Algunos ejercicios resueltos

9. La figura muestra el orificio de salida de un tanque. Se desea diseñar la primera parte del tubo de salida
para que la capa límite, luego de crecer en una zona de transición, se mantenga de espesor constante.
Obtenga una expresión aproximada del diámetro del tubo en función de la coordenada axial para que
se verifique el requerimiento. Suponga un perfil cuadrático para la capa límite y aplique el método
integral de Von-Karman.
Zona
Transición
δ(x)
δ=cte
x
Respuesta: Siendo û = u U , y ŷ = y ∂u
δ
, el perfil cuadrático que cumple u = 0 en la pared y
∂y
∣ se
y=δ
expresa como: û = ŷ (2 − ŷ).
El espesor de desplazamiento resulta:
δ ∗ =
∫ δ
Y el espesor de cantidad de movimiento:
θ =
∫ δ
0
0
û (1 − û) dy =
(1 − û) dy =
∫ 1
0
∫ 1
La tensión de corte evaluada en la pared es:
τ w = µ ∂u
∂y ∣ = 2µ U
y=0
δ
Operando en la ecuación integral de Von-Karman:
τ w
ρ = d (
U 2 θ ) + δ ∗ U dU
dx
dx
0
(
1 − 2ŷ + ŷ
2 ) δdŷ = δ 3
ŷ (2 − ŷ) ( 1 − 2ŷ + ŷ 2) δdŷ = ... = 2
15 δ
dU
= 2U
dx θ + U 2 dθ
dx + δ∗ U dU
dx = U 2 dθ
dx + (2θ + δ∗ ) U dU
dx
Reemplazando las expresiones de τ w , θ, δ ∗ , y planteando que dθ
dx = 2
15
2µ
δρ = (2θ + δ∗ ) dU
( 4
dx , 2θ + δ∗ =
15 + 1 3
dδ
dx
= 0, resulta:
)
δ = 3 5 δ ⇒ dU
dx = 10µ
3δ 2 ρ
Integrando, siendo U 0 la velocidad externa en la zona de transición, y A 0 el área de pasaje, tomando
el origen de x al final de dicha zona:
Resultando el diámetro:
U(x) = U 0 + 10µ
3δ 2 ρ x, A(x) = A 0U 0
U 0 + 10µx
3δ 2 ρ
D(x) = D 0
√
U0
U 0 + 10µx
3δ 2 ρ