Geometría de lo irregular - Universidad Politécnica de Madrid
Geometría de lo irregular - Universidad Politécnica de Madrid
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<strong>Geometría</strong> <strong>de</strong> <strong>lo</strong><br />
<strong>irregular</strong><br />
A<strong>de</strong>la Salvador<br />
<strong>Universidad</strong> <strong>Politécnica</strong> <strong>de</strong> <strong>Madrid</strong>
Esquema <strong>de</strong>l curso<br />
Fractales<br />
Sistemas dinámicos discretos<br />
En R<br />
En C:<br />
Conjuntos <strong>de</strong> Juliá y conjunto <strong>de</strong> Man<strong>de</strong>lbrot<br />
Sistemas dinámicos continuos<br />
Sistema <strong>de</strong> Lorenz. Atractores extraños<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Esquema<br />
Introducción. n. Cambio <strong>de</strong> paradigma<br />
¿Dón<strong>de</strong> hay fractales<br />
Fractales autosemejantes<br />
Precisiones sobre la noción n <strong>de</strong> fractal<br />
Caos y fractales<br />
Dimensión n fractal <strong>de</strong> series temporales.<br />
Coeficiente <strong>de</strong> Hurst<br />
Referencias<br />
Fractales en la web<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Introducción<br />
Cambio <strong>de</strong> paradigma<br />
Líneas <strong>de</strong> costa<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Introducción<br />
Cambio <strong>de</strong> paradigma<br />
“El lenguaje <strong>de</strong> la naturaleza<br />
es matemáticas, y sus caracteres<br />
son triángu<strong>lo</strong>s, círcu<strong>lo</strong>s y otras<br />
figuras geométricas”<br />
Galileo, Essays<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Introducción<br />
Cambio <strong>de</strong> paradigma<br />
“Un ser inteligente que en un instante dado<br />
conociera todas las fuerzas que animan la<br />
Naturaleza y las posiciones <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s seres que la<br />
forman, y que fuera <strong>lo</strong> suficientemente inmenso<br />
como para po<strong>de</strong>r analizar dichos datos, podría<br />
con<strong>de</strong>nsar en una única fórmula el movimiento <strong>de</strong><br />
<strong>lo</strong>s objetos más gran<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l universo y <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s<br />
átomos más ligeros: nada sería incierto para dicho<br />
ser; y tanto el futuro como el pasado estarían<br />
presentes antes sus ojos”.<br />
Laplace, Phi<strong>lo</strong>sophical essays on probabilities<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Introducción<br />
Cambio <strong>de</strong> paradigma<br />
“Incluso cuando las leyes naturales<br />
parecen no tener ningún secreto para<br />
nosotros, só<strong>lo</strong> po<strong>de</strong>mos conocer la<br />
situación inicial aproximadamente... Pue<strong>de</strong><br />
ocurrir que... un pequeño error en la<br />
entrada nos produzca un enorme error en<br />
la salida. La predicción resulta imposible”.<br />
Poincaré, Chance<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Introducción<br />
Cambio <strong>de</strong> paradigma<br />
“Las nubes no son esferas, las<br />
montañas no son conos, las líneas <strong>de</strong><br />
costa no son circunferencias, la corteza no<br />
es lisa, y la luz no viaja en línea recta”.<br />
Man<strong>de</strong>lbrot,<br />
The fractal geometry of nature<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Introducción<br />
Líneas <strong>de</strong> costa<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Introducción<br />
Cuando la Matemática tica estudia la realidad, la<br />
simplifica, bien consi<strong>de</strong>rando que <strong>lo</strong>s<br />
procesos son lineales, bien suponiendo que<br />
las formas son suaves y regulares.<br />
Pero el uso <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>nador, que permite la<br />
rápida repetición n <strong>de</strong> procesos, ha permitido<br />
ampliar el campo y estudiar, por ejemp<strong>lo</strong>, <strong>lo</strong>s<br />
sistemas dinámicos no lineales, que<br />
ocasionan fenómenos complejos como el<br />
caos, y investigar las formas <strong>irregular</strong>es que<br />
dan lugar a la “geometría a fractal”.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Introducción<br />
La dinámica no lineal supone hoy un cambio<br />
<strong>de</strong> rumbo en la Ciencia, un nuevo paradigma,<br />
pues incluso ha sido calificada como una<br />
tercera revolución.<br />
Si <strong>lo</strong>s sistemas dinámicos presentan<br />
sensibilidad a las condiciones iniciales se dice<br />
que hay caos.<br />
Caos y fractales están n muy relacionados,<br />
aunque se pue<strong>de</strong>n encontrar fractales sin<br />
caos, y caos sin fractales.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
¿Dón<strong>de</strong> hay fractales
¿Dón<strong>de</strong> hay fractales<br />
¿Qué son <strong>lo</strong>s fractales ¿Dón<strong>de</strong> hay La<br />
