G U ÍA 4 - Escuela de Física - Universidad Nacional de Colombia

GUÍA 4
Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física
Profesor Asociado
Escuela de Física
Universidad Nacional de Colombia
Roberto Fabián Retrepo A., M. Sc. en Física
Profesor Asociado
Escuela de Física
Universidad Nacional de Colombia
Carlos Alberto Ramírez M., M. Sc. en Física
Profesor Asociado
Escuela de Física
Universidad Nacional de Colombia

Página 2
Maestría en Enseñanza de las Ciencias
Exactas y Naturales
Análisis dimensional
Objetivo General
• Realizar análisis dimensional en el ISQ (Sistema Internacional de Magnitudes).
Objetivos específicos
• Analizar las denominadas ecuaciones dimensionales.
• Estudiar el principio de homgeneidad dimensional
Introducción
Se abordarán el concepto de dimension y conceptos relacionados con el mismo con base en la última
version del VIM (Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología
— versión 2008 —). En color verde se dará la definición tal cual aparece en el VIM; en algunos casos se
complementará con una breve explicación.
Definiciones básicas
Magnitud de base
Magnitud de un subconjunto elegido por convención de un sistema de magnitudes dado, de manera
que ninguna magnitud del subconjunto pueda ser expresada en función de las otras.
NOTA
Las magnitudes de base son consideradas como mutuamente independientes pues una magnitud de
base no puede ser expresada por un producto de potencias de las otras magnitudes de base.
Se puede considerar la magnitud “número de entidades” como una magnitud de base en todo sistema
de magnitudes.
Magnitud derivada
Magnitud, en un sistema de magnitudes. definida en función de sus magnitudes de base
EJEMPLO
En un sistema de magnitudes que contenga las magnitudes de base longitud y masa, la densidad de
masa es una magnitud derivada definida como el cociente de una masa por un volumen (longitud al
cubo).

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín
Página 3
Análisis dimensional
Sistema Internacional de Magnitudes (ISQ)
Sistema de magnitudes con base en las siete magnitudes de base: longitud, masa, tiempo, corriente
eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa. Ver
tabla 1.
Sistema internacional de Unidades (SI )
Sistema coherente de unidades con base en el Sistema Internacional de Magnitudes, sus nombres
y símbolos, y una serie de prefijos con sus nombres y símbolos, y las reglas para su utilización,
adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM). Ver tablas 1 y 2.
Tabla 1: Unidades y magnitudes base en el SI
Magnitud de base
Unidad de base
Nombre Nombre Símbolo
longitud metro m
masa kilogramo kg
tiempo segundo s
corriente eléctrica ampere A
temperatura termodinámica kelvin K
cantidad de sustancia mol mol
intensidad luminosa candela cd
Tabla 2: Algunas magnitudes y unidades derivadas coherentes en el SI
Magnitud derivada
Unidad derivada coherente
Nombre Nombre Símbolo
área metro cuadrado m 2
velocidad metro por segundo m·s —1
aceleración metro por segundo cuadrado m·s —2
fuerza segundo s
trabajo, energía Joule J
potencia Watt J·s —1
presión Pascal N.m —2

Página 4
Maestría en Enseñanza de las Ciencias
Exactas y Naturales
Análisis dimensional
Dimensión de una magnitud
Expresión de la dependencia de una magnitud en términos de las magnitudes de base de un sistema
de magnitudes, como un producto de potencias de factores que corresponden a las magnitudes
de base, en el que se ha omitido todo factor numérico.
EJEMPLOS
• En el ISQ, la dimensión de la fuerza es dim F = LMT -2
• En el mismo sistema de magnitudes, ML -3 es la dimensión de la concentración de masa y
también la de la densidad de masa.
NOTAS
• Una potencia de un factor es el factor elevado a un exponente. Cada factor es la dimensión
de una magnitud de base.
• Por convención, la representación simbólica de la dimensión de una magnitud de base es
una letra mayúscula única en caracteres romanos (rectos) con líneas del mismo grueso sin
remates. Por convención, la representación simbólica de la dimensión de una magnitud
derivada es el producto de potencias de las dimensiones de las magnitudes de base conforme
a la definición de la magnitud derivada. La dimensión de la magnitud Q se denota
como dim Q.
• Para establecer la dimensión de una magnitud, no se tiene en cuenta el carácter escalar,
vectorial o tensorial de la misma.
• En un sistema de magnitudes dado, las magnitudes de la misma naturaleza tienen la
misma dimensión, las magnitudes de dimensiones diferentes son siempre de naturaleza
diferente, y las magnitudes que tienen la misma dimensión no son necesariamente de la
misma naturaleza, por ejemplo la magnitud trabajo y la magnitud torque o momento de
una fuerza.
• En el Sistema Internacional de Magnitudes (ISQ) las dimensiones de las magnitudes de
base son: longitud (L), masa (M), tiempo (T), corriente eléctrica (I), temperature termodinámica
(Θ), cantidad de sustancia (N), intensidad luminosa (J). Por tanto, la dimensión
de una magnitud Q es
dim Q = L a M b T c I d Θ e N f J g
donde los exponentes, llamados exponentes dimensionales, pueden ser positivos, negativos
o nulos.
Ver ejemplos en la tablas 3 y 4.

