Ejercicios del Tema 1. Estructuras algebraicas. - QueGrande

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Álgebra, curso 2007–2008
Ejercicios del Tema 1. Estructuras algebraicas.
1.- En el conjunto N de los números naturales se definen las operaciones siguientes:
i) a ∗ b = a 2 b
ii) a ∗ b = (a + b)/2
iii) a ∗ b = 2ab
iv) a ∗ b = (a + b)/(1 + ab)
v) a ∗ b = sup{a, b}
vi) a ∗ b = inf{a, b}
Estudia si son operaciones internas en N. En esos casos, analiza sus propiedades.
2.- En el conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9} se define la operación a∗b =”la cifra de las unidades en el producto
a · b”. Halla la tabla de la operación ∗ y estudia sus propiedades.
3.- En el conjunto Q de los números racionales, para a y b fijos, se define la operación
x ∗ y = a(x + y) + b para x, y ∈ Q.
Calcula los valores de a y b para que ∗ sea asociativa, conmutativa y tenga elemento neutro.
4.- En el conjunto N se definen las operaciones
a ∗ b = a + 2b
a#b = 2ab
Estudia si la opeación # es distributiva respecto a ∗.
5.- En el conjunto Q de los números racionales se definen las operaciones
a ∗ b = (a + b)/2 y a#b = ab/3.
Demuestra que la operación # es distributiva respecto a ∗.
6.- En el conjunto R − {1} se define la operación siguiente:
a ∗ b = a + b − a · b
(siendo + y · la suma y producto ordinario en R).
conmutativo.
Demuestra que (R − {1}, ∗) es un grupo
7.- Demuestra que (Z, ∗) es un grupo conmutativo, siendo x ∗ y = x + y + 1.
8.- Sea R ∗ el conjunto de los números reales distintos de 0. Demuestra que R ∗ × R es un grupo con la
operación siguiente: (x, y)#(x ′ , y ′ ) = (xx ′ , y ′ /x + x ′ y).
9.- Demuestra que si en un grupo G todo elemento es inverso de sí mismo (equivalentemente, todo
elemento distinto del neutro tiene orden 2), entonces G es conmutativo.
10.- Sean a y b elementos de un grupo G tales que bab = a y aba = b. Demuestra que a 4 = b 4 = e
(neutro de G).
11.- En el conjunto Q de los números racionales se definen las siguientes operaciones: para a, b ∈ Q,
a ∗ b = a + b − k, siendo k ∈ Q un valor fijo y a#b = a + b − ab.
Estudia la estructura (Q, ∗, #) según los valores de k.
12.- Sea (G, +) un grupo conmutativo. Consideremos la operación a ∗ b = b. ¿Es (G, +, ∗) un anillo
13.- Sea (A, +, ·) un anillo con tablas dadas por

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+ s t x y
s y x s t
t x y t s
x s t x y
y t s y x
· s t x y
s y y x x
t y y x x
x x x x x
y x x x x
a) ¿Cuál es el cero de este anillo
b) ¿Cuál es el opuesto de cada elemento
c) ¿Cuánto vale s · (t + x · y)
d) ¿Es A un anillo conmutativo ¿Es A un anillo unitario ¿Es A un dominio
14.- Sabiendo que (A, +, ·) es un anillo, completa las tablas dadas por:
+ s t x y
s s t x y
t t s y x
x x y s t
y y x t s
· s t x y
s s s s s
t s t
x s t y
y s s
a) ¿Es conmutativo este anillo
b) ¿Tiene elemento neutro la segunda operación
15.- Consideremos (R + , ·, ∗) siendo · el producto usual en R y a ∗ b = a log2b , ∀ a, b ∈ R. Prueba que
(R, ·, ∗) es un anillo conmutativo unitario. ¿Es un dominio de integridad ¿Es un cuerpo
16.- Sea (A, +, ·) un anillo donde a · a = a para todo a ∈ A. Demuestra que:
a) a + a = 0, para todo a ∈ A,
b) A es un anillo conmutativo,
c) si A es unitario y tiene más de 2 elementos, entonces A no es un dominio.
17.- Sea (A, +, ·) un dominio entero. Prueba que si a · a = 1 entonces a = 1 ó a = −1. ¿Se verifica esto
en un anillo con divisores de cero
18.- Consideramos las funciones f i : R − {0, 1} → R definidas por:
f 1 (x) = x; f 2 (x) = 1/x; f 3 (x) = 1 − x;
f 4 (x) = 1/(1 − x); f 5 (x) = (x − 1)/x; f 6 (x) = x/(x − 1).
Demuestra que el conjunto A = {f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 } con la operación composición, es un grupo no
conmutativo (construye la tabla).
19.- Sea f : R − {0} → (0, ∞) la aplicación definida por f(x) = |x|. Demuestra que f es un morfismo
de grupos con la operación producto en ambos conjuntos. Halla Ker f.
20.- Sea G un grupo y f : G → G definida por f(x) = x −1 . Demuestra que f es un isomorfismo si, y
sólo si, G es conmutativo.
21.- En el conjunto A = R + × R + se define la operación (x, y) ∗ (x ′ , y ′ ) = (xx ′ , yy ′ ). Demuestra que
(A, ∗) es un grupo y que la aplicación f : A → R definida por f(x, y) = lg(x) + lg(y) es un morfismo
de grupos de (A, ∗) a (R, +). Halla Ker f.
22.- Sean A el anillo producto Z 2 × Z 3 × Z 5 . Prueba que la aplicación f : Z 30 → A definida para cada
x ∈ Z 30 por f(x) = (x 1 , x 2 , x 3 ), donde x 1 ≡ x mod 2, x 2 ≡ x mod 3, x 3 ≡ x mod 5, es un isomorfismo.