geometría, que antes explicaba el mundo que nos<br />
ro<strong>de</strong>a mediante figuras sencillas, rectas,<br />
circunferencias... utiliza ahora objetos más m<br />
complicados. Los fractales no só<strong>lo</strong> s<br />
nos ayudan a<br />
ampliar el mundo <strong>de</strong> la geometría a sino que nos<br />
surten <strong>de</strong> bel<strong>lo</strong>s ejemp<strong>lo</strong>s <strong>de</strong> sucesiones,<br />
funciones o probabilidad <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la matemática<br />
tica<br />
elemental, y aparecen al estudiar iteraciones, el<br />
teorema <strong>de</strong>l punto fijo, sistemas dinámicos e<br />
interesantes problemas topológicos y <strong>de</strong> teoría a <strong>de</strong><br />
la medida <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la matemática tica superior.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
La geometría propia <strong>de</strong> la<br />
naturaleza es la geometría fractal<br />
Fronteras: costas, montañas, la orilla <strong>de</strong> un<br />
río, <strong>lo</strong>s bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> una nube...<br />
Sistemas ramificados: árboles, el sistema<br />
arterial o pulmonar...<br />
Simular imágenes con gran ahorro <strong>de</strong><br />
memoria en el or<strong>de</strong>nador<br />
Predicción en bolsa<br />
Predicción <strong>de</strong> la extinción <strong>de</strong> especies en<br />
Bio<strong>lo</strong>gía<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador<br />
z 5 = 1
Fractales confeccionados con el or<strong>de</strong>nador<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales confeccionados con el or<strong>de</strong>nador<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Una exposición<br />
No hay duda que las espectaculares gráficas<br />
confeccionadas con el or<strong>de</strong>nador han<br />
contribuido a popularizar estos términos. t<br />
El<br />
término fractal evoca algo <strong>de</strong> insólita belleza,<br />
<strong>irregular</strong>, intrincado en que las partes más m<br />
pequeñas son similares al todo, y que se<br />
genera por la repetición n <strong>de</strong> procesos muy<br />
simples. La geometría a fractal es una<br />
herramienta que permite <strong>de</strong>scribir objetos<br />
consi<strong>de</strong>rados como extremadamente<br />
complejos y <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>nados<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
A<strong>de</strong>la Salvador
Aplicaciones <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s fractales<br />
Atractores <strong>de</strong> sistemas dinámico<br />
Superficies que separan dos medios<br />
Sistemas ramificados<br />
Porosidad<br />
Difusión <strong>de</strong> animales, plantas, re<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
drenaje, incendio<br />
Terremotos y volcanes<br />
Estudio <strong>de</strong> las fallas<br />
Series temporales<br />
Bolsa<br />
Extinción <strong>de</strong> especies<br />
Codificación <strong>de</strong> imágenes<br />
Antenas fractales
El estudio <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s fractales no hubiera sido tan<br />
importante como <strong>lo</strong> es en la actualidad si no<br />
existieran tantos mo<strong>de</strong><strong>lo</strong>s en la naturaleza a<br />
<strong>lo</strong>s que se les pue<strong>de</strong> aplicar este tipo <strong>de</strong><br />
geometría.<br />
Encontrar objetos naturales que se pue<strong>de</strong>n<br />
mo<strong>de</strong>lizar mediante un fractal es francamente<br />
fácil, como por ejemp<strong>lo</strong>, la medida <strong>de</strong> costas<br />
con muchos fiordos, <strong>lo</strong>s bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
comunida<strong>de</strong>s vegetales en paisajes no<br />
humanizados, <strong>lo</strong>s sistemas ramificados como el<br />
sistema nervioso, la ramificación n <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s<br />
bronquios en <strong>lo</strong>s alvéo<strong>lo</strong>s pulmonares, la<br />
naturaleza <strong>de</strong> las fracturas o <strong>lo</strong>s sistemas <strong>de</strong><br />
fallas, la porosidad <strong>de</strong> las rocas, la estructura<br />
<strong>de</strong> las galaxias. Muchas fronteras entre dos<br />
medios, o las estructuras en forma <strong>de</strong> árbol<br />
son mo<strong>de</strong><strong>lo</strong>s fractales.
Si se busca en internet<br />
el término t<br />
fractal se<br />
obtienen una enorme cantidad <strong>de</strong> entradas que<br />
nos permiten va<strong>lo</strong>rar algunas <strong>de</strong> sus aplicaciones:<br />
En el mercado <strong>de</strong> va<strong>lo</strong>res o en la extinción n <strong>de</strong><br />
especies naturales se analizan con técnicas t<br />
fractales las series temporales cuya dimensión<br />
fractal proporciona el grado <strong>de</strong> predictibilidad <strong>de</strong>l<br />
