Función logaritmo natural

Unidad III

Álgebra
Esquema conceptual: Unidad III
76
Progresión geométrica
creciente
Progresión geométrica
decreciente
Determinación del
n-ésimo término de una
progresión geométrica
Determinación de la
suma de los términos
de una progresión
geométrica
4. Progresiones
geométricas
1. Funciones
exponenciales
UNIDAD III
Funciones exponenciales
y logarítmicas
Definición de funciones
exponenciales
Representación
gráfica de la función
exponencial
Propiedades de la
función exponencial
Función exponencial
natural
Determinación del
n-ésimo
Término de una
progresión aritmética
Suma de los términos
de una progresión
aritmética
3. Progresiones
aritméticas
2. Funciones
logarítmicas
Forma general de una
función logarítmica
Propiedades de la
función logarítmica
Función logaritmo
natural
Propiedades de una
función logaritmo
natural
Representación
gráfica de la función
exponencial

Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Semana 4
Presentación
Los exponentes se introducen en matemáticas como un método para la
representación abreviada del producto de varios factores semejantes,
operaciones que se realizan constantemente en el ámbito financiero, de negocios,
etcétera.
En este capítulo se revisarán las funciones exponenciales y sus funciones
complementarias (funciones logarítmicas) y sus casos especiales: la función
exponencial natural y logaritmo natural.
Objetivos específicos
• El estudiante explicará las principales características de las funciones exponenciales
y logarítmicas, e identificará sus gráficas.
77
Tema y subtemas
III Funciones exponenciales y logarítmicas
III.1 Funciones exponenciales
III.2 Funciones logarítmicas

Álgebra
III.1 Funciones exponenciales
Definición de funciones
exponenciales
Sea a un número real positivo, entonces se denomina función exponencial a la
función que hace corresponder la potencia a cada valor x del dominio a x . Se dice
que dicha función es de base a y exponente x. La representación general de una
función exponencial de base a y exponente x, viene dada por: f(x)=k∙a x ó y=k∙a x
en donde k también es un número real.
Ejercicios. Determina los valores de k y a para las funciones exponenciales:
x
• −5
• 4(2 x
) • −3(5 x
)
Soluciones:
• k = −1 y a = 5 • k = 4 y a = 2 • k = −3 y a = 5
Representación gráfica de la función exponencial
La representación gráfica de una función exponencial se realiza a través de la tabulación
de valores. Por ejemplo:
78
Graficar la función y = −5 x para x∊[−3,3]
X −3 −2 −1 0 1 2 3
Y −0.008 0.04 −0.2 1 −5 25 −125
0
y = −5 x
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−3 −2 −1 0 1 2 3

Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Se procederá de igual manera para las siguientes funciones:
x
5
x
• • 3
• –3 x
/2
2
Ejemplos de gráficas de
funciones
que tienen las siguientes representaciones gráficas:
y = 3 x
20
15
10
5
0
79
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
y = −2 x
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−3 −2 −1 0 1 2 3

Álgebra
0
y = (−1/2)3 x
−2
−4
−6
−8
−10
−3 −2 −1 0 1 2 3
80
Propiedades de la función exponencial
Si a y b son dos números reales positivos, y x, y son dos números reales, entonces
se cumplen las siguientes propiedades.
Ejemplos de
propiedades de la
función exponencial
1. a x ∙ a y = a x+y
2.
a x
a y =
a x-y
3. (a x ) y =a xy
Ejercicios:
4. (a∙b) x =a x ·b x
5.
6.
a x
a
=
a x
b x
=
b a
Utilizando las propiedades de la función exponencial, reescribe las siguientes
expresiones.
• 2⁵ ∙ 2³ =
• 2 5
=
2 3
• (2⁵)³ =
• (2 ∙ 4)³ =
• 2 3
=
4
• 2 –3
=
4

Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Soluciones:
• 2⁵∙ 2³ = 2⁵ +
³ = 2 8
•
2 5
= 2⁵
2 3
− ³ = 2 2
• (2⁵)³ = 2¹⁵
• (2 ∙ 4)³ = 2³ ∙ 4 ³
2 3
• =
4
23
4 3
•
2 –3
=
4 3
4 2 = 2³
Función exponencial natural
En diversos cálculos financieros y científicos se utiliza la función exponencial natural.
Esta función tiene la forma:
y = ke x
donde k es un número real, x es un real positivo y e se denomina número de Euler
que es la base de los logaritmos naturales y que corresponde al irracional:
e = 2.7182818284…
La función y = e x , tiene la siguiente representación gráfica:
81
18
16
14
y = exp(x)
12
10
8
6
4
2
0
−3 −2 −1 0 1 2 3
¿Por qué se le denomina exponencial natural a la función y=e x ?

