Ecuaciones de primer grado - IES Hermenegildo Martín Borro

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
( − ) − ( + ) = ( − ) − ( + )
( − ) − ( − ) = − ( − )
( − ) − ( − ) = − ( + ) +
( − ) + ( − ) − ( + ) + =
( + ) − ( − ) = ( + ) + ( − ) −
( − ) − ( − ) = − ( + )
− − ( − ) = − + ( − )
( − ) − ( − ) − ( − ) = ( − ) +
+ + ( x + 3) = 4( 2x + 5)
( + ) − ( − ) − = ( − ) − + ( − )
− ( − ) = − ( + )
( − ) − ( − ) = −
1) 7 x 2 x 7 5 x 1 2x 7
2) 2 6x 4 5 4x 6 22 3 3x 2
3) 3 5x 9 8 1 x 4x 4 1 4x 39
4) 15 x 2 2 5x 8 3 11x 1 73 0
5) 2 5x 1 2 7x 9 10 3x 2 11 5 3x 61
6) 3 x 7 6 3 2x 19 4 2x 3
7) 6x 9 5 2x 3 14 2x 6 2 x
8) 3 3x 5 2 4 3x 4 1 2x 5 3x 2 7
9) 5x 1 2
10) 2 4x 1 4 5 x 5 2 10 x 12 3 5x 7
11) 5x 2 3x 4 25 3 5x 1
12) 3 4x 1 2 5x 3 11 2x
13) x x 3
− =
5 8 4
14) x x
− = 3
2 3
15) x x x 2x
− + = +
2 3 5 15 7
16) x x
= +
3 4 1
17) x x
+ = 20
3 7
18) x x
= −
7 5 4
19) x x x 11
+ = +
3 4 8 2
20) x x x + 3
− + = 3
3 4 5
21) 3x 7x
+ x = + 2x − 9
4 8
22) 3x − 11+ 5x = 0
2
27 + x
23) 3 + x =
4
24) 3x 2x 1
− =
4 3 3
( )
25) x 8 x +
=
45
11
26) x 37
− + 3x = 2x +
11
2 8
8
27) 2x − 3 − 7 = 0
5
28) x + 1 − 5 = 0
3
29) 5x 2
+ 6 = 3x +
1 2
30) 3x − 1= 2x +
9 5 5
31) 4x 5x
+ = 2 +
x 3 9 3
32) x 3 2 x
− = −
5 1
1 2x 1
33) x + = −
6 3 2
34) 2x x 5x 1
− = +
3 4 6 3
35) 3x x 7
+ 1 = +
2 6 3
36) 3x x x
− 2 = + +
2 4 2 1
37) 1+ x -1 = 3x
2
38) 1− x + 2 = x
3
x 5
39) x − − = 4
2
40) x x 2
+ − = 1
2 4
41) x x 2 x
− + =
3 9 3
42) 3 2x 3x − 1
− = x −
5 2
43) 3x − 1 5x − 4 =
2 3
44) x − 7 x − 1 + = x − 5
4 3
45) x − 1 1−
x x − 1
− =
5 6 4
46) x − 1 x − 1 − = 1
2 3
47) x − 3 x − 2 =
4 5
48) 2x − 1 x − 1 − = 1
4 5
49) x − 1 x − 2 x − 3
− − = 0
2 3 4
50) x − 3 x − 1 x + 1
+ =
4 5 3
51) x − 2 1 2x − 1
+ = x −
4 3 3
52) x 1 x 2 x 3
− − − + + = 0
2 3
1
53) 3x − 1 = ( )
2 5 − 3x
1
54) 4( x + 2) = ( )
3 1 − 9x
55) 1 ⎛
4 3x 5⎞
⎜ + ⎟ = 2x
⎝ 2⎠
56) 5x − 1 1 = ( )
6 3 4 + x + 1

57) 1 ( ) ( )
3 6 2x 1
+ = 3x + 12
4
⎛
58) x 2 1 x ⎞ ⎛ 1⎞
+ ⎜ − ⎟ = 8⎜
x − ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 4⎠
59) 2 ( )
3 3x 1 2 x
− + =
2
60) 2 ( ) ( )
3 1 x x 3
− + =
5 x + 2
61) 1 ( ) ( )
2 x 3 1
− −
3 x − 4 = 1
62) 2 ( ) ( )
3 x 1 1
5 1 x x 3
+ − − = +
10
x 4
63) 2 ⎛ 5x −
− ⎞
⎜ ⎟ = 4x
⎝ 3 ⎠
64) 2 ⎛ 1 x 1 5
− + ⎞
⎜ ⎟ =
3 ⎝ 2 4 ⎠ 6
65) 3 ⎛ x
5 2 1 ⎞
⎜ + ⎟ =
⎝ ⎠
x − 5
⎛
66) x + 3 1− x ⎞
⎜ ⎟ = 2( x − 2)
⎝ 4⎠
67) 1 ( ) ( )
7 3x 5 1
+ −
3 2x + 7 3x − 10
5