fenómeno.<br />
Muchos fractales son<br />
atractores<br />
<strong>de</strong> sistemas<br />
dinámicos.<br />
Otra aplicación n es la generación n <strong>de</strong> imágenes o la<br />
compresión n <strong>de</strong> imágenes usando técnicas t<br />
fractales.<br />
Se encuentra gran cantidad <strong>de</strong> bibliografía a en<br />
"antenas fractales", que permiten minimizar el<br />
tamaño o <strong>de</strong> las antenas, y que incluso nos permite<br />
esperar que próximamente tengamos una en<br />
nuestros móviles. m
Fractales<br />
autosemejantes
Fractales<br />
autosemejantes<br />
Los fractales autosemejantes<br />
van a estar<br />
generados aplicando reiteradamente a un<br />
objeto un conjunto <strong>de</strong> aplicaciones<br />
contractivas (una homotecia <strong>de</strong> razón n menor<br />
que la unidad es un ejemp<strong>lo</strong> <strong>de</strong> aplicación<br />
contractiva).<br />
El fractal viene a ser el producto final <strong>de</strong> una<br />
iteración n infinita <strong>de</strong> un proceso geométrico<br />
muy simple.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Algunos objetos fractales<br />
El conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />
Los dragones <strong>de</strong> Heighway.<br />
La curva <strong>de</strong>l copo <strong>de</strong> nieve o curva <strong>de</strong> Koch.<br />
El triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierpinski.<br />
El tetraedro <strong>de</strong> Sierpinski.<br />
El conjunto <strong>de</strong> Cantor en el plano.<br />
El conjunto <strong>de</strong> Besicovich.<br />
La esponja <strong>de</strong> Menger.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />
El segmento unidad [0, 1] se divi<strong>de</strong> en tres<br />
partes iguales y se elimina la parte central, es<br />
<strong>de</strong>cir, el interva<strong>lo</strong> (1/3, 2/3). Queda F 1<br />
, la<br />
unión n <strong>de</strong> dos interva<strong>lo</strong>s cerrados.<br />
En <strong>lo</strong>s dos segmentos restantes se repite el<br />
proceso, borrando la parte central <strong>de</strong> cada<br />
interva<strong>lo</strong>.<br />
Y así sucesivamente.<br />
En el límite l<br />
se obtiene el objeto que se<br />
<strong>de</strong>nomina "Conjunto <strong>de</strong> Cantor".<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />
Hemos aplicado al segmento dos homotecias <strong>de</strong><br />
centros <strong>lo</strong>s extremos <strong>de</strong>l segmento y razón n 1/3,<br />
volviendo aplicar a la figura obtenida iterativamente<br />
dichas homotecias, obteniéndose, ndose, en el límite l<br />
el<br />
conjunto <strong>de</strong> Cantor.<br />
Se dice que el conjunto <strong>de</strong> Cantor es, pues, el atractor<br />
<strong>de</strong> dos homotecias <strong>de</strong> razón n 1/3, y centros en el<br />
origen y en el extremo unidad.<br />
Se observa que si partimos inicialmente <strong>de</strong>,<br />
únicamente, <strong>lo</strong>s dos puntos: 1/3 y 2/3 y aplicamos<br />
iteradamente las dos homotecias volvemos obtener,<br />
en el límite, l<br />
el conjunto <strong>de</strong> Cantor.
El conjunto <strong>de</strong> Cantor es no vacío o pues <strong>lo</strong>s<br />
extremos <strong>de</strong>l interva<strong>lo</strong> que <strong>lo</strong> generan nunca<br />
se eliminan en ese proceso infinito.<br />
Está formado por unión n infinita <strong>de</strong> conjuntos<br />
cerrados, y está<br />
acotado, luego es un<br />
compacto.<br />
Su <strong>lo</strong>ngitud es nula, pues la <strong>lo</strong>ngitud <strong>de</strong> su<br />
complementario tiene <strong>de</strong> <strong>lo</strong>ngitud uno. Es:<br />
1/3 + 2/3 2 + 4/3 3 +...= (1/3)/(1-2/3) =1.<br />
Tiene el cardinal <strong>de</strong>l continuo.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
La expresión n <strong>de</strong>cimal <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s puntos <strong>de</strong>l<br />
conjunto <strong>de</strong> Cantor es una sucesión n infinita<br />
<strong>de</strong> 0 y 2.<br />
Luego el cardinal <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> Cantor es<br />
no numerable, tiene la potencia <strong>de</strong>l continuo<br />
como el cardinal <strong>de</strong> R.<br />
Tenemos pues un conjunto <strong>de</strong> <strong>lo</strong>ngitud nula y<br />
cuyo cardinal es igual al <strong>de</strong> R.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Un conjunto <strong>de</strong> Cantor en el plano<br />
Se parte <strong>de</strong> un cuadrado <strong>de</strong> lado uno.<br />
Se divi<strong>de</strong> en 16 cuadrados iguales y en el<br />
primer paso se toman cuatro cuadrados, uno<br />
en cada vértice, v<br />
y <strong>de</strong> lado ¼.<br />
Con cada uno <strong>de</strong> estos cuadrados se repite el<br />
proceso, con <strong>lo</strong> que en el paso segundo se<br />
tienen 16 cuadrados <strong>de</strong> lado 1/16 y, así<br />
sucesivamente.
