Propagación de luz en medios turbios
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<strong>Propagación</strong> <strong>de</strong> <strong>luz</strong> <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong><br />
Jaime Gómez Rivas<br />
La propagación <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong> ha sido objeto <strong>de</strong> un int<strong>en</strong>sivo estudio <strong>en</strong> los últimos<br />
años. Un medio turbio es aquel <strong>en</strong> el que se produce dispersión múltiple <strong>de</strong> <strong>luz</strong>. Exist<strong>en</strong> interesantes<br />
similitu<strong>de</strong>s <strong>en</strong>tre el transporte <strong>de</strong> electrones <strong>en</strong> sólidos <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>rnados y <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong>,<br />
habi<strong>en</strong>do constituídounretoduranteaños la observación <strong>de</strong>l análogoparala<strong>luz</strong>alalocalización<br />
<strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson <strong>en</strong> sistemas electrónicos. En este artículo se hace una introducción a los aspectos más<br />
relevantes <strong>de</strong>l transporte <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong> y <strong>de</strong> la localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson.<br />
I. INTRODUCCIÓN.<br />
La <strong>luz</strong> se propaga <strong>en</strong> línea recta con int<strong>en</strong>sidad constante<br />
hasta que <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra un obstáculo. Cuando esto<br />
ocurre dos posibles situaciones pue<strong>de</strong>n darse: la <strong>luz</strong> es<br />
absorbida (la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong>ja <strong>de</strong> ser constante) o es dispersada<br />
(la dirección <strong>de</strong> propagación cambia). Cuando<br />
la <strong>luz</strong> <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra más <strong>de</strong> un obstáculo <strong>en</strong> su propagación<br />
através <strong>de</strong> un medio t<strong>en</strong>emos que <strong>en</strong> el medio se produce<br />
dispersión múltiple <strong>de</strong> <strong>luz</strong>. Si el medio pier<strong>de</strong> su transpar<strong>en</strong>cia<br />
<strong>de</strong>bido a la dispersión múltiple <strong>de</strong>cimos que el<br />
medio es turbio.<br />
Es mi int<strong>en</strong>ción introducir <strong>en</strong> este artículo algunos<br />
conceptos básicos <strong>de</strong> la dispersión múltiple <strong>de</strong> <strong>luz</strong> y <strong>de</strong><br />
la propagación <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong>. He int<strong>en</strong>tado<br />
mant<strong>en</strong>er un nivel elem<strong>en</strong>tal para que la lectura sea<br />
am<strong>en</strong>a. Especial interés ha sido puesto <strong>en</strong> los conceptos<br />
básicos <strong>de</strong> la retrodispersión coher<strong>en</strong>te y <strong>de</strong> la localización<br />
<strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson. La localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson para la<br />
<strong>luz</strong> ha sido observada tan solo reci<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te, habri<strong>en</strong>do<br />
el campo a nuevos estudios.<br />
Dispersión múltiple <strong>de</strong> <strong>luz</strong> es un f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>o que <strong>en</strong>contramos<br />
frecu<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te <strong>en</strong> nuestra vida cotidiana. La <strong>luz</strong><br />
que nos llega <strong>de</strong>l sol <strong>en</strong> un día nublado sufre <strong>de</strong> dispersión<br />
múltiple cuando atraviesa las nubes. La leche, la nieve, la<br />
ar<strong>en</strong>a <strong>de</strong> una playa, el tejido humano son también <strong>medios</strong><br />
<strong>turbios</strong>. En g<strong>en</strong>eral, cuando <strong>en</strong> un objeto la dispersión es<br />
efici<strong>en</strong>te para todos los colores o longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda <strong>en</strong> el<br />
visible el objeto es blanco, mi<strong>en</strong>tras que si la absorción<br />
es efici<strong>en</strong>te para todos los colores el objeto es negro.<br />
Durante años los experim<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong><br />
fueron eludidos. Las complicaciones introducidas por la<br />
dispersión múltiple aconsejaron a los investigadores estudiar<br />
sistemas más s<strong>en</strong>cillos. No es <strong>de</strong> extrañar que los<br />
primeros pasos <strong>en</strong> el estudio <strong>de</strong> la dispersión múltiple<br />
<strong>de</strong> <strong>luz</strong> fueran dados por astrofísicos. Los astrofísicos no<br />
pue<strong>de</strong>n permitirse variar las condiciones <strong>de</strong> sus ”experim<strong>en</strong>tos”.<br />
Ti<strong>en</strong><strong>en</strong> que limitarse a observar la <strong>luz</strong> que<br />
llega a los telescopios. La <strong>luz</strong> producida <strong>en</strong> las estrellas<br />
es dispersada <strong>en</strong> el núcleo y <strong>en</strong> la atmósfera estelar.<br />
Para compr<strong>en</strong><strong>de</strong>r las lineas <strong>de</strong> emisión y absorción <strong>de</strong><br />
una atmósfera estelar es necesario incluir los efectos <strong>de</strong><br />
la dispersión múltiple. También la <strong>luz</strong> que nos llega <strong>de</strong><br />
estrellas o galaxias lejanas ha atravesado nubes <strong>de</strong> polvo<br />
