Download now

Quaternion กับการหมุน
1. นิยามของ Quaternion
นิยาม Quaternion สามารถนิยามได้ 3 แบบ คือ
แบบที่ (i) Quaternion คือ vector หนึ่งที่มี 4 องค์ประกอบ หรือ
p p
p iˆ
p ˆj
0 1 2
p kˆ
3
แบบที่ (ii) Qoaternion คือ scalar บวกด้วย vector ที่มี 3 องค์ประกอบ หรือ
( p 0
p)
ˆ
p โดยที่ p p1i
p2
j p3k
แบบที่ (iii) Quaternion คือ complex number ที่มี “imaginary’’ อยู่ 3 ส่วน
โดยที่
p p0 p1i
p2
j p3k
ˆ
ˆ
ดังนั้น ถ้าเรามี Quaternion 3 ปริมาณ คือ p
, q
และ r
สามารถเขียนได้เป็น
2. การกระท าของ Quaternion
2.1 การบวก/ลบ Quaternion
ถ้าเรามี Quaternion 2 ปริมาณ คือ
จะได้
ตัวอย่าง ถ้า
p p0 p1i
p2
j p3k
และ
p q p q ) ( p q ) i ( p q ) j ( p q ) k
ตัวอย่าง ถ้า
(
0 0 1 1 2 2 3
3
p 1
2i
3 j 4k
และ
q 2 i 5 j 2k
จะได้
p q ( 1
2) (2 1)
i (3 5) j (4 2) k 3 i 8 j 2k
p 0.6
2i
4 j 3k
และ
q 0.2
3i
5 j 7k
q q0 q1i
q2
j q3k
จะได้
p q ( 0.6 0.2) (2 3) i (4 5) j ( 3
7) k 0.8 5i
9 j 4k
p q ( 0.6 0.2) (2 3) i (4 5) j ( 3
7) k 0.4 i j 10k
โดยมีคุณสมบัติส าหรับการบวก/ลบ คือ

p
q q
p
( p
q)
r p
( q
r )
Commutativ e
Associative
2.2 การคูณ Quaternion
ถ้าเรามี Quaternion 2 ปริมาณ คือ
p p1i
p2
j p3k
p q ( p q
( p q
0
2
( p q
( p q
0
0
2
p q
0
0
0
0
p q
0
0
0
0
2
0
0
1
1
( p q
1
และ
p q j p q k p q
2
2
1
1
1
p q
3
1
1
1
p p0 p1i
p2
j p3k
q q0 q1i
q2
j q3k
0
2
2
2
0
2
2
p q p q
2
p q
p q
0
2
2
2
2
2
p q ) ( p q
3
p q ) j ( p q
3
p q ) p
3
( q i q
หรือ
( p2q3
p3q2)
i ( p3q1
p1q3
) j ( p1q2
p2q1
) k
[ p0q0
p q]
[ p0q
q0
p p q]
p q p
p q q p p
0
0
2
3
1
3
3
3
3
2
3
0
0
1
3
0
1
0
1
0
1
3
0
1
3
2
1
p q
1
3
0
0
1
p q
2
หรือ
p q i p q k p q j p q i p q
p p 0
pเมื่อ
q q 0
q เมื่อ q i q j q k
p q i p q j p q k p q i p q p q k p q j
1
1
1
j q k)
q
3
2
1
3
3
p q
3
2
3
p q
0
1
1
2
p q ) k
0
2
3
1
2
2
( p i p
1
3
3
3
1
q
1 2
3
p q i p q j p q k)
( p q i p q ii p q ij p q ik )
j p q ji p q jj p q jk ) ( p q k p q ki
p q kj
p q kk)
1
2
3
p q ) i
โดยที่ เป็น
0 0
q scalar และ เป็น 0
0
q vector
ตัวอย่าง ถ้า
p 1
2i
3 j 4k
3
23i
11j
19k
และ
q 2 i 5 j 2k
จะได้
2 2 15
8 i 5 j 2k
4i
6 j 8k
26i
13k
3
2
3
j p k)
p q (1 2) (2
( 1)
3
5 4
( 2))
( i
5 j 2k)
2(2i
3 j 4k)
(3
( 2)
4
5) i (4
( 1)
2
( 2))
j (2
5 3
( 1))
k
โดยมีคุณสมบัติส าหรับการคูณ คือ
( pq)
r p(
qr )
แต่
pq
q p
Associative
Non - commutative
2.3 Quaternion บริสุทธิ์
Quaternion บริสุทธิ์ คือ Quaternion ที่ปริมาณ scalar เป็นศูนย์
p
1 2 3
0 p i p j p k
3
3
จะได้

