Generadores random

GENERADORES
DE NÚMEROS ALEATORIOS
• Condiciones
•Congruencia lineal
•Función inversa
•Distribución gaussiana
•Aceptación y rechazo
•Otros generadores
•Test

Aleatorio vs pseudoaleatorio
•Azar Verdadero
•Pseudoaleatorio
oApariencia de aleatoriedad, pero con un patrón
específico repetible
•Quasi-aleatorio
o Un conjunto de números no aleatorios en un orden
aleatorio

Generadores de números aleatorios
Basados en algoritmos específicos repetibles y
secuenciales: pseudorandom
Uniformidad
Eficiencia Computacional
Período largo
Impredectibilidad
Repetibilidad
Portabilidad
Homogeneidad

Ciclo números random
Base
Secuencia de enteros pseudorandom
Enteros
Manipulados aritméticamente para obtener floating
point (“reales”)

Propiedades de
secuencias pseudorandom
•La secuencia tiene un número finito de enteros
•Es recorrida en un orden específico
•Se repite una vez agotado el período

Congruencia Lineal
• Es fundamental el input elegido
• LCG (a,c,m,X0)
LCG (5, 0, 16, 1)
1,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6
,15,12,13,2,11,8,9,14,…
• Cuando el resultado
depende solo del entero
anterior el perído más largo
posible es P=m
• Patrón par/impar

Congruencia Lineal
• Es fundamental el input elegido
• LCG (a,c,m,X0)
LCG (5, 1, 16, 1)
1,5,9,13,1,5,9,13, …
• Cuando el resultado
depende solo del entero
anterior el perído más largo
posible es P=m
• Patrón par/impar

Congruencia Lineal
• Un LCG tiene ciclos
• La longitud del ciclo depende de la selección de parámetros
• A igual longitud de ciclo, algunos ciclos parecen más aleatorios
• Los puntos (x i , x i+1 ) se acomodan en hiperplanos
• Un LCG tiene período máximo sii
1) mcd(b,m)=1
2) a=1 mod p para cada factor primo p de m
3) a=1 mod 4 si 4 divide a m
• Un LCG con c=0 tiene período m-1 solo si m es primo.
El período es m-1 sii a es raíz primitiva de m-1
(a≠0, a (m-1)/p ≠1mod m, para todos los factores primos p de m-1)

Método de transformación : función
Densidad de probabilidad p(y), probabilidad acumulada F(y)
inversa
si F(y) es invertible, entonces el número aleatorio y=F −1 (x) tiene la dens. de prob.
deseada, donde x tiene dist. Uniforme.
|
p(
y)
dy | = |
p(
x)
dx |, con
y
=
y(
x)
p(
y)
=
p(
x)
dx
dy
P( y)
dy = P(
x)
dx ⇒ x = ∫ P(
y′
) dy′
≡ F(
y)
a
y
Por lo tanto, se generan números aleatorios x bajo una distribución uniforme, y se
transforman en números aleatorios y bajo la distribución p(y).
Ejemplo: distribución exponencial P(y)=e −y
e −y dy=dx x=1−e −y y=−ln(1−x)
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ ∞
x
1
0 y

Distribución Gaussiana
Sean x,y dos números aleatorios generados por distribuciones normales. Si son
independientes, su distribución sobre un plano será
2 2
1 ⎧ ( x + y ) ⎫
P(
x,
y)
= exp⎨−
⎬ o en coordenadas polares (R,θ) y haciendo d=R 2
2π
⎩ 2 ⎭
∂(
x,
y)
1 1
P( d,
θ ) = P(
x,
y)
= exp( −d
/ 2)
∂(
d,
θ ) 2π
2
lo que es equivalente al producto de una distribución exponencial varianza 2, y una
distribución uniforme definida en el intervalo [0,2π].
Ésta es la base de la transformación de Box-Müller:
Sean dos números aleatorios u 1 , u 2 derivados de una distribución uniforme.
Se realizan las transformaciones
R
2
= −2ln
u
θ = 2πu
2
1
x = R cosθ
=
y = Rsinθ
=
− 2lnu
− 2ln u
1
1
cos(2πu
sin(2πu
2
2
)
)
que nos llevan a dos números aleatorios x,y cuya probabilidad sigue una distribución
gaussiana.
Puesto que las transformaciones dependen de funciones trigonométricas, no son muy
eficientes para el cálculo computacional.

