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Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A. FISICA PARA INGENIEROS NOTAS DE CLASE SOBRE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA ADAPTADAS A LA REFORMA ACADÉMICA DE LA UN DEL 2008 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS, ESCUELA DE FÍSICA 2011
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Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A.<br />
FISICA PARA INGENIEROS<br />
NOTAS DE CLASE SOBRE<br />
OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA<br />
ADAPTADAS A LA REFORMA ACADÉMICA DE LA UN DEL 2008<br />
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MEDELLÍN<br />
FACULTAD DE CIENCIAS, ESCUELA DE FÍSICA<br />
2011
Notas sobre Física de Oscilaciones Ondas y Óptica<br />
Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A.<br />
27 de febrero de 2012<br />
ÍNDICE GENERAL<br />
Índice general<br />
Lista de Figuras<br />
Lista de Tablas<br />
I<br />
II<br />
III<br />
I OSCILACIONES MECANICAS 3<br />
1 CINEMATICA 5<br />
1.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.2. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.3. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.4. M.C.U vs M.A.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2 DINAMICA 13<br />
2.1. Fuerza recuperadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.2. Ecuación diferencial del oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.3. Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.4. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.5. El péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3 ENERGIA 23<br />
3.1. Trabajo W y energía potencial U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.2. Energía cinética T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.3. Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo . . . . . . . . . 25<br />
3.4. Energía mecánica E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
4 SUPERPOSICION DE M.A.S 29<br />
4.1. Superposición en la misma dirección de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
4.2. Superposición en direcciones de vibración ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
4.3. Análisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
5 OSCILACIONES FORZADAS 37<br />
5.1. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
5.2. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
I
6 OSCILACIONES ELECTRICAS 47<br />
6.1. Circuitos LC : Oscilaciones eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
6.2. Circuitos RLC : Oscilaciones eléctricas amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
6.3. Oscilaciones eléctricas forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
6.4. Antenas: radio y televisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
6.5. Analogía mecano-electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
LISTA DE FIGURAS<br />
1.1. Clases de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2. Elongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.3. Cronograma de un sistema masa-resorte oscilando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.4. Elongación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.5. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.6. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.1. Redefinición de constantes de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.2. Estados del sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.3. Diagramas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.4. Resortes en serie y en <strong>para</strong>lelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.5. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.6. Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
2.7. Barra soportada en dos cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.1. Desplazando la masa que está sujeta a un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.2. Diagrama de fuerzas de la masa que está sujeta al resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.3. Interpretación gráfica del trabajo realizado por el agente externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.4. Figura del ejercicio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
4.1. Vectores rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
4.2. Interferencia: constructiva y destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
4.3. Estados de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
4.4. Señal cuadrada como una combinación de funciones seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
5.1. Sistema masa-resorte sumergido en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
5.2. Diagramas de fuerzas sobre la masa en el sistema masa-resorte sumergido en un fluido . . . . . . 38<br />
5.3. Oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
5.4. Diagrama de fuerzas en el oscilador forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
5.5. Amplitud vs Frecuencia de la fuerza externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
6.1. Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
6.2. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
6.3. RLC forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
6.4. Antena dipolo emisora (radiando) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
6.5. Antena dipolo receptora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
II
LISTA DE TABLAS<br />
5.1. Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
6.1. Analogía mecano-electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
III
PRÓLOGO<br />
Estas notas de clase no pretenden reemplazar los excelentes textos de física que se encuentran en el mercado.<br />
Los autores sólo pretenden facilitar la toma de notas de los estudiantes en las clases magistrales que<br />
la Escuela de Física imparte a los estudiantes de ingeniería de la Universidad Nacional de Colombia en su<br />
sede Medellín: aquí ni se detallan los cálculos ni se hacen profundas disertaciones sobre la fenomenología;<br />
estas son actividades a desarrollar en la clase presencial.<br />
Los autores quieren señalar que como consecuencia de la reforma académica realizada en el 2008 en la<br />
Universidad Nacional de Colombia, no hay exigencia de la Física de Electricidad y Magnetismo como prerrequisito<br />
de este curso por lo que los temas se ordenaron de tal forma que un estudiante con ese vacío de<br />
conocimiento pudiera comprender la mayor parte del tema sin mayores inconvenientes; es por esto que<br />
algunos temas podrían parecer extraños en su ubicación; además la óptica física se realiza sin recurrir a la<br />
naturaleza electromagnética de la luz (aunque en su debido momento se hacen las respectivas aclaraciones<br />
<strong>para</strong> evitar confusiones en los estudiantes): la naturaleza electromagnética de la luz y su comportamiento<br />
cuántico se tratan en la última parte del curso.<br />
Las notas de clase contienen numerosos links a simulaciones y videos que facilitan la comprensión de<br />
los contenidos, y en su mayoría son propiedad intelectual de los autores y con copyright <strong>para</strong> la Universidad<br />
Nacional de Colombia. Para acceder a ellos es necesario abrir el documento .pdf correspondiente a esta obra<br />
y estar en línea en la Internet.<br />
Los Autores<br />
1
Parte I<br />
OSCILACIONES MECANICAS<br />
3
C A P Í T U L O<br />
1<br />
CINEMATICA<br />
El estudio de las <strong>oscilaciones</strong> o vibraciones es<br />
una parte fundamental de la física debido a que<br />
prácticamente todos los sistemas físicos tienen<br />
capacidad de oscilar alrededor de un punto de<br />
equilibrio.<br />
Cualquier magnitud puede estar sujeta a <strong>oscilaciones</strong>.<br />
En la vida habitual las <strong>oscilaciones</strong> más<br />
obvias son aquellas que conciernen a la oscilación<br />
de la posición (viraciones en cuerdas, olas en el<br />
agua, péndulos, resortes), sin embargo, cualquier<br />
magnitud puede oscilar: la presión de un líquido<br />
o un gas, su temperatura, el campo magnético, el<br />
campo eléctrico entre otras.<br />
Es muy importante conocer el Movimiento Armónico<br />
Simple, ya que el teorema de Fourier establece que cualquier clase de oscilación periódica puede<br />
considerarse como la superposición de movimientos armónicos simples<br />
En la figura se ilustra el denominado péndulo de Foucault y es usado como un instrumento que permite<br />
constatar la rotación de la Tierra: si se coloca un péndulo suspendido en el centro de una barra colocada<br />
entre dos columnas en el Polo Norte de la Tierra, conforme la Tierra gira el péndulo que siempre oscila en<br />
la misma dirección respecto de los astros, recorrerá distintos sitios de la superficie. Puesto que a la Tierra le<br />
toma 24 horas completar un giro, el péndulo parecerá completar un giro en sentido contrario durante ese<br />
lapso. En latitudes cercanas al Ecuador, como las de México, los péndulos de Foucault "giran"muy lentamente,<br />
menos de una vuelta completa en 24 horas, por consiguiente le cuesta mucho trabajo al observador<br />
entender de qué modo este instrumento muestra la rotación de la Tierra. El primero en realizar el experimento<br />
(que lo hizo en París en 1851) fue el notable físico francés Jean Bernard Leon Foucault, que suspendió<br />
una bala de cañón de la cúpula del Panteón de París mediante un cable de unos 75 metros de longitud.<br />
