Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...

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62 6. Variables aleatorias que el efecto total sea la suma de esos efectos individuales. Por esa razón, un histograma de estaturas de individuos de un mismo sexo es aproximadamente normal. Veamos el Teorema Central del Límite en el caso de la binomial. Como sabemos la binomial de parámetros n y p es la suma de n Bernoullis de parámetro p. Tomamos, n = 40 y p = 0,4. El valor esperado y la desviación típica de la binomial de parámetros n = 40 y p = 0,4 son np = 16 y √ np (1 − p) = √ 40 × 0,4 × 0,6 = 3,0983, respectivamente. Comparamos ambas distribuciones. > x=seq(0,40,by=1) > plot(x,dbinom(x,40,0.4),pch=2,col=2) > lines(x,dnorm(x,16,3.0983)) Como se puede comprobar la aproximación de la binomial por la normal es realmente buena. Podemos comparar numéricamente estos valores: > for (i in 0:40) cat(i,"\t",dbinom(i,40,0.4),"\t", dnorm(i,16,3.0983),"\n") En la práctica se utiliza la aproximación cuando n ≥ 30, np ≥ 5 y n (1 − p) ≥ 5. En nuestro caso se verifican todas las restricciones ya que n = 40, np = 16 y n (1 − p) = 24. Para comprobar que estas restricciones son importantes, repetimos el experimento tomando valores que no las verifican. Por ejemplo, tomamos n = 10 y p = 0,1. Entonces, np = 1 y n (1 − p) = 9. Vemos el efecto: > x=seq(0,10,by=1) > plot(x,dbinom(x,10,0.1),pch=2,col=2) > lines(x,dnorm(x,1,0.9486)) Como se puede comprobar la aproximación de la binomial por la normal no es tan buena como en el caso anterior. Podemos comparar numéricamente estos valores: > for (i in 0:10) cat(i,"\t",dbinom(i,10,0.1),"\t", dnorm(i,1,0.9486),"\n") Veamos que pasa con la distribución de Poisson. Volvemos al ejemplo, en el que teníamos que el número de entradas en una página web por hora tenía una distribución Poisson de parámetro λ = 20. Esta variable puede considerarse como la suma de 60 variables que midan el número de entradas en una página web por minuto, que también son variables Poisson de parámetro 20/60 = 0,3333. El TCL aplicado a variables con distribución Poisson dice que cuanto mayor sea el número de variables Poisson que sumemos, la variable resultante (que también es Poisson) se parecerá cada vez más a una normal. Se considera que si λ > 5, la aproximación ( a la normal es buena. En ese caso, se puede considerar que, aproximadamente N λ, √ ) λ . > x=seq(0,40,by=1) > plot(x,dpois(x,20),pch=2,col=2) > lines(x,dnorm(x,20,4.4721))
6.9 Teorema Central del Límite 63 Como se puede comprobar la aproximación de la binomial por la normal es bastante buena. Podemos comparar numéricamente estos valores: > for (i in 0:40) cat(i,"\t",dpois(i,20),"\t",dnorm(i,20,4.4721),"\n")
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