68) 1 ( ) ( )
5 2x 11 1
2 5 6x 7x 3
+ − − = +
2
69) 49 ⎛
7 3 ⎞
− ⎜ − x⎟ = 10( x + 3)
− 2
4 ⎝ 4 ⎠
70) 4x ⎛ 1⎞
− 5x + 8⎜
x + ⎟ = 4x + 3 1 3 ⎝ 2⎠
3
71) 1 1 1
( ) ( )
3 3 3x 2 1
− − =
2 2 − x
72) x 5 6x − 2 x + 8
− = −
6 3 5 5
73) 1 5 x 5 1
3 x 3 1
12 5x 3
( − ) + ( − ) = ( − )
74) 1 ( )
3 5x 1 1
+ + (
7 x + 3)
= x
( − ) − ( + ) = + ( − )
75) 2 3 4x 1 1
7 3x 2 6 1
9 5x 2
76) 3x + 5 21+
x
+ 5x − 39 =
8
3
x 1 2 2x
77) 3x + + = − + 2
2 3
2x − 1 x + 2
78) 5x − + 1 = 3x + + 7
3
2
79) x x 2
5 14 x 5x
− − −
= + −
4 5 2 12
80) 3x − 2 2x − 1 5x − 7
− =
5 3 15
− + +
8 5 − +
4 16
8
8 x 1
( )
8 4 5 x 11
− − − + + = 0
4
( ) ( ) ( )
83) 4 1 − 2x 5 2x − 1 7 x − 2
+ =
3 4 12
84) 7x + 8 9x − 12 3x 1
− =
8 16 10
85) 5x − 3 8 − x 7x 4
− = − ( )
7 3 2 5 4x + 2
( )
( )
86) 3 x + 2
3 2x + 1
− 2( x − 3)
+
11
4
87) 6x + 1 5x − 6 2x +1
− =
5 7 3
5 10
88) 2 − = − 1
x x
89) 2 1 1
81) 3x 5
82) x
12
7x 9
− =
x 2 6
90) 11 3 3
− = +
x 5 x 1
8x 19
8
+ = 0
+ 29 − 8x −
20
5 1 9x + 4
= +
3 12

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO
I. INTRODUCCIÓN:
1. Si “x” es un número, expresa algebraicamente:
a) Su doble.
b) Su triple.
c) Su mitad.
d) Su cuarta parte.
e) El número siguiente.
f) El número anterior.
g) La suma de dos números impares consecutivos.
h) La suma de dos números pares consecutivos.
i) El número x más su doble.
j) Una cantidad tres unidades mayor que el doble de x.
k) Una cantidad siete unidades menor que la mitad de x.
l) La mitad del resultado de restarle 4 unidades a x.
m) Una cantidad cinco veces mayor que x.
n) El cuadrado de x más el doble del cubo de x.
o) El cubo del doble de x.
p) El triple del siguiente de x.
q) El triple de la mitad de x.
r) El doble de x más la mitad del mismo.
s) El doble del resultado de sumarle tres unidades a x.
t) La quinta parte de x menos el triple de dicho número.
2. Si “x” es la edad de Teresa, expresa algebraicamente los siguientes enunciados:
a) Su hija tiene 25 años menos que ella.
b) Su madre tiene doble edad que ella.
c) Su padre le saca 6 años a su madre.
d) La edad de Teresa hace 8 años.
e) La edad de Teresa dentro de 10 años.
f) La edad que tendrá en el año 2010.
g) La edad que tendrá cuando haya vivido otro tanto de lo que ha vivido hasta ahora.
h) Los años que tendrá cuando pasen el doble de los que tiene ahora.
i) Los años que le quedan a Teresa para su jubilación a los 65 años.