1.1 Fundamentos<br />
La posición de equilibrio de un cuerpo puede ser de tres tipos: estable, inestable e indiferente. En la<br />
figura 1.1 se ilustran los tres casos.<br />
Los equilibrios estable e inestable corresponden respectivamente a estados de mínima y máxima energía<br />
potencial.<br />
5
Figura 1.1: Clases de equilibrio<br />
Figura 1.2: Elongación<br />
Cuando el cuerpo es se<strong>para</strong>do de la posición de equilibrio por la acción de un agente externo, oscilará<br />
solo si su posición de equilibrio era estable. A este tipo de movimiento se le denomina movimiento oscilatorio<br />
o vibratorio. El estudio de este tipo de movimientos es de suma importancia en la física, ya que es la base<br />
<strong>para</strong> la comprensión, entre otros, de fenómenos como el sonido y la luz.<br />
1.2 Definiciones básicas<br />
En el movimiento oscilatorio se utiliza como sistema de coordenadas, a un sistema cuyo origen es la<br />
posición de equilibrio del oscilador, figura 1.2. A continuación se definirán algunos conceptos básicos.<br />
Elongación ( −→ x ) Es el vector posición del oscilador medido respecto a la posición de equilibrio. En la figura<br />
1.2 será la variable x. Tiene unidades de longitud.<br />
Amplitud (A)<br />
Corresponde a la magnitud de la máxima elongación. Tiene unidades de longitud.<br />
Periodo (P ) Si el movimiento oscilatorio es un movimiento periódico, se le define como periodo, al tiempo<br />
que se demora <strong>para</strong> hacer una oscilación completa (“un ir y venir”). Su unidad en el SI es el segundo.<br />
Frecuencia (f ) Como a todo movimiento periódico, al oscilador también se le define una frecuencia. En<br />
este caso, será el número de <strong>oscilaciones</strong> completas por cada unidad de tiempo. En el SI su unidad es el<br />
Hertz (1 Hz=1 oscilacion/seg).<br />
6
El periodo y la frecuencia son inversos multiplicativos, esto es,<br />
f P = 1 (1.1)<br />
Fase (ϕ) Un parámetro muy utilizado cuando se están analizando movimientos oscilatorios, es el que<br />
recibe el nombre de fase del oscilador . Recibe este nombre porque determina en que “fase” del movimiento<br />
de “ir y venir” se encuentra la partícula oscilante; por ejemplo, determina si el oscilador en un instante dado<br />
está en su posición de equilibrio, o en uno de los extremos de oscilación, o en otra posición. Este concepto<br />
es un poco abstracto, pero a continuación se dan algunos ejemplos que aclaran su interpretación física.<br />
Cada que el oscilador hace una oscilación completa, se dice que su fase se ha incrementado en 360º (2π<br />
radianes). Así por ejemplo, un oscilador que se suelta desde un extremo, cuando su fase sea de 7π radianes,<br />
estará ocupando la posición del extremo opuesto, y habrá transcurrido un tiempo equivalente a tres períodos<br />
y medio, y además habrá completado tres <strong>oscilaciones</strong> y media. Ahora, si dos osciladores se sueltan<br />
simultáneamente de extremos opuestos, se dice que su diferencia de fase es de π radianes (osciladores en<br />
oposición). Y si se sueltan bajo las mismas condiciones desde la misma posición, se dice que están en fase.<br />
Fase inicial (ϕ 0 ) Corresponde a la fase del oscilador en el instante t = 0. La fase inicial que se le asigna a<br />
un oscilador dependerá de las condiciones iniciales (posición y velocidad iniciales).<br />
Ejercicio 1.1 Una masa que pende de un resorte se desplaza de su posición de equilibrio hasta una posición<br />
igual a 2,50 cm y se suelta. Si oscila periódicamente con una frecuencia igual a 0,500 Hz, calcular: (a) su<br />
periodo, (b) el número de <strong>oscilaciones</strong> que hace en 20,0 s, (c) su desfase a los 3,50 s y a los 5,00 s después de<br />
iniciado su movimiento, (d) su desplazamiento a los 1, 50 s y 4,00 s después de iniciado su movimiento.<br />
Ejercicio 1.2 ¿Puede el desplazamiento de una partícula oscilando entre el instante t = 0 y un instante<br />
posterior t, ser igual a la posición (elongación) en el tiempo t Explicar.<br />
1.3 Cinemática<br />
Elongación En general toda partícula oscilante cuya elongación se exprese mediante una relación senosoidal<br />
o cosenosoidal del tiempo, se dice que oscila armónicamente. A este movimiento se le denomina Moviminento<br />
Armónico Simple (M.A.S.) y a la partícula se le denomina oscilador armónico. En la figura 1.3 se ilustra un<br />
sistema masa resorte oscilando: mediante el desplazamiento de una cinta de papel se puede recoger su<br />
cronograma (representación de su elongación y vs tienpo t),<br />
y = A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(1.2)<br />
en donde A es la amplitud, w = 2πf = 2π/P es la frecuencia angular medida en rad/s, f es la frecuencia<br />
medida en Hz, P es el periodo medido en s, t es el tiempo en s, ϕ 0 es la fase inicial medida en radianes y<br />
ϕ = w t + ϕ 0 la fase medida en radianes.<br />
Simulación 1.1 Cronograma en un M.A.S.<br />
7
Figura 1.3: Cronograma de un sistema masa-resorte oscilando<br />
Velocidad<br />
Derivando respecto al tiempo la elongación, ecuación 1.2, se obtiene la velocidad,<br />
V y = w A cos ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(1.3)<br />
Aceleración<br />
Derivando respecto al tiempo la velocidad, ecuación 1.3, se obtiene,<br />
a y = −w 2 A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(1.4)<br />
De las ecuaciones 1.2 y 1.4 se obtiene,<br />
a y = −w 2 y (1.5)<br />
esta última ecuación significa que la elongación y la aceleración en un M.A.S. siempre son opuestas.<br />
Esto es debido, como se tratará más adelante, a que la fuerza generadora del M.A.S. es lineal respecto a la<br />
elongación y además recuperadora.<br />
Ejercicio 1.3 En qué posiciones de la trayectoria de un oscilador armónico son máximas: (a) la magnitud<br />
(el módulo) de la elongación, (b) la rapidez, (c) la magnitud de la aceleración.<br />
Ejercicio 1.4 Un oscilador armónico oscila con una frecuencia igual a 2,00 Hz y una amplitud igual a 5,00<br />
cm, calcular: (a) su máxima elongación, (b) su máxima rapidez, (c) el máximo valor de la aceleración.<br />
8
Figura 1.4: Elongación<br />
1.4 M.C.U vs M.A.S.<br />
La proyección sobre una línea recta, de una partícula que se mueve con M.C.U (Movimiento Circular<br />
Uniforme), oscila con M.A.S (Movimiento Armónico Simple).<br />
Elongación Si se proyecta en el eje y, figura 1.4, se obtiene :<br />
y = A sinϕ(t)<br />
donde la fase ϕ(t) es igual a la posición angular en el M.C.U, es decir:<br />
ϕ(t) = w t + ϕ 0<br />
siendo ϕ 0 la posición angular inicial de la partícula en M.C.U. y que correspondería a la fase inicial <strong>para</strong><br />
la partícula en M.A.S. Por lo tanto la elongación será,<br />
y = A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
que corresponde a la ecuación 1.2.<br />
Se debe aclarar que la magnitud de la velocidad angular del M.C.U., w, es igual a la frecuencia angular<br />
del M.A.S.<br />
Velocidad Es la proyección de la velocidad del M.C.U (cuya rapidez es V = w A).<br />
Al proyectar en el eje y la velocidad lineal del del MCU (componente rectangular en y), figura 1.5, se<br />
obtiene:<br />
y por tanto,<br />
V y = V cosϕ(t)<br />
9
Figura 1.5: Velocidad<br />
Figura 1.6: Aceleración<br />
V y = w A cos ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
que corresponde a la ecuación 1.3.<br />
Aceleración Es la proyección de la aceleración centrípeta del M.C.U (cuya magnitud es a n = w 2 A ).<br />
Al proyectar en el eje y la aceleración centrípeta del M.C.U. (componente rectangular en y), figura 1.6,<br />
se obtiene:<br />
10
a y = −a n sinϕ(t)<br />
y por tanto,<br />
a y = −w 2 A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
que corresponde a la ecuación 1.4.<br />
Simulación 1.2<br />
La proyección de una partícula que se mueve con M.C.U oscila armónicamente.<br />
11
C A P Í T U L O<br />
2<br />
DINAMICA<br />
2.1 Fuerza recuperadora<br />
Una partícula de masa m que oscila con M.A.S cumple la ecuación 1.5 y por tanto, la fuerza neta que actúa sobre<br />
ella es,<br />
−→<br />
F y = m −→ a y = −mw 2−→ y<br />
−→<br />
F y = −k −→ y (2.1)<br />
siendo k = mw 2 la denominada constante del M.A.S. Por tanto, se conluye que una partícula oscila con MAS si y<br />
solo si la fuerza neta que actúa sobre ella cumple que:<br />
sea lineal con la elongación.<br />
sea recuperadora (se oponga en todo instante a la elongación). Esto es, apunte en todo instante hacia la posición<br />
de equilibrio de la partícula.<br />
La fuerza es variable. En la posición de equilibrio es nula y va aumentando en magnitud cuando el oscilador<br />
avanza hacia los extremos del movimiento hasta alcanzar su valor máximo en estos ( F y = mw 2 A) .<br />
Por tanto, las <strong>oscilaciones</strong> se dan por un compromiso entre la inercia y la fuerza restauradora, ya que aunque<br />
en ese instante la partícula no está sometida a una fuerza neta (en la dirección del movimiento), logra atravesar<br />
la posición de equilibrio; esto es consecuencia de la inercia.<br />
Como k = mw 2 , el período y la frecuencia del movimiento armónico se pueden escribir como:<br />
√ m<br />
P = 2π<br />
k<br />
√<br />
f = 1 k<br />
2π m<br />
(2.2)<br />
(2.3)<br />
Ejemplos que se analizarán más adelante (péndulo y sistema masa-resorte), llevarán a concluir que, la<br />
fecuencia, el período, la frecuencia angular y la constante del M.A.S. son constantes impuestas por la nat-<br />
