Series de Tiempo
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Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Procesos ARIMA<br />
El paseo aleatorio X t = c + X t−1 + a t no es estacionario.<br />
Sin embargo, el proceso diferenciado regularmente<br />
es estacionario.<br />
X t − X t−1 = c + a t<br />
El proceso X t = β 0 + β 1 t + V t (don<strong>de</strong> {V t } t<br />
es<br />
estacionario) no es estacionario. Sin embargo, el proceso<br />
diferenciado regularmente<br />
es estacionario.<br />
X t − X t−1 = β 1 + (V t − V t−1 )<br />
Conclusión: A veces, la diferenciación regular consigue eliminar<br />
la ten<strong>de</strong>ncia.<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Procesos ARIMA<br />
Los ejemplos anteriores muestran situaciones en las que la<br />
aplicación <strong>de</strong> 1 diferencia regular consigue eliminar la ten<strong>de</strong>ncia<br />
y transformar un proceso no estacionario en otro estacionario.<br />
En base a esto, ante una serie con ten<strong>de</strong>ncia, sugerimos:<br />
Eliminar la ten<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> la serie aplicando sucesivamente<br />
d diferencias regulares (en general, d ≤ 3). Esto es, si<br />
<strong>de</strong>spués <strong>de</strong> diferenciar regularmente la serie persiste la<br />
existencia <strong>de</strong> ten<strong>de</strong>ncia, diferenciaremos la serie<br />
diferenciada, y así sucesivamente hasta obtener una serie<br />
sin ten<strong>de</strong>ncia.<br />
Si la serie obtenida es estacionaria, mo<strong>de</strong>lizarla a través <strong>de</strong><br />
un proceso ARMA (recuér<strong>de</strong>se la gran capacidad que tiene<br />
la clase ARMA para mo<strong>de</strong>lizar procesos estacionarios).<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Procesos ARIMA<br />
¿Cómo construir un mo<strong>de</strong>lo que aglutine las i<strong>de</strong>as anteriores?<br />
Sea {X t } t<br />
un proceso con ten<strong>de</strong>ncia y sin componente<br />
estacional.<br />
1 Eliminación <strong>de</strong> la ten<strong>de</strong>ncia: Diferenciación (d = 1).<br />
Y t = (1 − B) X t .<br />
2 Mo<strong>de</strong>lización <strong>de</strong> la <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia: ARMA(1,1).<br />
3 Mo<strong>de</strong>lo final:<br />
Y t = c + φ 1 Y t−1 + a t + θ 1 a t−1 .<br />
Y t = c + φ 1 Y t−1 + a t + θ 1 a t−1 , don<strong>de</strong> Y t = (1 − B) X t .<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Procesos ARIMA<br />
OTRA FORMA DE EXPRESAR EL MODELO:<br />
1 Y t = c + φ 1 Y t−1 + a t + θ 1 a t−1 , don<strong>de</strong> Y t = (1 − B) X t .<br />
2 Y t − φ 1 Y t−1 = c + a t + θ 1 a t−1 , don<strong>de</strong> Y t = (1 − B) X t .<br />
3 (1 − φ 1 B) Y t = c + (1 + θ 1 B) a t , don<strong>de</strong> Y t = (1 − B) X t .<br />
4<br />
AR<br />
MA<br />
↓<br />
↓<br />
(1 − φ 1 B) (1 − B) X t = c + (1 + θ 1 B) a t .<br />
↑<br />
Dif.<br />
El mo<strong>de</strong>lo en cuestión se <strong>de</strong>nomina proceso ARIMA(1,1,1).<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos ARIMA<br />
Operando en la expresión <strong>de</strong>l ARIMA(1,1,1)<br />
(1 − φ 1 B) (1 − B) X t = c + (1 + θ 1 B) a t<br />
se obtiene la representación:<br />
X t = c + (1 + φ 1 ) X t−1 − φ 1 X t−2 + a t + θ 1 a t−1 ,<br />
que muestra <strong>de</strong> una manera expĺıcita la relación existente entre<br />
el presente y el pasado.<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Procesos ARIMA<br />
Un proceso ARIMA(p,d,q) es aquél que, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> aplicarle d<br />
diferencias regulares, se convierte en un proceso ARMA(p,q).<br />
Es <strong>de</strong>cir:<br />
{X t } t<br />
es ARIMA(p,d,q) ⇔ (1 − B) d X t es ARMA(p,q).<br />
Equivalentemente:<br />
{X t } t<br />
es un proceso ARIMA(p,d,q) si admite una<br />
representación <strong>de</strong>l tipo:<br />
φ (B) (1 − B) d X t = c + θ (B) a t ,<br />
don<strong>de</strong> el polinomio φ (z) no tiene raíces <strong>de</strong> módulo 1.<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
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<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Procesos ARIMA<br />
En la práctica, ante una serie real,...<br />
¿cuándo propondremos un ARIMA como su posible generador?<br />
Cuando <strong>de</strong>tectemos no estacionariedad motivada por la<br />
