Átomos de muchos electrones

Átomos de muchos electrones
Resolver la ecuación de Schrodinger para átomos de muchos
electrones resulta muy complicado
Carga del núcleo
+Ze
Z: número atómico
Ahora la función de onda
depende de la posición de cada
uno de los N electrones
Aproximaciones:
• Como primera aproximación para intentar resolver el
problema de un átomo de muchos electrones podemos
despreciar la interacción entre los electrones del átomo
Entonces los niveles de energía son similares a los del átomo de
hidrógeno
Donde E 0 = -13.6 eV
Los estados (n,l,m,ms) tendrán esta energía. Esta aproximación es
un poco burda.
Una mejor aproximación que la anterior es suponer que los
electrones más exteriores ven una carga efectiva del núcleo que
es igual a la carga del núcleo menos la carga de los electrones
más interiores que apantallan la carga del núcleo
e -
Z eff < Z
+eZ eff
Energía cinética
de los electrones
Energía potencial de
los N electrones con el
núcleo
Energía potencial
de todos los pares
de electrones
+Ze
1
2

Principio de exclusión
Pauli (1925, Nobel en 1945)
Que ocurre para el estado de mínima energía de un átomo de
muchos electrones? Se ubicarán todos los electrones en el nivel
de n=1 y l=0?
La respuesta es que no, ya que queda prohibido por el
principio de exlusión de Pauli.
El principio de exclusión dice que no puede haber más de un
electrón en un estado cuántico dado.
Estado de los electrones (modelo de capas)
1 a capa: n=1 ⇒ l=0 ⇒ m=0; ms=+1/2,-1/2 2 estados
2 a capa: n=2 l=0,m=0; ms=+1/2,-1/2 2 estados
l=1,m=-1,0,1; ms=+1/2,-1/2 6 estados
3 a capa: n=3 l=0,m=0; ms=+1/2,-1/2 2 estados
l=1,m=-1,0,1; ms=+1/2,-1/2 6 estados
l=2,m=-2,-1,0,1,2; ms=+1/2,-1/2 10 estados
8 estados
Es decir que no pueden existir en el mismo átomo dos electrones
4 a capa: n=4 l=0
l=1
l=2
l=2
2*n 2 estados
n=4 → 32 estados
18 estados
con los mismo números cuánticos n,l,m,m s
3
En general el principio dice que todas las partículas de spin
semientero (fermiones) entre ellas el electrón, no pueden estar
más de una en el mismo estado cuántico (con los mismos
números cuánticos)
Los bosones (partículas de spin entero) no satisfacen el
principio de exclusión
Y así sucesivamente con las capas de n superior....
Los electrones van a ir llenando los estados posibles (solo puedo
ubicar un solo electrón por estado) empezando por los estados de
menor energía y siguiendo hacia arriba.
Dentro de un mismo n los estados con menor l tienen menor
energía ya que pueden acercarse más al núcleo (menor barrera
centrífuga) 4

l=0 → onda “s”
l=1 → onda “p”
l=2 → onda “d”
l=3 → onda “f”
Nomenclatura de las capas
Las capas de un dado n habitualmente se denominan con letras
mayúsculas a partir de la K
Por ejemplo:
n=1 capa K
n=2 capa L
n=3 capa M ...etc
Dentro de cada capa (de un dado n) existen subcapas de un dado
n,l ; las subcapas también se denominan con letras minúsculas de
acuerdo al valor de l
Entonces a las subcapas las llamo
Ejemplo la subcapa de n=1,l=0
es la “1s”
n l x
x=número de electrones
de la subcapa
Configuración electrónica de los elementos
Z: número atómico= número de protones del núcleo=
= número de electrones si el átomo es neutro
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nombre del
elemento
H (hidrógeno)
He (helio)
Li (litio)
Be (berilio)
B (boro)
C (carbono)
N (nitrógeno)
O (oxígeno)
F (fluor)
Ne (neón)
Na (sodio)
Mg (magnesio)
Configuración
electrónica
1s 1
1s 2
1s 2 2s 1
1s 2 2s 2
1s 2 2s 2 2p 1
1s 2 2s 2 2p 2
1s 2 2s 2 2p 3
1s 2 2s 2 2p 4
1s 2 2s 2 2p 5
1s 2 2s 2 2p 6
1s 2 2s 2 2p 6 3s 1
1s 2 2s 2 2p 6 3s 2
Capa 1 llena
Capa 2 llena
1s 1 ,1s 2 , 2s 1 ,2s 2 , 2p 1 ,2p 2 ,2p 3 ,2p 4 ,2p 5 ,2p 6 , 3s 1 ,3s 2 , ......, etc
n=1,l=0 n=2,l=0 n=2,l=1 n=3,l=0
5
...y así sucesivamente para todos los elementos de la tabla
periódica
Existen alrededor de 100 elementos conocidos en la actualidad
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Tabla periódica de los elementos
La tabla está organizada en grupos (columnas) y períodos
(filas)
Los elementos del mismo grupo tienen propiedades químicas
parecidas ya que tienen las mismas propiedades de la capa de
valencia (última capa)
Ejemplo:
• Alcalinos (grupo 1) 1 electrón en la última capa
•Alcalinos térreos (grupo 2) 2 electrones en la última capa
• Halógenos (grupo 17) le falta un electrón para completar la
última capa
• Gases nobles (grupo 18) última capa llena
La tabla fue construida por Mendeleyev agrupando a los
elementos de acuerdo a sus propiedades químicas y
posteriormente algunos errores de la tabla fueron corregidos
por Moseley.
Luego se vio que las propiedades química estaban relacionadas
con la estructura electrónica de los distintos átomos
7
8