13
uraleza al sistema (son “huellas digitales”). A la frecuencia se le denomina frecuencia natural o propia del<br />
oscilador.<br />
2.2 Ecuación diferencial del oscilador armónico<br />
La segunda ley de Newton aplicada al oscilador armónico, siendo F y la fuerza neta que actúa sobre él es,<br />
F y = ma y = −k y<br />
d 2 y<br />
d t 2 + k m y = 0 (2.4)<br />
o en notación comprimida,<br />
d 2 y<br />
d t 2 + w 2 y = 0 (2.5)<br />
..<br />
y + w 2 y = 0 (2.6)<br />
que corresponde a la denominada ecuación diferencial del oscilador armónico. Ella, es una ecuación<br />
diferencial lineal, de orden 2 y homogénea. Según la teoría de ecuaciones diferenciales, su solución corresponde<br />
a la siguiente combinación lineal de seno y coseno,<br />
Redefiniendo constantes, figura 2.1, se obtiene,<br />
y = c 1 sin w t + c 2 cos w t (2.7)<br />
y = A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(2.8)<br />
La interpretación de cada una de las variables y constantes es la que se ha venido señalando. En particular,<br />
la amplitud A y la fase inicial ϕ 0 representan las constantes de integración y sus valores dependen de<br />
las condiciones iniciales.<br />
Ejercicio 2.1 Demostrar que si y 0 y V 0y son los valores iniciales de la posición y la velocidad de un oscilador<br />
armónico, se cumple que,<br />
( ) w y0<br />
ϕ 0 = arctan<br />
(2.9)<br />
V 0y<br />
A =<br />
√<br />
y 2 0 + V 2 0y<br />
w 2 (2.10)<br />
Ejercicio 2.2 Una partícula sujeta a un resorte vertical se hala hacia abajo una distancia de 4,00 cm a partir<br />
de la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. La aceleración inicial hacia arriba de la partícula es<br />
0,300 m/s 2 . (a) ¿Cuál es el período P de las subsecuentes <strong>oscilaciones</strong> (b) ¿A qué velocidad pasa la partícula<br />
por la posición de equilibrio (c) ¿Cuál es la ecuación de la elongación en función del tiempo <strong>para</strong> la partícula<br />
(Escoger la dirección positiva hacia arriba)<br />
14
Figura 2.1: Redefinición de constantes de integración<br />
Figura 2.2: Estados del sistema masa-resorte<br />
2.3 Sistema masa-resorte<br />
En la figura 2.2 se ilustra los estados en los que se puede encontrar el sitema masa-resorte: longitud natural<br />
del resorte (izquierda), masa acoplada y en equilibrio (centro) y masa desplazada del equilibrio (izquierda).<br />
En al figura 2.3 se ilustran los diagramas de fuerza de la masa m en la situación de equilibrio y en la<br />
situación de no equilibrio.<br />
Simulación 2.1<br />
Diagrama de fuerzas en el sistema masa-resorte.<br />
En la situación de equilibrio se aplica la primera ley de Newton,<br />
+ ↓ ∑ F y = 0<br />
En la situación de no equilibrio se aplica la segunda ley de Newton,<br />
mg − kξ = 0 (2.11)<br />
15
Figura 2.3: Diagramas de fuerzas<br />
+ ↓ ∑ F y = m ..<br />
y<br />
mg − k ( ξ + y ) = m ..<br />
y (2.12)<br />
De estas ecuaciones, 2.11 y 2.12 se obtiene,<br />
..<br />
y + k m y = 0 (2.13)<br />
que es la ecuación diferencial del oscilador armónico, donde, k corresponde a la constante de rigidez del resorte.<br />
La frecuencia angular propia de oscilación de este sistema es,<br />
√<br />
k<br />
w =<br />
m<br />
y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,<br />
√<br />
f = 1 k<br />
2π m<br />
(2.14)<br />
√ m<br />
P = 2π<br />
k<br />
(2.15)<br />
Entre mayor sea la masa acoplada, menor es la frecuencia con que oscila, o lo que es lo mismo, más se demora en<br />
hacer una oscilación completa.<br />
16
Figura 2.4: Resortes en serie y en <strong>para</strong>lelo<br />
La cinemática de la masa oscilando es,<br />
y = A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
V y = w A cos ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
a y = −w 2 A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(2.16)<br />
(2.17)<br />
(2.18)<br />
a y = −w 2 y (2.19)<br />
Video 2.1<br />
Variando la masa en el sistema masa-resorte.<br />
Video 2.2<br />
Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en <strong>para</strong>lelo.<br />
Video 2.3<br />
Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en serie.<br />
Ejercicio 2.3 Una partícula que se cuelga de un resorte ideal tiene una frecuencia angular de 2,00 rad/s.<br />
El resorte se cuelga del techo de un elevador, y cuelga sin movimiento (respecto al elevador) conforme el<br />
elevador desciende con una rapidez constante de 1,50 m/s. El elevador se <strong>para</strong> repentinamente. (a) ¿Con<br />
qué amplitud oscilará la partícula (b) ¿Cuál es la ecuación de la elongación en función del tiempo <strong>para</strong> la<br />
partícula (Escoger la dirección positiva hacia abajo).<br />
Ejercicio 2.4<br />
Encontrar la frecuencia natural de oscilación de los dos sistemas ilustrados en la figura 2.4. Aquí, k 1 y k 2<br />
corresponden a las constantes de rigidez de los resortes individuales, m corresponde a la masa del cuerpo<br />
que esta sujeto al sistema de resortes.<br />
17
Figura 2.5: Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo simple<br />
2.4 El péndulo simple<br />
Se define el péndulo simple como una masa puntual que pende de un hilo inextensible. En la figura 2.5<br />
se ilustra una posición general de un péndulo simple oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas<br />
que actúan sobre la masa pendular.<br />
Simulación 2.2<br />
Diagrama de fuerzas en el sistema péndulo simple.<br />
La simetría de la situación física exige utilizar un sistema de coordenadas cuyos ejes tengan las direcciones<br />
de la aceleración tangencial y de la aceleración centrípeta de la masa. Aplicando la segunda ley de<br />
Newton, se obtiene,<br />
+ ↑ ∑ F nor mal = m a n ⇒ T − mg cosθ = m<br />
( .θ ) 2<br />
l (2.20)<br />
+ → ∑ F t ang enci al = m a t ⇒ −mg sinθ = m ..<br />
θl (2.21)<br />
en estas ecuaciones T corresponde a la tensión en la cuerda, g es la aceleración de la gravedad, m es la<br />
masa pendular, θ es la posición (elongación) angular, θ . es la velocidad angular, θ ..<br />
es la aceleración angular y<br />
l es la longitud pendular.<br />
De la ecuación 2.21 se concluye,<br />
..<br />
θ + g sinθ = 0 (2.22)<br />
l<br />
18
Esta ecuación diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo simple no oscila con M.A.S. Sin embargo <strong>para</strong><br />
pequeñas <strong>oscilaciones</strong> (amplitudes del orden de los 10º), sinθ ⋍ θ , por tanto,<br />
..<br />
θ + g l θ = 0 (2.23)<br />
es decir, <strong>para</strong> pequeñas amplitudes (pequeñas <strong>oscilaciones</strong>) el movimiento pendular es armónico. La frecuencia<br />
angular propia de oscilación de este sistema es,<br />
√ g<br />
w =<br />
l<br />
(2.24)<br />
y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,<br />
f = 1 √ g<br />
2π l<br />
√<br />
l<br />
P = 2π<br />
g<br />
(2.25)<br />
(2.26)<br />
Video 2.4<br />
Independencia del período de oscilación de un péndulo simple de la masa pendular.<br />
Video 2.5<br />
Dependencia del período de oscilación de un péndulo simple de la longitud del hilo.<br />
La cinemática del movimiento pendular <strong>para</strong> pequeñas <strong>oscilaciones</strong> es en función de las variables angulares<br />
(elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),<br />
θ = θ 0 sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(2.27)<br />
.<br />
θ = w θ 0 cos ( )<br />
w t + ϕ 0<br />
(2.28)<br />
..<br />
θ = −w 2 θ 0 sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
= −w 2 θ (2.29)<br />
Ejercicio 2.5 Un péndulo simple tiene una masa de 0,250 kg y una longitud de 1,00 m. Se desplaza un<br />
ángulo de 15,0º y se suelta. Calcular: (a) su rapidez máxima, (b) la aceleración angular máxima, (c) la máxima<br />
fuerza de restitución Rp: (a) 0,820 m/s (b) 2,57 rad/s 2 (c) 0,641 N<br />
Ejercicio 2.6 ¿Qué pasa con el período de oscilación de un péndulo simple si se duplica su longitud ¿Qué<br />
pasa con el período de oscilación de un sistema masa-resorte si se duplica la masa (Asumir pequeñas <strong>oscilaciones</strong>).<br />
Ejercicio 2.7 Suponer que cuando la masa de un sistema masa-resorte está en la posición de equilibrio el<br />
resorte se ha alargado en una longitud h. Demostrar que este sistema oscila con una frecuencia igual a la de<br />
un péndulo simple de longitud h.<br />
19
Figura 2.6: Diagrama de fuerzas en el movimiento de un péndulo compuesto<br />
2.5 El péndulo compuesto<br />
Un péndulo compuesto (o péndulo físico) es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un<br />
eje horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad. En la figura 2.6 se ilustra una posición general de<br />
un péndulo compuesto oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas que actúan sobre el cuerpo<br />
rígido.<br />
La distancia desde el punto de apoyo O hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b. Si el momento<br />
de inercia repecto a un eje que pasa por O del cuerpo rígido es I o , la segunda ley de Newton de rotación da<br />
como resultado,<br />
+ ∑ τ oz = I o<br />
..<br />
θ<br />
−mg b sinθ = I o<br />
..<br />
θ<br />
..<br />
θ + mg b sinθ = 0 (2.30)<br />
I o<br />
Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido no hace<br />
torque, por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar que esta ecuación<br />
diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con M.A.S. Sin embargo, <strong>para</strong> pequeñas<br />
<strong>oscilaciones</strong> (amplitudes del orden de los 10º), sinθ ⋍ θ, por tanto,<br />