interestelar don<strong>de</strong> se produce dispersión múltiple.<br />
Debido a las múltiples similitu<strong>de</strong>s que hay <strong>en</strong>tre el<br />
transporte <strong>de</strong> electrones <strong>en</strong> materiales no cristalinos o<br />
con gran<strong>de</strong>s conc<strong>en</strong>traciones <strong>de</strong> impurezas y <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> <strong>en</strong><br />
<strong>medios</strong> <strong>turbios</strong>, el estudio <strong>de</strong> la propagación <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> <strong>en</strong><br />
estos <strong>medios</strong> ha recobrado interés.<br />
En la segunda sección <strong>de</strong> este artículo se introduce<br />
brevem<strong>en</strong>te la dispersión simple. Las sigui<strong>en</strong>tes secciones<br />
estan <strong>de</strong>dicadas a la dispersión múltiple y a la propagación<br />
<strong>de</strong> la <strong>luz</strong> <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong>. En la tercera sección<br />
se justifica el uso <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> difusión <strong>en</strong> la <strong>de</strong>scripción<br />
<strong>de</strong> la propagación <strong>de</strong> la <strong>luz</strong>, <strong>de</strong>spreciando por<br />
tanto la interfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> ondas. En las secciones IV y<br />
V se plantean dos situaciones <strong>en</strong> las que la interfer<strong>en</strong>cia<br />
ha <strong>de</strong> ser incluída: la retrodispersión coher<strong>en</strong>te y la<br />
localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson.<br />
II. DISPERSIÓN SIMPLE.<br />
El estudio <strong>de</strong> la dispersión múltiple <strong>de</strong> <strong>luz</strong> exige un previo<br />
conocimi<strong>en</strong>to <strong>de</strong> la dispersión simple. La dispersión<br />
por un solo obstáculo o dispersión simple es <strong>de</strong> por si un<br />
complicado problema no resoluble <strong>en</strong> muchas ocasiones.<br />
El inci<strong>de</strong>nte campo electromagnético o <strong>luz</strong>, polariza al<br />
obstáculo. Esta polarización g<strong>en</strong>era un nuevo campo<br />
electromagnético <strong>en</strong>, y alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l obstáculo que influ<strong>en</strong>cia<br />
su polarización etc, etc. El resultante campo<br />
electromagnético o la <strong>luz</strong> dispersada por el obstáculo es<br />
por lo tanto el resultado <strong>de</strong> un complejo proceso <strong>de</strong> recursión.<br />
Sin embargo para obstáculos que son mucho<br />
mayores o mucho m<strong>en</strong>ores que la longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> la<br />
<strong>luz</strong>, λ, el resultado es relativam<strong>en</strong>te s<strong>en</strong>cillo. Po<strong>de</strong>mos<br />
dividir el problema <strong>de</strong> la dispersión simple <strong>en</strong> tres difer<strong>en</strong>tes<br />
regím<strong>en</strong>es: Si la <strong>luz</strong> <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra <strong>en</strong> su propagación un<br />
obstáculo <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>siones mucho mayores que λ estamos<br />
<strong>en</strong> lo que se conoce como el límite <strong>de</strong> la óptica geométrica.<br />
Si el obstáculo es mucho m<strong>en</strong>or que λ nos <strong>en</strong>contramos<br />
<strong>en</strong> el límite <strong>de</strong> Rayleigh y <strong>en</strong> el caso intermedio t<strong>en</strong>emos<br />
el régim<strong>en</strong> <strong>de</strong> dispersión <strong>de</strong> Mie.<br />
En el límite <strong>de</strong> la óptica geométrica la dispersión es<br />
<strong>de</strong>scrita por las leyes <strong>de</strong> Snell para la reflexión y la refracción<br />
y los coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> Fresnel para las amplitu<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> la onda dispersada.<br />
Si un haz <strong>de</strong> <strong>luz</strong> inci<strong>de</strong> sobre un obstáculo, la cantidad<br />
<strong>de</strong> <strong>luz</strong> removida <strong>de</strong>l haz <strong>de</strong>bido a la dispersión vi<strong>en</strong>e<br />
dada por la cantidad <strong>de</strong> <strong>luz</strong> <strong>de</strong>l haz que inci<strong>de</strong> sobre un<br />
área igual a la sección eficaz <strong>de</strong> dispersión <strong>de</strong>l obstáculo,<br />
1
σ. En el límite <strong>de</strong> la óptica geométrica la sección eficaz<strong>de</strong>dispersión<br />
es igual a 2S, don<strong>de</strong> S es la sección<br />
geométrica <strong>de</strong>l obstáculo o su área proyectada <strong>en</strong> el plano<br />
perp<strong>en</strong>dicular a la dirección <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong>l haz inci<strong>de</strong>nte.<br />
A primera vista parece erróneoque<strong>en</strong>unobjeto<br />
<strong>de</strong> gran<strong>de</strong>s dim<strong>en</strong>siones con respecto a λ, σ no sea igual<br />
a S. El orig<strong>en</strong> <strong>de</strong> esta discrepancia está <strong>en</strong> los bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
la sección geométrica don<strong>de</strong> la aproximación <strong>de</strong> la óptica<br />
geométrica no es válida. Así pues, t<strong>en</strong>emos que a<strong>de</strong>más<br />
<strong>de</strong> la <strong>luz</strong> interceptada por S hay una contribución extra<br />
