Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...
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60 6. Variables aleatorias<br />
Otras distribuciones univariantes cotinuas <strong>de</strong> interés son la Erlang, la Weibull o la<br />
beta.<br />
6.8. Variables aleatorias bidim<strong>en</strong>sionales<br />
A veces nos pue<strong>de</strong> interesar obt<strong>en</strong>er probabilida<strong>de</strong>s conjuntas <strong>de</strong> varias variables<br />
aleatorias, es <strong>de</strong>cir, buscamos:<br />
F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) =<br />
∫ x ∫ y<br />
−∞ −∞<br />
f (x, y) dydx.<br />
El caso más simple es cuando las variables son in<strong>de</strong>p<strong>en</strong>di<strong>en</strong>tes. En este caso,<br />
P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y)<br />
es <strong>de</strong>cir,<br />
por lo que<br />
F (x, y) = F (x)F (y) ,<br />
F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) =<br />
∫ x<br />
∫ y<br />
f (x, y) dydx =<br />
∫ x<br />
f (x)dx<br />
∫ y<br />
f (y) dy.<br />
−∞ −∞<br />
−∞<br />
−∞<br />
Veamos algún ejemplo. Tomamos como <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s la gamma <strong>de</strong> parámetros λ = 20<br />
y r = 10 y la normal <strong>de</strong> parámetros µ = 0 y σ = 1, po<strong>de</strong>mos repres<strong>en</strong>tar la función <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>nsidad conjunta mediante: mediante:<br />
> lam=20<br />
> r=10<br />
> x=seq(0,5,.05)<br />
> mu=0<br />
> sig=1<br />
> y=seq(-5,5,.05)<br />
> persp(x, y, outer(x,y,function(x,y){dgamma(x,lam,r)*dnorm(y,mu,sig)}),<br />
theta = 30,phi = 30, expand = 0.5, col = "lightblue",<br />
main="X: Gamma(20,10) Y: Normal(0,1)")<br />
Si tomamos como <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s la expon<strong>en</strong>cial <strong>de</strong> parámetros λ = 20 y la normal<br />
<strong>de</strong> parámetros µ = 0 y σ = 1, po<strong>de</strong>mos repres<strong>en</strong>tar la función <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad conjunta<br />
mediante:<br />
> lam=20<br />
> x=seq(0,0.5,.05)<br />
> mu=0<br />
> sig=1