ดังนั้น ถ้าพิจารณาการคูณ Quaternion จะพบว่า pq [ 0 p q]
[0
0 p q]
p q p q
และจะได้
p p p p p p p p p
2.4 ขนาดของ Quaternion (Magnitude/Norm/Modulus ของ Quaternion)
2
ถ้า Quaternion คือ
p p0 p1i
p2
j p3k
ดังนั้น Magnitude/Norm/Modulus ของ
2 2 2 2
Quaternion จะมีเป็น p p p p
0 1 2
p3
2.5 Quaternion หนึ่งหน่วย (Unit Quaternion)
Quaternion หนึ่งหน่วย คือ Quaternion ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย
pˆ
1;
p
p
2 2 2 2
0
p1
p2
p3
เราสามารถท าการ normalise ปริมาณ Quaternion ใดๆ ให้มีขนาดหนึ่งหน่วยได้โดย
qˆ
2.6 Quaternion Conjugate
q
q
1
p
p
ถ้า Quaternion คือ
p p0 p1i
p2
j p3k
0
p1i
p2
j p3k
p0
( p1i
p2
j p3k
)
ดังนั้น Quaternion Conjugate คือ
พิจารณาผลคูณระหว่าง p และ
p
p p
p
2
0
( p i p
p
p
1
2
0
2
0
p
2
( p i p
2
1
( p i p
p
1
2
1
2
2
2
j p k)
( (
p i p
p
3
2
j p k)
( p i p
2
3
3
3
1
j p k)
( p i p
p
1
1
2
2
j p k))
2
j p k)
3
3
j p k)
3
p ( p i
0
1
p j
2
p k)
3
p ( (
p i
0
1
p j
2
p k))
3
หรือ
p p p คุณสมบัติอื่นๆ ที่น่าสนใจ ได้แก่
p p
p p และ
(
p q)
q p
2.7 Inverse Quaternion
ถ้า Quaternion คือ
1
p p0 p1i
p2
j p3k
1
สอดคล้องกับคุณสมบัติ p p p p 1
ต่อมาคูณทั้งหมดด้วย
ดังนั้น Inverse Quaternion คือ
p จะได้
p
p p
1
p
1
p
ซึ่ง
1
p
p
p

1
นั่นคือ p ในกรณี Quaternion หนึ่งหน่วยซึ่ง p 1 ดังนั้น
2
p
p
p
p
p
2
1
p p
ตัวอย่าง ถ้า
1 1
q 1
i j
3 3
1
k
3
จงหา
1
q
2
เมื่อเราทราบ q ท าให้หาค่า conjugate q 1
i j k
2 1 2 1 2 1 2 1 1 1
q (1) ( ) ( ) ( ) 1
2 ได้ตามล าดับ
3 3 3 3 3 3
1
3
1
3
1
3
และขนาด
1
จากสูตร q ดังนั้น จะได้
2
q
q
1
q
1
1
2
1
i
3
1
3
j
1 1
k
3 2
1
i
12
1
12
j
1
k
12
3. Quaternion กับการหมุนใน 3 มิติ
เราสามารถประยุกต์ใช้ Quaternion กับการหมุนใน 3 มิติ ซึ่งแยกแต่ละกรณีดังต่อไปนี้ พิจารณาการ
หมุนเวคเตอร์ u รอบเวคเตอร์ vˆ ซึ่งตั้งฉากกัน จะได้เวคเตอร์
0
vˆ
u
ดังรูป และให้ q เป็น Quaternion
หนึ่งหน่วย q q vˆ
โดยที่ v q iˆ
q ˆj
q kˆ
และให้ p เป็น pure quaternion p 0 u
ˆ
1 2
3
ซึ่งเราสามารถหารูปแบบของ q ได้ดังต่อไปนี้ พิจารณาผลคูณ
p
q p ( q vˆ)(0
u)
vˆ
u
q0u
0
q p โดยใช้สูตรการคูณ Quaternion
vˆ
u

