que existe una sucesión
_ # R
Ö : 7× 7œ" tal que : 7 − V Ðd Ñ y : 7 teniendo soporte compacto contenido
en H además lim l: :
l œ !. Ahora
más aún
7Ä_
7 "
a@33 b aß P : b œ a0ß
: b
‡
‡
7 7
aß P : b œ F aß
: b
7 8
_ "
" 8 8œ"
para esto como −[ existe una sucesión Ö × § V ÐHÑtal que
y así para 8 fijo
lim l l œ!
8Ä_
8 "
‡ ‡
7 8 7 8 7 7
8Ä_
8Ä_
aßP : b œ lim a ßP : b œ lim F a ß : b œ F aß
: b
Ahora teniendo en cuenta a@33b
tenemos
Fß a : b œa0ß:
b
7 7
Puesto que F
y el producto interno son continuos, se sigue que
Fß a : b œlim
Fß a : b œlim
a0ß: b œa0ß:
b
7Ä_
7 7
7Ä_
de donde es una solución de a#
b en el sentido de la definición 3.
Utilizando tecnicas análogas se prueba que si es solución de a$
b en el
sentido de la definición 2., entonces es solución de a$
b en el sentido de
la definición 3.

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 71
18. Consideremos ahora el caso particular del Laplaciano, esto es la
ecuación diferencial parcial
#
PÒÓœ a b œ H 3 3œ"ß#ßáßR
Esto es caso en el cual P œ P ‡ el operador es auto-adjunto. En este
caso si : es una función de prueba entonces
Øß : Ù œ F aß : b œ ' H a:
bH a b.B 3 œ "ß #ß á ß R
" 3 3
H
Así según la definición 3., −[" ÐHÑ es una solución débil de P a b œ0 si
‰
para toda : − [ ÐHÑ
se tiene
pero
o sea
"
Fß a : b œa0ß:
b
Fß a : b œ'
Ha: bH a.Bœ b ' Øfßf:
Ù.B
H
3 3
' Øf , f: Ù .B œ a0ß : b œ ' 0 :.B
H
Luego −["
ÐHÑ es una solución débil de PÒÓœ0 cuando para toda
‰
−[" ÐHÑse tiene
' ˆ fß f: ¡ 0 :‰.B œ !.
H
19. APLICACIÓN. Sea H §d un dominio acotado, para cada 0−_ ÐHÑ
el
problema
aMb
R #
PÒÓ œ aBb
œ 0aBb
B − H
¹ œ !
`H
‰
tiene una única solución débil −[ ÐHÑ.
DEMOSTRACIÓN. Sea
0−_
#
"
ÐHÑ, consideremos el funcional
0À s
‰
[" ÐHÑ⎯→d
H
H

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 72
dado por 0sa: b œ '
0 :.B. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
resulta
H
½0s a: b½
Ÿ º '
0 :.Bº Ÿ l0l l: l Ÿ l0l È-l:
l
H
! ! ! "
la última desigualdad se sigue de la desigualdad de Poincaré a§2 b. Luego
0s es un funcional lineal acotado, por el teorema de representación de
‰
Riesz-Frechet existe un único −[ ÐHÑtal que
0sa: b œ ' 0 :.B œ Øß : Ù œ ' Þfß f :¡.B
‰
Luego para todo : − [ ÐHÑ
se tiene
H
"
' ˆ fß f: ¡ 0 :‰.B œ !
H
"
"
lo cual demuestra que es una solución débil del problema aMb
y por el
mismo teorema de Reisz-Frechet es única.
20. DEFINICIÓN.
Supongamos que H es una región en d para ! ! ",
#!
se dice que ` H es de clase V si para todo : − ` H existe un abierto K
R 8"
en d y un abierto Z en d tal que para : − K existe un entero
"Ÿ5ŸR y una función 2−V
#! aHb
tal que
B ßáßB ßB ßáßB − Z y
` K = aB ßáßB ßáB b‚ a " 5" 5" R b
" 5 R
B œ2aB ßáßB ßB ßáßB b
H Ÿ
5 " 5" 5" R
21. TEOREMA DE SCHAUDER . Si H es una región en d , ` H es de clase V ,
H es acotado
R R R
#
PÒÓ œ !! `
+ B ! `
a b , aBb -aB b
34 `B `B 3
4œ"3œ" 3œ"
H
`B
3 4 3
#
!
para todo −V aHb ß P es uniformemente elíptico, + 34ß,ß-−G 3 ÐHÑ
y
!
-Ÿ!; entonces existe una constante 5" ! tal que para todo 0−V ÐHÑel
problema
R
R
#!