Un conjunto <strong>de</strong> Cantor en el plano<br />
Modificando la razón n <strong>de</strong> homotecia o el<br />
número <strong>de</strong> cuadrados seleccionados se<br />
obtienen otros conjuntos <strong>de</strong> Cantor<br />
generalizados, o modificando la<br />
disposición n se obtiene el conjunto <strong>de</strong><br />
Besicovitch:
Fractales autosemejantes<br />
Conjunto <strong>de</strong> Besicovitch<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierspinky<br />
Se parte <strong>de</strong> un triángu<strong>lo</strong> equilátero en el que<br />
se trazan <strong>lo</strong>s puntos medios <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s lados.<br />
Se forman cuatro triángu<strong>lo</strong>s.<br />
Se elimina el triángu<strong>lo</strong> central.<br />
En cada uno <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s tres nuevos triángu<strong>lo</strong>s se<br />
repite el proceso.<br />
Y así sucesivamente.<br />
A la figura formada por la iteración n infinita se<br />
la <strong>de</strong>nomina triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierpinski.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierspinky<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierspinky<br />
Se parte <strong>de</strong> un triángu<strong>lo</strong> equilátero en el que<br />
se trazan <strong>lo</strong>s puntos medios <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s lados.<br />
Se forman cuatro triángu<strong>lo</strong>s.<br />
Se elimina el triángu<strong>lo</strong> central.<br />
En cada uno <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s tres nuevos triángu<strong>lo</strong>s se<br />
repite el proceso.<br />
Y así sucesivamente.<br />
A la figura formada por la iteración n infinita se<br />
la <strong>de</strong>nomina triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierpinski.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierspinky<br />
El proceso que hemos seguido ha sido<br />
aplicar tres homotecias <strong>de</strong> razón n 1/2 y<br />
centros <strong>lo</strong>s tres vértices v<br />
<strong>de</strong>l triángu<strong>lo</strong> al<br />
triángu<strong>lo</strong> inicial y <strong>de</strong> forma iterativa a la<br />
figura obtenida, <strong>de</strong> don<strong>de</strong> el triángu<strong>lo</strong><br />
<strong>de</strong> Sierpinski es el punto fijo o atractor<br />
<strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> aplicaciones<br />
contractivas formado por las tres<br />
homotecias.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierspinky<br />
En la construcción n <strong>de</strong>l triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierpinski partimos<br />
<strong>de</strong> un objeto plano, <strong>de</strong> dimensión n 2, un triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong><br />
área<br />
A.<br />
Cálcu<strong>lo</strong> <strong>de</strong>l área:<br />
Al aplicar la primera iteración n en área<br />
es (3/4)A, , en la segunda (3/4) 2 A, , luego en el límite l<br />
el<br />
área <strong>de</strong> la figura es cero ¿Es entonces el triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong><br />
Sierpinski un objeto <strong>de</strong> dimensión n dos<br />
Cálcu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> su <strong>lo</strong>ngitud: También n observamos que su<br />
<strong>lo</strong>ngitud tien<strong>de</strong> a ∞.<br />
Esto nos hace suponer que la dimensión n <strong>de</strong>l triángu<strong>lo</strong><br />
<strong>de</strong> Sierpinski no es ni uno ni dos, sino un número n<br />
d tal<br />
que 1< D < 2.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
La curva <strong>de</strong>l copo <strong>de</strong> nieve <strong>de</strong> Koch.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
La curva <strong>de</strong>l copo <strong>de</strong> nieve <strong>de</strong> Koch.<br />
La construcción n comienza con un triángu<strong>lo</strong><br />
equilátero. Cada lado <strong>de</strong> este triángu<strong>lo</strong> <strong>lo</strong><br />
dividimos en tres partes. En la parte central,<br />
y <strong>de</strong> lado esta <strong>lo</strong>ngitud, se dibuja otro<br />
triángu<strong>lo</strong> equilátero borrando el lado que se<br />
superpone con el triángu<strong>lo</strong> anterior. Se<br />
vuelve a repetir este proceso con cada uno<br />
<strong>de</strong> <strong>lo</strong>s segmentos <strong>de</strong> la nueva figura y así<br />
sucesivamente. La curva que se obtiene<br />
cuando repetimos este proceso<br />
in<strong>de</strong>finidamente se <strong>de</strong>nomina curva <strong>de</strong>l copo<br />
<strong>de</strong> nieve o curva <strong>de</strong> Koch y es un fractal.
La curva <strong>de</strong>l copo <strong>de</strong> nieve <strong>de</strong> Koch.<br />
Cálcu<strong>lo</strong> <strong>de</strong>l perímetro:<br />
Se observa que si el<br />
triángu<strong>lo</strong> inicial tiene un perímetro <strong>de</strong><br />
<strong>lo</strong>ngitud 3, el primer polígono obtenido tiene<br />
un perímetro <strong>de</strong> <strong>lo</strong>ngitud 3(4/3), el perímetro<br />
<strong>de</strong>l segundo se obtiene multiplicando otra vez<br />
por 4/3, por <strong>lo</strong> que la <strong>lo</strong>ngitud <strong>de</strong>l perímetro<br />
en la etapa F k<br />
es 3(4/3) k , cantidad que tiene<br />
a infinito cuando k tiene a infinito.<br />
Cálcu<strong>lo</strong> <strong>de</strong>l área:<br />
El área es finita pues está<br />
contenida en el círcu<strong>lo</strong> c<br />
circunscrito al<br />
triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> partida.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Otros fractales autosemejantes
Noción <strong>de</strong> fractal<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Precisiones sobre la noción <strong>de</strong> fractal<br />
El nombre <strong>de</strong> “fractal” se <strong>de</strong>be a B. Man<strong>de</strong>lbrot<br />
en <strong>lo</strong>s años setenta.<br />
Admite <strong>de</strong>finiciones distintas:<br />
Punto fijo <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> aplicaciones<br />
contractivas<br />
Dimensión fraccionaria<br />
Su dimensión topológica es distinta que su<br />
dimensión <strong>de</strong> Hausdorff<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Precisiones sobre la noción <strong>de</strong> fractal<br />
Punto fijo <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong><br />
aplicaciones contractivas<br />
n<br />
U<br />
i=<br />
1<br />
f ( K)<br />
i<br />
=<br />
K<br />
J. E. Hunchinson (1981)<br />
M. F. Barnsley (1985)<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Precisiones sobre la noción <strong>de</strong> fractal
A<strong>de</strong>la Salvador
Objeto cuya dimensión <strong>de</strong><br />
semejanza en distinta <strong>de</strong> su<br />
dimensión <strong>de</strong> Hausdorff<br />
E. Borel y H. Lebesgue<br />
H. Weyl<br />
Hausdorff (1919) y Besicovitch (1920)<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Dimensión n <strong>de</strong> semejanza<br />
Se sabe que un segmento tiene dimensión n 1,<br />
un trozo <strong>de</strong> plano, por ejemp<strong>lo</strong> un cuadrado,<br />
dimensión n 2, un cubo, dimensión n 3.<br />
Si se divi<strong>de</strong> el interva<strong>lo</strong> unidad en n<br />
subinterva<strong>lo</strong>s, , la <strong>lo</strong>ngitud <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong><br />
el<strong>lo</strong>s es 1/n, luego el factor <strong>de</strong> reducción n es r<br />
= n.<br />
Si se divi<strong>de</strong> el cuadrado unidad, por ejemp<strong>lo</strong><br />
en 16 cuadrados, n = 16 = 4 2 , y el factor <strong>de</strong><br />
reducción n es r = 4.<br />
Si se divi<strong>de</strong> un cubo en 8 cubos, por ejemp<strong>lo</strong>,<br />
n = 8 = 2 3 , y el factor A<strong>de</strong>la Salvador <strong>de</strong> reducción n es r = 2.