presencia <strong>de</strong> ten<strong>de</strong>ncia. La presencia <strong>de</strong> ten<strong>de</strong>ncia en una serie<br />
(y, por tanto, la necesidad <strong>de</strong> diferenciarla para convertirla en<br />
estacionaria) suele ser <strong>de</strong>latada por:<br />
El gráfico <strong>de</strong> la serie frente al tiempo.<br />
La fas muestral:<br />
Toma valores positivos, siendo próximo a 1 el<br />
correspondiente al primer retardo.<br />
Decae lentamente a cero (<strong>de</strong>crecimiento lineal) a medida<br />
que el retardo crece.<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
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<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Serie original (ten<strong>de</strong>ncia)<br />
Serie diferenciada (estacionaria)<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
El análisis anterior sugiere que la serie diferenciada ha sido<br />
generada por un ruido blanco (serie original: ARIMA(0,1,0)).<br />
Germán Aneiros Pérez <strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
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<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Serie original (ten<strong>de</strong>ncia)<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
Serie diferenciada (ten<strong>de</strong>ncia)<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Serie diferenciada (2 veces)<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
Conclusión<br />
Los gráficos estudiados<br />
sugieren que la serie original:<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong><br />
1 No es estacionaria.<br />
2 Ha sido generada por un<br />
proceso ARIMA(1,2,0).
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos ARIMA<br />
La clase <strong>de</strong> procesos ARIMA que acabamos <strong>de</strong> estudiar:<br />
Captura no estacionarieda<strong>de</strong>s provocadas por la presencia<br />
<strong>de</strong> ten<strong>de</strong>ncia.<br />
No captura no estacionarieda<strong>de</strong>s provocadas por la<br />
presencia <strong>de</strong> componente estacional.<br />
A continuación, construiremos otra clase <strong>de</strong> procesos que<br />
mo<strong>de</strong>liza no estacionarieda<strong>de</strong>s provocadas por la presencia <strong>de</strong><br />
ten<strong>de</strong>ncia y/o componente estacional.<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Procesos ARIMA estacionales<br />
Sea X t = S t + V t , don<strong>de</strong> {V t } t<br />
es estacionario y<br />
1 S t = S t−s ,<br />
ó<br />
2 S t = S t−s + W t don<strong>de</strong> {W t } t<br />
es estacionario con media 0.<br />
{X t } t<br />
no es estacionario, pues contiene una componente<br />
estacional S t (<strong>de</strong>terminista ó aleatoria). Sin embargo, el<br />
proceso diferenciado estacionalmente<br />
1 X t − X t−s = V t − V t−s<br />
ó<br />
2 X t − X t−s = W t + V t − V t−s<br />
es estacionario.<br />
Conclusión: A veces, la diferenciación estacional consigue<br />
eliminar la componente estacional.<br />
Germán Aneiros Pérez <strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos ARIMA estacionales<br />
Basándonos en los ejemplos anteriores, ante una serie con<br />
ten<strong>de</strong>ncia y/o componente estacional, sugerimos:<br />
Eliminar la ten<strong>de</strong>ncia aplicando d diferencias regulares<br />
((1 − B) d ). En general, es suficiente d ≤ 3.<br />
Eliminar la componente estacional aplicando D diferencias<br />
estacionales ((1 − B s ) D ). En general, es suficiente D = 1.<br />
Una vez que la serie diferenciada es estacionaria,<br />
mo<strong>de</strong>lizarla a través <strong>de</strong> un ARMA:<br />
Sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia regular: ARMA(p,q).<br />
Sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia estacional: ARMA(P,Q) s .<br />
Ambos tipos <strong>de</strong> <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia: ARMA(p,q)×(P,Q) s .<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Procesos ARIMA estacionales<br />
¿Cómo construir un mo<strong>de</strong>lo que aglutine las i<strong>de</strong>as anteriores?<br />
Sea {X t } t<br />
un proceso con ten<strong>de</strong>ncia y con componente<br />
estacional <strong>de</strong> período s = 12.<br />
Eliminación <strong>de</strong> la ten<strong>de</strong>ncia: d = 1.<br />
(1 − B) X t .<br />
Eliminación <strong>de</strong> la componente estacional: D = 1.<br />
Y t = (1 − B) ( 1 − B 12) X t .<br />
