con Isabelle/Isar - Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia ...
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20 Capítulo 2. El lenguaje de demostración Isar Nota 2.2.13 (Resumen de reglas proposicionales). TrueI FalseE conjI conjunct1 conjE disjI1 disjI2 disjE notI notE impI impE mp iff iffI iffD1 iffD2 iffE ccontr classical excluded middle disjCI impCE iffCE notnotD swap True False =⇒ P [[P; Q]] =⇒ P ∧ Q P ∧ Q =⇒ Q [[P ∧ Q; [[P; Q]] =⇒ R]] =⇒ R P =⇒ P ∨ Q Q =⇒ P ∨ Q [[P ∨ Q; P =⇒ R; Q =⇒ R]] =⇒ R (P =⇒ False) =⇒ ¬ P [[¬ P; P]] =⇒ R (P =⇒ Q) =⇒ P −→ Q [[P −→ Q; P; Q =⇒ R]] =⇒ R [[P −→ Q; P]] =⇒ Q (P −→ Q) −→ (Q −→ P) −→ P = Q [[P =⇒ Q; Q =⇒ P]] =⇒ P = Q [[Q = P; Q]] =⇒ P [[P = Q; Q]] =⇒ P [[P = Q; [[P −→ Q; Q −→ P]] =⇒ R]] =⇒ R (¬ P =⇒ False) =⇒ P (¬ P =⇒ P) =⇒ P ¬ P ∨ P (¬ Q =⇒ P) =⇒ P ∨ Q [[P −→ Q; ¬ P =⇒ R; Q =⇒ R]] =⇒ R [[P = Q; [[P; Q]] =⇒ R; [[¬ P; ¬ Q]] =⇒ R]] =⇒ R ¬ ¬ P =⇒ P [[¬ P; ¬ R =⇒ P]] =⇒ R Nota 2.2.14 (Referencia de reglas de inferencia). Más información sobre las reglas de inferencia se encuentra en la sección 2.2 de Isabelle’s Logics: HOL.
2.3. Atajos de Isar 21 2.3 Atajos de Isar Nota 2.3.1 (Atajos de Isar). Isar tiene muchos atajos, como los siguientes: this (éste) = el hecho probado en la declaración anterior then (entonces) = from this hence (por lo tanto) = then have thus (de esta manera) = then show with hecho+ (con) = from hecho+ and this . (por ésto) = by this .. (trivialmente) = by regla (donde Isabelle adivina la regla) Nota 2.3.2 (Razonamiento acumulativo). Una sucesión de hechos que se van a usar como premisa en una declaración puede agruparse usando moreover (además) y usarse en la declaración usando ultimately (finalmente). Lema 2.3.3 (Ejemplo de uso de atajos y razonamiento acumulativo). A ∧ B ⊢ B ∧ A. lemma A ∧ B −→ B ∧ A proof (rule impI) assume ab: A ∧ B hence B by (rule conjunct2) moreover from ab have A .. ultimately show B ∧ A by (rule conjI) qed 2.4 Cuantificadores universal y existencial Nota 2.4.1 (Reglas del cuantificador universal). (allI) ∧ x. P x ∀ x. P x (allE) ∀ x. P x R P x R En la regla allI la nueva variable se introduce mediante la palabra fix. Lema 2.4.2 (Ejemplo con cuantificadores universales). ∀x.P −→ Qx ⊢ P −→ (∀x.Qx) lemma assumes a: ∀ x. P −→ Q x shows P −→ (∀ x. Q x) proof (rule impI)
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2.3. Atajos <strong>de</strong> <strong>Isar</strong> 21<br />
2.3 Atajos <strong>de</strong> <strong>Isar</strong><br />
Nota 2.3.1 (Atajos <strong>de</strong> <strong>Isar</strong>). <strong>Isar</strong> tiene muchos atajos, como los siguientes:<br />
this (éste) = el hecho probado en <strong>la</strong> <strong>de</strong>c<strong>la</strong>ración anterior<br />
then (entonces) = from this<br />
hence (por lo tanto) = then have<br />
thus (<strong>de</strong> esta manera) = then show<br />
with hecho+ (<strong>con</strong>) = from hecho+ and this<br />
. (por ésto) = by this<br />
.. (trivialmente) = by reg<strong>la</strong> (don<strong>de</strong> <strong>Isabelle</strong> adivina <strong>la</strong> reg<strong>la</strong>)<br />
Nota 2.3.2 (Razonamiento acumu<strong>la</strong>tivo). Una sucesión <strong>de</strong> hechos que se van a usar<br />
como premisa en una <strong>de</strong>c<strong>la</strong>ración pue<strong>de</strong> agruparse usando moreover (a<strong>de</strong>más) y usarse<br />
en <strong>la</strong> <strong>de</strong>c<strong>la</strong>ración usando ultimately (finalmente).<br />
Lema 2.3.3 (Ejemplo <strong>de</strong> uso <strong>de</strong> atajos y razonamiento acumu<strong>la</strong>tivo). A ∧ B ⊢ B ∧ A.<br />
lemma A ∧ B −→ B ∧ A<br />
proof (rule impI)<br />
assume ab: A ∧ B<br />
hence B by (rule <strong>con</strong>junct2)<br />
moreover from ab have A ..<br />
ultimately show B ∧ A by (rule <strong>con</strong>jI)<br />
qed<br />
2.4 Cuantificadores universal y existencial<br />
Nota 2.4.1 (Reg<strong>la</strong>s <strong>de</strong>l cuantificador universal).<br />
(allI)<br />
∧<br />
x. P x<br />
∀ x. P x<br />
(allE)<br />
∀ x. P x<br />
R<br />
P x<br />
R<br />
En <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> allI <strong>la</strong> nueva variable se introduce mediante <strong>la</strong> pa<strong>la</strong>bra fix.<br />
Lema 2.4.2 (Ejemplo <strong>con</strong> cuantificadores universales). ∀x.P −→ Qx ⊢ P −→ (∀x.Qx)<br />
lemma<br />
assumes a: ∀ x. P −→ Q x<br />
shows P −→ (∀ x. Q x)<br />
proof (rule impI)
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