Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...

6.5 Distribución exponencial 57
variable aleatoria que mide el tiempo entre diferentes entradas tiene una distribución exponencial
de parámetro λ. La función de densidad de una variable exponencial está dada
por:
{ λe
−λx
si x ≥ 0,
f (x) =
0 si x < 0.
¿De dónde procede esta función de densidad? Veamos qué es lo que ocurre cuando
medimos los tiempos entre entradas a la página web. En R podemos generar datos de
una distribución exponencial utilizando la función rexp:
> lam=20
> num.ent=100
> tie.ent=rexp(num.ent,lam)
> par(mfrow=c(5,1))
> n.clases=10
> puntos=min(tie.ent)+(0:n.clases)*(max(tie.ent)-min(tie.ent))/n.clases
> hist(tie.ent,breaks=puntos,col="green",freq=FALSE)
> num.ent=1000
> tie.ent=rexp(num.ent,lam)
> n.clases=32
> puntos=min(tie.ent)+(0:n.clases)*(max(tie.ent)-min(tie.ent))/n.clases
> hist(tie.ent,breaks=puntos,col="green",freq=FALSE)
> num.ent=10000
> tie.ent=rexp(num.ent,lam)
> n.clases=317
> puntos=min(tie.ent)+(0:n.clases)*(max(tie.ent)-min(tie.ent))/n.clases
> hist(tie.ent,breaks=puntos,col="green",freq=FALSE)
> num.ent=100000
> tie.ent=rexp(num.ent,lam)
> n.clases=1000
> puntos=min(tie.ent)+(0:n.clases)*(max(tie.ent)-min(tie.ent))/n.clases
> hist(tie.ent,breaks=puntos,col="green",freq=FALSE)
Lo que comprobamos es que el límite del histograma es una curva que es la función
de densidad. Podemos obtener probabilidades mediante la función de probabilidad que
se define por:
P(X ≤ a) = F (a) =
∫ a
−∞
f (x) dx =
∫ a
0
λe −λx dx = 1 − e −λa .
De otra manera, el área bajo la curva nos proporciona la probabilidad de un determinado
suceso. Ahora podemos añadir al gráfico los valores de la función de densidad
de la variable exponencial.
> plot(seq(0,.5,.001),dexp(seq(0,.5,.001),lam),type="l",main="Funcion
de densidad de la exponencial")