a la dispersión prov<strong>en</strong>i<strong>en</strong>te <strong>de</strong> los bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> S. El<br />
factor <strong>de</strong> efici<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> dispersión, Q, es <strong>de</strong>finido como el<br />
coci<strong>en</strong>te <strong>en</strong>tre la sección eficaz <strong>de</strong> dispersión y la sección<br />
geométrica <strong>de</strong>l obstáculo, Q = σ/S.<br />
En el límite <strong>de</strong> Rayleigh tan sólo el dipolo inducido por<br />
la <strong>luz</strong> inci<strong>de</strong>nte sobre el obstáculo (o <strong>en</strong> este caso mas bi<strong>en</strong><br />
la partícula) contribuye a la dispersión. Enestelímite la<br />
sección eficaz <strong>de</strong> dispersión es proporcional a 1/λ 4 .Esta<br />
int<strong>en</strong>sa <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> σ con la longitud <strong>de</strong> onda es la<br />
responsable <strong>de</strong>l color <strong>de</strong>l cielo <strong>en</strong> una puesta <strong>de</strong> sol: σ<br />
es mayor para longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda cortas. Es <strong>de</strong>cir, la<br />
dispersión es más efici<strong>en</strong>te para el azul que para el rojo.<br />
Si miramos <strong>en</strong> la dirección <strong>de</strong>l sol, el cielo aparece rojizo<br />
porque la <strong>luz</strong> que nos llega no ha sido dispersada <strong>en</strong> su<br />
propagación a través <strong>de</strong> la atmósfera terrestre. En otras<br />
direcciones vemos la <strong>luz</strong> dispersada, si<strong>en</strong>do la dispersión<br />
más efici<strong>en</strong>te para el azul, el cielo adquiere su aspecto<br />
azulado.<br />
En el régim<strong>en</strong> <strong>de</strong> dispersión <strong>de</strong> Mie el problema <strong>de</strong><br />
la dispersión simple es bastante más complicado. Tan<br />
sólo existe solución exacta para obstáculos con geometría<br />
esférica. Fué Mie qui<strong>en</strong>, <strong>en</strong> 1908, pres<strong>en</strong>tó la solución<br />
al problema <strong>de</strong> la dispersión por dichos obstáculos que<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>en</strong>tonces son conocidos como dispersores <strong>de</strong> Mie.<br />
Un dispersor <strong>de</strong> Mie pue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>scrito como un conjunto<br />
<strong>de</strong> elem<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> volum<strong>en</strong>, dV , <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>siones mucho<br />
m<strong>en</strong>ores que λ. La dispersión es por tanto el resultado<br />
<strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> dispersores <strong>de</strong> Rayleigh actuando<br />
<strong>de</strong> forma simultánea. Debio a consi<strong>de</strong>raciones puram<strong>en</strong>te<br />
geométricas, interfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> ondas dispersadas <strong>en</strong> distintos<br />
dV han <strong>de</strong> t<strong>en</strong>erse <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta. En la figura 1 aparece<br />
repres<strong>en</strong>tado el factor <strong>de</strong> efici<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> dispersión <strong>de</strong> una<br />
esfera con índice <strong>de</strong> refracción, n, igual a 2.7 ∗ <strong>en</strong> función<br />
<strong>de</strong> 2πa/λ, don<strong>de</strong> a es el radio <strong>de</strong> la esfera. La solución<br />
<strong>de</strong> Mie es una complicada suma <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> Bessel y<br />
pot<strong>en</strong>ciales <strong>de</strong> Hertz. Este complicado comportami<strong>en</strong>to<br />
pue<strong>de</strong> apreciarse <strong>en</strong> el gran número <strong>de</strong> resonancias que<br />
pres<strong>en</strong>ta Q.<br />
∗ El índice <strong>de</strong> refracción <strong>en</strong> el visible <strong>de</strong> TiO 2 es 2.7. TiO 2<br />
es un material dieléctrico que <strong>de</strong>bido a su elevado indice <strong>de</strong><br />
refracción ha sido int<strong>en</strong>sivam<strong>en</strong>te utilizado <strong>en</strong> experim<strong>en</strong>tos<br />
<strong>de</strong> dispersión múltiple <strong>de</strong> <strong>luz</strong>.<br />
σ / S<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10<br />
2πa/λ<br />
FIG. 1. Factor <strong>de</strong> efici<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> dispersión <strong>de</strong> una esfera con<br />
índice <strong>de</strong> refracción n =2.7 y <strong>de</strong> radio a <strong>en</strong> función <strong>de</strong> 2πa/λ,<br />
don<strong>de</strong> λ es la longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> inci<strong>de</strong>nte <strong>en</strong> la esfera.<br />
III. DISPERSIÓN MÚLTIPLE Y DIFUSIÓN DE<br />
LUZ.<br />
Un concepto fundam<strong>en</strong>tal <strong>en</strong> la <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> la dispersión<br />
múltiple <strong>de</strong> <strong>luz</strong> es el recorrido libre medio, l. El<br />
recorrido libre medio es la longitud característica que<br />
<strong>de</strong>scribe el proceso <strong>de</strong> dispersión y es <strong>de</strong>finido como la<br />
distancia promedio que recorre la <strong>luz</strong> <strong>en</strong>tre dos dispersiones<br />
consecutivas. En un medio turbio, el recorrido libre<br />
medio pue<strong>de</strong> ser expresado, <strong>en</strong> primera aproximación,<br />
<strong>en</strong> términos <strong>de</strong> la sección efficaz <strong>de</strong> dispersión:<br />
