Algunos ejercicios resueltos
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La distancia entre el centro geométrico de la compuerta y el centro de presiones (línea de acción de la fuerza resultante debida a las presiones) se puede calcular con: d = ρgI xx F donde rho es la densidad del fluido, g es la aceleración de la gravedad, I xx es el momento de inercia de la superficie, medido desde un eje horizontal, que pasa por su centro geométrico, y F es la fuerza total debida a las presiones, que puede calcularse como la presión en el centro geométrico multiplicada por el área de la compuerta. Si L es el lado de la compuerta (cuadrada), el momento de inercia vale: ∫ I xx = S x 2 dS = ∫ L/2 −L/2 x 2 L dx = L4 12 Suponiendo presión atmosférica 0, podemos calcular la presión en el centro geométrico y la fuerza F : p c.g. = ρg(h + L/2), F = L 2 ρg(h + L/2) La situación límite en este caso se da cuando d = L/10, reemplazando: L 10 = ρgL 4 /12 L 2 ρg(h + L/2) operando llegamos finalmente a que h = L 3 = 0.33m. b) Efectivamente, según las hipótesis y aproximaciones realizadas, llegamos a que el resultado no depende de ρ. c) Si se considerara una presión atmosférica uniforme, habría que tener en cuenta la fuerza de presión sobre la compuerta del lado izquierdo, pero también habría que considerar incrementada la fuerza de la presión sobre el lado derecho. Puede verificarse que ambos efectos se compensan exactamente y el resultado es el mismo. (La posición del centro de presiones va a ser distinta, pero también hay que considerar la fuerza de presiones del lado aire, que ejerce un momento sobre la compuerta articulada). Si además se tuviera en cuenta la densidad del aire, la presión atmosférica ya no sería uniforme y el resultado dependerá tanto de la densidad del aire, como de la densidad del agua.
3. Se tiene una sección de longitud L de un tubo circular de radio interno R por el que circula un fluido de densidad ρ y viscosidad µ en régimen laminar completamente desarrollado (la velocidad es axial). a) Verifique que un perfil de velocidades cuadrático: u = U m [1 − ( ) ] r 2 R cumple las ecuaciones de Navier-Stokes, con las condiciones de contorno apropiadas. Encuentre el campo de presiones. b) Encuentre una relación para la velocidad media (caudal sobre área): ¯v = Q/A, en función de la diferencia de presiones entre la entrada y la salida ∆p, las dimensiones de la sección y las características del fluido. c) Calcule el tensor de tensiones de Cauchy en el interior del tubo. d) Calcule la fuerza total ejercida por el fluido sobre las paredes de la sección del tubo. e) Calcule la potencia disipada en el interior del tubo: Respuesta: como integral de la función disipación en todo el volumen. como potencia de las fuerzas aplicadas en el borde. a) La ecuación de conservación de la masa, en coordenadas cilíndricas es: 1 ∂ (rv r ) + 1 ∂v θ r ∂r r ∂θ + ∂v z ∂z = 0 Los dos primeros términos se anulan por la condición de flujo paralelo, el tercero porque v z = u = U m [1 − ( ) ] r 2 R no depende de z. La ecuación de conservación de momento en la dirección radial es: ∂v ( r ∂t + ⃗v · ⃗∇ ) v r − v2 θ r = −1 ∂p ρ ∂r + µ ( ∇ 2 v r − 2 ∂v θ ρ r 2 ∂θ − v ) r r 2 y puesto que tanto v r como v θ son nulas, nos indica que: ∂p ∂r = 0. La ecuación de conservación de momento en la dirección θ es: ∂v θ ∂t + ( ⃗v · ⃗∇ ) v θ + v rv θ r = 1 ρr ∂p ∂θ + µ ρ y puesto que tanto v r como v θ son nulas, nos indica que: ∂p ∂θ = 0. La ecuación de conservación de momento en la dirección z es: ∂v z ∂t + ( ⃗v · ⃗∇ ) v z = − 1 ∂p ρ ∂z + µ ρ ∇2 v z ( ∇ 2 v θ + 2 r 2 ∂v r ∂θ − v θ r 2 ) El primer término del lado izquierdo se anula por la condición de flujo estacionario. Y además la aceleración convectiva también se anula: ( ⃗v · ⃗∇ ) ∂v z v z = v r ∂r + v θ ∂v z r ∂θ + v ∂v z z ∂z como es de esperar, ya que cada partícula de fluido se mueve con velocidad constante. Del segundo miembro de la ecuación de Navier-Stokes se obtiene que el gradiente de presión se equilibra con el término viscoso: Usando: 1 ∂p ρ ∂z = µ 1 ∂ ρ r ∂r ( ] r 2 v z = U m [1 − , R) ( r ∂v ) z + 1 ∂ 2 v z ∂r r 2 ∂θ 2 + ∂2 v z ∂z 2 ∂v z ∂r = − 2r R 2 U m
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- Page 11 and 12: Ahora se pueden calcular los factor
- Page 13 and 14: c) Anchos: La ecuación de conserva
La distancia entre el centro geométrico de la compuerta y el centro de presiones (línea de acción<br />
de la fuerza resultante debida a las presiones) se puede calcular con:<br />
d = ρgI xx<br />
F<br />
donde rho es la densidad del fluido, g es la aceleración de la gravedad, I xx es el momento de<br />
inercia de la superficie, medido desde un eje horizontal, que pasa por su centro geométrico, y<br />
F es la fuerza total debida a las presiones, que puede calcularse como la presión en el centro<br />
geométrico multiplicada por el área de la compuerta. Si L es el lado de la compuerta (cuadrada),<br />
el momento de inercia vale:<br />
∫<br />
I xx =<br />
S<br />
x 2 dS =<br />
∫ L/2<br />
−L/2<br />
x 2 L dx = L4<br />
12<br />
Suponiendo presión atmosférica 0, podemos calcular la presión en el centro geométrico y la fuerza<br />
F :<br />
p c.g. = ρg(h + L/2), F = L 2 ρg(h + L/2)<br />
La situación límite en este caso se da cuando d = L/10, reemplazando:<br />
L<br />
10 = ρgL 4 /12<br />
L 2 ρg(h + L/2)<br />
operando llegamos finalmente a que h = L 3 = 0.33m.<br />
b) Efectivamente, según las hipótesis y aproximaciones realizadas, llegamos a que el resultado no<br />
depende de ρ.<br />
c) Si se considerara una presión atmosférica uniforme, habría que tener en cuenta la fuerza de<br />
presión sobre la compuerta del lado izquierdo, pero también habría que considerar incrementada<br />
la fuerza de la presión sobre el lado derecho. Puede verificarse que ambos efectos se compensan<br />
exactamente y el resultado es el mismo. (La posición del centro de presiones va a ser distinta, pero<br />
también hay que considerar la fuerza de presiones del lado aire, que ejerce un momento sobre la<br />
compuerta articulada).<br />
Si además se tuviera en cuenta la densidad del aire, la presión atmosférica ya no sería uniforme<br />
y el resultado dependerá tanto de la densidad del aire, como de la densidad del agua.
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