Función logaritmo natural
Función logaritmo natural
Función logaritmo natural
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Unidad III
Álgebra<br />
Esquema conceptual: Unidad III<br />
76<br />
Progresión geométrica<br />
creciente<br />
Progresión geométrica<br />
decreciente<br />
Determinación del<br />
n-ésimo término de una<br />
progresión geométrica<br />
Determinación de la<br />
suma de los términos<br />
de una progresión<br />
geométrica<br />
4. Progresiones<br />
geométricas<br />
1. Funciones<br />
exponenciales<br />
UNIDAD III<br />
Funciones exponenciales<br />
y logarítmicas<br />
Definición de funciones<br />
exponenciales<br />
Representación<br />
gráfica de la función<br />
exponencial<br />
Propiedades de la<br />
función exponencial<br />
Función exponencial<br />
<strong>natural</strong><br />
Determinación del<br />
n-ésimo<br />
Término de una<br />
progresión aritmética<br />
Suma de los términos<br />
de una progresión<br />
aritmética<br />
3. Progresiones<br />
aritméticas<br />
2. Funciones<br />
logarítmicas<br />
Forma general de una<br />
función logarítmica<br />
Propiedades de la<br />
función logarítmica<br />
Función <strong>logaritmo</strong><br />
<strong>natural</strong><br />
Propiedades de una<br />
función <strong>logaritmo</strong><br />
<strong>natural</strong><br />
Representación<br />
gráfica de la función<br />
exponencial
Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas<br />
Semana 4<br />
Presentación<br />
Los exponentes se introducen en matemáticas como un método para la<br />
representación abreviada del producto de varios factores semejantes,<br />
operaciones que se realizan constantemente en el ámbito financiero, de negocios,<br />
etcétera.<br />
En este capítulo se revisarán las funciones exponenciales y sus funciones<br />
complementarias (funciones logarítmicas) y sus casos especiales: la función<br />
exponencial <strong>natural</strong> y <strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong>.<br />
Objetivos específicos<br />
• El estudiante explicará las principales características de las funciones exponenciales<br />
y logarítmicas, e identificará sus gráficas.<br />
77<br />
Tema y subtemas<br />
III Funciones exponenciales y logarítmicas<br />
III.1 Funciones exponenciales<br />
III.2 Funciones logarítmicas
Álgebra<br />
III.1 Funciones exponenciales<br />
Definición de funciones<br />
exponenciales<br />
Sea a un número real positivo, entonces se denomina función exponencial a la<br />
función que hace corresponder la potencia a cada valor x del dominio a x . Se dice<br />
que dicha función es de base a y exponente x. La representación general de una<br />
función exponencial de base a y exponente x, viene dada por: f(x)=k∙a x ó y=k∙a x<br />
en donde k también es un número real.<br />
Ejercicios. Determina los valores de k y a para las funciones exponenciales:<br />
x<br />
• −5<br />
• 4(2 x<br />
) • −3(5 x<br />
)<br />
Soluciones:<br />
• k = −1 y a = 5 • k = 4 y a = 2 • k = −3 y a = 5<br />
Representación gráfica de la función exponencial<br />
La representación gráfica de una función exponencial se realiza a través de la tabulación<br />
de valores. Por ejemplo:<br />
78<br />
Graficar la función y = −5 x para x∊[−3,3]<br />
X −3 −2 −1 0 1 2 3<br />
Y −0.008 0.04 −0.2 1 −5 25 −125<br />
0<br />
y = −5 x<br />
−10<br />
−20<br />
−30<br />
−40<br />
−50<br />
−60<br />
−70<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3
Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas<br />
Se procederá de igual manera para las siguientes funciones:<br />
x<br />
5<br />
x<br />
• • 3<br />
• –3 x<br />
/2<br />
2<br />
Ejemplos de gráficas de<br />
funciones<br />
que tienen las siguientes representaciones gráficas:<br />
y = 3 x<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
79<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3<br />
0<br />
y = −2 x<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
−6<br />
−7<br />
−8<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3
Álgebra<br />
0<br />
y = (−1/2)3 x<br />
−2<br />
−4<br />
−6<br />
−8<br />
−10<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3<br />