Álgebra
III.2 Funciones logarítmicas
La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial.
Forma general de una función logarítmica
Definición
Una función logarítmica tiene la forma general:
y = log a
x
donde log a
x es el logaritmo en base a de x.
Ejemplo:
log a
x = b significa que x = a b
En el sistema decimal se tiene que la base a es igual a 10, luego:
1. log 100=2, ya que 100 = 10²
10
2. log 1000=3, ya que 1,000 = 10³
10
82
3. log 10000=4, ya que 10,000 = 104
10
Propiedades de las funciones logarítmicas
Descripción
de las propiedades
de las funciones
logarítmicas
Si a es un número real positivo y x, y y n son números reales, entonces se cumplen
las siguientes propiedades:
1. log x ∙ y = log x + log y
a a a
2. log
x
a y = log x − log y
a a
3. loga xn = nlog a
x
4. log 1 = 0 a
5. log a =1 a

Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Ejercicios:
Utilizando las propiedades de la función exponencial, transforma las siguientes
expresiones:
Ejemplos de
propiedades de las
funciones logarítmicas
1. log 3 ∙ 5 =
10
2. log 3 =
10
5
3. log 3² = 10
4. log 1 = 10
5. log 10 =
10
Soluciones:
1. log 3 ∙ 5 = log 3 + log 5
10 10 10
2. log 3 = log 3 − log 10
5
5
10 10
3. log 3² = 2log 3
10 10
4. log 1 = 0
10
83
5. log 10 = 1
10
Función logaritmo natural
La función logaritmo natural denotada por f(x) = ln x, es la inversa de la función
exponencial f(x) = e x .
Es importante establecer que la función logaritmo natural únicamente puede
definirse para números reales mayores que cero. Esta función toma como base el
valor del número e = 2.7182818284 es decir, log e
x.
En la práctica suele escribirse ln x en lugar de log e
x.
Definición de la función
logaritmo natural

Álgebra
Propiedades de una función logaritmo natural
Descripción de las
propiedades de una
función logaritmo
natural
Como la función logaritmo natural es un caso en particular de la función logaritmo,
entonces cumple con las mismas propiedades.
Si a y b son dos números reales positivos y n es real, entonces se tiene que:
1. ln a ∙ b = ln a + ln b
4.
ln 1 = 0
2.
ln
a
= ln a – ln b
b
3. ln a n = n ln a
5. ln e = 1
Ejercicio:
Ejemplos propiedades
de una función
logaritmo natural
Utilizando las propiedades del logaritmo natural, transforma las siguientes
expresiones:
1. ln 2 ∙ 3 =
2. ln 2 =
3. ln 2⁵ =
3
Solución:
84
1. ln 2 ∙ 3 = ln 2 + ln 3 2. ln 2 = ln 2 − ln 3 3. ln 2⁵ = 5 ln 2
3
Representación gráfica de la función logaritmo natural
Gráfica de la función
logaritmo natural
La función f(x) = ln x para x∊[1, 10] tiene la siguiente representación gráfica:
2
y = ln (x)
1.5
1
0.5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
que se obtiene por tabulación de valores.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 0 0.6931472 1.098612 1.386294 1.609 1.792 1.946 2.08 2.197 2.303

Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Reactivos de autoevaluación
Instrucciones: Escribe en la línea la letra correspondiente, F para falso y V para verdadero.
1. Una función exponencial asigna a cada valor x del dominio el valor de su logaritmo. _____
2. En la función f(x) = k ∙ a x , el valor a se denomina base. _____
3.
7⁴ ∙ 7² = 7⁶
_____
4.
= 8⁷ _____
5.
(2³)⁴ = 2⁷
_____
6. p ∙ q x = q x ∙ p x _____
7.
8.
p x p x
q = q
_____
p x
p –x
q = q
_____
9. log p ∙ q = log k ∙ q _____
k p
p
10. log = log
k q k
p − log k
q _____
85
11. logk xm = xlog m
x k _____
12. log 1 = 0 _____
k
13. ln p ∙ q = ln p + ln q _____
p
14. log q = ln p − ln q _____
15. ln e = 0 _____

Álgebra
Glosario
Base: Valor que se eleva a una potencia.
Exponente: Potencia a la que se eleva una cantidad.
Logaritmo: Exponente al que se eleva una base para obtener un valor.
Logaritmo natural: Logaritmos que toman como base el número de Euler.
Número de Euler: Base de los logaritmos naturales, su valor es aproximadamente
2.718281…
Fuentes de información
Hasser, Norman B. (2002). Análisis Matemático. Curso de Introducción. Vol. 1.
México: Trillas.
Leithold, Louis (2003, 7a edición). El cálculo. México: Oxford University Press.
Swokowski. Earl (2003, 2a edición). Cálculo con Geometría Analítica. México:
Grupo Editorial Iberoamericana.
86

Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Panel de verificación
Instrucciones: Escribe en la línea la letra correspondiente, F para falso y V para verdadero.
1. Una función exponencial asigna a cada valor x del dominio el valor de su logaritmo. _____ F
2. En la función f(x) = k ∙ a x , el valor a se denomina base. _____ V
3.
7⁴ ∙ 7² = 7⁶
_____ V
4.
= 8⁷ _____ F
5.
(2³)⁴ = 2⁷
_____ F
6. p ∙ q x = q x ∙ p x _____ V
7.
8.
p x p x
q = q
_____ F
p x
p –x
q = q
_____ F
9. log p ∙ q = log k ∙ q _____ F
k p
p
10. log q = log V
k k
p − log k
q _____
87
11. logk = xlog m
x k
12. log k
13. ln p ∙ q = ln p + ln q
_____ F
V
_____ V
14. log
p
q = ln p − ln q _____ V
15. ln e = 0 _____ F