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 73
aMb
PÒÓœ0
œ
œ!
en H
en `H
tiene una única solución en V
#! ÐHÑ; y además
22. Tomando
l l Ÿ 5 l0l
#! " !
•#!
V H V
#!
Ð Ñ œ š − Ð H Ñ ‚ ¹ œ !›
` H
obtenemos claramente un espacio de Banach cerrado.
Consideremos el operador
•#!
!
P À V ÐHÑ⎯→V ÐHÑ
ÄPÒÓ
lo que dice el teorema de Schauder es que
sobre (es decir, P es una biyección).
P es un operador uno a uno y
Por las definiciones resulta que Pes uno a uno ya que P a b œ ! entonces
por el principio del máximo débil œ!. Así
es acotado.
" ! •#!
P À V ÐHÑ⎯→V ÐHÑ
"
#!
"
lP a0bl Ÿ lP ll0l
basta para tener la desigualdad deseada tomar 5 œ lP
"
Como P a0b œ tenemos l l# ! Ÿ 5"
l0l!
. Resta mostrar que el operador
es sobre.
Supongamos que −V
ÐHÑ:!ß:−d
'
#
R
R
: R :
#
l l !! ` ! ` :
#ß: œ ¹
`B `B
¹ ¹
`B
¹ ll .B
H
3 4 3
4œ"3œ" 3œ"
23. DESIGUALDAD DE SOBOLEV . Para !!
" , si se toman las condiciones
del teorema de Schauder y : es suficientemente grande tal que
"
"
l
"
:

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 74
R
:
a+ b ! " entonces existe una constante œ œ œa:ßPßHbtal que
l l Ÿ l
l a23.1b
"! œ
#ß:
ab , ll
#ß:
Ÿ -" l0 l!
a23.2b
ab - ll Ÿ 5 ll 0 a23.3b
También se tiene que
En general se tiene que
"! # !
l l Ÿ -l0l Ÿ -l0l
"! _ !
l l Ÿ - l l Ÿ -- l0l
"! ! #ß: " !
#! !
24. La inyección 3 À V ÐHÑ⎯→V ÐHÑ
es compacta.
Ä3 a b œ
DEMOSTRACIÓN. Supongamos que e 5 f5œ"
es una sucesión acotada de
V
#! ÐHÑ , esto quiere decir que existe < ! tal que
#
l l l l ! ` 5
œ ½ ½ !!
` 5
½ ½ Ÿ <
5 #! 5 !
R R R
_
`B3 `B `B
3œ" !
3 4
4œ"3œ" !
_
_
#
_
` `
5 5œ" `B3 5œ"
`B3`B4
5œ"
!
5 5
entonces tenemos que la sucesión e f ßš › , š › cuando
"Ÿ3ß4ŸR son sucesiones acotadas en V ÐHÑ. Cada una de estas
sucesiones estan en las hipótesis del teorema de Arzela-Ascoli, así existe
_
_
una función definida en H y una subsucesión e f de e
f tal que
8
Ä ß Ä ß Ä
8
` ` ` `
`B `B `B `B `B `B
3 3 3 4 3 4
uniformemente en H , para todo "Ÿ3ß4ŸR.
Por la desigualdad a23.1 b de Sobolev tenemos
8 8œ" 5 5œ"
# #
y
8 8
l l Ä! ( pués ½ ½ Ä!ß½ ½ Ä! )
8 #ß:
# #
` ` ` `
`B `B
#ß:
`B `B `B `B
3 3 3 4 3 4
#ß:
l l Ÿ - l l
8 "!
8 #ß:

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 75
por lo tanto
l l Ä! , y , l l Ÿ l l Ä!
8 "! 8 ! 8 "!
por lo tanto l 8 l!
Ä ! cuando 8 Ä _. Luego 3 es un operador
compacto como queriamos demostrar.
EJERCICIO.
" ! •#!
3 !
P À V ÐHÑ⎯→V ÐHÑ⎯→V ÐHÑ
" ! !
VœP ß Xœ3‰VÀV ÐHÑ⎯→
V ÐHÑ
entonces demostrar que X
es compacto.
24. TEOREMA.
Supongamos que H es un dominio en acotado
R R R
#
PÒÓ œ !! `
+ B ! `
a b , aBb -aB b
34 `B `B 3
4œ" 3œ" 3œ"
# #
`B
3 4 3
para todo − V ÐHÑ , + 34ß, ß - − V ÐHÑ tenemos que el operador P es
3
uniformemente elíptico, además ` H es de clase V #! . Si
•
PÀV #! ÐHÑ⎯→V ! ˆ H‰
es uno a uno, donde
entonces el problema
•#!
V H V
#!
Ð Ñ œ š − Ð H Ñ ‚ ¹ œ !›
` H
d R
PÒÓœ1
¹
`Hœ!
en H
#! !
tiene una solución única − V ÐHÑ para cada 1 − V ÐHÑ, además existe
una constante 5 ! tal que
#
l l Ÿ 5 lPÒÓ l para todo − V ÐHÑ
#! # !
#!

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 76
NOTA. Este es el mismo teorema de Schauder donde se ha cambiado la
condición -Ÿ! por Pen uno a uno.
DEMOSTRACIÓN. Se selecciona .! tal que -ÐBÑ.Ÿ! para todo B−H
(esto se puede hacer pues P es continua y H compacto) y se define
#!
RÒÓœPÒÓ.
para todo −V
ÐHÑ. Por el teorema de existencia de Schauder para cada
! #!
0 − V ÐHÑ existe una única función − V ÐHÑ
tal que
RÒÓœ0
en H además existe 5! tal que
l l#! Ÿ 5lRÒÓ l!
a"
b
!
Se define para cada 0−V
ÐHÑ, V0 a b œ donde es la única función tal
#!
"
que RÒÓœ0 en H, −V ÐHÑ( en otras palabras VœR ) y tomemos
X œ3‰Vœ3‰R "
#! !
donde 3 À V ÐHÑ⎯→V ÐHÑ
siguiente diagrama
es la inclusión (o inyección ) teniéndose el
N
α −1
C ( Ω ) C
2+α
( Ω )
T
ι
α
C ( Ω )
demostraremos que el operador lineal X es compacto (lo cual se puede
hacer como ejercicio). Si PÒÓœ0 en H, esto es equivalente a que
esto es equivalente a
RÒÓœ0.
œ Xa0b.X a
b

