Algunos ejercicios resueltos

4. Considere el flujo en un codo como se muestra en la figura. Suponiendo que el flujo es irrotacional y
la fuerza de gravedad es despreciable.
a) Dibuje las lineas de corriente.
b) Demuestre empleando la ecuación de Bernoulli, la siguiente
propiedad del flujo: r v θ = cte
c) Verifique que efectivamente este flujo es irrotacional aplicando
el operador ∇× al campo de velocidades.
d) Deduzca una expresión para la diferencia de presión entre el
radio interior y exterior del codo. Expresar la respuesta en
términos de la relación de flujo másico, la densidad del fluido
y la geometría (suponga que el codo tiene una profundidad h).
Respuesta:
R 2
R 1
θ
Flujo
a) Dibuje las lineas de corriente: Puesto que el fluido no puede atravesar las paredes, las líneas
r = R 1 y r = R 2 son líneas de corriente. Salvo efectos a la entrada y a la salida, las líneas de
corriente serán arcos de círculo.
b) Si vale la ecuación de Bernoulli en todo el flujo: p + 1 2 ρv2 = Cte, y además aplicamos la ecuación
de Euler en coordenadas naturales que nos relaciona el gradiente de presión normal al flujo
con el radio de curvatura de las líneas de corriente: ∂p
∂n = ∂p
∂r = ρ v2
R
. Derivando la ecuación de
Bernoulli en la dirección radial, considerando velocidad sólamente tangencial y reemplazando:
0 = ∂p ∂v
∂r
+ ρv
∂r = ρ v2
r
+ ρv ∂v
∂v
∂r
. Operando:
∂r = − v r , ln v = Cte − ln r, v = kr−1 .
c) El rotor en coordenadas cilíndricas, dirección ẑ es: ω z = 1 r
v r = v z = 0:
ω z = 1 ∂(k)
r ∂r = 0
∂(rv θ )
∂r
− ∂vr
∂θ . Reemplazando v θ = k r ,
d) La diferencia de presiones entre R 1 y R 2 puede encontrarse integrando el gradiente radial de
presiones:
∫ R2
∫
dp R2
p 2 − p 1 =
R 1
dr = ρ k2
R 1
r 3 = ( −2ρk2 R2 −2 − R1
−2 )
La constante k se puede expresar en función del flujo másico ṁ integrando la velocidad:
De donde:
ṁ =
∫ R2
R 1
∫(z)
∫ R2
dr
ρv θ dz dr = ρhk
R 1
r = ρhk ln R 2
R 1
p 2 − p 1 = −2ρ ( R2 −2 − R1
−2 ) ṁ 2
ρ 2 h 2 ln 2 R = 2ṁ 2 R2 −2 − R1
−2
2
R 1
ρh 2 ln 2 (R 2 /R 1 )
5. En un vertedero bidimensional como el que se muestra en la figura fluye agua. La velocidad es uniforme
en las secciones 1 y 2, mientras que las líneas de corriente son paralelas si las secciones se encuentran
suficientemente lejos del vertedero.
Despreciando pérdidas y conociendo que h 1 = 5 m y h 2 = 0.7 m, calcular V 1 , V 2 y la fuerza horizontal
F ejercida por el agua sobre el vertedero.