20
..<br />
θ + mg b θ = 0 (2.31)<br />
I o<br />
es decir, <strong>para</strong> pequeñas amplitudes el movimiento pendular es armónico. La frecuencia angular propia es,<br />
w =<br />
y la frecuencia propia en Hz y el respectivo periodo son,<br />
√<br />
mg b<br />
I o<br />
(2.32)<br />
√<br />
f = 1 mg b<br />
(2.33)<br />
2π I o<br />
√<br />
I o<br />
P = 2π<br />
(2.34)<br />
mg b<br />
La cinemática del movimiento pendular <strong>para</strong> pequeñas <strong>oscilaciones</strong> es en función de las variables angulares<br />
(elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),<br />
θ = θ 0 sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(2.35)<br />
.<br />
θ = w θ 0 cos ( )<br />
w t + ϕ 0<br />
(2.36)<br />
..<br />
θ = −w 2 θ 0 sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
= −w 2 θ (2.37)<br />
Ejercicio 2.8 Demostrar que el periodo de oscilación de un péndulo físico se puede calcular mediante la<br />
siguiente expresión,<br />
√<br />
Rcm 2 + b 2<br />
P = 2π<br />
g b<br />
(2.38)<br />
en donde R c.m corresponde al radio de giro del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por su centtro<br />
de masa y b corresponde a la distancia que hay entre el punto de suspensión del péndulo y su centro de<br />
masa.<br />
Simulación 2.3<br />
Una regla oscilando.<br />
Ejercicio 2.9 Un aro circular de radio R se cuelga sobre el filo de un cuchillo. Demostrar que su período de<br />
oscilación es el mismo que el de un péndulo simple de longitud 2R.<br />
Ejercicio 2.10 Una varilla delgada tiene una masa M y una longitud L = 1,60 m. Uno de los extremos de la<br />
varilla se sujeta en un pivote fijo y la varilla oscila alrededor del pivote con <strong>oscilaciones</strong> pequeñas. Encontrar<br />
la frecuencia de estas <strong>oscilaciones</strong>. Si se apoya una partícula de masa M al extremo final de la varilla, ¿en<br />
qué factor cambiará el período<br />
21
Figura 2.7: Barra soportada en dos cilindros<br />
Ejercicio 2.11 ¿Cuál debe ser la longitud L de un péndulo simple <strong>para</strong> que oscile con la misma frecuencia<br />
que un péndulo físico de masa M, radio de giro respecto a su centro de masa R c.m , y distancia del centro<br />
de masa al punto de apoyo igual a b Nota: a esta longitud se le denomina longitud de péndulo simple<br />
equivalente. Rp. L = R2 c.m +b2<br />
b<br />
Ejercicio 2.12 Un bloque se encuentra sobre un émbolo que se mueve verticalmente con M.A.S. (a) ¿A qué<br />
amplitud del movimiento se se<strong>para</strong>n el bloque y el émbolo, si la frecuencia angular del M.A.S es 1,18 rad/s<br />
(b) Si el émbolo tiene una amplitud de 5,12 cm en su movimiento, hallar la frecuencia máxima a la cual<br />
estarán en contacto el bloque y el émbolo continuamente.<br />
Ejercicio 2.13 Un líquido dentro de un tubo en U oscila libremente. Si el líquido ocupa una longitud l del<br />
tubo, calcular la frecuencia angular angular de oscilación del líquido, despreciando los efectos de fricción.<br />
Rp. w =<br />
√<br />
2g<br />
l<br />
Ejercicio 2.14 Un bloque de madera cuya densidad relativa respecto al agua es ρ tiene dimensiones a, b,<br />
c. Mientras está flotando en el agua con el lado a vertical, se le empuja hacia abajo y se le suelta. Hallar el<br />
período de las <strong>oscilaciones</strong> resultantes ¿Es armónico el movimiento P = 2π√<br />
a<br />
g ρ<br />
Ejercicio 2.15 La figura 2.7 muestra una barra uniforme que se apoya sobre dos cilindros que giran en<br />
sentidos contrarios. El coeficiente de fricción deslizante entre la barra y los cilindros es µ. Mostrar que el<br />
efecto neto de las fuerzas de fricción es una fuerza restauradora lineal y que la frecuencia angular natural<br />
con que oscila el centro de masa de la barra será igual a:<br />
w =<br />
√<br />
2µg<br />
a<br />
22
C A P Í T U L O<br />
3<br />
ENERGIA<br />
3.1 Trabajo W y energía potencial U<br />
Cuando una partícula oscila con MAS, es porque la fuerza neta que actúa sobre ella tiene la forma,<br />
−→<br />
F y = −k −→ y (3.1)<br />
siendo −→ y la elongación. Una fuerza de este tipo es elástica.<br />
Con base en el modelo del sistema masa-resorte, se puede hacer un análisis claro que permite encontrar<br />
la relación <strong>para</strong> la energía potencial elástica, figura 3.1. En la figura 3.1 A el resorte posee su longitud original,<br />
por lo que su deformacion es nula. En esta situación el sistema masa resorte no tendrá energía potencial<br />
elástica (no hay energía almacenada). En la figura 3.1 B un agente externo lo ha elongado en una cantidad<br />
igual a y 1 . Para lograr esto, el agente externo realizó un trabajo sobre el sistema (sistema masa-resorte),<br />
cediéndole energía la cual queda almacenada en forma de energía potencial elástica. En la figura 3.1 C el<br />
agente externo realiza aún más trabajo, por lo que el sistema va aumentando su energía potencial.<br />
En la figura 3.2 se ilustra el diagrama de cuerpo libre de la masa (fuerzas que actúan sobre la masa). En<br />
este diagrama, N es la fuerza normal que ejerce el piso, P es la fuerza de gravedad ejercida por el planeta<br />
Figura 3.1: Desplazando la masa que está sujeta a un resorte<br />
23
Figura 3.2: Diagrama de fuerzas de la masa que está sujeta al resorte<br />
Tierra (peso),F ext es la fuerza ejercida por el agente externo, y F r es la fuerza ejercida por el resorte: se ha despreciado<br />
la fuerza de rozamiento. Si la deformación se obtiene a velocidad constante, aplicando la primera<br />
ley de Newton, se concluye que en todo instante F ext y F r es son iguales en magnitud. Es decir,<br />
−−→<br />
F r es = −k −→ y (3.2)<br />
−−→<br />
F ext = k −→ y (3.3)<br />
El trabajo realizado por el agente externo, W ext , <strong>para</strong> elongar el resorte desde −→ y 1 hasta −→ y 2 es,<br />
W ext =<br />
∫ y2<br />
y 1<br />
−−→<br />
Fext • d −→ r =<br />
∫ y2<br />
y 1<br />
[<br />
k<br />
−→ y<br />
]<br />
• d<br />
−→ r =<br />
∫ y2<br />
En la figura 3.3 se ilustra la interpretación geométrica de este cálculo:<br />
[ ]<br />
B ase mayor + B ase menor<br />
W ext =<br />
× al tur a<br />
2<br />
[ ]<br />
k y2 + k y 1<br />
W ext =<br />
× [ ]<br />
y 2 − y 1<br />
2<br />
y 1<br />
k y d y = 1 2 k y 2 2 − 1 2 k y 2 1 (3.4)<br />
W ext = 1 2 k y 2 2 − 1 2 k y 2 1<br />
Ahora, el trabajo realizado por la fuerza elástica F r es será el negativo de W ext :<br />
W r es = 1 2 k y 2 1 − 1 2 k y 2 2 (3.5)<br />
La ecuación anterior muestra que el trabajo realizado por la fuerza elástica F r es se puede expresar en<br />
términos de los valores de una magnitud escalar de la forma 1 2 k y 2 evaluada al inicio (en y 1 ) y al final (en y 2 )<br />
de la elongación. Esta cantidad es la denominada Energía Potencial Elástica U y así se calculará la energía<br />
potencial del oscilador armónico (partícula en M.A.S.):<br />
U = 1 2 k y 2 (3.6)<br />
donde y es la elongación del oscilador. Según el conocido teorema de la energía potencial, se puede<br />
concluir que la fuerza responsable de un M.A.S. es conservativa:<br />
24
Figura 3.3: Interpretación gráfica del trabajo realizado por el agente externo<br />
W r es = −∆U (3.7)<br />
3.2 Energía cinética T<br />
Aplicando la definición de energía cinética al oscilador, se obtiene,<br />
T = 1 2 mV 2 y (3.8)<br />
3.3 Energías Cinética y Potencial del Oscilador expresadas en función del tiempo<br />
Si la elongación y la velocidad del oscilador armónico están dados por,<br />
25
y = A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
V y = w A cos ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
las energías cinética y potencial del oscilador armónico toman la siguiente forma en función del tiempo,<br />
T = 1 2 mw 2 A 2 cos 2 ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
U = 1 2 mw 2 A 2 sin 2 ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(3.9)<br />
(3.10)<br />
3.4 Energía mecánica E<br />
Con base en las ecuaciones 3.9 y 3.10, se concluye que la energía mecánica E del oscilador armónico será<br />
igual,<br />
E = 1 2 mw 2 A 2 (3.11)<br />
y por tanto,<br />
siendo k la constante de fuerza del oscilador armónico.<br />
E = 1 2 k A2 (3.12)<br />
Simulación 3.1<br />
Variación de la energía cinética y de la energía potencial de un oscilador armónico en<br />
función del tiempo.<br />
La energía cinética se puede calcular así,<br />
T = 1 2 k ( A 2 − y 2) (3.13)<br />
Simulación 3.2<br />
Variación de la energía cinética y de la energía potencial de un oscilador armónico en<br />
función de la posición (elongación).<br />
Ejercicio 3.1 Un sistema masa-resorte efectúa un M.A.S con una amplitud A: ¿Cambiaría la energía total<br />
si se duplica la masa pero no se cambia la amplitud ¿depende de la masa la energía cinética y la potencial<br />
Explique.<br />
26
Figura 3.4: Figura del ejercicio 3.2<br />
Ejercicio 3.2 La polea de radio r y masa M puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por su<br />
centro. La masa m está unida a un resorte de constante k a través de una cuerda de masa despreciable<br />
pasando por la polea sin deslizarse, figura 3.4. Determinar la frecuencia natural de oscilación del disco.<br />
Resuelva<br />
√<br />
el ejercicio, primero empleando las leyes de Newton y segundo empleando métodos energéticos.<br />
k<br />
Rp. w =<br />
1<br />
2 M+m<br />
Ejercicio 3.3 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema masa-resorte a través<br />