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 77
la cual puede escribirse también en la forma
Si denotamos por
.X a b œXa0b
Oœ .X, entonces
O a b œX0 a b Í aMOœX0
b a b
Lo anterior quiere decir que
PÒÓœ0 Í ÒMOÓ a b œXa0b
! !
Demostraremos que MO À V ÐHÑ⎯→V ÐHÑ
esto supongamos que
es uno a uno. Para demostrar
aMO ba@ b œ! @−V ÐHÑ
Pero esto equivale a @O@œ! Í @œO@œ .X ab @
De donde se tiene que
QÒ@Ó œ .QX ab @ œ .@ , entonces se tiene que
.@œQ ab @ œPÒ@Ó.@
esto es PÒ@Óœ! , ya que P es uno a uno, tenemos que @œ! . Por lo tanto
tenemos que
!
aM Ob
À V ÐHÑ⎯→
!
V ÐHÑ
es uno a uno, por el teorema de la alternativa de Fredholm el operador
! !
lineal aM Ob
es sobre, esto es para todo 0 − V ÐHÑ existe − V ÐHÑ
tal
que aMO ba b œXa0b (aplicando la definición de sobre a Xa0b
), esto es
#!
equivalente a PÒÓœ0 en H, −V ÐHÑßl`
H œ! .
! !
Ya que el operador M O À V ÐHÑ⎯→
V ÐHÑ
es operador lineal continuo,
uno a uno y sobre entonces aMOb
" es acotado (Teorema de Banach
para operadores lineales) esto es existe una constante 5$
! tal que
laMO ba@ bl Ÿ 5 $ l@ l para todo @ − V ÐHÑ
! !
Además por el teorema de existencia de Schauder existe 5! tal que
l l Ÿ 5lR a bl
para todo − V ÐHÑ.
#! !
!
!
#!

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 78
• #! !
Si PÒÓ œ 0 en H, para − V ÐHÑ, 0 − V ÐHÑ
entonces se tiene que
"
aMO ba b œX a0 b en H, tomando inverso œ
aMOb aXa0bb, tenemos
l l ¼
"
a b a b¼
!
œ
M O Xa0b
Ÿ 5$ lXa0bl! Ÿ 5$
lXll0 l!
a#
b
!
Además
RÒÓœPÒÓ.œ0.
Por lo tanto tenemos que
l l#! Ÿ 5lR a bl! œ 5l0 . l Ÿ 5al0l! . l
l!
b
Ÿ5al0l 5lXll0l b œ5 a"5 lXlbl0l
! $ ! $
!
haciendo
5 œ 5 a"5 l0lb
# $
obtenemos
l l Ÿ 5 l0l
#! # !
NOTA. En resumen se considera el siguiente diagrama conmutativo
N
α −1
C ( Ω ) C
2+α
( Ω )
T
ι
α
C ( Ω )
Se toma RÒÓœPÒÓ. -aBb.Ÿ!
así PÒÓœ0 es equivalente a .X a b œXa0b
de donde
OœXa0 b •Oœ .0 Í aMO ba b œXa0b
Supongamos ahora que H es un dominio acotado en d , ` H de clase
#! !
V ß+ ß,ß-−V ÐH Ñ con !!
"
34 3
R R R
#
PÒÓB a b œ !! `
+ ! `
, -BB a b a b
34 `B `B 3 `B
4œ" 3œ" 3œ"
3 4 3
R

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 79
#
para todo −V
ÐHÑßPes uniformemente elíptico y
0À H ‚d⎯→d
aBß = b Ä 0aBß = b
"
es una función de clase V en H‚d. Consideremos el siguiente problema
PÒÓaBb œ c0aBß aBbb 2aBbd
aMb ¹ œ !
` H
en
H
Ÿ
donde 2−V
ÐHÑ.
!
#
25. DEFINICIÓN.
Una función @−V ÐHÑVÐHÑ
se denomina supersolución
( o solución superior ) del problema aMb
si
PÒ@ÓaBb Ÿ c0aBß@ aBbb2aBbd
en Hß
@ÐBÑ ! en ` H.
Si una función
#
A−V ÐHÑVÐHÑ
satisface las siguientes desigualdades
PÒAÓaB b c0aBßAaBbb2aBbd
AB a b Ÿ!
en
en
H
`H
en este caso a A se le denomina subsolución del problema aMb.
26. TEOREMA.
Si existen dos funciones @ y A tales que @ es una
supersolución de aMb, A una subsolución de aMb
y AÐBÑ Ÿ @ÐBÑ en H
#!
entonces existe −V
ÐHÑ tal que es solución de aMb
y
@B a b ŸB a b ŸAB a b en H
DEMOSTRACIÓN. Se selecciona P !
tal que
`0aBß=
P+ b ! para todo B−H
y
`=
AB a b Ÿ=Ÿ@B a b y P
-aBb
Ÿ!
en H
Se define QÒÓœPÒÓ P para todo −V ÐHÑ.
Por el teorema de existencia de Schauder existe una función !
− V
tal que
#
#!
ÐHÑ

