Una DinÃ¡mica Regulatoria Discreta

Dinámica Regulatoria 

Una Dinámica Regulatoria Discreta 

Edgardo Ugalde 

Instituto de Física, UASLP 

Coloquio del Instituto de Matemáticas 

Morelia, 12 de Marzo del 2008 


Dinámica Regulatoria


Contenido 

1 ¿Qué es la regulación 

2 ¿Cómo se estudia 

3 ¿Qué se sabe 

4 ¿Cómo la estudiamos nosotros 

5 ¿Qué hemos encontrado 

6 ¿Qué sigue 




¿Qué es la regulación 

Predador–Presa 

P 

C 

Población 

Tiempo 




¿Qué es la regulación 

Regulación Genética 




¿Cómo se estudia 

Redes Lógicas o Booleanas 

P 

X t+1 

P 

= ¬XC 

t 

X t+1 

C 

= X P t 

C 

t XP t XC 

t 

0 1 1 

1 0 1 

2 0 0 

3 1 0 

4 1 1 




¿Cómo se estudia 

Ecuaciones Diferenciales Acopladas 

P 

C 

dx P 

dt 

dx C 

dt 

! 

= −x P + κ P,C 1 − xm C 

x 

C m + θm C 

= −x C + κ C,P 

xP 

m 

x 

P m + θm P 




¿Qué se sabe 

Programa de Thomas 

Teorema (Gouzé) 

Consideremos el sistema 

dx 

dt = f (x), x ∈ D ⊂ Rn . 

Supongamos que el signo del Jacobiano no cambia en D. Si todos 

los circuito del grafo de interacción son no positivos, y si hay al 

menos un término no nulo en la expansión del determinante del 

signo del Jacobiano, entonces f es inyectiva en D, y por lo tanto 

hay a lo más un punto de equilibrio. 





Teorema (Gouzé) 

Consideremos el sistema 

dx 

dt = f (x), x ∈ D ⊂ Rn . 

Supongamos que el signo del Jacobiano no cambia en D. Si todos 

los semicircuito de longitud 2 p n del grafo de interacción son 

no negativos. Entonces no hay trayectorias periódicas atractivias. 

Además, si el grafo de interacciones es fuertemente conexo, 

entonces casi toda trayetoria converge a un punto de equilibrio o 

diverge. 





Las redes Booleanas de Kauffman 

F : {0, 1} n → {0, 1} n , F(x) i = F i (x i1 , x i2 , . . . , x iK ) 

i 

1 

i 

2 

i 

3 

i 

k 

i 





Resultados Empíricos 

ρ = P 

(F ) 

i (a) ≠ F i (b) : a, b ∈ {0, 1} K 

⎧ 

⎨ O(1) si ρ < 1/K, 

E(#ciclos) → O( √ N) si ρ = 1/K, 

⎩ 

O(N) si ρ > 1/K. 




¿Cómo la estudiamos nosotros 

Redes Regulatorias Discretas 

F : [0, 1] n → [0, 1] n 

F(x) i = ax i + (1 − a)D i (x i1 , x i2 , . . . , x id (i)) 

i 1 

i 2 

i 3 

i k 

i 

D i (x i1 , x i2 , . . . , x id (i)) = 1 

d(i) 

∑ 

H(σ i,ij (x ij − T i,ij )) 

d(i) 

j=1 





D i : [0, 1] n → {e i,1 , e i,2 , . . . , e i,l(i) } ⊂ [0, 1] n 

F 

T 

F,S 

S 

S 

T 

S,M 

F 

M 

T 

T 

T 

M,M M,F M,S 

M 





Dinámica Simbólica 

F (x) = ax + (1 − a)H(T − x) 

0 1 





Teorema (Coutinho) 

Consideremos la contracción por pedazos 

F (x) = ax + (1 − a)H(T − x), x ∈ [0, 1]. 

Sea Λ = ∩ ∞ t=0 F −t ([0, 1]). Entonces existe ν = ν(a, T ), y una 

transformación contínua φ : Λ → [0, 1] tal que 

φ ◦ F (x) = φ(x) + ν ( mod 1), ∀x ∈ Λ. 




¿Qué hemos encontrado 

Complejidad Simbólica 

F 

TF,S 

S 

Se define una codificación: 

x → (I 0 , I 1 , . . . , ) ∈ A N F t (x) ∈ I t . 

TM,M TM,F TM,S 

M 

TS,M 

La complejidad es: 

C(τ) := #{(I 0 , . . . , I τ ) : (I t ) ∞ t=0 admisible } 





Teorema (U. Lima) 

Consideremos la contracción por pedazos del tipo 

F : [0, 1] n → [0, 1] n 

F(x) i = ax i + (1 − a)D i (x i1 , x i2 , . . . , x id (i)). 

Si los dominios de continuidad de las funciones D i son rectángulos, 

entonces existe a 0 > 0 tal que para todo 0 a < a 0 tenemos 

C(τ) 1 + (P − 1)(1 + (P − 1) n τ n ), ∀τ ∈ N. 

Aquí P=número de dominios de continuidad de F . 





Convergencia a órbitas periódicas 





Teorema (U. Lima) 

Consideremos la contracción por pedazos del tipo 

F : [0, 1] n → [0, 1] n 

F(x) i = ax i + (1 − a)D i (x i1 , x i2 , . . . , x id (i)). 

Si los dominios de continuidad de las funciones D i son rectángulos, 

entonces para cada a 0 la probabilidad conjunta de escoger D i y 

condiciones iniciales x ∈ [0, 1] n tales que la órbita {F t (x)} 

converge a una órbita periódica es 1, es decir, 

P(dist({F t (x)}, Per(F )) → 0) = 1. 




¿Qué sigue 

Trabajos en Curso 

Más dinámica simbólica para redes pequeñas. 

Cotas inferiores para la complejidad. 

Ingeniería: subredes y sistemas abiertos. 




¿Qué sigue 

Gracias

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