80<br />
Propiedades de la función exponencial<br />
Si a y b son dos números reales positivos, y x, y son dos números reales, entonces<br />
se cumplen las siguientes propiedades.<br />
Ejemplos de<br />
propiedades de la<br />
función exponencial<br />
1. a x ∙ a y = a x+y<br />
2.<br />
a x<br />
a y =<br />
a x-y<br />
3. (a x ) y =a xy<br />
Ejercicios:<br />
4. (a∙b) x =a x ·b x<br />
5.<br />
6.<br />
a x<br />
a<br />
=<br />
a x<br />
b x<br />
=<br />
b a<br />
Utilizando las propiedades de la función exponencial, reescribe las siguientes<br />
expresiones.<br />
• 2⁵ ∙ 2³ =<br />
• 2 5<br />
=<br />
2 3<br />
• (2⁵)³ =<br />
• (2 ∙ 4)³ =<br />
• 2 3<br />
=<br />
4<br />
• 2 –3<br />
=<br />
4
Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas<br />
Soluciones:<br />
• 2⁵∙ 2³ = 2⁵ +<br />
³ = 2 8<br />
•<br />
2 5<br />
= 2⁵<br />
2 3<br />
− ³ = 2 2<br />
• (2⁵)³ = 2¹⁵<br />
• (2 ∙ 4)³ = 2³ ∙ 4 ³<br />
2 3<br />
• =<br />
4<br />
23<br />
4 3<br />
•<br />
2 –3<br />
=<br />
4 3<br />
4 2 = 2³<br />
Función exponencial <strong>natural</strong><br />
En diversos cálculos financieros y científicos se utiliza la función exponencial <strong>natural</strong>.<br />
Esta función tiene la forma:<br />
y = ke x<br />
donde k es un número real, x es un real positivo y e se denomina número de Euler<br />
que es la base de los <strong>logaritmo</strong>s <strong>natural</strong>es y que corresponde al irracional:<br />
e = 2.7182818284…<br />
La función y = e x , tiene la siguiente representación gráfica:<br />
81<br />
18<br />
16<br />
14<br />
y = exp(x)<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
−3 −2 −1 0 1 2 3<br />
¿Por qué se le denomina exponencial <strong>natural</strong> a la función y=e x ?
Álgebra<br />
III.2 Funciones logarítmicas<br />
La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial.<br />
Forma general de una función logarítmica<br />
Definición<br />
Una función logarítmica tiene la forma general:<br />
y = log a<br />
x<br />
donde log a<br />
x es el <strong>logaritmo</strong> en base a de x.<br />
Ejemplo:<br />
log a<br />
x = b significa que x = a b<br />
En el sistema decimal se tiene que la base a es igual a 10, luego:<br />
1. log 100=2, ya que 100 = 10²<br />
10<br />
2. log 1000=3, ya que 1,000 = 10³<br />
10<br />
82<br />
3. log 10000=4, ya que 10,000 = 104<br />
10<br />
Propiedades de las funciones logarítmicas<br />
Descripción<br />
de las propiedades<br />
de las funciones<br />
logarítmicas<br />
Si a es un número real positivo y x, y y n son números reales, entonces se cumplen<br />
las siguientes propiedades:<br />
1. log x ∙ y = log x + log y<br />
a a a<br />
2. log<br />
x<br />
a y = log x − log y<br />
a a<br />
3. loga xn = nlog a<br />
x<br />
4. log 1 = 0 a<br />
5. log a =1 a
Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas<br />
Ejercicios:<br />
Utilizando las propiedades de la función exponencial, transforma las siguientes<br />
expresiones:<br />
Ejemplos de<br />
propiedades de las<br />
funciones logarítmicas<br />
1. log 3 ∙ 5 =<br />
10<br />
2. log 3 =<br />
10<br />
5<br />
3. log 3² = 10<br />
4. log 1 = 10<br />
5. log 10 =<br />
10<br />
Soluciones:<br />
1. log 3 ∙ 5 = log 3 + log 5<br />
10 10 10<br />
2. log 3 = log 3 − log 10<br />
5<br />
5<br />
10 10<br />
3. log 3² = 2log 3<br />
10 10<br />
4. log 1 = 0<br />
10<br />
83<br />
5. log 10 = 1<br />
10<br />
Función <strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong><br />
La función <strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong> denotada por f(x) = ln x, es la inversa de la función<br />
exponencial f(x) = e x .<br />
Es importante establecer que la función <strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong> únicamente puede<br />
definirse para números reales mayores que cero. Esta función toma como base el<br />
valor del número e = 2.7182818284 es decir, log e<br />
x.<br />
En la práctica suele escribirse ln x en lugar de log e<br />
x.<br />
Definición de la función<br />
<strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong>
Álgebra<br />
Propiedades de una función <strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong><br />