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 80
QÒÓœÒ0BßAB ! a a bb2B a bPABÓ
a b en
œ
!
œ ! en ` H
H
Por el mismo teorema existe
− V ÐHÑ
"
#!
tal que
QÒ " Ó œ
Ò0aBß ! aBbb2aBb P ! aBbÓ
en
œ
"
œ ! en ` H
H
Usando inducción podemos asegurar que existe una sucesión
V
#! ÐHÑ tal que
_
e 7 f7œ"
en
QÒ 7Ó œ
c0aBß 7" aBbb2aBb P
7" d en
œ
7 œ ! en ` H
H
para todo 7 œ "ß #ß á
Demostremos seguidamente que
AB a b Ÿ 7aBb Ÿ 7" Ÿ@B a b
para todo B−H. Para ver esto recordemos que para AB a b se tiene:
QAB
œ a a bb 0BßAB c a a bb
2B a b PAB
a bd
AB a b Ÿ!
en
Además tenemos
en
`H
H
QÒÓB ! a b œ0BßAB c a a bb2B a bPAB
a bd
en
aMMb œ
œ ! en ` H
!
H
Restando tenemos
QÒA ! ÓaB b !
œ
A Ÿ!
!
en
en
`
H
H
Por el principio del máximo débil A ! Ÿ! en H esto es
AB a b Ÿ ! aBb
en H
Además para
@B a b
tenemos
QÒ@ÓaBb Ÿ c0aBß@ aBbb P@ aBb2aBbd
œ
@l !
`H
en
H

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 81
Restando esta última con aMMb
recibimos
Q c @ d 0aBß@ aBbb0aBßAaBbb c@ aBbAaBbd
y a @ bl Ÿ !.
! `H
! P
"
ab `0
œ Š
`0
aBß0 a B b b P‹
a@ a B b A a B b b ! para todo B − H
Otra vez por el principio del máximo débil y las anteriores desigualdades
podemos concluir que
!aBb Ÿ @ aBb en H
suponiendo que A Ÿ Ÿ@ 5 œ"ß#ßáß8"
5 5"
ab
" Aplicando el teorema del valor medio
.
.
las otras desigualdades se demuestran en la misma forma.
Por lo anterior podemos concluir que
AÐBÑ Ÿ ÐBÑ Ÿ
8 8"
ÐBÑ Ÿ @ÐBÑ
para todo entero positivo 8 . Por lo tanto el lim 8 aBb
8Ä_
B− H. Se define B a b œ lim aBb
para todo B−H
8Ä_ 8
existe para todo
Denotemos por
y
1 aBb œ c0aBß aBbb2aBb P aBbd
7 7" 7"
1B a b œ0BßB c a a bb2B a b P B a bd
Ya que 0 es de clase V " tenemos que
lim 17aBb œ lim c0aBß 7" aBbb2aBb P 7" aBbd
7Ä_
œ1B a b
para todo B−H
7Ä_
Así existe < ! tal que l1 l Ÿ< y l1l
Ÿ< para todo 7œ!ß"ß#ßá
7 _ _