II.
PROBLEMAS DE NÚMEROS:
1. ¿Cuál es el número que aumentado en 55 unidades es igual a 6 veces su valor inicial
2. Calcula un número que cumple que si a su doble le restamos 17 nos da lo mismo que si al número
le sumamos 5.
3. Si a un número le sumas siete unidades, obtienes el mismo resultado que si a su doble le restas tres.
¿De qué número se trata
4. Halla dos números sabiendo que uno de ellos es igual al doble del otro y que su suma es 21.
5. El triple de un número, menos cinco, es igual a 16. ¿Cuál es ese número
6. Averigua el número que al sumarle 60 unidades da el mismo resultado que al multiplicarlo por 5.
7. Calcula un número tal que sus 3/4 partes sumadas a 5 sean igual a sus 5/6 partes.
8. La suma de un número con su doble y su mitad da 42. ¿Cuál es ese número
9. Un número y su siguiente suman 27. ¿Cuáles son esos números
10. Un número y su anterior suman 99. ¿Cuáles son esos números
11. La suma de tres números consecutivos es 702. ¿Cuáles son esos números
12. La suma de tres números pares consecutivos es 30. Hállalos.

13. Un número, su anterior y su posterior suman 702. ¿Qué números son
14. Al sumar un número natural con el doble de su siguiente, se obtiene 44. ¿De qué número se trata
15. Calcula dos números, sabiendo que suman 16 y que su diferencia es 2.
16. Si a un número le restas 15 y el resultado lo divides entre 3, obtienes 20. ¿De qué número se trata
III.
PROBLEMAS DE EUROS:
1. El triple del dinero que tengo es igual al doble de mi dinero más cinco euros.
2. Al comprar 17 bolígrafos, Luis ha pagado con un billete de 5 € y le han devuelto 0.75 €. Escribe
una ecuación cuya solución sea el precio de cada bolígrafo.
3. Un rotulador cuesta 80 céntimos más que un bolígrafo. ¿Cuánto cuesta cada uno si por tres
bolígrafos y dos rotuladores he pagado 4,10 €
4. Marta tiene 360 € en billetes de 5 € y 20 €. Si tiene el doble de billetes de 5 € que de 20 €, ¿cuántos
billetes tiene de cada clase
5. Aurora tiene en su cartera 1,4 € en monedas de 5 céntimos y de 20 céntimos. Cuántas monedas
tiene de cada clase, si en total ha contado 10 monedas
6. Tengo en el bolsillo 13 monedas, unas de 2 céntimos y otras de 5 céntimos. Si las cambio todas por
una moneda de 50 céntimos, ¿cuántas tengo de cada clase
7. Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno si he
pagado 2,6 € por cuatro naturales y seis de frutas
8. Antonio ha comprado un cuaderno y tres bolígrafos iguales por 3,2 €. Sabiendo que el cuaderno
cuesta 0,8 € más que cada bolígrafo, ¿cuál es el precio de cada uno de esos artículos
9. Alejandra tenía 4 € más que su hermano, y se han gastado 10 € cada uno. Ahora Alejandra tiene el
doble que su hermano. ¿Cuántos euros tenía cada uno
10. Reparte 680 € entre dos personas de forma que la primera se lleve el triple que la segunda.
11. Tres socios han de repartirse 1500 €. Calcula lo que corresponde a cada uno si el primero ha de
tener el doble que el segundo, y éste el triple que el tercero.