Distribución Gaussiana
(−1,1)
(−1,−1)
x = v
1
y = v
2
R
θ
v 1
⎛ − 2ln d
⎜
⎝ d
⎛ − 2ln d
⎜
⎝ d
⎞
⎟
⎠
1/ 2
⎞
⎟
⎠
v 2
1/ 2
(1,1)
(1,−1)
Para hacer el algoritmo de Box-Müller más rápido se
definen las variables
v 1 =2u 1 −1
v 2 =2u 2 −1
Se generan números (v 1 ,v 2 ) tal que el punto se encuentre
dentro del círculo de radio R=1.
v1
cosθ
=
R
v2
sinθ
=
R
=
( v
=
( v
2
1
2
1
v
+ v
v
+ v
para d ≤ 1 estas transformaciones modificadas .
son más eficientes en el cálculo.
1
2
2
2
2
2
)
)
1/ 2
1/ 2

Método de aceptación y rechazo
Tenemos p(y) y F(y) no invertible.
Se busca una función envolvente f(y) cuya distribución se pueda generar .
Se genera x 1 , número aleatorio de distribución f(y) . Se genera un segundo número
aleatorio x 2 con distribución uniforme el intervalo entre (0, f(x 1 )).
Se acepta si x 2 ≤ p(y).

Generador de Marsaglia (ranmar)
• Combinación de dos generadores
• Serie de Fibonacci desfasada (Lagged Fibonacci)
I n = I n-r – I n-s mod 2 24 , r = 97, s = 33
• Serie Aritmética
I – k, I – 2k, I – 3k…, mod (2 24 - 3), k = 7654321
• Paso final
Se toma x n de la serie Fibonacci
Se toma y n de la serie aritmética
Si x n >= y n , el número es x n – y n
Si no es x n – y n + 1
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Mersenne Twister
• Período: 2 19937 – 1 (Marsaglia alcanza 2 110 )
• Es de aplicación amplia porque está basado en una buena definición
de aleatoriedad. ( Otros generadores son muy específicos)
• Eficiente
• Pasó todos los tests
• Ideal para simulaciones de Monte Carlo
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Otros Generadores
1. Combined Multiple Recursive Generator
z(n) = x(n) + y(n)*2 32 (Mod 2 64 )
x(n) es la secuencia generada por un 64 bit Linear Congruential Generator
y(n) es la secuencia generada por un Prime modulus Multiple Recursive Generator:
y(n) = 107374182*y(n-1) + 104480*y(n-5) (mod 2147483647)
• Período ≈ 2 219
• Rápido porque es lcg
2. 48 Bit Linear Congruential Generator with Prime Addend
x(n) = a x(n-1) + p (Mod M)
p primo. M= 2 48 .
• Período = 2 48
• Número de series diferentes del orden de 2 19
• Rápido porque es lcg
3. 64 Bit Linear Congruential Generator with Prime Addend
• Período = 2 64
• Número de series diferentes del orden de 10 8
• Rápido porque es lcg
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Otros Generadores
4. Modified Lagged Fibonacci Generator
z(n) = x(n) XOR y(n)
con x and y secuencias X e Y obtenidas de un Lagged Fibonacci:
X(n) = X(n-k) + X(n-l) (mod M)
Y(n) = Y(n-k) + Y(n-l) (mod M)
l y k son los lags y se elige l > k. M = 2 32 . X(n) and Y(n) son 32 bit int.
x se obtiene de X seteando el Bit menos signif. en 0.
y se obtiene de Y desplazando un bit a la derecha.
• Período = 2 31 (2 l – 1), donde l es el “lag”.
• Número de series diferentes del orden de 231(l – 1)-1
5. Multiplicative Lagged Fibonacci Generator
x(n) = x(n-k) * x(n-l) (mod M) l y k lags del generador, l > k. M= 2 64 .
• Período = 2 61 (2 l – 1)
• Número de series diferentes del orden de 263(l – 1)-1
6. Prime Modulus Linear Congruential Generator
x(n) = a*x(n-1) (mod 2 61 -1)
• Período = 2 64 - 2
• Número de series diferentes del orden de 2 58
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Generación de N-uplas
• Se generan conjuntos de x 1 a x n
Se grafican estos puntos (x 1 , x 2 ,….,x n )
Deberíamos tener un volmen ocupado
uniformemente
Muchos generadores generan puntos que
ocupan hiperplanos paralelos