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín
Página 5
Análisis dimensional
Tabla 3 Ejemplos de unidades SI derivadas, expresadas a partir de las unidades básicas
Magnitud derivada Unidad en el SI Dimensión en el ISQ
Área m 2 dim A=L 2
Volumen m 3 dim V=L 3
Velocidad m·s —1 dim v=L T —1
Aceleración m·s —2 dim a=L T —2
Densidad volumétrica de masa kg·m —3 dim ρ =M L —3
Concentración (de cantidad de sustancia) mol·m —3 dim c=N.L —3
Torque N.m=kg·m 2·s —2 dim T=M L 2 T -2
Tensión superficial N·m —1 =kg·s —2 dim σ =M T —2
Calor específico J·kg —1·K —1 =m 2·s —2·K —1 dim c=L 2 T —2 Θ —1
Magnitud derivada
Tabla 4 Ejemplos de dimensiones de algunas magnitudes en el ISQ
con nombres especiales y símbolos particulares
Nombre
unidad
Unidad en el SI
Dimensión en el ISQ
Fuerza newton N=kg·m·s —2 dim F=M L T -2
Presión pascal Pa=N·m —2 =kg·m —1·s —2 dim P=M L —1 T —2
Trabajo, Energía y Calor Joule J=N·m=kg·m 2·s —2 dim W=dim E=dim Q=M L 2 T —2
Frecuencia hertz Hz=s —1 dim f = T —1
Carga eléctria coulomb A·s dim q =I T
Potencial eléctrico voltio V=m 2·kg·s —3·A —1 dim V=L 2 M T —3 I —1
Resistencia Eléctrica ohmio Ω=m 2·kg·s —3·A —2 dim R=L 2 M T —3 I —2
Flujo magnético weber Wb=m 2·kg.s —2·A —1 dim φ B =L 2 M T —2 I -1
Flujo luminoso lumen lm=cd·sr —1 = cd dim φ l =J
Iluminancia lux lx=lm·m —2 Dim i =J L —2

Página 6
Maestría en Enseñanza de las Ciencias
Exactas y Naturales
Análisis dimensional
Magnitud de dimensión uno (o magnitud sin dimension)
Magnitud para la cual todos los exponentes de los factores correspondientes a las magnitudes de
base que intervienen en su dimensión son nulos
NOTAS
• El término “magnitud sin dimensión” es de uso común por razones históricas. Proviene del
hecho de que todos los exponentes son nulos en la representación simbólica de la dimensión
de tales magnitudes. El término “magnitud de dimensión uno” refleja la convención según la
cual la representación simbólica de la dimensión de tales magnitudes es el símbolo 1.
• Las unidades de medida y los valores de las magnitudes sin dimensión son números, pero
estas magnitudes llevan más información que un número.
• Ciertas magnitudes sin dimensión son definidas como las relaciones de dos magnitudes de la
misma naturaleza.
EJEMPLOS
Ángulo plano, ángulo sólido, índice de refracción, permeabilidad relativa, fracción de masa,
factor de fricción, número de Mach.
• Las magnitudes sin dimensión pueden ser números de entidades.
EJEMPLOS
Número de vueltas de una bobina, número de moléculas en una muestra determinada, degeneración
(número de niveles de energía) en mecánica cuántica.
Ver tabla 5.
Magnitud ordinal (o magnitud referenciable)
Magnitud definida por un procedimiento de medición adoptado por convención, que puede ser
clasificada con otras magnitudes de la misma naturaleza según el orden creciente o decreciente de
sus expresiones cuantitativas, pero para la cual no está definida relación algebraica alguna entre estas
magnitudes.
EJEMPLOS : dureza Rockwell C, índice de octano para carburantes, magnitud de un sismo en la
escala de Richter.
NOTAS
• Las magnitudes ordinales solamente pueden tomar parte en las relaciones empíricas y no tienen
unidades de medida, ni dimensiones.
• Las magnitudes ordinales se ordenan según escalas ordinales.