l ≃ 1<br />
(1)<br />
ρσ<br />
don<strong>de</strong> ρ es la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> obstáculos o dispersores <strong>en</strong> el<br />
medio. Cuando la <strong>luz</strong> se propaga <strong>en</strong> semejante medio lo<br />
hace sigui<strong>en</strong>do trayectorias aleatorias, se dice que la <strong>luz</strong><br />
realiza un ”random walk” con pasos <strong>de</strong> longitud l si la<br />
dispersión es isótropa. Que la dispersión sea isótropa significa<br />
que la <strong>luz</strong> pier<strong>de</strong> la información sobre su dirección<br />
<strong>de</strong> proce<strong>de</strong>ncia tras cada dispersión. Si iluminamos con<br />
una onda plana (por ejemplo con un laser) una muestra<br />
que conti<strong>en</strong>e pequeñas partículas (por ejemplo <strong>de</strong> TiO 2 ),<br />
la <strong>luz</strong> se propaga sigui<strong>en</strong>do difer<strong>en</strong>tes trayectorias, tal y<br />
como se muestra <strong>en</strong> la figura 2.<br />
2
pue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>scrito, con bastante precisión, por medio <strong>de</strong><br />
la ecuación <strong>de</strong> difusión con el coefici<strong>en</strong>te <strong>de</strong> difusión:<br />
D = 1 vl , (3)<br />
3<br />
FIG. 2. Algunas <strong>de</strong> las posibles trayectorias que sigue la<br />
<strong>luz</strong> cuando se propaga <strong>en</strong> un medio turbio.<br />
A<br />
L<br />
I<br />
don<strong>de</strong> v es la velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> <strong>en</strong> el<br />
medio y l había sido <strong>de</strong>finido como el recorrido libre<br />
medio. El uso <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> difusión simplifica <strong>en</strong>orm<strong>en</strong>te<br />
la <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong>l transporte <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong>.<br />
Po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir que la <strong>luz</strong> se propaga como las bolas <strong>en</strong><br />
un ”pinball”. La int<strong>en</strong>sidad transmitida a través <strong>de</strong> un<br />
medio turbio <strong>de</strong> grosor L y <strong>en</strong> el que sus otras dos dim<strong>en</strong>siones<br />
son mucho mayores que L, que es iluminado por<br />
una onda plana <strong>en</strong> una <strong>de</strong> sus caras, pue<strong>de</strong> ser obt<strong>en</strong>ida<br />
solucionando la ecuación <strong>de</strong> difusión para esta geometría<br />
específica. Esta int<strong>en</strong>sidad vi<strong>en</strong>e dada por:<br />
l<br />
I ≃ I 0<br />
L , (4)<br />
don<strong>de</strong> I 0 es la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong> la onda inci<strong>de</strong>nte. Por lo<br />
tanto <strong>en</strong> un dia nublado cuanto mayor es el grosor <strong>de</strong> las<br />
nubes o cuanto más <strong>de</strong>nsas son estas (m<strong>en</strong>or es l) m<strong>en</strong>os<br />
int<strong>en</strong>sa es la <strong>luz</strong> que nos llega.<br />
II<br />
B<br />
A<br />
I<br />
II<br />
FIG. 3. Dos <strong>de</strong> las posibles trayectorias que pue<strong>de</strong> tomar<br />
la <strong>luz</strong> <strong>en</strong> su propagación <strong>en</strong> un medio turbio <strong>de</strong>s<strong>de</strong> Aa B.<br />
Cuando estudiamos la propagación <strong>de</strong> una onda <strong>en</strong>tre<br />
dos puntos (figura 3), todas las posibles trayectorias han<br />
<strong>de</strong> t<strong>en</strong>erse <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta. Por simplicar, <strong>en</strong> la figura 3 tan<br />
solo se muestran dos <strong>de</strong> esas trayectorias. Llamando a I<br />
y a II a las amplitu<strong>de</strong>s complejas <strong>de</strong> la onda a lo largo <strong>de</strong><br />
las trayectorias I y II respectivam<strong>en</strong>te, la probabilidad,<br />
P , que ti<strong>en</strong>e la onda <strong>de</strong> llegar a B <strong>de</strong>s<strong>de</strong> A (o la intesidad<br />
<strong>de</strong> la onda <strong>en</strong> B habi<strong>en</strong>do sido emitida <strong>de</strong>s<strong>de</strong> A) vi<strong>en</strong>e<br />
dada por el cuadrado <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> las amplitu<strong>de</strong>s:<br />
P =(a I + a II ) 2 = a 2 I + a 2 II +2a I a II (2)<br />
a 2 I y a2 II constituy<strong>en</strong> los términos incoher<strong>en</strong>tes mi<strong>en</strong>tras<br />
que 2a I a II es el término <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> las ondas<br />
que han propagado sigui<strong>en</strong>do trayectorias distintas. Al<br />
consi<strong>de</strong>rar todas las posibles trayectorias, los términos <strong>de</strong><br />
interfer<strong>en</strong>cia t<strong>en</strong>drán distintas magnitu<strong>de</strong>s y signos. Por<br />
lo tanto se cancelarán <strong>en</strong>tre ellos y <strong>en</strong> promedio po<strong>de</strong>mos<br />
<strong>de</strong>scribir la propagación <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> sin consi<strong>de</strong>rar la interfer<strong>en</strong>cia.<br />
Este resultado ti<strong>en</strong>e importantes consecu<strong>en</strong>cias,<br />
ya que al obviar la interfer<strong>en</strong>cia, el transporte <strong>de</strong> <strong>luz</strong><br />
FIG. 4. Trayectoria cerrada (<strong>de</strong> Aa A) que pue<strong>de</strong> seguir la<br />
<strong>luz</strong> <strong>en</strong> un medio turbio. Esta trayectoria pue<strong>de</strong> ser recorrida<br />