Mo<strong>de</strong>lización <strong>de</strong> la <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia: ARMA(1,1)×(1,1) 12 .<br />
(1 − φ 1 B) ( 1 − Φ 1 B 12) Y t =c + (1 + θ 1 B) ( 1 + Θ 1 B 12) a t<br />
Mo<strong>de</strong>lo final: Denotando Y t = (1 − B) ( 1 − B 12) X t ,<br />
(1 − φ 1 B) ( 1 − Φ 1 B 12) Y t =c + (1 + θ 1 B) ( 1 + Θ 1 B 12) a t<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Procesos ARIMA estacionales<br />
OTRA FORMA DE EXPRESAR EL MODELO:<br />
AR<br />
reg.<br />
AR<br />
est.<br />
Dif.<br />
reg.<br />
Dif.<br />
est.<br />
↓ ↓ ↓ ↓<br />
(1 − φ 1 B) ( 1 − Φ 1 B 12) (1 − B) ( 1 − B 12) X t =<br />
c + (1 + θ 1 B) ( 1 + Θ 1 B 12) a t<br />
↑ ↑<br />
MA MA<br />
reg. est.<br />
Este mo<strong>de</strong>lo se <strong>de</strong>nomina proceso ARIMA(1,1,1)×(1,1,1) 12 .<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Procesos ARIMA estacionales<br />
Operando en la expresión <strong>de</strong>l ARIMA(1,1,1)×(1,1,1) 12<br />
(1 − φ 1 B) ( 1 − Φ 1 B 12) (1 − B) ( 1 − B 12) X t =<br />
c + (1 + θ 1 B) ( 1 + Θ 1 B 12) a t<br />
se obtiene la representación:<br />
X t = c + (1 + φ 1 ) X t−1 − φ 1 X t−2 + (1 + Φ 1 ) X t−12<br />
− (1 + φ 1 + Φ 1 + φ 1 Φ 1 ) X t−13<br />
+ (φ 1 + φ 1 Φ 1 ) X t−14 − Φ 1 X t−24<br />
+ (Φ 1 + φ 1 Φ 1 ) X t−25 − φ 1 Φ 1 X t−26<br />
+a t + θ 1 a t−1 + Θ 1 a t−12 + θ 1 Θ 1 a t−13<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Procesos ARIMA estacionales<br />
Un proceso ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q) s (o ARIMA estacional<br />
multiplicativo) es aquél que, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> aplicarle d diferencias<br />
regulares y D diferencias estacionales <strong>de</strong> período s, se corvierte<br />
en un proceso ARMA(p,q)×(P,Q) s .<br />
Equivalentemente:<br />
{X t } t<br />
es un proceso ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q) s (o ARIMA<br />
estacional multiplicativo) si admite una representación <strong>de</strong>l tipo:<br />
φ (B) Φ (B s ) (1 − B) d (1 − B s ) D X t = c + θ (B) Θ (B s ) a t ,<br />
don<strong>de</strong> el polinomio φ (z) Φ (z s ) no tiene raíces <strong>de</strong> módulo 1.<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos ARIMA estacionales<br />
El proceso ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q) s :<br />
Es estacionario cuando d = D = 0 (se convierte en un<br />
proceso ARMA(p,q)×(P,Q) s ).<br />
Generaliza a todos los procesos que hemos estudiado.<br />
Captura no estacionarieda<strong>de</strong>s provocadas por la presencia<br />
<strong>de</strong> ten<strong>de</strong>ncia.<br />
Captura no estacionarieda<strong>de</strong>s provocadas por la presencia<br />
<strong>de</strong> componente estacional.<br />
Es, posiblemente, el proceso más utilizado en la<br />
mo<strong>de</strong>lización <strong>de</strong> series <strong>de</strong> tiempo univariantes.<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Procesos ARIMA estacionales<br />
En la práctica, ante una serie real,...<br />
¿cuándo propondremos un ARIMA estacional como su generador?<br />
Cuando <strong>de</strong>tectemos no estacionariedad motivada por la<br />
presencia <strong>de</strong> componente estacional. La presencia <strong>de</strong><br />
componente estacional en una serie (y, por tanto, la necesidad<br />
<strong>de</strong> diferenciarla estacionalmente para eliminarla) suele ser<br />
<strong>de</strong>latada por:<br />
El gráfico <strong>de</strong> la serie frente al tiempo.<br />
La fas muestral:<br />
Presenta fuerte correlación en el retardo estacional (y,<br />
posiblemente, en sus múltiplos),<br />
Presenta periodicidad <strong>de</strong>l mismo periodo que la serie,<br />
Converge lentamente a cero a medida que el retardo crece.<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
A veces, la ten<strong>de</strong>ncia enmascara a la componente estacional.<br />
Por tanto, si <strong>de</strong>tectamos ten<strong>de</strong>ncia comenzaremos por<br />
eliminarla. Posteriormente, estudiaremos la posible presencia <strong>de</strong><br />
componente estacional en la serie sin ten<strong>de</strong>ncia.<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Serie original<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
Serie diferenciada regularmente<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Serie dif. reg. y estac. (s=12)<br />
Conclusión<br />
Los gráficos estudiados<br />
sugieren que la serie original:<br />
1 No es estacionaria.<br />