Consideremos la energía necesaria para excitar un electrón del
nivel 1s o 2s o 3s del Na al nivel 4s.
El átomo de Na tiene la siguiente configuración 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1
o sea que tiene la primer y segunda capa llenas y la tercera no
llena
Para el Na, Z=11, pero de acuerdo al modelo de la carga efectiva
Zeff (1s)=Z=11
Zeff(2s)=Z-2=9
Zeff(3s)=Z-10=1
Valencia y actividad química
La actividad química de un átomo es la capacidad de combinarse
con otros átomos y depende de la atracción eléctrica debido a la
distribución de carga en el átomo.
Los átomos que tiene su última capa llena tienen una distribución
de carga esférica y por lo tanto muy poca actividad química.
Estos elementos que tienen su última capa llena se denominan
gases nobles y son gases monoatómicos y no forman compuestos
químicos.
Ej: He, Ne, Ar, Kr, Xe ,Rn
Energías
muy
grandes
La valencia son los electrones de la última capa incompleta que
comparten los átomos al formar los compuestos. Los átomos
forman moléculas compartiendo electrones de manera de lograr
tener la última capa llena.
Para excitar electrones de la capa 1s o 2s se necesitan grandes
energías por lo tanto estos electrones normalmente permanecen
inalterados y solo pueden excitarse los electrones de la última
capa
9
10

Átomo alcalino: Li (Z=3) 1s 2 , 2s 1
Gas noble del período: Ne(Z=10) 1s 2 ,2s 2 , 2p 6
e -
capa L
capa K llena
e -
capa L
capa K llena
e -
La energía de ionización (energía para arrancar el electrón de
la capa de valencia)
Para los electrones de la capa L
Z eff =Z-2=8
Para el electrón de la capa L, Z eff =Z-2=1
n=2
Átomo siguiente: Be(Z=4) 1s 2 ,2s 2
n=2
Conclusión: Se requiere poca energía para arrancar un electrón
(ionizar) a un átomo alcalino y muchísima energía para ionizar un
átomo de gas noble.
e -
capa L
capa K llena
Para el electrón de la capa L
Z eff =Z-2=4
e -
n=2
11
12

Los halógenos (F,Cl,Br,I,...) son átomos que les faltan un solo
electrón para completar una capa, entonces aceptan fácilmente
un electrón.
Ejemplo F(Z=9) 1s 2 ,2s 2 , 2p 5
Partículas idénticas y principio de exclusión
Clásicamente dos partículas idénticas (2 electrones por
ejemplo) tienen trayectorias definidas, entonces se pueden
distinguir aunque sean iguales.
e - e -
a este le falta un electrón
para completar la capa L
+
Alcalino Li
1s 2 ,2s 1
Halógeno F
1s 2 ,2s 2 ,2p5
Molécula de FLi
Clásicamente uno puede ponerles una etiqueta a la partícula 1 y
2 y decir que en el primer caso la partícula 1 se fue a la
izquierda y en el segundo a la derecha en esta colisión.
Pero cuánticamente la trayectoria no puede estar definida con
mayor precisión que la dada por el principio de incertidumbre.
Entonces cuando las dos partículas se encuentran cerca las
funciones de onda se confunden y no se puede decir cuál es
cual despúes del choque
Li + F -
El Li le entrega su electrón al F y ambos se quedan con las
capas llenas atráidos de forma electrostática y formando una
molécula 13
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Función de onda de partículas idénticas
Veamos como debe ser la función de onda de dos partículas
idénticas 1 y 2
Como las dos partículas son idénticas la probabilidad de
encontrar a la partícula 1 en r 1 y la partícula 2 en r 2 debe ser
igual que la probabilidad de encontrar la partícula 1 en r 2 y la
partícula 2 en r 1
1 2 1 2
Función de onda de partículas idénticas II
Habíamos visto que la función de onda de dos partículas
idénticas sólo puede ser simétrica o antisimétrica. Para los
bosones (partículas de spin entero) la función de onda resulta
ser simétrica y para los fermiones (partículas de spin
semientero) resultan ser antisimétrica
La función de onda de dos partículas la podemos construir a
partir de las funciones de onda individuales de las dos
partículas.
Entonces la función de onda debe cumplir que ante el
intercambio de partículas solo puede cambiar en una fase
compleja
Que valor tiene la fase α ?
Si intercambiamos de nuevo a las partículas 1 y 2 tenemos:
β y σ representan los números cuánticos de ambas partículas o
sea para dos partículas idénticas en el átomo (n,l,m,m s )
Como la función de onda tiene que ser simétrica o antisimétrica
ante intercambio resulta:
De donde sale que e 2 i α =1 → e i α =±1
Para bosones
S=0,1,2...
+: función de onda
simétrica
-: función de onda
antisimétrica 15
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Para fermiones
S=1/2,3/2,5/2,...

Una consecuencia de esto es que si β=σ o sea ambas partículas
están en el mismo estado cuántico (n,l,m,m s son iguales para
las dos)
Dos fermiones (dos electrones por
ejemplo) no pueden estar en el mismo
estado cuántico
En cambio:
Los bosones no tienen esta misma
restricción y si pueden estar todos los
que quieran en el mismo estado
cuántico
Y de aquí es de donde salía el principio de exclusión de Pauli
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