<strong>en</strong> s<strong>en</strong>tidos opuestos.<br />
IV. RETRODISPERSIÓN COHERENTE<br />
En la sección anterior se dijo que el término <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia<br />
<strong>de</strong> la <strong>luz</strong> propagando <strong>en</strong>tre dos puntos <strong>de</strong> un<br />
medio turbio es cero si consi<strong>de</strong>ramos todas las posibles<br />
trayectorias <strong>en</strong>tre dichos puntos. Sin embargo esto no<br />
es completam<strong>en</strong>te correcto. Existe un tipo <strong>de</strong> interfer<strong>en</strong>cia<br />
que siempre sobrevive al <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>n. Esta interfer<strong>en</strong>cia<br />
ocurre <strong>en</strong> la dirección <strong>de</strong> retrodispersión. Las ondas que<br />
viajan a lo largo <strong>de</strong> una trayectoria <strong>en</strong> s<strong>en</strong>tidos opuestos<br />
estan siempre <strong>en</strong> fase y por lo tanto interfier<strong>en</strong> constructivam<strong>en</strong>te.<br />
Para <strong>en</strong>t<strong>en</strong><strong>de</strong>r ésto mejor po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar<br />
la probabilidad que ti<strong>en</strong>e una onda <strong>de</strong> regresar al punto<br />
<strong>de</strong> partida tras propagar a lo largo <strong>de</strong> una trayectoria <strong>en</strong><br />
un medio turbio.<br />
3
Tal y como aparece ilustrado <strong>en</strong> la figura 4, dicha<br />
trayectoria pue<strong>de</strong> ser recorrida <strong>en</strong> s<strong>en</strong>tidos opuestos,<br />
si<strong>en</strong>do la longitud <strong>de</strong> ambos caminos igual y por tanto<br />
la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase, ∆φ, igual a 0. Por consigui<strong>en</strong>te, si<br />
iluminamos con una onda plana un medio turbio y observamos<br />
la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> difusa reflejada t<strong>en</strong>emos<br />
que ésta pres<strong>en</strong>ta un máximo <strong>en</strong> la dirección <strong>de</strong> retrodispersión.<br />
Si la dirección <strong>de</strong> observación no es exactam<strong>en</strong>te<br />
igual a la dirección <strong>en</strong> la que inci<strong>de</strong> la onda se g<strong>en</strong>era una<br />
difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase <strong>en</strong>tre las ondas que propagan <strong>en</strong> s<strong>en</strong>tidos<br />
opuestos. La difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase se increm<strong>en</strong>ta con<br />
el ángulo que forman ambas direcciones. Esto aparece<br />
ilustrado <strong>en</strong> la figura 5 don<strong>de</strong> por simplificar se repres<strong>en</strong>ta<br />
la trayectoria <strong>de</strong> una onda que es dispersada tan<br />
sólo tres veces. La difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase <strong>en</strong>tre los dos caminos<br />
repres<strong>en</strong>tados <strong>en</strong> la figura 5 vi<strong>en</strong>e expresada por:<br />
θ<br />
FIG. 5. Trayectorias recorridas <strong>en</strong> s<strong>en</strong>tidos opuestos por la<br />
<strong>luz</strong> <strong>en</strong> un medio turbio. En la dirección <strong>de</strong> retrodispersión<br />
(θ = 0) la longitud <strong>de</strong> ambas trayectorias es la misma, si<strong>en</strong>do<br />
la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase 0.<br />
I<br />
α<br />
θ<br />
r<br />
∆φ = 2π λ r[sin α − sin(α − θ)] = 4π r cos(α − θ/2) sin(θ/2) .<br />
λ<br />
(5)<br />
Claram<strong>en</strong>te, <strong>en</strong> la dirección <strong>de</strong> retrodispersión (θ =0)<br />
∆φ = 0 y la interfer<strong>en</strong>cia es constructiva. Al increm<strong>en</strong>tar<br />
θ la interfer<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> una trayectoria oscilará <strong>en</strong>tre interfer<strong>en</strong>cia<br />
constructiva y <strong>de</strong>structiva, tal y como aparece<br />
ilustrado <strong>en</strong> la figura 6. En la figura 6 la int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong>bida<br />
a tres posibles trayectorias se repres<strong>en</strong>ta <strong>en</strong> función<br />
<strong>de</strong> θ. En la dirección <strong>de</strong> retrodispersión todas las trayectorias<br />
contribuy<strong>en</strong> constructivam<strong>en</strong>te a la interfer<strong>en</strong>cia.<br />
Este f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>o se <strong>de</strong>nomina retrodispersión coher<strong>en</strong>te y<br />
al increm<strong>en</strong>to <strong>de</strong> la int<strong>en</strong>sidad <strong>en</strong> torno a θ = 0 se le <strong>de</strong>nomina<br />
cono <strong>de</strong> retrodispersión y aperece repres<strong>en</strong>tado<br />
<strong>en</strong> la figura 7. El cono <strong>de</strong> retrodispersión fue por vez<br />
primera observado <strong>en</strong> 1985. Tal y como se ilustra <strong>en</strong> la<br />
figura 8, <strong>en</strong> este experim<strong>en</strong>to la <strong>luz</strong> <strong>de</strong> un laser era <strong>en</strong>viada<br />
a traves <strong>de</strong> un beamsplitter e incidía <strong>en</strong> un muestra<br />
compuesta por pequeñas partículas que actuaban <strong>de</strong> dispersores.<br />
La <strong>luz</strong> dispersada por la muestra <strong>en</strong> la dirección<br />
<strong>de</strong> retrodispersión era reflejada por el beam splitter e incidía<br />
<strong>en</strong> el <strong>de</strong>tector. El <strong>de</strong>tector era movido alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong><br />
