Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...

6.9 Teorema Central del Límite 61
> y=seq(-5,5,.05)
> persp(x, y, outer(x,y,function(x,y){dexp(x,lam)*dnorm(y,mu,sig)}),
theta = 30,phi = 30, expand = 0.5, col = "lightblue",
main="X: Exp(20) Y:Normal(0,1)")
Si tomamos como densidades dos normales, una de parámetros µ = 0 y σ = 1 y otra
de parámetros µ = 3 y σ = 2. La función de densidad conjunta de ambas la podemos
contemplar mediante:
> mu1=0
> sig1=1
> x=seq(-5,5,.05)
> mu2=3
> sig2=2
> y=seq(-5,10,.05)
> persp(x, y,outer(x,y,
function(x,y){dnorm(x,mu1,sig1)*dnorm(y,mu2,sig2)}),
theta =30,phi = 30, expand = 0.5, col = "lightblue",
main="X: Normal(0,1) Y:Normal(3,2)")
6.9. Teorema Central del Límite
El Teorema Central del Límite (TCL) es uno de los resultados más importantes
en estadística. Bajo ciertas condiciones nos permite usar la distribución normal para
estudiar otras distribuciones más generales. Este teorema tiene muchas versiones, por lo
que vemos una simple:
Teorema Central del Límite: Si X 1 , . . .,X n son variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas con media µ y desviación típica σ, entonces ∑ n
i=1 X i tiene
asintóticamente una distribución normal de media nµ y desviación típica √ nσ. Por las
propiedades de la normal, tendremos que:
∑ n
i=1 X i − nµ
√ nσ
n→∞
−→ N(0, 1).
Este teorema nos dice que cuando los resultados de un experimento son debidos a un
conjunto muy grande de causas independientes que actúan sumando sus efectos, entonces
esos resultados siguen una distribución aproximadamente normal. Dicho de otra forma,
aunque cada uno de los efectos sea raro o difícil de estudiar, si lo que queremos estudiar
es la suma de los mismos sabemos que, bajo ciertas condiciones, esta se comportaría de
modo normal. El Teorema Central del Límite sirve para dar una explicación al hecho
constatado de que muchas distribuciones de variables observadas en la naturaleza o
en experimentos físicos sean aproximadamente normales. Por ejemplo, las medidas del
cuerpo humano, como la estatura, peso, longitud de los huesos, siguen aproximadamente
una distribución normal dentro de una misma raza y sexo. En el caso de la estatura de
un individuo afectan muchos factores, cada uno ejerciendo un efecto pequeño, de manera