Dimensión n <strong>de</strong> semejanza<br />
Se observa que las dimensiones<br />
coinci<strong>de</strong>n con <strong>lo</strong>s exponentes: 1, 2 y 3,<br />
respectivamente.<br />
En general, si llamamos D a la<br />
dimensión, n, se tiene:<br />
r D = n. n<br />
Resolviendo esta ecuación, aplicando<br />
<strong>lo</strong>garitmos (en cualquier base):<br />
A<strong>de</strong>la Salvador<br />
D<br />
=<br />
ln<br />
ln<br />
n<br />
r
Precisiones sobre la noción <strong>de</strong> fractal<br />
Dimensión <strong>de</strong> semejanza<br />
D<br />
=<br />
ln<br />
ln<br />
n<br />
r<br />
n = 2; r = 2; D = 1<br />
n = 4; r = 2; D = 2<br />
n = 8; r = 2; D = 3<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />
El interva<strong>lo</strong> [0, 1] tiene dimensión n uno, y <strong>lo</strong> mismo<br />
con cada una <strong>de</strong> las etapas <strong>de</strong> la construcción:<br />
n: F k<br />
. Sin<br />
embargo la <strong>lo</strong>ngitud final, con el paso al límite, l<br />
es<br />
cero. ¿Será entonces su dimensión n igual a 0 Parece<br />
que la dimensión n topológica no es a<strong>de</strong>cuada para<br />
caracterizar a este conjunto. Su dimensión n <strong>de</strong>bería a ser<br />
un va<strong>lo</strong>r entre 0 y 1. Al pasar <strong>de</strong> F k<br />
a F k+1 se<br />
reemplaza cada segmento por dos segmentos cuya<br />
<strong>lo</strong>ngitud se reduce por el factor 3. Po<strong>de</strong>mos<br />
caracterizar el Conjunto <strong>de</strong> Cantor por esos dos<br />
números:<br />
n = número n<br />
<strong>de</strong> copias en que se convierte<br />
una copia = 2; r = factor <strong>de</strong> reducción n = 3.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Noción <strong>de</strong> fractal<br />
Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />
r = 3<br />
n = 2<br />
D = ln2/ln3 < 1<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Un conjunto <strong>de</strong> Cantor en el plano<br />
Este conjunto es no vacío, compacto, no numerable<br />
y <strong>de</strong> área cero, pero su perímetro vale siempre 4.<br />
Es el atractor <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> cuatro homotecias<br />
<strong>de</strong> razón ¼.<br />
Se caracteriza por n = 4 y r = 4. Al tener <strong>lo</strong>ngitud<br />
parece que su dimensión, n, a pesar <strong>de</strong> partir <strong>de</strong><br />
figuras <strong>de</strong> dimensión n 2, <strong>de</strong>bería a ser 1.<br />
¿Qué dimensión n <strong>de</strong> semejanza tiene Observa que<br />
NO es fraccionaria.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Noción <strong>de</strong> fractal<br />
r = 4<br />
n = 4<br />
D = ln4/ln4 = 1<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
La curva <strong>de</strong>l copo <strong>de</strong> nieve <strong>de</strong> Koch.<br />
Se caracteriza por n = 4 y r = 3, pues <strong>de</strong> cada<br />
segmento se obtienen 4 y el factor <strong>de</strong> reducción n es 3.<br />
Según n la construcción, n, cada F k<br />
es <strong>de</strong> dimensión n 1,<br />
pero al ser la <strong>lo</strong>ngitud infinita pue<strong>de</strong> esperarse que<br />
su dimensión n sea mayor que 1.<br />
¿Qué dimensión n <strong>de</strong> semejanza tiene<br />
Incluso se pue<strong>de</strong> comprobar que la <strong>lo</strong>ngitud es<br />
infinita entre dos cualesquiera <strong>de</strong> sus puntos.<br />
Es un ejemp<strong>lo</strong> <strong>de</strong> curva continua que no tiene<br />
tangente (<strong>de</strong>rivada) en ninguno <strong>de</strong> sus puntos.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales autosemejantes<br />
Triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierspinky<br />
Por su construcción n el triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierpinski<br />
es un conjunto compacto <strong>de</strong> perímetro<br />
infinito y área nula.<br />
Queda caracterizado por n = 3, pues cada<br />
triángu<strong>lo</strong> se trasforma en 3 triángu<strong>lo</strong>s, y r = 2<br />
que es el factor <strong>de</strong> reducción lineal, , es <strong>de</strong>cir,<br />
la <strong>lo</strong>ngitud <strong>de</strong> cada lado se reduce a la mitad.<br />
¿Qué dimensión n <strong>de</strong> semejanza tiene<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Noción <strong>de</strong> fractal<br />
Triángu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> Sierspinky<br />
r = 2<br />
n = 3<br />
D = ln3/ln2 > 1<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Tetraedro <strong>de</strong> Sierpinski<br />
Se parte <strong>de</strong> un tetraedro regular el el que se<br />
marcan <strong>lo</strong>s puntos medios <strong>de</strong> las aristas y al<br />
unir<strong>lo</strong>s se forman 4 tetraedros <strong>de</strong> lado mitad.<br />
Se elimina la figura central. En cada uno <strong>de</strong><br />
<strong>lo</strong>s cuatro tetraedros restantes se vuelve a<br />
