Algunos ejercicios resueltos

Resulta:
∂p
∂z = −4µU m
R 2
Y el campo de presiones se puede expresar como:
b) El caudal total es:
Q =
y la velocidad media:
Reemplazando:
∫ 2π ∫ R
0
0
p = p 0 − 4 µU m
R 2 z
v z r dr dθ = 2πU m
∫ R
¯v =
0
Q
πR 2 = U m
2
∆p
L = −∂p ∂z = 4µU m
R 2
(r − r3
R 2 )
dr = ... = π 2 U mR 2
= 8 µ¯v
R 2
c) El tensor de tensiones en coordenadas cilíndricas tiene componentes:
σ rr = −p + 2µ ∂v r
∂r = −p
( 1 ∂v θ
σ θθ = −p + 2µ
r ∂θ + v )
r
= −p
r
σ zz = −p + 2µ ∂v z
∂z = −p
( 1 ∂v r
σ rθ = µ
r ∂θ + ∂v θ
∂r − v )
θ
= 0
r
( ∂vθ
σ θz = µ
∂z + 1 )
∂v z
= 0
r ∂θ
( ∂vz
σ zr = µ
∂r + ∂v )
r
= − 2rµ
∂z R 2 U m
O sea:
⎡
σ = ⎣
−2µU mr
R 2
−p 0
0 −p 0
−2µU mr
R 2 0 −p
En cartesianas, escribiendo: u z = U m
(
1 − x2 +y 2
R 2 )
resulta:
⎡
σ = ⎣
−p 0
0 −p
−2µU mx
R 2
−2µU my
R 2
⎤
⎦
−2µU mx
R
−2µU 2
my
R 2
−p
⎤
⎦
d) La fuerza se calcula integrando en las paredes σ · ⃗n. En cilíndricas, sobre la pared:
⎛
⃗f ∣ = σ · ⎝
w
−1
0
0
⎞
⎛
⎠
= ⎝
∣
w
p
0
2µU mr
R 2
⎞
⎠
∣
∣
r=R
⎛
= ⎝
p
0
2µU m
R
⎞
⎠