แต่เนื่องจากเวคเตอร์ vˆ และ u ตั้งฉากกัน ดังนั้น vˆ
u
0ท าให้ได้ q p q u vˆ
0
u
และยิ่งไปกว่า
นั้นเนื่องจากเวคเตอร์ vˆ เป็น unit vector ดังนั้น ขนาดของ vˆ u
เท่ากับ u ซึ่งหมายความว่า เวคเตอร์ u
และเวคเตอร์ vˆ u
มีขนาดความยาวเท่ากัน ดังนั้น ถ้าต้องการหมุนเวคเตอร์ u รอบเวคเตอร์ vˆ แล้ว
สามารถท าได้โดยแทน q
0
ด้วย cos
และแทน ด้วย sin
ดังนั้น จะได้
q p cosu
sin
(ˆ v u)
และ q cos sin
(ˆ v)
แต่พบว่า
p
q p ˆ v u
q u vˆ
0
u
นี้มีปัญหา 2 ประการ คือ
1. การหมุนบางลักษณะได้ค่า Quaternion p ที่ไม่ใช่ค่า pure quaternion ซึ่งไม่สามารถแปลง p
ให้เป็นจุด p
(x ,
y ,
z)
2. มุมการหมุนที่ก าหนดให้กับมุมที่หมุนไปจริงต่างกัน
ดังนั้น จึงมีการแก้ไขปัญหาดังกล่าวโดยการคูณ
หลังการหมุนใหม่เป็นดังนี้
1
q p ด้วย q จึงท าให้ได้สูตรค านวณหาต าแหน่งของจุด
1
p
q pq
(1 cos
)(ˆ v u)ˆ
v cosu
sin
(ˆ v u)
ในกรณีหมุนทวนเข็มนาฬิกา
1
และ p
q q p (1 cos
)(ˆ v u)ˆ
v cosu
sin
(ˆ v u)
ในกรณีหมุนตามเข็มนาฬิกา
3.1 การหมุนรอบแกนมาตราฐาน
ตัวอย่าง
พิจารณากรณีหมุนจุด P(2, 0, 0) รอบแกน z โดยมีจุดก าเนิด (0, 0, 0) เป็นจุดหมุน ดังรูป
ขั้นตอนที่ 1 แปลงจุด P(2, 0, 0) ให้เป็น pure quaternion พบว่า
p 0 u 0 2ˆ i 0 ˆj
0kˆ
2iˆ
ดังนั้น จะได้ u 2iˆ

ขั้นตอนที่ 2 พิจารณาแกนหมุน โดยในที่นี้แกนหมุนคือ แกน z ดังนั้น จากรูปพบว่า vˆ kˆ
และ
Unit quaternion ซึ่งก็คือ
q iˆ
q ˆj
q kˆ
vˆ 1 2
3
q q
q iˆ
q ˆj
0 1 2
q kˆ
เป็น Unit vector ดังนั้น q q v
ขั้นตอนที่ 3 แทนค่า u 2iˆ
p
q pq
1
, v kˆ
3
2 2 2 2
โดยที่ q q q 1
0
ˆ และ 45 จะได้
ˆ
q และ
0 1 2 3
ˆ ˆ
(1 cos45 )( k 2ˆ) i k cos45 (2ˆ) i sin 45 ( kˆ
2ˆ) i
Dot product
Cross product
ˆ iˆ
ˆj
ˆj
kˆ
kˆ
1
i และ i j j k k i
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
p
q pq
0 2
2
iˆ
2
2
2
2
ˆj
ซึ่งแปลงเป็นจุดได้ดังนี้ P ( 2, 2,0)
ตัวอย่าง
พิจารณากรณีหมุนจุด P(0, 1, 1) รอบแกน y ในทิศทวนเข็มนาฬิกา ดังรูป จงหาจุด P
ขั้นตอนที่ 1 แปลงจุด P(0, 1, 1) ให้เป็น pure quaternion พบว่า
p 0 u 0 0ˆ i ˆj
kˆ
ˆj
kˆ
ดังนั้น จะได้ u ˆj
kˆ
ขั้นตอนที่ 2 พิจารณาแกนหมุน โดยในที่นี้แกนหมุนคือ แกน y ดังนั้น จากรูปพบว่า vˆ ˆj
ขั้นตอนที่ 3 แทนค่า u
, vˆและ 90 จะได้
1
p q p q
ˆj
ˆj
k ˆ
j ˆ
(1 cos90 )( ( ˆ) cos90 ( j kˆ)
sin90 ( ˆj
( ˆj
kˆ))
ˆj
( ˆj
kˆ)
ˆj
ˆj
( ˆj
kˆ)
( ˆj
ˆ) j ˆj
( ˆj
kˆ)
ˆj
ˆj
ˆj
ˆj
kˆ
0 ˆj
0 iˆ
iˆ
ˆj