repetir el proceso sucesivamente.<br />
Se caracteriza por n = 4 y r = 2.<br />
¿Qué dimensión n <strong>de</strong> semejanza tiene Observa<br />
que NO es fraccionaria.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Tetraedro <strong>de</strong> Sierpinski<br />
La forma central eliminada, que es un<br />
octaedro regular, es difícil <strong>de</strong> percibir. En el<br />
laboratorio <strong>de</strong> matemáticas ticas sugerimos<br />
construir cuatro tetraedros iguales y analizar<br />
<strong>lo</strong> que falta para obtener el tetraedro <strong>de</strong> lado<br />
doble <strong>de</strong> partida.<br />
El tetraedro <strong>de</strong> Sierpinski es el punto fijo <strong>de</strong>l<br />
conjunto <strong>de</strong> cuatro homotecias <strong>de</strong> razón n 1/2<br />
y centros en <strong>lo</strong>s cuatro vértices v<br />
<strong>de</strong> un<br />
tetraedro.<br />
Es un ejemp<strong>lo</strong> <strong>de</strong> objeto fractal <strong>de</strong> dimensión<br />
2, no fraccionaria.
Dimensión topológica<br />
<br />
<br />
<br />
Dimensión inductiva pequeña: Se <strong>de</strong>signa ind(S)<br />
Hermann Weyl: Se que el espacio tiene dimensión tres porque las<br />
pare<strong>de</strong>s <strong>de</strong> una prisión son <strong>de</strong> dimensión dos.<br />
<br />
Definición: Se dice que ind(S)≤k si y só<strong>lo</strong> si existe una base <strong>de</strong><br />
abiertos <strong>de</strong> S cuya frontera tiene su dimensión menos o igual a k–1.<br />
Dimensión inductiva gran<strong>de</strong>: Se <strong>de</strong>nota Ind(S)<br />
<br />
<br />
Se dice que L⊂S L separa A y B si y só<strong>lo</strong> si existen abiertos U y V<br />
contenidos en S, cuya intersección es vacía, U⊃A, U<br />
V⊃B V B y L=S\(U<br />
(U∪V).<br />
Definición: Se dice que Ind(S)≤k si y só<strong>lo</strong> si cualquier par <strong>de</strong> conjuntos<br />
cerrados disjuntos <strong>de</strong> S pue<strong>de</strong>n ser separados por un conjunto L con c<br />
Ind(L)≤k–1.<br />
Dimensión <strong>de</strong> recubrimiento: Se <strong>de</strong>nota Cov(S)<br />
<br />
<br />
El or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> una familia A <strong>de</strong> abiertos es menor o igual a n si y só<strong>lo</strong> si<br />
cualquier n+2<br />
<strong>de</strong> esos conjuntos tiene una intersección vacía<br />
Definición: S tiene dimensión <strong>de</strong> recubrimiento menor o igual a n<br />
si y só<strong>lo</strong> si todo recubrimiento abierto finito <strong>de</strong> S tiene un refinamiento<br />
abierto <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n menor o igual a n<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Teoría <strong>de</strong> la medida y <strong>de</strong> la<br />
dimensión<br />
Medida exterior <strong>de</strong> Lebesgue y<br />
medida interior <strong>de</strong> Lebesgue<br />
Dimensión <strong>de</strong> Hausdorff<br />
Familia <strong>de</strong> medidas para cada conjunto:<br />
Hs(F)<br />
Dado un conjunto <strong>de</strong> Borel F, y dados<br />
0
Distancia <strong>de</strong> Hausdorff<br />
D(A, , B)=inf{<br />
=inf{r: : A⊂Nr(B) A<br />
y B⊂Nr(A)} B<br />
S espacio métrico completo. K(S) ) conjunto <strong>de</strong><br />
<strong>lo</strong>s compactos <strong>de</strong> S. {K(S{<br />
K(S), D} es un espacio<br />
métrico completo.<br />
Fractales autosemejantes<br />
M. F. Barnsley en 1985<br />
Sistema <strong>de</strong> funciones iteradas<br />
Teorema <strong>de</strong>l punto fijo <strong>de</strong> un conjunto<br />
<strong>de</strong> aplicaciones contractivas<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Caos y fractales<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sistemas dinámicos continuos:<br />
Atractor <strong>de</strong> Lorentz<br />
Sistemas dinámicos discretos<br />
Ecuación Logística<br />
Método <strong>de</strong> Newton<br />
Conjuntos <strong>de</strong> Juliá y <strong>de</strong> Fatou<br />
Conjunto <strong>de</strong> Man<strong>de</strong>lbrot<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Ecuación Logística<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Ecuación Logística<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Método <strong>de</strong> Newton<br />
p<br />
f ( z) = z − 1; N( z)<br />
= z −<br />
f ( z)<br />
f '( z)<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Conjunto <strong>de</strong> Man<strong>de</strong>lbrot<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Dimensión <strong>de</strong> series temporales<br />
DIMENSIÓN DE GRÁFICAS<br />
DE FUNCIONES. DIMENSIÓN<br />
DE SERIES TEMPORALES<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Dimensión <strong>de</strong> series temporales<br />
Proceso aleatorio o<br />
movimiento browniano<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Hurst y estrategias reproductivas <strong>de</strong> plantas<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Hurst y estrategias reproductivas <strong>de</strong> plantas<br />