la posición <strong>de</strong> retrodispersión registrando el cambio <strong>en</strong> la<br />
int<strong>en</strong>sidad.<br />
Cono <strong>de</strong> Retrodispersion<br />
0<br />
θ<br />
Int<strong>en</strong>sidad<br />
FIG. 6. Int<strong>en</strong>sidad <strong>en</strong> función <strong>de</strong>l ángulo que forma la dirección<br />
<strong>de</strong>l haz inci<strong>de</strong>nte con la dirección <strong>de</strong> observación para<br />
tres trayectoria <strong>en</strong> un medio turbio. La int<strong>en</strong>sidad oscila <strong>en</strong><br />
función <strong>de</strong> la difer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> fase <strong>de</strong> las ondas propagando <strong>en</strong><br />
s<strong>en</strong>tidos opuestos.<br />
Luz difusa reflejada<br />
FIG. 7. Int<strong>en</strong>sidad <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> dispersada por un medio turbio<br />
<strong>en</strong> función <strong>de</strong>l ángulo que forma la dirección <strong>de</strong>l haz inci<strong>de</strong>nte<br />
con la dirección <strong>de</strong> observación. Para ángulos <strong>en</strong> torno a<br />
0 la int<strong>en</strong>sidad es superior al fondo <strong>de</strong> <strong>luz</strong> difusa (cono <strong>de</strong><br />
retrodispersión).<br />
0<br />
Tras este primer experim<strong>en</strong>to hubo un creci<strong>en</strong>te interés<br />
<strong>en</strong> el campo <strong>de</strong> la dispersión múltiple <strong>de</strong> <strong>luz</strong>. La retrodispersión<br />
coher<strong>en</strong>te fué i<strong>de</strong>ntificada como la precursora <strong>de</strong><br />
la localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> (sección 5) y fue<br />
<strong>de</strong>nominada localización <strong>de</strong>bil. Importante información<br />
<strong>de</strong>l medio turbio pue<strong>de</strong> ser extraída <strong>de</strong>l analisis <strong>de</strong> la<br />
forma <strong>de</strong>l cono <strong>de</strong> retrodispersión, como pue<strong>de</strong> ser l yla<br />
absorción <strong>de</strong>l medio.<br />
θ<br />
4
Beam Splitter<br />
Laser<br />
Detector<br />
Muestra<br />
FIG. 8. Repres<strong>en</strong>tación esquemática <strong>de</strong>l experim<strong>en</strong>to usado<br />
para medir el cono <strong>de</strong> retrodispersión <strong>de</strong> un medio turbio.<br />
V. LOCALIZACIÓN DE ANDERSON.<br />
En 1958 P.W. An<strong>de</strong>rson propuso que el <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>n <strong>en</strong><br />
ciertos sólidos cristalinos era el responsable <strong>de</strong> la transición<br />
<strong>de</strong> conductor a aislante que experim<strong>en</strong>taban dichos<br />
sólidos a bajas temperaturas. Pero no fue hasta mediados<br />
<strong>de</strong> los años 80 cuando éste f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>o fué asociado con<br />
la interfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> ondas y por lo tanto fue predicho que<br />
también t<strong>en</strong>ía que existir el análogo a la localización <strong>de</strong><br />
An<strong>de</strong>rson para la <strong>luz</strong>.<br />
A finales <strong>de</strong> 1997 fue publicado (ver refer<strong>en</strong>cias) el<br />
primer artículo <strong>en</strong> el que se pres<strong>en</strong>tan medidas <strong>de</strong> la localización<br />
<strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson para la <strong>luz</strong>. Más a<strong>de</strong>lante veremos<br />
los motivos por los que ha transcurrido tanto tiempo<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> que la localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson fue observada para<br />
electrones hasta que ha sido realizada para la <strong>luz</strong>. Pero<br />
primero veamos <strong>en</strong> que consiste la localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson.<br />
Localización pue<strong>de</strong> ser facilm<strong>en</strong>te <strong>en</strong>t<strong>en</strong>dida <strong>en</strong><br />
términos <strong>de</strong> la retrodispersión coher<strong>en</strong>te. Supongamos<br />
un medio turbio <strong>en</strong> el que la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> obstáculos<br />
es pequeña. El área ocupada por la sección eficaz <strong>de</strong><br />
dispersión <strong>de</strong> los obstáculos es mucho m<strong>en</strong>or que el<br />
área no ocupada por ésta. En este caso la probabilidad<br />
<strong>de</strong> que la <strong>luz</strong> retorne al punto <strong>de</strong> partida o realize<br />
un trayectoria cerrada como la <strong>de</strong> la figura 4, aunque<br />
como vimos es superior a la probabilidad <strong>de</strong> que no retorne,<br />
es muy pequeña. Si increm<strong>en</strong>tamos la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong><br />
obstáculos, o equivalemete reducimos el recorrido libre<br />
medio (ecuación 1), la probabilidad <strong>de</strong> retorno se verá<br />
increm<strong>en</strong>tada. Ev<strong>en</strong>tualm<strong>en</strong>te podremos crear un medio<br />
<strong>en</strong> el que la esta probabilidad domine y la <strong>luz</strong> se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tre<br />
realizando trayectorias cerradas sin po<strong>de</strong>r propagar mas<br />
allá <strong>de</strong> distancias superiores a la <strong>de</strong>nominada distancia<br />
<strong>de</strong> coher<strong>en</strong>cia, ξ. La <strong>luz</strong> estará por tanto localizada espacialm<strong>en</strong>te<br />