Descripción de las<br />
propiedades de una<br />
función <strong>logaritmo</strong><br />
<strong>natural</strong><br />
Como la función <strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong> es un caso en particular de la función <strong>logaritmo</strong>,<br />
entonces cumple con las mismas propiedades.<br />
Si a y b son dos números reales positivos y n es real, entonces se tiene que:<br />
1. ln a ∙ b = ln a + ln b<br />
4.<br />
ln 1 = 0<br />
2.<br />
ln<br />
a<br />
= ln a – ln b<br />
b<br />
3. ln a n = n ln a<br />
5. ln e = 1<br />
Ejercicio:<br />
Ejemplos propiedades<br />
de una función<br />
<strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong><br />
Utilizando las propiedades del <strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong>, transforma las siguientes<br />
expresiones:<br />
1. ln 2 ∙ 3 =<br />
2. ln 2 =<br />
3. ln 2⁵ =<br />
3<br />
Solución:<br />
84<br />
1. ln 2 ∙ 3 = ln 2 + ln 3 2. ln 2 = ln 2 − ln 3 3. ln 2⁵ = 5 ln 2<br />
3<br />
Representación gráfica de la función <strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong><br />
Gráfica de la función<br />
<strong>logaritmo</strong> <strong>natural</strong><br />
La función f(x) = ln x para x∊[1, 10] tiene la siguiente representación gráfica:<br />
2<br />
y = ln (x)<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11<br />
que se obtiene por tabulación de valores.<br />
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
y 0 0.6931472 1.098612 1.386294 1.609 1.792 1.946 2.08 2.197 2.303
Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas<br />
Reactivos de autoevaluación<br />
Instrucciones: Escribe en la línea la letra correspondiente, F para falso y V para verdadero.<br />
1. Una función exponencial asigna a cada valor x del dominio el valor de su <strong>logaritmo</strong>. _____<br />
2. En la función f(x) = k ∙ a x , el valor a se denomina base. _____<br />
3.<br />
7⁴ ∙ 7² = 7⁶<br />
_____<br />
4.<br />
= 8⁷ _____<br />
5.<br />
(2³)⁴ = 2⁷<br />
_____<br />
6. p ∙ q x = q x ∙ p x _____<br />
7.<br />
8.<br />
p x p x<br />
q = q<br />
_____<br />
p x<br />
p –x<br />
q = q<br />
_____<br />
9. log p ∙ q = log k ∙ q _____<br />
k p<br />
p<br />
10. log = log<br />
k q k<br />
p − log k<br />
q _____<br />
85<br />
11. logk xm = xlog m<br />
x k _____<br />
12. log 1 = 0 _____<br />
k<br />
13. ln p ∙ q = ln p + ln q _____<br />
p<br />
14. log q = ln p − ln q _____<br />
15. ln e = 0 _____
Álgebra<br />
Glosario<br />
Base: Valor que se eleva a una potencia.<br />
Exponente: Potencia a la que se eleva una cantidad.<br />
Logaritmo: Exponente al que se eleva una base para obtener un valor.<br />
Logaritmo <strong>natural</strong>: Logaritmos que toman como base el número de Euler.<br />
Número de Euler: Base de los <strong>logaritmo</strong>s <strong>natural</strong>es, su valor es aproximadamente<br />
2.718281…<br />
Fuentes de información<br />
Hasser, Norman B. (2002). Análisis Matemático. Curso de Introducción. Vol. 1.<br />
México: Trillas.<br />
Leithold, Louis (2003, 7a edición). El cálculo. México: Oxford University Press.<br />
Swokowski. Earl (2003, 2a edición). Cálculo con Geometría Analítica. México:<br />
Grupo Editorial Iberoamericana.<br />
86
Unidad III. Funciones Exponenciales y Logarítmicas<br />
Panel de verificación<br />
Instrucciones: Escribe en la línea la letra correspondiente, F para falso y V para verdadero.<br />
1. Una función exponencial asigna a cada valor x del dominio el valor de su <strong>logaritmo</strong>. _____ F<br />
2. En la función f(x) = k ∙ a x , el valor a se denomina base. _____ V<br />
3.<br />
7⁴ ∙ 7² = 7⁶<br />
_____ V<br />
4.<br />
= 8⁷ _____ F<br />
5.<br />
(2³)⁴ = 2⁷<br />
_____ F<br />
6. p ∙ q x = q x ∙ p x _____ V<br />
7.<br />
8.<br />
p x p x<br />
q = q<br />
_____ F<br />
p x<br />
p –x<br />
q = q<br />
_____ F<br />
9. log p ∙ q = log k ∙ q _____ F<br />
k p<br />
p<br />
10. log q = log V<br />
k k<br />
p − log k<br />
q _____<br />
87<br />
11. logk = xlog m<br />
x k<br />
12. log k<br />
13. ln p ∙ q = ln p + ln q<br />
_____ F<br />
V<br />
_____ V<br />
14. log<br />
p<br />
q = ln p − ln q _____ V<br />
15. ln e = 0 _____ F