po = 0,2; Pi = 0,2<br />
Plantas<br />
350<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
1 68 135 202 269 336 403 470 537 604 671 738 805 872 939<br />
Años<br />
Plantas 1<br />
Plantas 2<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en el aula
Fractales en el aula<br />
Muchos autores opinan que es probable<br />
que caos y fractales, por su belleza y<br />
aplicaciones, <strong>de</strong>ben tener cabida en el<br />
currícu<strong>lo</strong> cu<strong>lo</strong> <strong>de</strong> educación n secundaria<br />
obligatoria, formación n profesional y<br />
bachilleratos.<br />
Existen muchos argumentos a favor <strong>de</strong><br />
utilizar <strong>lo</strong>s fractales, en la clase <strong>de</strong><br />
Matemáticas ticas como recurso<br />
metodológico.
Fractales en el aula<br />
Entre el<strong>lo</strong>s po<strong>de</strong>mos citar <strong>lo</strong>s siguientes:<br />
Nos permite trabajar con geometría<br />
en el aula y <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una perspectiva<br />
mo<strong>de</strong>rna.<br />
Por ejemp<strong>lo</strong>, a partir <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s fractales<br />
autosemejantes se estudian las<br />
semejanzas y por consiguiente <strong>lo</strong>s<br />
movimientos y las homotecias en el<br />
plano.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en el aula<br />
Su estudio resalta la aplicabilidad<br />
<strong>de</strong> las matemáticas<br />
ticas y encuentra<br />
mo<strong>de</strong><strong>lo</strong>s para fenómenos y elementos<br />
naturales que antes era imposible<br />
mo<strong>de</strong>lizar, , <strong>lo</strong> que pone <strong>de</strong> manifiesto la<br />
interdisciplinariedad <strong>de</strong> las<br />
matemáticas, ticas, relacionándola ndola con otras<br />
ciencias como Bio<strong>lo</strong>gía, Geo<strong>lo</strong>gía,<br />
Medicina, Geografía, a, Economía, etc.<br />
<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en el aula<br />
<br />
El análisis <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s fractales<br />
autosemejantes nos<br />
permite<br />
diseñar activida<strong>de</strong>s para <strong>de</strong>sarrollar<br />
en el alumnado procesos <strong>de</strong><br />
inferencia, , <strong>de</strong>scubriendo leyes<br />
generales, a partir <strong>de</strong> la<br />
observación n <strong>de</strong> casos particulares.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en el aula<br />
Se pue<strong>de</strong>n trabajar las sucesiones<br />
obteniendo en cada iteración n la<br />
<strong>lo</strong>ngitud, o el área o el volumen <strong>de</strong> un<br />
fractal autosemejante.<br />
También n se pue<strong>de</strong>n utilizar para<br />
profundizar en el concepto <strong>de</strong> límitel<br />
y en <strong>lo</strong>s procedimientos que facilitan su<br />
cálcu<strong>lo</strong>.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en el aula<br />
Su proceso <strong>de</strong> construcción n favorece<br />
la adquisición n <strong>de</strong> las técnicas t<br />
básicas b<br />
para dibujar con precisión figuras<br />
geométricas, como por ejemp<strong>lo</strong>, un<br />
triángu<strong>lo</strong>, un cuadrado o dividir un<br />
segmento en n partes iguales, etc.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en el aula<br />
Po<strong>de</strong>mos realizar prácticas con<br />
programas informáticos, como por ejemp<strong>lo</strong><br />
Cabri, , que nos permiten profundizar en el<br />
concepto <strong>de</strong> recursividad y en la forma <strong>de</strong><br />
elaborar un programa informático en un<br />
lenguaje <strong>de</strong> programación n estructurado,<br />
dividiendo el objetivo final en subobjetivos,<br />
que son realizados <strong>de</strong> forma in<strong>de</strong>pendiente<br />
por subprogramas, <strong>de</strong> forma que con la<br />
a<strong>de</strong>cuada secuenciación n <strong>de</strong> éstos se obtiene<br />
el programa.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en el aula<br />
Nos permiten diseñar prácticas, con el<br />
programa Fractint, , para introducir, consolidar<br />
o justificar la importancia que tiene el<br />
estudio <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s números complejos en la<br />
elaboración n <strong>de</strong> mo<strong>de</strong><strong>lo</strong>s que simulan<br />
fenómenos reales.<br />
El estudio <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s fractales es a<strong>de</strong>más s un<br />
elemento motivador en el alumnado, <strong>de</strong>bido<br />
a la estética tica implícita en sus construcciones y<br />
a <strong>lo</strong> sugerentes que pue<strong>de</strong>n resultar sus<br />
diseños, a<strong>de</strong>más s <strong>de</strong> la motivación n que todavía<br />
tienen las prácticas con el or<strong>de</strong>nador.