<strong>en</strong> un volum<strong>en</strong> igual a ξ 3 . Localización pue<strong>de</strong><br />
ser interpretada como la aus<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> difusión <strong>de</strong> la <strong>luz</strong><br />
<strong>en</strong> pres<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>n: D → 0 si la onda se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra<br />
localizada. ?Cuanto hay que reducir l para inducir<br />
localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson?. La respuesta es dada por el<br />
criterio <strong>de</strong> localización <strong>de</strong> Ioffe-Regel que dice que si<br />
kl ≤ 1 , (6)<br />
don<strong>de</strong> k =2π/λ es el vector <strong>de</strong> ondas, la onda se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra<br />
localizada. El criterio <strong>de</strong> Ioffe-Regel vi<strong>en</strong>e a <strong>de</strong>cir<br />
que si la onda dispersada no pue<strong>de</strong> realizar un oscilación<br />
completa antes <strong>de</strong> volver a ser dispersada se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra<br />
localizada.<br />
Para <strong>en</strong>t<strong>en</strong><strong>de</strong>r mejor las difer<strong>en</strong>cias <strong>en</strong>tre la localización<br />
<strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson para electrones y para la <strong>luz</strong> convi<strong>en</strong>e comparar<br />
la ecuación <strong>de</strong> Schrödinger y la ecuación <strong>de</strong> ondas<br />
electromagnéticas. En un sólido <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>nado, la ecuación<br />
<strong>de</strong> Schrödinger para un electrón <strong>de</strong> masa efectiva m ∗ ,<br />
don<strong>de</strong> m ∗ es el equival<strong>en</strong>te cuántico a la masa <strong>de</strong>l electrón<br />
propagando <strong>en</strong> el sólido, vi<strong>en</strong>e expresada por:<br />
− ¯h2<br />
2m ∗ ∇2 ψ(x)+V (x)ψ(x) =Eψ(x) .<br />
V (x) es el pot<strong>en</strong>cial que varía espacialm<strong>en</strong>te <strong>de</strong> forma<br />
aleatoria. Es por tanto el término que consi<strong>de</strong>ra el <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>n<br />
<strong>en</strong> el sólido. Electrones con <strong>en</strong>ergías, E, sufici<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te<br />
negativas quedarán atrapados <strong>en</strong> regiones don<strong>de</strong><br />
el pot<strong>en</strong>cial es profundo tal y como se repres<strong>en</strong>ta <strong>en</strong> la<br />
figura 9. En este caso, la probabilidad <strong>de</strong> que el electrón<br />
pueda propagar v<strong>en</strong>drá <strong>de</strong>terminada por la probabilidad<br />
que ti<strong>en</strong>e <strong>de</strong> cruzar las barreras <strong>de</strong> pot<strong>en</strong>cial por efecto<br />
tunel. Esta probabilidad <strong>de</strong>crece expon<strong>en</strong>cialm<strong>en</strong>te con<br />
la distancia, por lo que a bajas temperaturas los electrones<br />
están espacialm<strong>en</strong>te localizados y la conductividad<br />
se <strong>de</strong>svanece.<br />
Pot<strong>en</strong>cial<br />
Pot<strong>en</strong>tial <strong>de</strong> dispersion<br />
electron<br />
foton<br />
Posicion<br />
Posicion<br />
FIG. 9. Parte superior: electrón <strong>en</strong> un sólido <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>nado.<br />
Parte inferior: fotón <strong>en</strong> un medio turbio<br />
En el caso <strong>de</strong><br />
una onda electromagnética monocromática <strong>de</strong> frecu<strong>en</strong>cia<br />
ω propagando <strong>en</strong> un medio turbio y <strong>en</strong> aus<strong>en</strong>cia <strong>de</strong><br />
absorción, la ecuación <strong>de</strong> ondas para el campo eléctrico,<br />
E, pue<strong>de</strong> ser escrita <strong>de</strong> forma muy similar a la ecuación<br />
<strong>de</strong> Schrödinger:<br />
−∇ 2 E + ∇(∇·E) − ω2<br />
c 2 ɛ(x)E = ɛ ω 2<br />
0<br />
c 2 E<br />
don<strong>de</strong> c es la velocidad <strong>de</strong> la <strong>luz</strong>, ɛ 0 es la constante<br />
dieléctrica efectiva <strong>de</strong>l medio o la constante dieléctrica <strong>de</strong>l<br />
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medio consi<strong>de</strong>rándolo homogéneo y ɛ(x) es la variación<br />
espacial <strong>de</strong> la constante dieléctrica <strong>de</strong>bida a la pres<strong>en</strong>cia<br />
<strong>de</strong> dispersores (la constante dielectrica no es igual <strong>en</strong> un<br />
dispersor que <strong>en</strong> medio que le ro<strong>de</strong>a). El análogo a V (x)<br />
<strong>en</strong> la ecuación <strong>de</strong> ondas es ɛ(x)ω 2 /c 2 . Es importante resaltar<br />
dos aspectos cuando se comparan la ecuación <strong>de</strong><br />
Schrödinger y la ecuación <strong>de</strong> ondas. El primero es que<br />
el término ɛω 2 /c 2 , que es el análogo al valor propio <strong>de</strong><br />
la <strong>en</strong>ergía <strong>de</strong> los electrones, es siempre positivo. Esto<br />
implica que no es posible t<strong>en</strong>er estados ligados para la<br />
<strong>luz</strong> como aparece ilustrado <strong>en</strong> la figura 9. El otro importante<br />
aspecto es que el término asociado con el <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>n,<br />
ɛ(x)ω 2 /c 2 , <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> la frecu<strong>en</strong>cia (o equival<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te<br />
