Algunos ejercicios resueltos

6. La velocidad de propagación V de una onda superficial en aguas profundas se supone que depende de
la longitud de onda λ, la densidad ρ, la aceleración de la gravedad g y la tensión superficial σ. Hacer
el análisis dimensional de este problema ignorando las fuerzas viscosas.
a) Analizar el límite en el que las fuerzas de tensión superficial son despreciables frente a las de
gravedad.
b) Analizar el límite en el que las fuerzas gravitatorias son despreciables frente a las de tensión
superficial.
c) Formular un grupo adimensional cuya magnitud indique la importancia relativa de las fuerzas
gravitatorias y de tensión superficial.
d) En base a los resultados obtenidos en 6a, 6b y 6c construya un gráfico esquemático que muestre
la variación de V con λ, permaneciendo las restantes magnitudes fijas.
Respuesta: Ignorando la viscosidad µ, la velocidad de propagación será función sólo de la longitud de
onda λ, la densidad ρ, la tensión superficial σ y la aceleración de la gravedad g: V = f (λ, ρ, g, σ)
Armamos la matriz dimensional para utilizar el teorema “π” de Buckingham:
V λ ρ g σ
M 0 0 1 0 1
L 1 1 -3 1 0
T -1 0 0 -2 -2
Como el rango de la matriz dimensional es 3, deben surgir 2 grupos adimensionales, por ejemplo, si
tomamos λ, ρ y g como columnas L.I. se obtienen: π 1 = √ V
gλ
y π 2 =
σ
gρλ 2 .
a) Si las fuerzas de tensión superficial no son relevantes, podemos omitir la columna de σ en la
matriz dimensional, quedando un único grupo adimensional: π 1 = √ V
gλ
que deberá ser constante,
por lo tanto V ∝ √ gλ.
b) Si las fuerzas de gravedad son despreciables, omitiendo la columna de g llegamos al grupo adimensional:
π 3 = ρλV 2
σ , y la velocidad es: V ∝ √
σ
ρλ .
c) El grupo adimensional que relaciona fuerzas de gravedad con fuerzas de tensión superficial es
justamente π 2 , que se puede escribir como:
π 2 =
σλ
ρgλ 3
d) Analizando el grupo adimensional π 2 , se observa que cuando λ es muy chico dominan las fuerzas
de tensión superficial sobre las de gravedad, mientras que para λ muy grande se da la situación
inversa. Por lo tanto, en el gráfico V = f(λ) se debe observar la dependencia obtenida en 6b
cuando λ ≪
√
σ
ρg : V ∝ √
σ
ρλ y la dependencia obtenida en 6a cuando λ ≫ √
σ
ρg : V ∝ √ gλ.
V
λ −1/2 1/2
λ
λ