2 Ha sido generada por un<br />
proceso<br />
ARIMA(0,1,1)×(0,1,1) 12 ,<br />
o quizás por un<br />
ARIMA(1,1,0)×(0,1,1) 12 .<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Heterocedasticidad<br />
En los estudios teóricos y prácticos realizados hasta ahora, la<br />
falta <strong>de</strong> estacionariedad venía provocada por la presencia <strong>de</strong><br />
ten<strong>de</strong>ncia y/o componente estacional (el valor medio no es<br />
constante o estable).<br />
Aplicando diferencias (regulares y/o estacionales,<br />
respectivamente) conseguíamos eliminar este tipo <strong>de</strong> no<br />
estacionariedad.<br />
Otra fuente que provoca falta <strong>de</strong> estacionariedad es la<br />
heterocedasticidad (la varianza no es constante o estable).<br />
A continuación veremos cómo eliminar la heterocedasticidad.<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
En el gráfico <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha, se<br />
intuye que la variabilidad <strong>de</strong> la<br />
serie no es constante.<br />
Concretamente, parece que la<br />
variabilidad aumenta al hacerlo<br />
el nivel <strong>de</strong> la serie.<br />
Serie heterocedástica<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
En el gráfico <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha, se<br />
muestra la serie transformada a<br />
través <strong>de</strong> la función logaritmo<br />
neperiano.<br />
Se observa que la aplicación <strong>de</strong><br />
dicha función ha conseguido<br />
estabilizar la varianza.<br />
Serie homocedástica<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
TRANSFORMACIONES PARA ESTABILIZAR LA VARIANZA<br />
Transformaciones <strong>de</strong> Box-Cox<br />
La familia <strong>de</strong> transformaciones<br />
<strong>de</strong> Box-Cox se <strong>de</strong>fine como<br />
aquélla que transforma a x t en:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
xt λ − 1<br />
, si λ ≠ 0<br />
λ<br />
ln(x t ), si λ = 0<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong><br />
Si la <strong>de</strong>sviación típica es<br />
una función potencial <strong>de</strong> la<br />
media (σ t = kµ t 1−λ ),<br />
entonces la transformación<br />
<strong>de</strong> Box-Cox con parámetro<br />
λ consigue estabilizar la<br />
varianza.<br />
Un situación muy usual es<br />
aquélla en que σ t = kµ t .<br />
En este caso, la aplicación<br />
<strong>de</strong>l logaritmo neperiano<br />
estabiliza la varianza.
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Resumen<br />
De manera esquemática, las etapas a seguir para i<strong>de</strong>ntificar un<br />
mo<strong>de</strong>lo como posible generador <strong>de</strong> una serie <strong>de</strong> tiempo son:<br />
1 Si la serie presenta heterocedasticidad, eliminarla a través<br />
<strong>de</strong> una transformación <strong>de</strong> Box-Cox.<br />
2 Si la serie (quizás transformada en la etapa 1) presenta<br />
ten<strong>de</strong>ncia, eliminarla a través <strong>de</strong> la diferenciación regular.<br />
3 Si la serie (quizás transformada en las etapas 1 y/o 2)<br />
presenta componente estacional, eliminarla a través <strong>de</strong> la<br />
diferenciación estacional.<br />
4 I<strong>de</strong>ntificar un mo<strong>de</strong>lo ARMA para la serie (quizás<br />
transformada en las etapas 1, 2 y/o 3).<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Serie y serie transformada (ln)<br />
Serie transformada (ln)<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong>
Mo<strong>de</strong>los Box-Jenkins<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Tiempo</strong><br />
Germán<br />
Aneiros Pérez<br />
Introducción<br />
Procesos<br />
ARMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Procesos<br />
ARIMA<br />
estacionales:<br />
Construcción<br />
e<br />
i<strong>de</strong>ntificación<br />
Estimación<br />
Diagnosis<br />
Selección <strong>de</strong>l<br />
Dif. reg. <strong>de</strong>l ln <strong>de</strong> la serie<br />
Germán Aneiros Pérez<br />
Conclusión<br />
Los gráficos estudiados<br />
sugieren que:<br />
<strong>Series</strong> <strong>de</strong> <strong>Tiempo</strong><br />
1 La serie original no es<br />
estacionaria ni en media ni<br />
en varianza.<br />
2 La serie transformada a<br />
través <strong>de</strong>l logaritmo<br />
neperiano ha sido<br />
generada por un proceso<br />
ARIMA(1,1,0),<br />
ARIMA(0,1,1) o<br />
ARIMA(0,1,2).