12. Jorge reparte 78 € entre sus sobrinos, de manera que el mediano recibe 5 € más que el pequeño, y
el mayor, 5 € más que el mediano. ¿Cuántos euros da Jorge a cada uno de sus sobrinos
13. Pepe reparte 210 € entre sus tres hijos de manera que el segundo recibe 35 € menos que el primero
y 20 € más que el tercero. ¿Cuánto dinero recibe cada uno
14. Julio gasta la mitad de su dinero en la entrada para un concierto, y la quinta parte del mismo, en
una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le quedan 2,70 €
15. El dueño de un restaurante mezcla una bolsa de café de 10 €/Kg. con cierta cantidad de un café
inferior de 8 €/Kg. Así obtiene 10 Kg. de mezcla que sale a 9,50 €/Kg. ¿Qué cantidad de cada clase
empleó
16. Mezclando vino de 2 €/l con otro vino de 3,50 €/l, se han obtenido 500 litros, de calidad
intermedia, que sale a 2,90 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase se han empleado
17. ¿Cuántos litros de aceite de girasol, a 0,75 €/l, se deben mezclar con 15 litros de aceite de oliva a
3,75 €/l, para que la mezcla salga a 3 €/l
IV.
PROBLEMAS VARIADOS:
1. El quíntuplo de mi altura es 8,10 metros. Halla mi estatura.
2. Juan pesa la mitad que su padre, y éste pesa 15 Kg. más que la madre de Juan. Entre los tres pesan
185 Kg. ¿Cuánto pesa cada uno
3. En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el de mujeres, sabiendo que el
de ellas sobrepasa en 17 al de ellos
4. El sábado recorrí paseando el doble de distancia que el domingo. Entre los dos días he andado 7,2
kilómetros. ¿Cuánto he andado cada día
5. Pedro ha sacado 7 puntos en un examen de matemáticas que constaba de 6 preguntas. En la
primera pregunta obtuvo 2,5 puntos, y en la última, 1.5 puntos. Calcula la puntuación de las otras
cuatro preguntas, sabiendo que fue la misma en todas ellas.

6. En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta correcta y quitan 3 puntos por
cada fallo. ¿Cuántas preguntas ha acertado una persona que ha obtenido 68 puntos
7. Un alumno dedica, todos los días, las 4/11 partes de su tiempo de estudio a repasar matemáticas y
los 70 minutos restantes a las demás asignaturas. ¿Cuánto tiempo necesita para repasar todas las
materias ¿Cuánto tiempo pasa estudiando matemáticas
8. Un viajero ha recorrido las dos quintas partes de un camino y aún le faltan 2 Km. Para llegar a la
mitad. ¿Cuántos kilómetros tiene el camino
9. Rosa organiza una excursión con cuatro amigos. Patricia, Elena, Sonia y Pepe. El equipaje, que
está repartido entre las mochilas de cada uno, pesa en total 25 Kg. La mochila de Sonia pesa un
kilo menos que la de Rosa; la de Pepe, el triple que la de Sonia; la de Patricia, tanto como las de
Rosa y Pepe juntas, y la de Elena, tanto como las de Rosa y Sonia juntas. ¿Cuánto pesa cada
mochila
10. Marcos compró el jueves en el mercado 11 Kg. de fruta. Pidió el triple de naranjas que de plátanos
y la mitad de manzanas que de naranjas. ¿Cuántos kilogramos de cada fruta compró
11. Entre Raquel y Sara tienen 45 galletas. Sara le dice a Raquel: “Si me das 5 galletas tendré el doble
que tú”. ¿Cuántas galletas tiene cada una de las amigas
12. En una granja de vacas, entre cuernos y patas suman 90. ¿Cuál es el número de vacas
13. ¿Cuántas gallinas hay en un gallinero sabiendo que entre picos, patas y crestas hay 144
14. En una granja, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos
conejos hay en la granja
15. Alfonso dice a su hermano que si le ayuda durante 12 horas a hacer un mueble le dará 10 euros y
un libro. Después de 7 horas de trabajo rompen el trato, y le corresponde 2 euros y el libro.
¿Cuánto cuesta el libro
16. Diego se quedó con los 4/5 de las naranjas que había en una caja. De las restantes, Virginia cogió
la mitad, de manera que al final sobraron solamente 5 naranjas. ¿Cuántas naranjas contenía la caja
17. Dos automóviles parten del mismo punto y al mismo tiempo, pero en sentidos contrarios. El
primero lleva una velocidad constante de 85 km/h, y el segundo, de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo debe
transcurrir para que les separe una distancia de 350 km
18. Un ciclista y un corredor de fondo parten del mismo punto, al mismo tiempo y en el mismo
sentido. Las velocidades de ambos son constantes, pero el ciclista va cuatro veces más deprisa que
el corredor. ¿Qué velocidad lleva cada uno de ellos si la distancia que les separa al cabo de 2 horas
es de 24 km
19. En un lago se ha instalado una torre eléctrica. Tiene 1/7 de su longitud hundida bajo tierra,
mientras que 2/9 del tramo restante se encuentran sumergidos en el agua. Si la torre se alza 14 m