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 82
Tomemos : suficientemente grande tal que "
:
. Ya que
lim 1 aBb œ1B a b y l1 l Ÿ< se tiene, integrado, que
7Ä_
7 7
!
R
Œ'
:
k17aBb1aB bk .B
œ l17
1l
Ä ! cuando 7 Ä _
H
además se tiene que
"
:
l l Ÿ- l l Ÿ- - l1 1l l1 1l
‘ Ä!
7 8 "!
" 7 8 #ß: " # 7 : 8 :
cuando 7 Ä _ y 8 Ä _. Lo anterior quiere decir que Ö 7×
7œ" es una
"
sucesión de Cauchy en V
! ÐHÑ -norma. Entonces 7 converge a en
V
"! ÐHÑ-norma.
_
En lo que sigue demostremos que Ö1 7×
7œ" converge en V ÐHÑ. Para esto
denotemos por
1 aBb œ 1 aBb 1 aBb œ c0aBß aBbb 0aBß aBbb P a aBb aBbbd
78 7 8 7" 8" 7" 7
Ya que 0 y f son funciones uniformemente continuas en
:
!
_
_ !
H‚ – inf Aß sup @—
y Ö 7× 7œ" converge en V ÐHÑ-norma tenemos que
H H
si % ! , existe Rab
% tal que 8ß7 RÐ%
Ñ
y
sup
H
sup
H
tenemos
kf0aBß aBbb f0aBß aBbbk
%
7" 8"
P lf f l Ÿ< l l %
7" 8" 7" 8" "!
l1 aBb1 aCbl œ lf1 a baBCbl
78 78 78 0
Ÿ Š kf0a0ß ab 0 bf0a0ß ab 0 bkP¹ f a ba0b¹
‹ lBCl
7" 8" 7" 8"
Ahora

Darío Sánchez H. Análisis Funcional para las Ecuaciones Diferenciales 83
l178aBb178aCbl
sup
lBCl! Ÿ#. "!
BÁC
Bß C − H
donde . es el diámetro de H teniéndose que
l1 1 l œl1 1 l La1 1 b % # %. œ % a"#.
b
7 8 ! 8 7 _ 7 8
Luego l1 1 l Ä !, cuando 8ß7 Ä _.
7 8 !
"! "!
Por el teorema de existencia de Schauder existe
5!
tal que
l l Ÿ 5lQ a bl Ÿ 5l1 1 l Ä !ß 8ß7 Ä _
7 8 #! 7 8 ! 7 8 !
_ #!
8 8œ"
Esto quiere decir que Ö × converge a en V ÐHÑ
entonces
lim Q a b œ Q a
b
8Ä_
8
QÒÓaBb œ lim QÒ ÓaBb œ lim Ò0aBß aBbb P aBb2aBbÓ
7Ä_
œ Ò0aBß aBbb P aBb2aBbÓ
7 7" 7"
7Ä_
pero
QÒÓaBb œ PÒÓaBb P aBb œ 0aBß aBbb P aBb 2aBb
Luego
es solución de
PÒÓaBb œ c0aBß aBbb 2aBbd
aMb ¹ œ !
` H
en
H
Ÿ
BIBLIOGRAFIA
[1] Castro, A., Métodos variacionales y Análisis funcional. X-Coloquio
Colombiano de Matemáticas, 1980.
/<
[2] Castro, A., Métodos de Reducción via Minimax . 1 Simposio de
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Matemática Virtual, programa de Aprendizaje en el ciberespacio 2006.
[8] Sánchez,J.D., Ensayo de una solución de un problema de Ecuaciones
Diferenciales. Aportes en Matemática Virtual, programa de Aprendizaje en
el ciberespacio 2006
A‘’LLƒ
Espero que el lector haya obtenido provecho de este trabajo en el aprendizaje del análisis no lineal.
Agradezco a mi hijo Juan Armando quien todavía le queda paciencia para ayudarme a colocar estos trabajos en internet
y darme ánimo para continuar con ellos. También a Nohora y a la Ingeniera Esperanza Nieto quienes leyeron los
originales y cuidaron, en lo posible, del buen manejo del lenguaje español.
Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:
danojuanos@hotmail.com,
danojuanos@tutopia.com
danojuanos@yahoo.com
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