Algunos ejercicios resueltos

8. Un chorro plano de fluido con un perfil de velocidad lineal impacta sobre una pared vertical. Se
desprecian los efectos viscosos y gravitatorios. Considere presión atmosférica p a fuera del chorro.
y h
a) Dibuje las líneas de corriente.
1
1
b) Encuentre los perfiles de velocidad en 1 y en 2.
U=1
c) ¿Cuáles son los anchos h 1 y h 2 de los chorros salientes
d) ¿Qué porcentajes del caudal total salen por arriba y
por abajo
e) ¿Cuánto vale la presión en el punto de estancamiento h 2
Hint: Recordar que Γ = ∮ ⃗v · d⃗r = ∫ A
⃗ω · ˘ndA (es decir que la vorticidad se puede interpretar como la
circulación por unidad de área. Podría también ser útil el hecho que tomando rotor en las ecuaciones
de movimiento, las mismas se reducen a:
( )
D⃗ω 1
[
Dt = ∇ × −∇p + µ ]
ρ
3 ∇ (∇ · ⃗v) + µ∇2 ⃗v + ∇ × G ⃗ + (⃗ω · ∇) ⃗v − ⃗ω · (∇ · ⃗v) + ν∇ 2 ⃗ω
2
p
a
h
x
Respuesta:
a) Líneas de corriente: Habrá una línea de corriente que muere en un punto de estancamiento. En
dicho punto la presión será mayor que en el exterior, como puede deducirse por la integral de
Bernoulli, o por observación de la curvatura de las líneas de corriente. Dado que en la superficie
la presión es la misma de ambos lados, y el gradiente de presión es como se indica en la figura, no
es posible que todo el flujo se desvíe hacia el mismo lado. Considerando el perfil de velocidades,
tabién se puede deducir que h 2 > h 1 , puesto que la velocidad es menor en 2 que en 1.
h 1
∆
p>0
∆
p>0
h 2
b) Perfiles: La vorticidad en la entrada resulta: w (z) = ∂v
∂x − ∂u
∂y = 1 h
. Por la ecuación de Helmholtz,
y considerando que no hay fuentes de vorticidad, la misma vorticidad debe haber en los perfiles
de salida. Además la velocidad sobre la pared debe ser la misma en ambos lados, e idéntica a la
velocidad de una partícula sobre la línea de separación (la que llega al punto de estancamiento),
y suficientemente alejada de la pared, llamémosla v s . De la misma manera, la velocidad en cada
superficie permanece constante, ya que se trata de líneas de corriente donde vale Bernoulli y la
presión es constante:
u 1 = u 2 = 0
v 1 (x) = x h + v s, (0 ≤ x ≤ h 1 )
v 2 (x) = x h − v s, (0 ≤ x ≤ h 2 )
v 1 (h 1 ) = x h 1
+ v s = 1, ⇒ h 1 = h(1 − v s )
v 2 (h 2 ) = x h 2
− v s = 0, ⇒ h 2 = hv s