de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.<br />
Ejercicio 3.4 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo simple a<br />
través de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.<br />
Ejercicio 3.5 Obtener la ecuación diferencial del oscilador armónico en un sistema péndulo físico a través<br />
de la aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.<br />
27
C A P Í T U L O<br />
4<br />
4.1 Superposición en la misma dirección de vibración<br />
SUPERPOSICION DE M.A.S<br />
En esta sección se estudiará la composición de dos M.A.S. cuya dirección de vibración es la misma,<br />
por ejemplo y. Primero se analizará el caso de <strong>oscilaciones</strong> con la misma frecuencia y luego con diferente<br />
frecuencia.<br />
Con igual frecuencia (Interferencia)<br />
Sean dos <strong>oscilaciones</strong> armónicas expresadas así,<br />
y 1 = A 1 sin ( w t + ϕ 01<br />
)<br />
(4.1)<br />
y 2 = A 2 sin ( w t + ϕ 02<br />
)<br />
(4.2)<br />
en donde A 1 ,A 2 corresponden a las amplitudes de las <strong>oscilaciones</strong> y ϕ 01 ,ϕ 02 corresponden a sus respectivas<br />
fases iniciales. El movimiento resultante es,<br />
y = y 1 + y 2 = A 1 sin ( w t + ϕ 01<br />
)<br />
+ A1 sin ( w t + ϕ 01<br />
)<br />
Para realizar la simplificación de esta última expresión se expondrán tres formas: método de vectores<br />
rotantes (o fasores), método trigonométrico y método de la variable compleja. Esto se hará con el fin de<br />
ilustrar a un estudiante de ingeniería, sin embargo, el lector elegirá el que comprenda mejor.<br />
Método de vectores rotantes En este caso, cada M.A.S se representa por un vector posición de magnitud<br />
(módulo) igual a su amplitud y girando con velocidad angular constante igual a su frecuencia angular w. Su<br />
proyección (o componente, por ejemplo en dirección y) corresponderá a la elongación del M.A.S. De esta<br />
forma el cálculo de la superposición se reducirá a una suma de vectores, figura 4.1.<br />
29
Figura 4.1: Vectores rotantes<br />
El resultado es otra oscilación armónica (M.A.S.) también de frecuencia angular w, con elongación y, amplitud A<br />
y fase inicial ϕ 0 ,<br />
tal que,<br />
y = A sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(4.3)<br />
A 2 = A 2 1 + A2 2 + 2A 1 A 2 cosδ (4.4)<br />
tanϕ 0 = A 1 sinϕ 01 + A 2 sinϕ 02<br />
A 1 cosϕ 01 + A 2 cosϕ 02<br />
(4.5)<br />
en donde δ = ϕ 1 − ϕ 2 = ϕ 01 − ϕ 02 corresponde a la diferencia de fase inicial entre las <strong>oscilaciones</strong> armónicas que<br />
se superponen.<br />
Método trigonométrico<br />
Las ecuaciones 4.1 y 4.2 se transforman en,<br />
y 1 = A 1 sin w t cosϕ 01 + A 1 cos w t sinϕ 01 (4.6)<br />
y 2 = A 2 sin w t cosϕ 02 + A 2 cos w t sinϕ 02 (4.7)<br />
y por tanto,<br />
y = y 1 + y 2 = ( A 1 cosϕ 01 + A 2 cosϕ 02<br />
)<br />
sin w t +<br />
(<br />
A1 sinϕ 01 + A 2 sinϕ 02<br />
)<br />
cos w t (4.8)<br />
30
Definiendo,<br />
A sinϕ 0 ≡ ( A 1 sinϕ 01 + A 2 sinϕ 02<br />
)<br />
(4.9)<br />
A cosϕ 0 ≡ ( A 1 cosϕ 01 + A 2 cosϕ 02<br />
)<br />
(4.10)<br />
y reemplazando las ecuaciones 4.9 y 4.10 en la ecuación 4.8 se obtiene las mismas ecuaciones 4.3, 4.4 y<br />
4.5.<br />
Método de la variable compleja<br />
Las ecuaciones de las <strong>oscilaciones</strong> a superponer se pueden escribir así,<br />
y 1 = A 1 sin ( w t + ϕ 01<br />
)<br />
= Im<br />
{<br />
A 1 e i(w t+ϕ 01) } = Re { ỹ 1<br />
}<br />
(4.11)<br />
y 2 = A 2 sin ( w t + ϕ 02<br />
)<br />
= Im<br />
{<br />
A 2 e i(w t+ϕ 02) } = Re { ỹ 2<br />
}<br />
(4.12)<br />
en donde ỹ 1 y ỹ 2 corresponden a las variables complejas en donde y 1 y y 2 son su parte imaginaria de<br />
acuerdo a la maravillosa fórmula de Euler, e iθ = cosθ + i sinθ.<br />
Al sumar las ecuaciones 4.11 y 4.12 se obtiene,<br />
y = Im { ỹ } = Im<br />
{Ae i(w t+ϕ 0) } = Im { } {[<br />
] }<br />
ỹ 1 + ỹ 2 = Im A 1 e iϕ 01<br />
+ A 2 e iϕ 02<br />
e i w t (4.13)<br />
en donde se define la amplitud compleja, Ã, como,<br />
à ≡ Ae iϕ 0<br />
≡ A 1 e iϕ 01<br />
+ A 2 e iϕ 02<br />
(4.14)<br />
y por lo tanto su módulo cuadrado es,<br />
ỹ = Ãe i w t (4.15)<br />
A 2 = ( Ã )( Ã ) ][<br />
]<br />
⋆ ⋆<br />
=<br />
[A 1 e iϕ 01<br />
+ A 2 e iϕ 02<br />
A 1 e iϕ 01<br />
+ A 2 e iϕ 02<br />
[<br />
][<br />
]<br />
A 2 = A 1 e iϕ 01<br />
+ A 2 e iϕ 02<br />
A 1 e −iϕ 01<br />
+ A 2 e −iϕ 02<br />
A 2 = A 2 1 + A2 2 + A 1 A 2<br />
[<br />
e i(ϕ 01−ϕ 02) + e<br />
−i(ϕ 01 −ϕ 02) ]<br />
que corresponde a la ecuación 4.4.<br />
A 2 = A 2 1 + A2 2 + 2A 1 A 2 cos ( ϕ 01 − ϕ 02<br />
)<br />
En la ecuación 4.4 al término 2A 1 A 2 cosδ se le denomina término de interferencia. Como puede deducirse<br />
de ese término, la amplitud del M.A.S. resultante varía dependiendo de la diferencia de fase inicial,<br />
obteniendo su máximo valor cuando δ = 0 (o equivalente), es decir cuando las <strong>oscilaciones</strong> que se superponen<br />
están en fase, en cuyo caso se denomina a este fenómeno interferencia constructiva y A = A 1 + A 2 .<br />
Cuando la diferencia de fase es δ = π (o equivalente), es decir cuando las <strong>oscilaciones</strong> que se superponen<br />
están en oposición, se obtiene la denominada interferencia destructiva, y A = |A 1 − A 2 |. Ver figura 4.2.<br />
31
Figura 4.2: Interferencia: constructiva y destructiva<br />
Con frecuencias diferentes (Pulsaciones)<br />
Sean las siguientes dos <strong>oscilaciones</strong> armónicas,<br />
y 1 = A 1 sin ( w 1 t + ϕ 01<br />
)<br />
y 2 = A 2 sin ( w 2 t + ϕ 02<br />
)<br />
(4.16)<br />
(4.17)<br />
por simplicidad se supondrá que, ϕ 01 = ϕ 02 = 0 y que A 1 = A 2 = A. Empleando el método trigonométrico<br />
se obtiene,<br />
Resultando,<br />
[( w1 − w<br />
) ] 2<br />
y = y 1 + y 2 = 2A cos<br />
t sin<br />
2<br />
[( w1 + w 2<br />
2<br />
) ]<br />
t<br />
y = A m sin ( w ) t (4.18)<br />
en donde A m = 2A cos(w m t) se denomina amplitud modulada, w m es la frecuencia angular de modulación de la<br />
amplitud,<br />
y w corresponde al promedio de la frecuencia angular,<br />
w m = |w 1 − w 2 |<br />
2<br />
w = w 1 + w 2<br />
2<br />
(4.19)<br />
(4.20)<br />
32
La energía asociada con esta oscilación, por ser proporcional al cuadrado de la amplitud (la energía de<br />
un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud), debe variar entre máximos y mínimos con una<br />
frecuencia que es el doble (la función cos 2 x tiene doble frecuencia que la función cos x): es decir, la energía<br />
fluctúa con una frecuencia en Hz igual al doble de la frecuencia con que fluctúa la amplitud, o sea el doble<br />
de la frecuencia de modulación de la amplitud,<br />
f p = |f 1 − f 2 | (4.21)<br />
en donde f p se conoce con el nombre de frecuecnia de pulsación o de palpitación.<br />
Si las frecuencias difieren poco entre sí, es decir, w m
Con igual frecuencia (Polarización)<br />
Los M.A.S a superponer son,<br />
x = A x sin ( w t + ϕ 0x<br />
)<br />
(4.23)<br />
y = A y sin ( w t + ϕ 0y<br />
)<br />
(4.24)<br />
Eliminando el parámetro tiempo se obtiene la trayectoria seguida por la partícula que está simultaneamente<br />
bajo los dos movimientos descritos por esas dos ecuaciones. Estas últimas se pueden transformar<br />
así,<br />
Combinándolas: , (4.25)×sinϕ 0y − (4.26)×sinϕ 0x se obtiene,<br />
x<br />
= sin w t cosϕ 0x + cos w t sinϕ 0x (4.25)<br />
A x<br />
y<br />
= sin w t cosϕ 0y + cos w t sinϕ 0y (4.26)<br />
A y<br />
x<br />
sinϕ 0y − y sinϕ 0x = sin w t sin ( )<br />
ϕ 0y − ϕ 0x<br />
A x A y<br />
Combinándolas: , (4.25)×cosϕ 0y − (4.26)×cosϕ 0x se obtiene,<br />
x<br />
cosϕ 0y − y cosϕ 0x = −cos w t sin ( )<br />
ϕ 0y − ϕ 0x<br />
A x A y<br />
Combinando las dos últimas ecuaciones, (4.27) 2 +(4.28) 2 , se obtiene,<br />
(4.27)<br />
(4.28)<br />
x 2<br />
A 2 x<br />
+ y 2<br />
A 2 − 2x y cos ( )<br />
ϕ 0x − ϕ 0y = sin<br />
2 ( )<br />
ϕ 0x − ϕ 0y<br />
y A x A y<br />
x 2<br />
A 2 x<br />
+ y 2<br />
A 2 − 2x y cosδ = sin 2 δ (4.29)<br />
y A x A y<br />
en donde δ = ϕ 0x −ϕ 0y corresponde a la diferencia de fase. Esta es la ecuación de una elipse que en general estará<br />
rotada respecto a los ejes x y.<br />
En definitiva la trayectoria seguida por la partícula bajo la acción de dos fuerzas ortogonales, −→ F x = −k x<br />
−→ x<br />
y −→ F y = −k y<br />
−→ y , es una elipse o un caso particular de ella como una circunferencia o una recta. Esto dependerá<br />
de la diferencia de fase δ, figura 4.3 (en esta figura se debe tener en cuenta que δ = ϕ 0x − ϕ 0y y que el eje<br />
z sale ortogonalmente de la hoja). La elipse puede ser recorrida por la partícula en el sentido de las agujas<br />
del reloj o en el sentido contrario. Esto se puede probar en la simulación que se presenta más adelante.<br />
Si es recorrida en el sentido en que la velocidad angular señale la parte positiva del eje z, se dirá que hay<br />
polarización elíptica (o circular si es del caso) levógira. En caso contrario será dextrógira.<br />
A este fenómeno se le conoce con el nombre de polarizacón. Hay entonces: polarización elíptica dextrógira<br />
y levógira, polarización circular dextrógira y levógira. La trayectoria de la partícula también puede resultar<br />
rectilínea (caso particular de la elipse), en cuyo caso se dice que la polarización es lineal. Para definir<br />
completamente el estado de polarización elíptico o circular, es necesario definir en que sentido gira la<br />
partícula. Así mismo, <strong>para</strong> definir completamente el estado de polarización lineal, es necesario definir el<br />
