Aplicaciones de las Transformaciones de Lorentz

Aplicaciones de las Transformaciones de Lorentz
Víctor Hugo Ponce
1. Sincronización de relojes y la paradoja de los mellizos
1.1. Transformaciones de Lorentz
Las transformaciones de Lorentz:
x ′ =
x − vt √
1 − β
2
t ′ = t − βx/c √
1 − β
2
(1)
(2)
mezclan el tiempo y la coordenada espacial medidos por observadores inerciales en movimiento relativo.
El tiempo deja de ser una variable absoluta y pasa a depender del marco inercial y del punto en el que se
lo mide.
Ubicados en un marco inercial O medimos el tiempo colocando relojes sincronizados en cada punto del
espacio; a lo largo del eje x y al instante t = 0 la situación es la siguiente:
Figura 1:
¿Cómo ve dichos relojes un observador en un sistema O ′
que se mueve con velocidad v en la dirección
x Este realiza la observación en la forma que para él es simultánea, esto es al tiempo t ′ = 0. El resultado
a partir de la ecuación 2 es:
t = βx′ /c
√
1 − β
2
(3)
que grafica la figura siguiente
1

Figura 2:
Figura 3: El eje x ′ representa los puntos con la misma ordenada y ′
= 0 (equivalentes a eventos simultáneos).
Estos puntos tienen diferentes valores de la ordenada y (negativos a la izquierda del origen y positivos a la
derecha) en coincidencia con la desincronización de los relojes.
los relojes aparecen desincronizados, aquéllos a la izquierda de x ′
= 0 atrasados y los de la derecha
adelantados.
Hay una situación análoga para el caso de rotaciones de ejes en un plano: en la Figura 3 los puntos
P (x, y ′
= 0) luego de una rotación de ejes poseen ordenadas y diferentes de cero.
Nos preguntamos ahora cómo vería los relojes otro observador O ′′ moviéndose con velocidad v en sentido
inverso:
Será:
t = −βx′ /c
√
1 − β
2
(4)
2

Figura 4:
Figura 5: Idem que para la Figura 3, salvo que ahora los puntos sobre el eje x ′
tienen valores de la ordenada
y positivos a la izquierda del origen y negativos a la derecha.
los relojes de la izquierda adelantan y los de la derecha atrasan. La situación equivalente para rotaciones
en el plano es aquélla que representa la rotación inversa de la Figura 3, representada en la Figura 5.
Estos resultados pueden sorprendernos porque una de las coordenadas es el tiempo, y nosotros tenemos
el prejuicio de que el tiempo transcurrido es independiente del estado de movimiento del reloj que lo mide.
En cambio tomamos como obvio que la ordenada de un punto en un plano sea positiva o negativa según
cuál sea el par de ejes cartesianos que elijamos.
Debemos acostumbrarnos y reconoceer que las transformaciones de Lorentz son rotaciones en el plano
(x, t) y que por lo tanto el intervalo temporal que mide un reloj depende de su velocidad respecto de quien
lo observa. Además, cuando el observador O ′
realiza un cambio abrupto de marco inercial se produce un
cambio equivalente en los valores del tiempo medidos por relojes en movimiento respecto de O ′ .
1.2. La paradoja de los mellizos
1.2.1. El caso del mellizo viajero
Primeramente propuesta por Einstein, la así llamada paradoja de los mellizos ha recibido gran atención
por parte de expertos y legos en cuestiones de relatividad, y ríos de tinta se han gastado en explicarla o
pretender hacerlo. Consiste en su versión original en considerar dos hermanos mellizos 1 y 2 que un día se
separan: uno de ellos realiza un largo viaje, por ejemplo en una nave espacial a velocidades cercanas a la de
la luz, en tanto el otro permanece en la Tierra a la espera del regreso de su hermano. El viajero 2 acelera
su nave en un tiempo muy corto hasta alcanzar la velocidad final v y luego deriva por el espacio a esa
velocidad durante un tiempo T ′ medido en su sistema de referencia (usaremos v = 0,8c , T ′ = 3 años para
3

usar datos empleados por varios autores: C.G.Darwin, Nature, 180, 976 (1957), R. Resnick, ”Introduction
to Special Relativity”, John Wiley & Sons, página 203, (1968)).
Figura 6:
Al cabo de ese tiempo decelera la nave en un tiempo despreciable frente a T ′ , hasta invertir el sentido de
la velocidad y regresar a casa con la misma velocidad v del tramo de ida donde arriba entonces al cabo de
6 años de viaje. De acuerdo a su reloj y por lo tanto a sus procesos vitales en general como el metabolismo
de su cuerpo, o particulares como el número de latidos de su corazón, en ese lapso el mellizo 2 ha envejecido
6 años. Por otro lado, de acuerdo a la relación entre tiempo propio del viajero y tiempo medido por un
observador en movimiento respecto de él, para el mellizo 1 que quedó en la Tierra han transcurrido
6
2T = √ = 10años (5)
1 − (
v
c
)2
Concluímos que luego del viaje hay una diferencia de edades entre los mellizos: quien quedó en casa
es 4 años más viejo que el viajero.
Este es un resultado sorprendente para nuestra vieja creencia en un tiempo absoluto, pero el resultado (5)
está basado directa y simplemente en el postulado del principio de relatividad de Einstein y su corolario de
que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores inerciales. No es necesario tratar de generar
una demostración pues éste es un resultado directo de dicho principio a través de las transformaciones de
Lorentz entre marcos inerciales.
Lo que nos perturba es que las transformaciones de Lorentz predicen que desde el marco en la Tierra
el reloj del viajero es el que atrasa, en tanto que recíprocamente desde el marco del viajero es el reloj en
la Tierra el que atrasa. Pero las experiencias de los mellizos no son idénticas ya que el viajero cambia de
sistema de referencia al invertir el signo de su velocidad. Vemos que el mellizo viajero luego de viajar 3
años encuentra a su hermano a una distancia distancia
x ′ = −0,8 × c × 3 (6)
alejándose con una velocidad −v. La ecuación de Lorentz equivalente a la 2 nos da el intervalo transcurrido
en el reloj del mellizo en tierra:
t = t′ + βx ′ /c
√
1 − β
2
(7)
=
3 − 0,8 × 0,8 × 3
√
1 − 0,8
2
= 1,08
0,6
= 1,8años (8)
Este es el tiempo propio del mellizo en tierra, el que mide su reloj justo antes de que el mellizo viajero
invierta su velocidad.
Luego del cambio de marco de referencia, el mellizo viajero ve a su hermano a la distancia x ′
dada por
6 moviéndose con velocidad positiva v. En ese momento el registro que marca el reloj en tierra está dado
por la ecuación 7 con β = 0,8 positivo:
4

t = t′ + βx ′ /c
√
1 − β
2
=
3 + 0,8 × 0,8 × 3
√
1 − 0,8
2
= 4,92
0,6
= 8,2años (9)
Por lo tanto, según el mellizo viajero la edad de su hermano en tierra es lo que marca el reloj de éste en
cuanto emprende el retorno: 8.2 años según 9, más el tiempo propio transcurrido durante los 3 años del viaje
de regreso: 1.8 años según 8 . Total: 10 años. Como era de esperar, tenemos pleno acuerdo entre los resultados
obtenidos por ambos mellizos. Sería erróneo pensar que el mellizo en tierra envejece instantáneamente 6.4
años mientras su hermano invierte la dirección del viaje! Simplemente: cada uno de ellos vive en forma
normal y natural en su marco de referencia, pero el trancurrir del tiempo no está correlacionado entre
diferentes sistemas inerciales.
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