Algunos ejercicios resueltos

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4. Considere el flujo en un codo como se muestra en la figura. Suponiendo que el flujo es irrotacional y la fuerza de gravedad es despreciable. a) Dibuje las lineas de corriente. b) Demuestre empleando la ecuación de Bernoulli, la siguiente propiedad del flujo: r v θ = cte c) Verifique que efectivamente este flujo es irrotacional aplicando el operador ∇× al campo de velocidades. d) Deduzca una expresión para la diferencia de presión entre el radio interior y exterior del codo. Expresar la respuesta en términos de la relación de flujo másico, la densidad del fluido y la geometría (suponga que el codo tiene una profundidad h). Respuesta: R 2 R 1 θ Flujo a) Dibuje las lineas de corriente: Puesto que el fluido no puede atravesar las paredes, las líneas r = R 1 y r = R 2 son líneas de corriente. Salvo efectos a la entrada y a la salida, las líneas de corriente serán arcos de círculo. b) Si vale la ecuación de Bernoulli en todo el flujo: p + 1 2 ρv2 = Cte, y además aplicamos la ecuación de Euler en coordenadas naturales que nos relaciona el gradiente de presión normal al flujo con el radio de curvatura de las líneas de corriente: ∂p ∂n = ∂p ∂r = ρ v2 R . Derivando la ecuación de Bernoulli en la dirección radial, considerando velocidad sólamente tangencial y reemplazando: 0 = ∂p ∂v ∂r + ρv ∂r = ρ v2 r + ρv ∂v ∂v ∂r . Operando: ∂r = − v r , ln v = Cte − ln r, v = kr−1 . c) El rotor en coordenadas cilíndricas, dirección ẑ es: ω z = 1 r v r = v z = 0: ω z = 1 ∂(k) r ∂r = 0 ∂(rv θ ) ∂r − ∂vr ∂θ . Reemplazando v θ = k r , d) La diferencia de presiones entre R 1 y R 2 puede encontrarse integrando el gradiente radial de presiones: ∫ R2 ∫ dp R2 p 2 − p 1 = R 1 dr = ρ k2 R 1 r 3 = ( −2ρk2 R2 −2 − R1 −2 ) La constante k se puede expresar en función del flujo másico ṁ integrando la velocidad: De donde: ṁ = ∫ R2 R 1 ∫(z) ∫ R2 dr ρv θ dz dr = ρhk R 1 r = ρhk ln R 2 R 1 p 2 − p 1 = −2ρ ( R2 −2 − R1 −2 ) ṁ 2 ρ 2 h 2 ln 2 R = 2ṁ 2 R2 −2 − R1 −2 2 R 1 ρh 2 ln 2 (R 2 /R 1 ) 5. En un vertedero bidimensional como el que se muestra en la figura fluye agua. La velocidad es uniforme en las secciones 1 y 2, mientras que las líneas de corriente son paralelas si las secciones se encuentran suficientemente lejos del vertedero. Despreciando pérdidas y conociendo que h 1 = 5 m y h 2 = 0.7 m, calcular V 1 , V 2 y la fuerza horizontal F ejercida por el agua sobre el vertedero.
h 1 F h 2 g Sección 1 Sección 2 Respuesta: Utilizamos un volumen de control rectangular, con paredes verticales suficientemente alejadas y horizontales en y = 0 y en y = Y s > h 1 . Todas las fuerzas son expresadas por unidad de profundidad. Aplicando la conservación de masa: V 1 h 1 = V 2 h 2 Aplicando la integral de Bernoulli sobre una línea de corriente en la superficie: p 1 + 1 2 ρV 2 1 + ρgh 1 = p 2 + 1 2 ρV 2 2 + ρgh 2 Considerando p 1 = p 2 = presión atmosférica, resulta: V 2 1 − V 2 2 = 2g (h 2 − h 1 ) Despejando V 2 de la conservación de masa y reemplazando: √ 2g V 1 = h 2 h 1 + h 2 Evaluando: V 1 = 1.298 m s , V 2 = 9.272 m s Aplicamos conservación de momento en el mismo volumen de control, utilizando presión atmosférica nula para simplificar. Siendo F la fuerza del vertedero y F s,x la fuerza superficial: ∫ F + F s,x = ρu x (⃗u · ˆn)dS Integrando las fuerzas de presión: F s,x = ∫ h1 0 SC ∫ h2 ρg(h 1 − y) dy − ρg(h 2 − y) dy = ρg ( h 2 0 2 1 − h 2 2) Reemplazando y evaluando los flujos de momento resulta: [ F = ρ V2 2 h 2 − V1 2 h 1 − 1 2 g ( h 2 1 − h 2 ) ] 2 Y evaluando: F = −64344 N m
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