ángulo de inclinación de esta trayectoria. Estos conceptos son fundamentales <strong>para</strong> estudiar la polarización<br />
34
Figura 4.3: Estados de polarización<br />
de la luz y en general la polarización de las <strong>ondas</strong> electromagnéticas, fenómeno que tiene gran aplicación<br />
en la tecnología moderna de comunicaciones, entre muchas otras.<br />
Ejercicio 4.2 Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dos<br />
movimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 4sin(πt)y y = 3sin ( )<br />
πt + ϕ 0<br />
cuando: (a) ϕ 0 = 0, (b) ϕ 0 = π 2 , (c) ϕ 0 = π, (d) ϕ 0 = 3π 2<br />
. Hacer un gráfico de la trayectoria de la partícula <strong>para</strong><br />
cada caso y señalar el sentido en cual se desplaza la partícula.<br />
Con diferente frecuencia (Figuras de Lissajous)<br />
Las <strong>oscilaciones</strong> a superponer son las siguientes,<br />
x = A x sin ( w x t + ϕ 0x<br />
)<br />
y = A y sin ( w y t + ϕ 0y<br />
)<br />
(4.30)<br />
(4.31)<br />
En este caso si la relación entre las frecuencias w y<br />
w x<br />
es un número racional, la trayectoria seguida por la<br />
partícula corresponderá a las denominadas figuras de Lissajous.<br />
Video 4.5<br />
Video 4.6<br />
Lissajous con <strong>oscilaciones</strong> eléctricas.<br />
Lissajous con luz láser modulada con espejos vibrando ortogonalmente.<br />
Simulación 4.3<br />
Figuras de Lissajous.<br />
35
Figura 4.4: Señal cuadrada como una combinación de funciones seno<br />
4.3 Análisis de Fourier<br />
Gracias al teorema de Fourier, desarrollado por el matemático francés Fourier (1807-1822) y completado<br />
por el matemático alemán Dirichlet (1829), es posible demostrar que toda función periódica continua, con<br />
un número finito de máximos y mínimos en cualquier período, puede desarrollarse como una combinación<br />
de senos y cosenos (armónicos).<br />
Desde el punto de vista de la física, significa, que una oscilación que no es armónica se puede representar<br />
como una combinación de <strong>oscilaciones</strong> armónicas. Cada armónico (oscilación armónica presente) tendrá<br />
su propia amplitud, frecuencia y fase. El armónico fundamental es el de frecuencia más baja. Las frecuencias<br />
de los demás armónicos serán múltiplos de esta. Además la periodicidad de la oscilación estará dada por el<br />
período del armónico fundamental.<br />
Un ejemplo es una oscilación cuyo cronograma es una señal cuadrada. La representación de ella como<br />
una combinación de armónicos es la siguiente (figura 4.4):<br />
y = sin [ 2π ( f ) t ] + 1 3 sin[ 2π ( 3 f ) t ] + 1 5 sin[ 2π ( 5 f ) t ] + ···<br />
Simulación 4.4<br />
Análisis de Fourier.<br />
36
C A P Í T U L O<br />
5<br />
OSCILACIONES FORZADAS<br />
5.1 Oscilaciones amortiguadas<br />
Las <strong>oscilaciones</strong> consideradas en los capítulos anteriores son de amplitud constante y se denominan <strong>oscilaciones</strong><br />
no amortiguadas. La constancia en la amplitud significa constancia en la energía; en la oscilación<br />
alternativamente la energía cinética se transforma en energía potencial y viceversa.<br />
Cualquier fuerza de rozamiento es disipativa, es decir su trabajo disipa energía en forma de calor, o lo<br />
que es lo mismo, se consume energía mecánica. Si esta pérdida no se compensa aportando energía desde el<br />
exterior, la amplitud se reduce constantemente: la oscilación es amortiguada .<br />
Las fuerzas de rozamiento en medios fluidos se oponen a la velocidad, y a valores no muy altos de ésta,<br />
son proporcionales a ella, es decir, −→ f r = −b −→ V . Aquí b es la constante de proporcionalidad y depende de la<br />
viscosidad del fluido y de la geometría del cuerpo: en el caso de una esfera, b = 6πRη siendo η la viscosidad del<br />
medio fluido y R el radio (esta es conocida como la ley de Stockes).<br />
Supóngase por ejemplo, el sistema masa-resorte sumergido en un medio viscoso (aire, aceite, ...). En la<br />
figura 5.1 se ilustra este sistema sumergido en un fluido de baja viscosidad, de tal forma que logre oscilar. En<br />
la figura 5.1 A se ilustra el resorte con su longitud original; en la figura 5.1 B el sistema con la masa acoplada<br />
y en situación de equilibrio dentro del medio viscoso; en la figura 5.1 C la masa se ha retirado de la posición<br />
de equilibrio.<br />
En la figura 5.2 se ilustran los diagramas de fuerzas <strong>para</strong> la masa, en las situaciones B (equilibrio) y C (no<br />
equilibrio): −→ E corresponde a la fuerza Arquimediana, kξ y k ( ξ + y ) corresponden a la fuerza Hookeana y f r<br />
corresponde a la fuerza de rozamiento.<br />
Aplicando la primera ley de Newton, en la situación de equilibrio (B), se obtiene,<br />
+ ↓ ∑ F y = 0 ⇒ mg − E − kξ = 0 (5.1)<br />
si se define como peso aparente, P a = mg − E, la ecuación anterior toma la forma,<br />
P a = kξ (5.2)<br />
Aplicando la segunda ley de Newton, en la situación de no equilibrio (C), se obtiene,<br />
+ ↓ ∑ F y = mÿ<br />
P a − k ( ξ + y ) − f r = mÿ (5.3)<br />
37
Figura 5.1: Sistema masa-resorte sumergido en un fluido<br />
Figura 5.2: Diagramas de fuerzas sobre la masa en el sistema masa-resorte sumergido en un fluido<br />
38
Figura 5.3: Oscilador forzado<br />
como P a = kξ y f r = bẏ la ecuación se reescribe así,<br />
ÿ + b m ẏ + k m y = 0 (5.4)<br />
que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador<br />
√<br />
armónico amortiguado. En ella se define como<br />
constante de amortiguamiento a γ = b<br />
2m . Además w = k<br />
m<br />
es la frecuencia angular propia con la cual oscilaría<br />
el sistema sin amortiguamiento. Con base en esto la ecuación se puede escribir así,<br />
ÿ + 2γẏ + w 2 y = 0 (5.5)<br />
Sólo, en el caso en que γ < w, habrá oscilación. La oscilación en este caso, es tal que su amplitud<br />
decrece exponencialmente, y aunque el movimiento ya no es periódico, si es aproximadamente isocrónico.<br />
Cada oscilación se hace en el mismo tiempo, pero con menos amplitud y con una frecuencia angular,<br />
w ′ = √ w 2 − γ 2 , donde w ′ < w. A estas <strong>oscilaciones</strong> se les denomina subamortiguadas, y la solución de la<br />
ecuación diferencial es,<br />
y = Ae −γt sin ( w ′ t + ϕ 0<br />
)<br />
(5.6)<br />
Simulación 5.1<br />
Oscilaciones amortiguadas.<br />
5.2 Oscilaciones forzadas<br />
En la <strong>oscilaciones</strong> amortiguadas, se observó que <strong>para</strong> bajos rozamientos, el sistema oscilante se amortiguaba<br />
exponencialmente.<br />
Si se desea que la partícula mantenga la oscilación se le debe entregar energía. La mejor forma de hacerlo<br />
es mediante una fuerza externa oscilante (imaginarse "columpiando" a un niño). En la figura 5.3 se ilustra<br />
un sistema físico que puede oscilar forzadamente. Lo componen un amortiguador, un resorte y una masa.<br />
El diagrama de fuerzas de la masa está ilustrado en la figura 5.4.<br />
Si se supone que la fuerza externa tiene la forma, f (t) = f 0 sin ( w f t + ϕ 0<br />
)<br />
, y que la fuerza de rozamiento<br />
(viscosa) tiene la forma, f r = −bẋ , se obtiene aplicando la segunda ley de Newton,<br />
+ → ∑ F x = mẍ<br />
ẍ + 2γẋ + w 2 x = f 0<br />
m sin( w f t + ϕ 0<br />
)<br />
(5.7)<br />
39
Figura 5.4: Diagrama de fuerzas en el oscilador forzado<br />
en donde w f corresponde a la frecuencia angular del la fuerza oscilante externa, f 0 la amplitud de dicha<br />
√<br />
fuerza, γ = b<br />
2m la constante de amortiguamiento y w = k<br />
m<br />
la frecuencia propia del oscilador (recordar que<br />
la constante del oscilador armónico es , k = mw 2 ).<br />
La solución corresponde a una superposición de la solución a la ecuación diferencial homogénea (x h ),<br />
con una solución particular (x p ) :<br />
La solución de la homogénea corresponde a la del oscilador amortiguado,<br />
x = x h + x p (5.8)<br />
x h = Ae −γt sin ( w ′ t + β 0<br />
)<br />
(5.9)<br />
donde w ′ = √ w 2 − γ 2 y donde la amplitud A y la fase inicial β 0 dependen de las condiciones iniciales de<br />
la oscilación.<br />
La solución de la homogénea se denomina transitoria ya que a medida que avanza el tiempo va decayendo<br />
en forma exponencial hasta anularse. En definitiva permanece la solución x p , a la cual se denomina<br />
solución estacionaria.<br />
La solución particular, que se asumirá oscilante es,<br />
con,<br />
x = x p = A p sin ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.10)<br />
F 0<br />
A p = √ ( ) 2<br />
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f<br />
(5.11)<br />
tanδ =<br />
2γw f<br />
w 2 − w 2 f<br />
(5.12)<br />
donde la amplitud A p y la fase δ no dependen de las condiciones iniciales sino de que tan cerca se<br />
encuentren las frecuencias w y w f . Se observa además que δ corresponde a la diferencia de fase entre la<br />
elongación y la fuerza externa oscilante.<br />
40
Figura 5.5: Amplitud vs Frecuencia de la fuerza externa<br />
Estudio de situaciones especiales en el estado estacionario<br />
De lo explicado en el párrafo anterior se deduce que el sistema siempre termina oscilando con la frecuencia<br />
del agente externo, w f . Es decir la respuesta del sistema que permanece es simplemente la particular,<br />
x = A p sin ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.13)<br />
Resonancia en la amplitud Surge la siguiente pregunta: ¿Para qué valores de la frecuencia externa se obtiene<br />