Fractales en el aula<br />
Por último, la revolución n que ha<br />
supuesto en el concepto <strong>de</strong><br />
dimensión<br />
el <strong>de</strong>scubrimiento <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s<br />
fractales es un hecho que nuestros<br />
alumnos y alumnas <strong>de</strong>ben conocer.<br />
<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Referencias<br />
Barnsley, M: Fractals everywhere. Aca<strong>de</strong>mic Press, 1988.<br />
Barral<strong>lo</strong>, J.: <strong>Geometría</strong> fractal, algorítmica y representación. Anaya.<br />
Beardon, A. F.: Symmetries of Julia sets. Bull. London Math. Soc. 22; 576-582. 1990.<br />
Blackledge, J. M.: On the Synthesis and Processing of Fractal Signals and Images. UK. Sc.<br />
Eng. Res. C. 1992.<br />
Devaney, R. L.: Chaos, fractals and dynamics. AddissonWesley. 1990.<br />
Edgar G. A.: Classics on fractals. Addison-Wesley. 1993.<br />
Falconer, K. J.: The geometry of fractals sets. Cambridge University Press, 1985.<br />
Guzmán, M.; Martín, M.; Morán, M.; Reyes, M.: Estructuras fractales y sus aplicaciones.<br />
Labor. 1991.<br />
Hutchinson, J. E.: Fractals and Self Similarity. Indiana Univ. Math. Jour. Vol. 30. nº 5. 713-<br />
747. 1981.<br />
Man<strong>de</strong>lbrot, B.: Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión. Tusquets.<br />
Mattila, P.: Lectures notes on Geometric Measure Theory. Asociación matemática<br />
española, 1986.<br />
Peitgen; Jurgens; Saupe: Fractals for the classroom. Springer-Verlag.Vol. I, 1991; Vol II,<br />
1992.<br />
Peitgen, H. O.; Jurgens; Saupe: Chaos and fractals. Springer-Verlag, 1992.<br />
Peitgen, H. O.; Richter, P. H.: The beauty of fractals. Springer-Verlag, 1986.<br />
Peitgen, H. O.; Richter, P. H.: The science of fractals. Springer-Verlag, 1988.<br />
Stewart, I: ¿Juega Dios a <strong>lo</strong>s dados Edic. Crítica. Drakontos, 1991.
Referencias<br />
SALVADOR A. GARMENDIA L. ¿Dón<strong>de</strong><br />
hay<br />
fractales Suma.<br />
HASTINGS, H. M. & SUGIHARA, G. (1993)<br />
"Fractals, a user's gui<strong>de</strong> for the natural sciences."<br />
Oxford University Press, Oxford.<br />
HUSTINGS, F. (1992) “Bird census news” Vol. 5<br />
nº 2 produced by Sovon on behalf of: International<br />
Bird Census Committee & European Ornitho<strong>lo</strong>gical<br />
Atlas Committee, Netherlands.<br />
SUGIHARA, G. & MAY, R. M. (1990)<br />
“Applications of Fractal in Eco<strong>lo</strong>gy” Trends Ecol.<br />
Evol.,<br />
vol 5, nº n 3, 79-86.<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en la web
Fractales en la web. Imágenes<br />
Imágenes 1<br />
Imágenes 2<br />
Imágenes 3<br />
Imágenes 4<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en la web<br />
Concepto fractal<br />
Los fractales<br />
Historia<br />
Fractales y sistemas dinámicos<br />
A<strong>de</strong>la Salvador
Fractales en la web. Activida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> aula<br />
Activida<strong>de</strong>s con fractales y Logo<br />
Medida <strong>de</strong> una costa<br />
Conjunto <strong>de</strong> Cantor<br />
Solución<br />
Poligonal <strong>de</strong> Koch<br />
Solución<br />
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Fractales en la web<br />
Primera i<strong>de</strong>a sobre dimensión<br />
Dimensión<br />
Concepto <strong>de</strong> dimensión<br />
Dimensión fractal<br />
Dimensión <strong>de</strong> la curva <strong>de</strong> Koch<br />
Dimensión topológica y fractal. Curva<br />
<strong>de</strong> Peano<br />
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Fractales en la web: Aplicaciones<br />
Aplicación en la Ciencia <strong>de</strong> <strong>lo</strong>s materiales<br />
El espacio – tiempo fractal<br />
Música fractal el sonido <strong>de</strong>l caos<br />
Porosidad <strong>de</strong> las rocas<br />
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