Péndulo paramétrico

Experimental I
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Péndulo paramétrico
PIECK, Darío
(08/22/06)
Resumen
Se estudió el comportamiento de un péndulo paramétrico y se llegó a la conclusión de que
si se le varía la longitud con una frecuencia periódica del doble que su frecuencia natural,
este entrará en resonancia, además se observará un batido. Tambien se observó que la
frecuencia del batido disminuye en la zona de resonancia haciendose practicamente nula.
Otro fenómeno estudiado fue si la amplitud de la variación del parámetro longitud(ganancia)
influía de algún modo en la resoncia. Se observó que al aumentarla, la frecuencia del batido
aumentaba y la amplitud de las oscilaciones también aumentaban.
Debido a la poca reproducibilidad de los datos obtenidos este es un informe del tipo
cualitativo.
Introducción
Se dice que un oscilador es paramétrico cuando sus parámetros (por ejemplo, su longitud)
son funciones del tiempo. En nuestro caso tenemos un péndulo de longitud l variable. Si la
longitud del péndulo varía sinusoidalmente entonces se la puede escribir como:
l=l 0
⋅[1B⋅cos w⋅t] (1)
Donde la frecuencia angular es
w=2⋅π⋅f exitación (2)
Y el término B de la ecuación 1 se llama ganancia.
La experiencia con péndulos reales ha demostrado que la amplitud de las oscilaciones
puede crecer indefinidamente si se le bombea energía con una frecuencia adecuada
(pendulos activos) de w=2⋅w 0 (3)
donde w o es la frecuencia natural de oscilación del péndulo. Tambien es posible demostrar
que el fenómeno de resonancia se dá siempre que se cumpla la condición:
w= 2⋅w 0
N=1,2,3... (4)
N
En el caso del péndulo, su frecuencia natural cambia segun la amplitud de las oscilaciones
por lo que para una dada frecuencia el péndulo podrá entrar en resonancia pero al hacerse
cada vez mayores sus oscilaciones su frecuencia natural cambia, dejando de cumplirse la
ecuación (4). Por lo que el péndulo tiende a frenarse, hasta que, al volver a oscilaciones
menores se reestablece la condición dada por (4). Entrando nuevamente en resonancia.
Este fenómeno se llama batido.
Método experimental
Se midió el período del péndulo con un cronómetro y se calculó su frecuencia natural, luego
se lo exitó, variando su longitud mediante un motor a distintas frecuencias hasta que se
halló un intervalo de frecuencias para el cual entraba en resonancia observandose mayores

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amplitudes.
La frecuencia de exitación se regulaba mediante el voltaje suministrado al motor que
generaba la variación del parámetro longitud como se muestra en la figura 1.
Figura 1: Dispositivo experimental
V variable
Eje de motor
Motor
Punto de apoyo
w
g
Alineador y corrector del movimiento
Sujeción
Acelerómetro
Péndulo
Adquisición de
datos
Diagrama del dispositivo usado.
Graficador
Luego se modificó la excentricidad del punto de sujeción del extremo de la cuerda del
péndulo y se observó lo que ocurría en la zona de resonancia. Al hacer esto, estabamos
aumentando la ganancia ­un pequeño numero real relacionado con la separación entre el
punto de apoyo y el eje del motor­ (ver figura 1)
Cuando las amplitudes de oscilación eran máximas se observó el fenomeno de batido cuya
frecuencia se determinó a partir de la grafica dada por el graficador.
Resultados
La frecuencia natural del pendulo fue estimada en (0,532±0,001) Hz.
La figura 2 muestra la relación entre la frecuencia de resonancia y las aceleraciones

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máximas medidas que se relacionan proporcionalmente con la amplitud de la oscilación. Se
puede observar que en el intervalo de 1.05 a 1.07 Hz las oscilaciones se vuelven de gran
amplitud.
Figura 2: aceleración que experimentaba el pendulo en función de la frecuencia de
exitación.
Al variar la separación entre el punto de apoyo y el eje del motor, y midiendo a la frecuencia
de resonancia se obtuvieron los siguientes datos:
Separación (mm) [±0.03mm] Amplitud (unidades relativas) Frecuencia de batido (Hz)
Tabla 1: datos obtenidos
4.34 5.7 0.0065
7.96 9.0 0.0098
Discusión
En primer lugar, a la luz de los datos obtenidos se observa que existe una relación entre la
frecuencia de exitación aplicada y las amplitudes de las oscilaciones, en este caso se
verifica los que nos dice la teoria, puesto que se observa un brusco crecimiento de las
amplitudes en el rango entre 1.05 y 1.07 Hz que dentro del error sistematico es el doble de
la frecuencia natural del pendulo, medida en 0.53Hz.
Por otro lado se observó que al aumentar la separación entre el punto de apoyo y el eje del
motor el movimiento tiene mas ganancia de energía, esto se comprobó experimental, como
se vé en la tabla 1, donde se aprecia que al aumentar la separación la amplitud de
oscilación, aumentaba.
También se observó un aumento de la frecuencia de batido, esto significa que se llegaba
mas rápido al punto en que la frecuencia natural y la frecuencia aplicada no cumplen con la
relación (4). Esto es debido a que se le estaba entregando mas energía por unidad de