el máximo valor en la amplitud A esta situación se le conoce con el nombre de resonancia en la amplitud<br />
. Para responder a esta pregunta se debe calcular los puntos críticos de la ecuación 5.11,<br />
Evaluando la segunda derivada en este punto crítico se obtiene,<br />
d A p<br />
= 0<br />
d w f<br />
√<br />
w f = w 2 − 2γ 2 (5.14)<br />
d 2 A p<br />
d w 2 f<br />
∣ w f = w 2 −2γ 2 < 0<br />
Es decir, en w f = √ w 2 − 2γ 2 , hay máxima amplitud A p , que es:<br />
( )<br />
F0<br />
( )<br />
Ap<br />
máx =<br />
m<br />
√<br />
2γ 1 + w 2 f<br />
(5.15)<br />
En el caso ideal de que no existiese la fuerza de amortiguamiento, γ = 0, la amplitud de la oscilación<br />
forzada se haría muy grande, tendería a infinito, y la frecuencia w f de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia<br />
propia del oscilador w<br />
En la figura 5.5, se muestra la amplitud vs la frecuencia de la fuerza externa, en estado estacionario.<br />
Como se observa en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye<br />
rápidamente cuando la frecuencia w f de la fuerza oscilante externa se hace mayor que la frecuencia propia<br />
de la fuerza recuperadora del oscilador w.<br />
41
Ejercicio 5.1 Demostrar la ecuación 5.14.<br />
Resonancia en la energía Otra pregunta que surge es la siguiente: ¿Para qué valores de la frecuencia externa<br />
w f se obtiene el máximo valor en la amplitud de velocidad A esta situación se le conoce con el nombre<br />
de resonancia en la energía. Para responder a esta pregunta se debe tener en cuenta que la velocidad del<br />
oscilador forzado en el estado estacionario es,<br />
Por tanto la amplitud de la velocidad es igual,<br />
V x = w f A p cos ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.16)<br />
w f f 0<br />
V 0 = w f A p = √ ( ) 2<br />
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f<br />
En w f = w, hay un máxmo en la amplitud de velocidad, es decir también hay un máximo en la energía<br />
cinética, lo que se denomina resonancia en la energía cinética.<br />
Ejercicio 5.2<br />
Demostrar que si w f = w, V 0 es máximo.<br />
De la ecuación 5.12, se deduce que cuando hay resonancia en la energía cinética, δ = π 2<br />
, es decir en estado<br />
estacionario, en resonancia en la energía, la velocidad y la fuerza externa f = f 0 sin ( )<br />
w f t + ϕ 0 oscilante<br />
están en fase:<br />
(<br />
V x = w f A p cos w f t + ϕ 0 − π )<br />
= w f A p sin ( )<br />
w f t + ϕ 0<br />
2<br />
Cuando la constante de amortiguamiento es pequeña (γ ⋍ 0) y hay resonancia en la energía w f = w se<br />
da simultáneamente la resonancia en la amplitud.<br />
Simulación 5.2<br />
Oscilaciones forzadas.<br />
Algo más sobre el fenómeno de resonancia El fenómeno de resonancia es muy importante <strong>para</strong> explicar<br />
muchos avances tecnológicos como: la televisión, la radio, los espectros de la luz, la construcción de edificios<br />
sismoresistentes, el laser, las cajas de resonancia en los instrumentos musicales, ...<br />
Un ejemplo clara del fenómeno de resonancia es el desafortunado colapso del puente de Tacoma: en el<br />
año de 1940 en un puente en Tacoma, EUA, unos meses después de haber sido completado, un temporal<br />
azotó la región, y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia justamente igual a una<br />
de las frecuencias características del puente (más exactamente fue debido a los efectos periódicos de la<br />
turbulencia del aire generada en el puente). El puente entró en resonancia con el viento y empezó a oscilar<br />
con una amplitud muy grande que lo destruyó. Este hecho es general: si un sistema mecánico entra en<br />
resonancia puede ocurrir que se destruya.<br />
Video 5.1<br />
Video 5.2<br />
Video 5.3<br />
Caída del puente de Tacoma por el efecto de la resonancia (un famoso desastre de la ingeniería).<br />
Resonancia en un oscilador mecánico.<br />
Péndulos resonando.<br />
42
Video 5.4<br />
Resonancia en varillas en voladizo (cantilever).<br />
Video 5.5<br />
Haciendo cantar copas.<br />
Video 5.6<br />
Figuras de Cladni en placa circular<br />
Video 5.7<br />
Figuras de Cladni en placa rectangular<br />
Promedio de la potencia recibida en estado estacionario El sistema físico recibe energía de la fuerza oscilante<br />
externa. La potencia recibida en estado estacionario es,<br />
( −→f ) ( −→Vx<br />
)<br />
P r eci bi d a = • = f V x<br />
P r eci bi d a = [ f 0 sin ( w f t + ϕ 0<br />
)][<br />
w f A p cos ( w f t + ϕ 0 − δ )]<br />
promediando en un período de oscilación P,<br />
P r eci bi d a = 1 P<br />
∫ P<br />
0<br />
(P r eci bi d a )d t = 1 2 f 0w f A p sinδ<br />
⎡<br />
⎤⎡<br />
⎤<br />
P r eci bi d a = 1 2 f f 0<br />
2γw f<br />
0w f ⎢ √<br />
⎣ ( )<br />
⎥⎢<br />
√<br />
2 ⎦⎣<br />
( )<br />
⎥<br />
2 ⎦<br />
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 w<br />
f<br />
2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f<br />
f0 2γw 2 f<br />
P r eci bi d a = [ ( ) ] (5.17)<br />
2<br />
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f<br />
Promedio de la potencia disipada en estado estacionario<br />
realizado por la fuerza de amortiguamiento,<br />
( −→fr ) ( −→Vx<br />
)<br />
P di si pad a = • =<br />
(−bV −→ ) ( −→Vx<br />
)<br />
x • = −bVx<br />
2<br />
P di si pad a = −bw 2 f A2 p cos2 ( w f t + ϕ 0 − δ )<br />
El sistema físico disipa energía debido al trabajo<br />
P di si pad a = − 1 2<br />
(<br />
2mγ<br />
)<br />
w<br />
2<br />
f A2 p<br />
f0 2γw 2 f<br />
P di si pad a = − [ ( ) ] (5.18)<br />
2<br />
m w 2 − w 2 f + 4γ 2 w 2 f<br />
En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza<br />
externa oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa<br />
de su interacción con el medio que le rodea. De esta forma se mantiene la energía del oscilador forzado<br />
constante en valor medio.<br />
43
Caso 1 w f > w A p ⋍ f 0<br />
tanδ ⋍ −0 ⇒ δ ⋍ π x = f 0<br />
sin ( w<br />
mw 2 mw 2 f t + ϕ 0 + π )<br />
f<br />
f<br />
Caso 3 w f ⋍ w A p ⋍ f 0<br />
bw 2 f<br />
tanδ → ∞ ⇒ δ → π 2<br />
x = f 0<br />
bw f<br />
sin ( w f t + ϕ 0 + π 2<br />
Tabla 5.1: Aproximaciones<br />
)<br />
En resonancia de energía la potencia obtiene su mayor valor promedio,<br />
P r eci bi d a = 1 2 f 0w f A p (5.19)<br />
que corresponde al valor máximo de energía recibida por el oscilador. Es decir, en resonancia de energía<br />
(w f = w ), la fuerza oscilante externa realiza la máxima transferencia de potencia al sistema.<br />
Resumen<br />
Cuando un oscilador es forzado por una fuerza oscilante externa:<br />
El oscilador termina oscilando con la frecuencia del agente externo (de la fuerza oscilante externa).<br />
Al comienzo del forzamiento, el oscilador entra en un transiente. No "sabe" cómo acomodarse a la<br />
vibración que le están imponiendo, que generalmente es a una frecuencia que no es la propia.<br />
Si la frecuencia de la fuerza oscilante externa es igual a la frecuencia propia del oscilador (o al menos<br />
está muy cerca), éste adquiere <strong>oscilaciones</strong> de muy buena amplitud y a este estado se le denomina<br />
RESONANCIA.<br />
En resonancia, la fuerza oscilante externa y la velocidad del oscilador quedan en fase, permitiendo<br />
máxima transferencia de energía en la unidad de tiempo (máxima potencia).<br />
Una discusión interesante<br />
En un parágrafo atrás, se ilustró que la solución de la ecuación diferencial del oscilador armónico forzado<br />
es,<br />
x = A p sin ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.20)<br />
con A p y δ dadas por las ecuaciones 5.11 y 5.12.<br />
Se discutirá los siguientes casos especiales: w f > w y w f ⋍ w .<br />
Analizando la ecuación de la dinámica del oscilador forzado,<br />
mẍ + bẋ + kx = f 0 sin ( w f t + ϕ 0<br />
)<br />
(5.21)<br />
según la solución, se tiene <strong>para</strong> las derivadas,<br />
ẋ = w f A p cos ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.22)<br />
ẍ = −w 2 f A p sin ( w f t + ϕ 0 − δ ) (5.23)<br />
considerando que el orden de magnitud de las funciones seno y coseno es uno y que todos los términos<br />
de la ecuación 5.21 los contienen como factores. Por lo tanto, se puede decir que los ordenes de magnitud<br />
<strong>para</strong> los términos del miembro izquierdo de dicha ecuación son los siguientes,<br />
44
Para la fuerza de inercia,<br />
Para la fuerza amortiguadora,<br />
Para la fuerza recuperadora,<br />
mẍ ⋍ mw 2 f A p (5.24)<br />
bẋ ≃ bw f A p (5.25)<br />
kx ≃ k A p (5.26)<br />
Estos tres términos deben compensar la fuerza externa oscilante cuyo orden de magnitud es f 0 . Con base<br />
en esto se puede concluir:<br />
Caso 1 w f > w La fuerza amortiguadora y la fuerza recuperadora son despreciables frente a la fuerza de<br />
inercia. En este caso la fuerza externa oscilante se compensa con la fuerza de inercia. El sistema es "cuasilibre".<br />
La aceleración y la fuerza están en fase, δ = π . Esto corresponde a la solución,<br />
x = f 0<br />
mw 2 sin ( w f t + ϕ 0 + π ) (5.28)<br />
f<br />
tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.<br />
En cuanto a la absorción de energía del sistema: En el primer y cuarto cuarto del periodo, la fuerza y la<br />
velocidad son anti<strong>para</strong>lelas y el sistema cede energía; en el segundo y tercer cuarto del periodo absorbe la<br />
misma cantidad. El efecto total en un periodo vuelve a ser nulo.<br />
Caso 3 w f ⋍ w La fuerza de inercia se compensa con la fuerza recuperadora. Por tanto la fuerza externa<br />