ซึ่งสามารถแปลงได้เป็น P (1,1,0) ดังแสดงในรูปข้างต้น
ตัวอย่าง
พิจารณาลูกบาศก์ต่อไปนี้
ซึ่งมีจุดมุมยอดดังนี้
กรณีหมุนรอบแกน x ดังรูป
วิธีท า
จุด P 0 (0, 0, 0) หมุนรอบแกน ไป 90 องศา
p 0 u 0 0ˆ i 0 ˆj
0kˆ
0
vˆ iˆ
ดังนั้น จะได้ u 0
1
p
q p q (1 cos90 )(ˆ v u) vˆ
cos90 u sin90 ( vˆ
u)
(1 cos90 )(ˆ i 0)ˆ i cos90 (0) sin90 (ˆ i 0)
0ˆ i 0 ˆj
0kˆ
P 0
(0,0,0)

จุด P 1 (0, 0, 1)
p 0 u 0 0ˆ i 0 ˆj
kˆ
kˆ
vˆ iˆ
ดังนั้น จะได้ u kˆ
1
p
q p q (1 cos90 )(ˆ v u) vˆ
cos90 u sin90 ( vˆ
u)
(1 cos90 )(ˆ i kˆ)ˆ
i cos90 ( kˆ)
sin90 (ˆ i kˆ)
0ˆ i ˆj
0kˆ
P 1
(0,-1,0)
จุด P 2 (0, 0, 0)
p 0 u 0 0ˆ i ˆj
0kˆ
vˆ iˆ
ˆj
ดังนั้น จะได้
u j
1
p
q p q (1 cos90 )(ˆ v u) vˆ
cos90 u sin90 ( vˆ
u)
(1 cos90 )(ˆ i ˆ)ˆ
j i cos90 ( ˆ) j sin90 (ˆ i ˆ) j
0ˆ i 0 ˆj
kˆ
P 2
(0,0,1)
จุด P 3 (0, 0, 0)
p 0 u 0 0ˆ i ˆj
kˆ
ˆj
kˆ
vˆ iˆ
ดังนั้น จะได้ u ˆj
kˆ
1
p
q p q (1 cos90 )(ˆ v u) vˆ
cos90 u sin90 ( vˆ
u)
(1 cos90 )(ˆ i ( ˆj
kˆ))ˆ
i cos90 ( ˆ
j kˆ)
sin90 (ˆ i ( ˆj
kˆ))
0ˆ i ˆj
kˆ
P 3
(0,-1,1)
จุด P 4 (1, 0, 0)
p 0 u 0 iˆ
0 ˆj
0kˆ
iˆ
vˆ iˆ
ดังนั้น จะได้ u iˆ
1
p
q p q (1 cos90 )(ˆ v u) vˆ
cos90 u sin90 ( vˆ
u)
(1 cos90 )(ˆ i iˆ)ˆ
i cos90 (ˆ) i sin90 (ˆ i (ˆ)) i
iˆ
0 ˆj
0kˆ
ˆ