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tiempo al péndulo con la modificación hecha.
Un tema importante de destacar son los multiples problemas experimentales encontrados,
los cuales se detallan a continuación:
1­ Rotación del péndulo: el péndulo giraba sobre su propio eje, afectado los datos que
adquiría el acelerómetro, por lo que no se puede hablar de amplitudes medidas y arrojar
números confiables. Este problema se presentó y que no se pudo corregir, solo atenuar,
colocando una gran masa sobre el pendulo de modo de aumentar su momento de inercia y
frenar su rotación. Pero al hacerlo tambien se aumentó su periodo, sin embargo se observó
una mejora en las graficas obtenidas.
2­ Movimiento fuera del plano: el péndulo solía entrar a describir órbitas elipticas, en
lugar de oscilar en un mismo plano, esto se logró corregir colocando un tirante
perpendicular al movimiento deseado (punto de sujeción en la figura), pero sólo en parte.
3­ Baja reproducibilidad experimetal: Al repetir las experiencias para tratar de establecer
los errores, ocurría, por ejemplo, que al aplicar una frecuencia de resoncia al péndulo ( es
decir, entre 1,05 y 1,07 Hz) esté no entraba en resonancia. Este fenómeno no pudo ser
entendido. Incluso se controlaron las condición iniciales desde donde se arrojaba el péndulo
y el tiempo para comenzar a tomar medidas esperando la llegada de algún equilibrio, pero
todo fue en vano. La irreproducibilidad del experimento se puede ver en la gráfica 1, que es
basicamente un serrucho, en vez de ser una curva suave.
4­ El graficador es inadecuado para esta experiencia: existe un problema temporal, el
graficador solo grafica en una hoja, y al terminarla se la debe cambiar, esto impide hacer
lecturas continuas a la espera de que se establezca la resonancia. Dificultando el trabajo.
Además exite un problema de escalas, el graficador no permite mejorar la calidad de las
gráficas, es decir, no es posible obtener una escala intermedia que permita la obtención de
una buena gráfica.
5­ No se pueden medir los ángulos de las amplitudes para calibrar el acelerómetro:
resultó muy dificil trabajar en el piso tratando de medir los ángulos contra la pared, teniendo
alto grado de error. Es por esto que en todo el informe se ha hablado de la aceleración
medida en unidades relativas, esto se debe a que el acelerómetro colocado en la punta del
péndulo enviaba una señal eléctrica que no se ha sabido relacionar cuantitativamente con
la aceleración que este experimentaba. Sin embargo para los fines prácticos solo nos
interesa saber que las mayores amplitudes graficadas se corresponden con mayores
aceleraciones del péndulo y por lo tanto con mayores amplitudes de oscilación.
6­ El sistema para variar la longitud está mal diseñado: eje del motor debe ser paralelo
al movimiento del péndulo, como se recomienda en [1], y no perpendicular, para evitar que
se transmitan movimientos indeseados del motor al péndulo, que puedan ser leidos por el
acelerómetro como aceleraciones genuinas originadas por oscilaciones mayores a las
reales.
7­ El acelerómetro estaba mal instalado: se debería pensar en rediseñar este sistema
de adquisición de datos, pues resulta muy sencillo dañarlo y es muy propenso a medir mal
si tenemos en cuenta los movimientos de rotación.
8­ Las graficas obtenidas no fueron simétricas: esto revela un error en la lectura del
acelerómetro que no pudo ser del todo entendida, ya que no son del todo atribuibles al
fenómeno de rotación.

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Conclusión
Basicamente, se encontró de forma bastante cualitativa que la resonancia se producía
cuando la frecuencia de exitación era el doble de la frecuencia natural del péndulo. Que el
batido disminuye en la resonancia y que al aumentar la ganancia, las amplitudes de
oscilación son mayores.
Tablas
Frecuencia natural:
Tiempo medido para 20 períodos: 37.55 seg
Frecuencia calculada en (0.532±0,001) Hz
Relación Tensión aplicada – Frecuencia de la rueda:
Tensión aplicada
al motor (V)
Tiempo (seg) Vueltas contadas Frecuencia (Hz)
10.0 47.43 30 0.633
11.0 42.82 30 0.701
12.0 39.19 30 0.766
13.0 37.29 31 0.831
14.0 33.56 30 0.894
15.0 41.87 40 0.955
16.0 39.13 40 1.022
17.0 36.80 40 1.087
18.0 34.74 40 1.151
19.0 16.37 20 1.222
20.0 15.59 20 1.283
21.0 22.55 30 1.330
22.0 21.50 30 1.395
23.0 20.46 30 1.466
Regresión lineal: F =0,0637⋅V aplicada
Datos Obtenidos:
Tension
(V)
Frecuencia aplicada
(Hz)
Amplitud medida
(cm en el papel
del graficador)
Frecuencia de batido
(Hz)
15.8 1.006 2.2 0.079
16.0 1.019 2.4 0.062

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16.2 1.032 3.0 0.027
16.3 1.038 1.9 0.021
16.4 1.045 10.2 0.004
16.4 1.045 11.1 0.010
16.5 1.051 2.4 0.030
16.5 1.051 3.0 0.022
16.5 1.051 8.5 0.008
16.6 1.057 1.6 0.073
16.6 1.057 2.6 0.017
16.6 1.057 4.7 0.014
16.6 1.057 9.0 0.010
16.7 1.064 8.7 0.007
16.8 1.070 4.9 0.010
17.0 1.083 1.8 0.031
17.2 1.096 1.9 0.031
17.5 1.115 1.8 0.063
19.0 1.210 1.5 0.182
21.0 1.338 1.4 0.342
Referencias
[1] A. B. Pippard FRS, The physics of vibration, Vol. 1, Cambrige University Press. p286
­ Osciladores paramétricos y exitaciones paramétricas resonantes: Modelos y aplicaciones.
Celso L. Ladera y E Aloma, J.A. Espinosa y Adolfo Acosta. Universidad Simón Bolivar,
Caracas, Venezuela.