oscilante se compensa con la fuerza amortiguadora. Esto corresponde a la solución,<br />
x = f (<br />
0<br />
sin w f t + ϕ 0 + π )<br />
bw f 2<br />
(5.29)<br />
tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 5.1.<br />
En cuanto a la absorción de energía del sistema, como la velocidad estará en fase con la fuerza oscilante,<br />
el sistema absorberá potencia constantemente. Sin embargo como se demostró arriba, ecuación 5.19, el<br />
sistema disipará esa misma cantidad de energía: hay equilibrio energético entre lo que entra de energía por<br />
unidad de tiempo y lo que sale.<br />
45
C A P Í T U L O<br />
6<br />
6.1 Circuitos LC : Oscilaciones eléctricas<br />
OSCILACIONES ELECTRICAS<br />
El equivalente mecánico del circuito LC (L: Inductancia, C : Capacitancia) son las <strong>oscilaciones</strong> de un<br />
sistema masa-resorte.<br />
En primer lugar, se estudiará las <strong>oscilaciones</strong> que se producen en un circuito LC , figura 6.1.<br />
La diferencia de potencial entre las placas de un condensador es igual a,<br />
V c = q C<br />
(6.1)<br />
Para aplicar la ley de Kirchoff de las mallas, es necesario adoptar una convención <strong>para</strong> el signo de esta<br />
diferencia de potencial. Para comprender esto, se debe pensar que es claro que transportar una carga positiva<br />
desde la terminal negativa a la terminal positiva debe representar un aumento en la energía potencial<br />
del circuito, es decir la diferencia de potencial es positiva. Recorrer el condensador en la dirección opuesta<br />
daría lugar a una disminución de la energía potencial, es decir una diferencia de potencial negativa. En el<br />
caso de la situción instantánea de la figura 6.1, debe deducirse que <strong>para</strong> el sentido de corriente ilustrado,<br />
V c = − q C<br />
(6.2)<br />
Para el caso de la diferencia de potencial en la bobina de inductancia L, se tiene que,<br />
V L = −L di<br />
d t<br />
(6.3)<br />
Figura 6.1: Circuito LC<br />
47
ya que la inductancia en la bobina es una medida de la inercia de éste; es decir a mayor inductancia, será<br />
más complicado cambiar la corriente que circula en el circuito. Si la corriente va en aumento,<br />
y<br />
di<br />
d t > 0 (6.4)<br />
V L ,0 (6.5)<br />
lo que corresponde a una caída de potencial entre a y b a través del inductor. Por esta razón, el punto a<br />
tiene mayor potencial que el punto b, como se ilustra en la figura 6.1.<br />
Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff,<br />
se obtiene,<br />
V c +V L = 0 (6.6)<br />
− q C − L di<br />
d t = 0 (6.7)<br />
Como i = d q/d t , llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden,<br />
d 2 q<br />
d t 2 + 1<br />
LC q = 0 (6.8)<br />
Esta ecuación diferencial describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de frecuencia angular propia<br />
o natural,<br />
La solución de la ecuación diferencial es,<br />
w = 1 <br />
LC<br />
(6.9)<br />
q = Q sin ( w t + ϕ 0<br />
)<br />
(6.10)<br />
donde la amplitud Q y la fase inicial ϕ 0 se determinan a partir de las condiciones iniciales: la carga del<br />
condensador q y la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito d q/d t en el instante inicial t = 0.<br />
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía almacenada en campo eléctrico en el<br />
condensador más la energía almacenada en el campo magnético en la bobina,<br />
q 2<br />
E = E el éctr i ca + E mag néti ca = 1 2 C + 1 2 Li 2 (6.11)<br />
La energía almacenada en la bobina tiene "naturaleza" de energía cinética, y la almacenada en el condensador,<br />
tiene "naturaleza" de energía potencial. Esto se concebirá con mayor claridad un poco más adelante,<br />
donde se hará una analogía mecano-electromagnética entre un sistema masa-resorte y un circuito<br />
oscilante LC.<br />
Una breve descripción de este proceso cada cuarto de período, es la siguiente,<br />
Inicialmente el condensador está completamente cargado con una carga Q . Toda la energía está almacenada<br />
en el campo eléctrico existente entre las placas del condensador.<br />
48
Figura 6.2: Circuito RLC<br />
El condensador se empieza a descargar, la corriente aumenta y en la bobina se produce una fem<br />
(fuerza electromotriz) autoinducida que se opone al incremento de la corriente. Al cabo de un cuarto<br />
de periodo, se alcanza la corriente máxima,<br />
i máxi ma = Q w (6.12)<br />
La corriente empieza a disminuir y en la bobina se produce una fem que se opone a que la corriente<br />
disminuya. El condensador se empieza a carga y, el campo entre las placas del condensador cambia<br />
de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, el condensador ha adquirido la carga máxima Q , y<br />
la corriente en la bobina se ha reducido a cero.<br />
Ahora comienza de nuevo a descargarse el condensador, la corriente aumenta, el campo en la bobina<br />
cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, la corriente alcanza su valor máximo.<br />
La corriente decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico entre las placas del condensador<br />
cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se ha alcanzado la situación inicial.<br />
6.2 Circuitos RLC : Oscilaciones eléctricas amortiguadas<br />
Las <strong>oscilaciones</strong> libres no se producen en un circuito habitual ya que todo circuito presenta una resistencia,<br />
figura 6.2.<br />
Aplicnado la ley de las mallas de Kirchoff,<br />
como i = d q<br />
d t ,<br />
V R +V c +V L = 0 (6.13)<br />
d 2 q<br />
d t 2 + R d q<br />
L d t + 1<br />
LC q = 0 (6.14)<br />
que corresponde a la ecuación diferencial de las <strong>oscilaciones</strong> amortiguadas, cuya solución es,<br />
q = Qe −γ t sin ( w ′ t + ϕ 0<br />
)<br />
(6.15)<br />
con, w ′ = √ w 2 − γ 2 y γ = R 2L . La amplitud Q y la fase inicial ϕ 0 se determinan a partir de las condiciones<br />
iniciales: la carga del condensador q y la intensidad de la corriente eléctrica d q/d t en el circuito en<br />
el instante inicial t = 0.<br />
En las <strong>oscilaciones</strong> amortiguadas la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. La carga máxima<br />
del condensador va disminuyendo. La energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la resistencia<br />
por efecto Joule.<br />
En el caso en que γ = w, o que γ > w, no habrá <strong>oscilaciones</strong>. Corresponden respectivamente al amortiguamineto<br />
crítico y al sobreamortiguamiento.<br />
49
Figura 6.3: RLC forzado<br />
6.3 Oscilaciones eléctricas forzadas<br />
Las <strong>oscilaciones</strong> amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo. Para mantener la oscilación en el<br />
circuito es necesario conectarlo a una fem alterna de frecuencia w, figura 6.3.<br />
La ecuación del circuito es,<br />
V R +V c +V L = V 0 sin ( w f t + ϕ 0<br />
)<br />
−Ri − q C − L di<br />
d t = V 0 sin ( w f t + ϕ 0<br />
)<br />
Como i = −d q/d t, si la carga q disminuye con el tiempo, se obtiene la siguiente ecuación diferencial de<br />
segundo orden,<br />
d 2 q<br />
d t 2 + R d q<br />
L d t + 1<br />
LC q = V 0<br />
L sin( )<br />
w f t + ϕ 0 (6.16)<br />
Ecuación similar a la estudiada <strong>para</strong> describir las <strong>oscilaciones</strong> forzadas en un sistema masa-resorte.<br />
6.4 Antenas: radio y televisión<br />
Formalmente una antena se define como un dispositivo que sirve <strong>para</strong> transmitir y recibir <strong>ondas</strong> de<br />
radio. Convierte la onda guiada por la línea de transmisión (el cable o guía de onda) en <strong>ondas</strong> electromagnéticas<br />
que se pueden transmitir por el espacio libre. A su vez esta <strong>ondas</strong> pueden ser absorbidas por otro<br />
dispositvo de estos.<br />
Las antenas están hechas de alambre ó tubos de metal, asi que tienen inductancia (L) y resistencia (R).<br />
La antena tiene capacitancia (C ), debido a la cercanía con la tierra y los objetos a sus alrededor, incluyendo<br />
los soportes, como: la torre y la cama que la sustenta .<br />
En la figura 6.4se ilustra una antena dipolo radiando <strong>ondas</strong> electromagnéticas.<br />
En la figura se ilustra el proceso de sintonización (resonancia) del radio o la televisión. Variando la capacitancia<br />
del circuito RLC receptor (antena receptora), se logra variar su frecuencia de resonancia, permitiendo<br />
sintonizar la emisora (onda) deseada. Las <strong>ondas</strong> de las emisoras se están transmtiendo por el espacio<br />
libre y generan <strong>oscilaciones</strong> forzadas de los electrones en la antena receptora. Es decir, estas <strong>ondas</strong> hacen el<br />
papel de la fuente de corriente alterna ilustrada en el parágrafo anterior.<br />
6.5 Analogía mecano-electromagnética<br />
Ver la tabla 6.1.<br />
50
Figura 6.4: Antena dipolo emisora (radiando)<br />
Figura 6.5: Antena dipolo receptora<br />
Sistema mecánico (Sistema masa-resorte) Sistema electromagnético (Circuito RLC )<br />
m: masa L: Inductancia<br />
x: Elongación q: Carga eléctrica<br />
V x : Velocidad<br />
k: constante de rigidez<br />
√<br />
k<br />
i : Corriente eléctrica<br />
Frecuencia angular propia: w =<br />
m<br />
Frecuencia angular propia: w = 1<br />
Energía Cinética:K = 1 2 mV x 2 Energía Magnética:E mag n = 1 2 Li 2<br />
Energía Potencial:U = 1 2 kx2 Energía Eléctrica:E el ect = 1 1<br />
2 C q2<br />
Tabla 6.1: Analogía mecano-electromagnética<br />
1<br />
C<br />
<br />
LC<br />
51