sobre la superficie del lago, ¿qué longitud total tiene
V. PROBLEMAS DE EDADES:
1. Pedro tiene 24 años menos que su padre, y éste 4 veces los años de Pedro. Averigua sus edades.
2. Marisa es tres años más joven que su hermana Nuria y un año mayor que su hermano Roberto.
Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno
3. Tres hermanas tienen edades consecutivas. Entre las tres suman 66 años. ¿Qué edad tiene cada
una
4. Ana pregunta a Sergio la edad que tiene y éste contesta: la mitad de mis años, más la tercera parte,
más la cuarta parte, más la sexta parte de mis años, suman los años que tengo más 6. ¿Cuántos años
tiene Sergio
5. Carlos tiene 40 años. Dentro de 12 años tendrá el doble que su hija Ana. ¿Qué edad tiene Ana
6. Una madre tiene 31 años y su hijo 7. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el triple de
la edad del hijo
7. Paz e Irene tienen 6 y 9 años, respectivamente. Su madre, Ana, tiene 35 años. ¿Cuántos años tienen
que pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edad de la madre
8. Un hijo tiene 30 años menos que su padre, y éste tiene 4 veces la edad del hijo. ¿Qué edad tiene
cada uno

9. Hace 28 años, la edad de un padre era 6 veces la de su hijo, pero hoy en día es solamente el doble.
¿Cuál es la edad actual de ambos
10. Halla las edades de una madre y de su hija sabiendo que, hace 3 años, la primera triplicaba en años
a la segunda, y cuando transcurran 8 años, la madre tendrá el doble de edad que la hija.
11. Un padre tiene el triple de la edad de su hija. Si el padre tuviera 30 años menos y la hija 8 más, los
dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene cada uno
12. Sandra tiene 9 años más que Andrea, y dentro de 3 años la doblará en edad. ¿Cuántos años tiene
cada una ahora
13. La edad de doña Puri es 6 veces la de su nieta Beatriz, pero dentro de 8 años solo será el cuádruple.
¿Cuál es la edad de cada una
14. Ramón es cuatro veces mayor que David, su sobrino. Dentro de tres años será tres veces mayor.
a) ¿Qué edad tiene cada uno
b) ¿Cuántos años tienen que pasar para que la edad de Ramón duplique la de David
15. Si del triple de la edad que tengo actualmente quito el cuádruplo de la edad que tenía hace 15 años,
resulta la edad que tengo.
VI.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA:
1. Halla el lado de un triángulo equilátero, sabiendo que su perímetro es 21 centímetros.
2. El perímetro de un rectángulo es 24 cm, y la altura es la quinta parte de la base. Halla su base y su
altura.
3. La base de un rectángulo es doble de la altura, y el perímetro mide 48 cm. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo
4. La valla que rodea un parcela rectangular mide 80 m. La parcela mide 10 m más de largo que de
ancho. ¿Cuáles son sus medidas
5. ¿Cuánto miden los lados de un rectángulo si su perímetro es 160 cm y la longitud de uno de sus
lados es los dos tercios de la longitud del otro
6. Halla la longitud de los lados de un triángulo isósceles de perímetro 18 cm, sabiendo que el lado
desigual es 3 cm más pequeño que cada uno de los lados iguales.
7. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la mitad de lo que mide el otro.
¿Cuánto mide cada ángulo
8. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo se diferencian en 15º. ¿Cuánto mide cada uno
de ellos
9. El mayor de los ángulos de un triángulo se diferencia en 20º del mediano y éste se diferencia en
20º del menor. ¿Cuál es la medida de los ángulos del triángulo
10. Calcula cuánto miden los ángulos de un triángulo, sabiendo que el segundo es el doble del
primero, y el tercero es igual a la mitad de los otros dos juntos.
11. El perímetro de un rectángulo es 90 m, pero si se duplicara la base y se triplicara la altura sería de
206 m. Calcula las dimensiones del rectángulo inicial.