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín
Página 7
Análisis dimensional
Tabla 5 Ejemplos de magnitudes de dimensiónl 1
Magnitud Nombre unidad Unidades en el SI Dimensión
Índice de refracción (el número) uno 1 1
Ángulo plano radián rad=m·m —1 1
Ángulo sólido estereoradián sr=m 2·m —2 1
Principio de homogeneidad dimensional
Si una ecuacion es dimensionalmente correcta, es porque cada uno de sus componentes en una adicion
sustraccion o igualdad, poseen la misma dimension.
Ejemplo:
entonces,
A + B = C — DF
dim A=dim B=dim C=dim (DF)= dim D . Dim F
Este principio es muy intuitivo pues es obvio que no se puede sumar una longitud y una masa.
La homogeneidad dimensional implica que los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas
y trigonométricas deben ser adimensionales.
Ejemplo:
Debido a los efectos de rozamiento, la amplitud A de un oscilador decrece exponencialmente con el
tiempo t. Es decir,
A = A0e
Solución:
La homogeneidal dimensional exige que la dim A= dim A 0 y dim (k t)=1. Por lo tanto,
− k t
dim A=L
dim k=T -1

Página 8
Maestría en Enseñanza de las Ciencias
Exactas y Naturales
Análisis dimensional
Ejemplos
Ejemplo:
Se observa que el período P de un péndulo que realiza oscilaciones de pequeña amplitud no depende
de la masa. Si este período se puede escribir como un producto de potencies de las magnitudes
longitud l y aceleración de la gravedad g , mostrar mediante análisis dimensional (en el ISQ)
que,
P = c
l
g
Solución:
Con base en el enunciado se puede escribir,
P = cl
a g b
En donde c es una constante adimensional.
Haciendo el análisis dimensional en el ISQ de las magnitudes que inetrvienen se obtiene,
T=LLT
a b -2
b
y por lo tanto:
obteniéndose que,
⎧a
+ b = 0
⎨
⎩−
2b
= 1
a
1
= y b
2
=
−
1
2
es decir,
P = c
l
g

Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín
Página 9
Análisis dimensional
Ejercicio 1
Suponer que las magnitudes fundamentales de la mecánica son fuerza (F), masa (M) y longitud
(L) . Con base en esto, escribir las fórmulas dimensionales de: tiempo t, aceleración a, energía E,
potencia P y presión p.
Rp. dim t = F —1/2 M 1/2 L 1/2 , dim a = F M —1 , dim E = F L , dim P = F 3/2 M —1/2 L 1/2 , dim p = F L —2
Ejercicio 2
Determinar si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea en el ISQ,
d
x
1 dm 2
Fdx=
v mva
dt∫
dt
+
0
2
donde F es la fuerza, x el desplazamiento, v la rapidez, a la aceleración, m la masa y t el tiempo.
Ejercicio 3
La ecuación de la elongación y en función del tiempo t de un oscilador armónico se expresa
como,
y = A sen (wt+ φ 0 )
donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo. Determinar las dimensiones de
las magnitudes w y φ 0 en el ISQ.
Ejercicio 4
El ascenso h del agua a través de un tubo capilar es proporcional a la tension superficial σ del
líquido y depende del radio r del tubo, de la densidad d del líquido y de la aceleración de la gravedad
g . Si se supone que el ascenso capilar se puede expresar como un producto de potencias de
esas magnitudes características, mostrar mediante análisis dimensional (en el ISQ) que,
σ
h = c
rdg
siendo c una constante de poporcionalidad adimensional.

Página 10
Maestría en Enseñanza de las Ciencias
Exactas y Naturales
Análisis dimensional
Referencias
[1] BIPM (Bureau International des Poids et Mesures), VIM 2008, [WEB] http://
www.bipm.org/en/ publications/guides/vim.html [último acceso, julio 05 de 2010) France,
2010.
[2] SENA L. A., Unidades de las Magnitudes físicas y sus dimensiones, Editorial MIR, Moscú, 1979.
[3] TAYLOR, J.R., An Introduction To Error Analysis, the study of uncertainties I physical measurements,
University Science Books, Edición 2, Sausalito, California, 1982.
[4] MAIZTEGUI A.P., Introducción a las Mediciones de Laboratorio, Kapeluz, Buenos Aires,
1980.
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Escuela d Física
Correo: dfisica_med@unal.edu.co
Profesor Diego Luis Aristizábal R
Correo: daristiz@unal.edu.co