<strong>de</strong> λ). Este aspecto fue introducido <strong>en</strong> la sección II don<strong>de</strong><br />
se vio la <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> la sección eficaz <strong>de</strong> dispersión<br />
<strong>de</strong> un obstáculo con la longitud <strong>de</strong> onda. Por lo tanto,<br />
contrariam<strong>en</strong>te a <strong>en</strong> sistemas electrónicos don<strong>de</strong> una reducción<br />
<strong>de</strong> la <strong>en</strong>ergía <strong>de</strong> los electrones produce un increm<strong>en</strong>to<br />
<strong>de</strong> la localización, <strong>en</strong> el caso <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> la reducción<br />
<strong>de</strong> la <strong>en</strong>ergía (o aum<strong>en</strong>to <strong>de</strong> la longitud <strong>de</strong> onda) da lugar<br />
a una reducción <strong>de</strong> la sección eficaz <strong>de</strong> dispersión y<br />
por lo tanto a un increm<strong>en</strong>to <strong>de</strong> l (recuer<strong>de</strong>se el límite <strong>de</strong><br />
Rayleigh). El valor kl se alejará <strong>de</strong>l <strong>de</strong>seado criterio <strong>de</strong><br />
Ioffe-Regel. Ahora esta claro porque es tan dificil crear<br />
un medio don<strong>de</strong> t<strong>en</strong>ga lugar la localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson<br />
para la <strong>luz</strong>. Si <strong>en</strong> un medio se pue<strong>de</strong> dar la localización<br />
<strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson para la <strong>luz</strong>, ésta t<strong>en</strong>drá lugar tan sólo para<br />
<strong>de</strong>terminadas λ. En concreto, localización podrá establecerse<br />
<strong>en</strong> el regim<strong>en</strong> <strong>de</strong> dispersión <strong>de</strong> Mie, es <strong>de</strong>cir para λ<br />
<strong>en</strong> las que la sección efficaz <strong>de</strong> dispersión es máxima.<br />
La ecuación 4 repres<strong>en</strong>ta la intesidad <strong>de</strong> la <strong>luz</strong> transmitida<br />
que ha propagado difusivam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el medio turbio.<br />
Si la <strong>luz</strong> se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra localizada no pue<strong>de</strong> propagarse,<br />
por lo que la int<strong>en</strong>sidad transmitida <strong>de</strong>crece expon<strong>en</strong>cialm<strong>en</strong>te<br />
con la distancia. Un medio <strong>en</strong> el que t<strong>en</strong>ga<br />
lugar la localización <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson se comportará por lo<br />
tanto como un reflector perfecto.<br />
VII. AGRADECIMIENTOS<br />
Me gustaría agra<strong>de</strong>cer al profesor F. Ritort el haberme<br />
animado a escribir este artículo y a la Comisión Europea<br />
por financiar mis estudios <strong>de</strong> doctorado con la beca No<br />
ERBFMBICT971921.<br />
VIII. BIBLIOGRAFÍA<br />
Born M. y Wolf E., Principles of optics, Cambridge<br />
University Press.<br />
G<strong>en</strong>ack A.Z., Optical Transmission in disor<strong>de</strong>d media,<br />
Phys. Rev. Lett., 58, 2043 (1987).<br />
Van Albada M.P., van <strong>de</strong>r Mark M.B. y Lag<strong>en</strong>dijk<br />
A., Experim<strong>en</strong>ts on weak localization of ligth and their<br />
interpretation <strong>en</strong> Scattering and localization of classical<br />
waves in random media, Editor Sh<strong>en</strong>g P., World Sci<strong>en</strong>tific<br />
(1990).<br />
John S., Localization of Light, Physics Today, Mayo<br />
1991.<br />
Wiersma D.S., Bartolini P., Lag<strong>en</strong>dijk A. y Righini<br />
R., Localization of light in a disor<strong>de</strong>red medium, Nature,<br />
Diciembre 1997.<br />
VI. CONCLUSIONES<br />
En este artículo se han pres<strong>en</strong>tado algunos conceptos<br />
<strong>de</strong> la propagación <strong>de</strong> <strong>luz</strong> <strong>en</strong> <strong>medios</strong> <strong>turbios</strong>. Esta propagación<br />
pue<strong>de</strong> ser, <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral, bastante bi<strong>en</strong> <strong>de</strong>scrita por<br />
medio <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> difusión. La ecuación <strong>de</strong> difusión<br />
<strong>de</strong>sprecia la interfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> ondas que propagan<br />
a lo largo <strong>de</strong> trayectorias distintas. Sin embargo <strong>en</strong> la dirección<br />
<strong>de</strong> retrodispersión la interfer<strong>en</strong>cia no es <strong>en</strong> promedio<br />
nula dando lugar al cono <strong>de</strong> retrodispersión. Cuando<br />
el <strong>de</strong>sor<strong>de</strong>n es increm<strong>en</strong>tado, reduci<strong>en</strong>dose el recorrido<br />
libre medio <strong>de</strong> la <strong>luz</strong>, pue<strong>de</strong> inducirse la localización<br />
<strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson. El que la <strong>luz</strong> este localizada significa<br />
que se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra recorri<strong>en</strong>do trayectorias cerradas interfiri<strong>en</strong>do<br />
constructivam<strong>en</strong>te las ondas que recorr<strong>en</strong> dichas<br />
trayectorias <strong>en</strong> s<strong>en</strong>tidos opuestos. Localización implica<br />
la aus<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> difusión <strong>de</strong> <strong>luz</strong>.<br />
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