P 4
(1,0,0)
จุด P 5 (1, 0, 1)
p 0 u 0 iˆ
0 ˆj
kˆ
iˆ
kˆ
vˆ iˆ
ดังนั้น จะได้ u iˆ kˆ
1
p
q p q (1 cos90 )(ˆ v u) vˆ
cos90 u sin90 ( vˆ
u)
(1 cos90 )(ˆ i (ˆ i kˆ))ˆ
i cos90 (ˆ i kˆ)
sin90 (ˆ i (ˆ i kˆ))
iˆ
ˆj
0kˆ
P 5
(1,-1,0)
จุด P 6 (1, 1, 0)
p 0 u 0 iˆ
ˆj
0kˆ
iˆ
ˆj
vˆ iˆ
ดังนั้น จะได้ u iˆ ˆj
1
p
q p q (1 cos90 )(ˆ v u) vˆ
cos90 u sin90 ( vˆ
u)
(1 cos90 )(ˆ i (ˆ i ˆ))ˆ
j i cos90 (ˆ i ˆ) j sin90 (ˆ i (ˆ i
iˆ
0 ˆj
kˆ
ˆ)) j
P 6
(1,0,1)
จุด P 7 (1, 1, 1)
p 0 u 0 iˆ
ˆj
kˆ
vˆ iˆ
ดังนั้น จะได้ u iˆ
ˆj
kˆ
1
p
q p q (1 cos90 )(ˆ v u) vˆ
cos90 u sin90 ( vˆ
u)
(1 cos90 )(ˆ i (ˆ i ˆj
kˆ))ˆ
i cos90 (ˆ i ˆ
j kˆ)
sin90 (ˆ i (ˆ i
iˆ
ˆj
kˆ
P 4
(1,-1,1)
ส าหรับอีก 2 กรณี คือ หมุนรอบแกน y และ z นั้นก็สามารถกระท าได้ด้วยวิธีการเดียวกัน
ˆj
kˆ))
หมุนรอบแกน y

หมุนรอบแกน z
3.2 การหมุนรอบแกนหมุนใดๆ
ตัวอย่าง
พิจารณากรณีหมุนจุด P(2, 0, 0) รอบแกน
จงหาจุด P
vˆ
1
iˆ
2
1
kˆ
2
ไป 90 ในทิศทวนเข็มนาฬิกา ดังรูป
ขั้นตอนที่ 1 แปลงจุด P(2, 0, 0) ให้เป็น pure quaternion พบว่า
p 0 u 0 2ˆ i 0 ˆj
0kˆ
2iˆ
ดังนั้น จะได้ u 2iˆ
ขั้นตอนที่ 2 พิจารณาแกนหมุน โดยในที่นี้แกนหมุนคือ แกน vˆ
iˆ
kˆ
ขั้นตอนที่ 3 แทนค่า u
, vˆและ 90 จะได้
1
2
1
2

1
1 1
p
q p q (1 cos90 )(( iˆ
kˆ)
(2ˆ)( i
2 2
1 1 1 1 1
( iˆ
kˆ)
2ˆ( i iˆ
kˆ)
( iˆ
2 2 2 2 2
2 1 1 2
( iˆ
kˆ)
ˆj
2 2 2 2
iˆ
2 ˆj
kˆ
ซึ่งจะได้ P (1, 2, 1)
1
iˆ
1
kˆ))
cos90 (2ˆ) i sin90 ((
2 2
1
kˆ)
2ˆ i
2
1
iˆ
2
1
kˆ)
2ˆ) i
2
3.3 การหมุนรอบแกนที่ขนานกับแกนมาตรฐาน
เป็นการหมุนร่วมกับการแปลงชนิดอื่นๆ เช่น หมุนลูกบาศก์รอบแกนหมุนที่ขนานกับแกน y ดังรูป
วิธีท า
ขั้นตอนที่ 1 เลื่อนลูกบาศก์จนแกนหมุนมาทาบลงบนแกน y (เพราะแกนหมุนขนานกับแกน
y)
ขั้นตอนที่ 2 หมุนลูกบาศก์ 90 องศา ในทิศทวนเข็มนาฬิกา รอบแกน y โดยใช้สูตร
1
p
q pq
(1 cos90 )(ˆ v u)ˆ
v cos90 u sin90 (ˆ v u)
ขั้นตอนที่ 3 เลื่อนลูกบาศก์จนแกนหมุนกลับมาอยู่ต าแหน่งเดิม