Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...

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54 6. Variables aleatorias > barplot(frec.rel,col="lightblue",ylab="Frecuencias relativas",main="Diagrama de barras del numero de bits erroneos") > num.paq=100000 > bits.err=rbinom(num.paq,n,p) > frec.abs=table(bits.err) # Corresponde a las frecuencias absolutas > frec.rel=frec.abs/num.paq # Corresponde a las frecuencias relativas > barplot(frec.rel,col="lightblue",ylab="Frecuencias relativas",main="Diagrama de barras del numero de bits erroneos") Podemos comparar las frecuencias relativas con los valores teóricos obtenidos anteriormente: > dbinom(0:10,n,p) Vemos como las frecuencias relativas tienden a las probabilidades obtenidas a partir de la función de probabilidad. Por último en este apartado, mencionar que dos distribuciones discretas relacionadas con la distribución de Bernoulli son la distribución geométrica y la distribución binomial negativa: 1. La distribución geométrica se utiliza para representar tiempos de espera y se define como el número de experimentos Bernoulli necesarios hasta el primer 1. Por ejemplo, para el caso de los bits defectuosos, el número de bits observados hasta que el primer error ocurre es una variable geométrica. La función de probabilidad está dada por: P (X = x) = (1 − p) x p, x = 0, 1, . . . Funciones en R para la variable geométrica son dgeom (función de probabilidad), pgeom (función de distribución) y rgeom (valores aleatorios). 2. La distribución binomial negativa también se utiliza para representar tiempos de espera y se define como el número de experimentos Bernoulli necesarios hasta un cierto número de 1’s. Por ejemplo, para el caso de los bits defectuosos, el número de bits observados hasta que el tercer error ocurre es una variable binomial negativa. La función de probabilidad está dada por: ( ) n + x − 1 P (X = x) = p n (1 − p) x , x = 0, 1, . . .,n x donde n es el número total de experimentos realizados. Funciones en R para la variable binomial negativa son dnbinom (función de probabilidad), pnbinom (función de distribución) y rnbinom (valores aleatorios). 6.4. Distribución de Poisson Supongamos que tenemos una página web y un patrocinador que nos paga en función del número de entradas en dicha página. Me interesa saber cual es el número de entradas
6.4 Distribución de Poisson 55 probables en la página para saber cuánto puedo ganar con este negocio. Mientras que, a mi patrocinador, también le interesa saber cuánto dinero se puede gastar. Si suponemos que existe “estabilidad”, en el sentido de que el número de sucesos por unidad de tiempo (λ) permanece constante, entonces, la variable aleatoria número de entradas en mi página web es una variable aleatoria de Poisson y tiene función de probabilidad dada por: P (X = x) = e−λ λ x , x = 0, 1, . . . x! donde λ es el número de entradas esperadas en el periodo de observación. Por ejemplo, si contabilizamos el número de entradas en una hora, λ es el número esperado de entradas en la página web y coincide con la esperanza de la variable aleatoria X. Por ejemplo, supongamos que λ = 20, por lo que el número esperado de entradas en nuestra página web en una hora es 20. El paquete R tiene una función que proporciona el valor de las probabilidades de cualquier número para cualquier valor de λ. Vemos cúales son estas probabilidades: > lam=20 > dpois(0,lam) [1] 2.061154e-09 # Probabilidad de que nadie entre > dpois(1,lam) [1] 4.122307e-08 # Probabilidad de una entrada > dpois(2,lam) [1] 4.122307e-07 # Probabilidad de dos entradas > dpois(3,lam) [1] 2.748205e-06 # Probabilidad de tres entradas Como se puede ver casi no hay probabilidad de números tan bajos. Podemos escribir varias probabilidades obtenidas a partir de la función dpois: > for (i in 0:50) cat(i,"\t",dpois(i,lam),"\n") Podemos hacer un gráfico de la función de probabilidad mediante: > par(mfrow=c(1,2)) > plot(dpois(0:50,lam),xlab="Entradas en la pagina web",type="h") # Funcion de probabilidad de una Poisson(20) Además, también podemos calcular la función de distribución que se define por: P (X ≤ x) = P (X = 0) + P (X = 1) + · · · + P (X = x). Para ello, utilizamos la función ppois como sigue: > for (i in 0:50) cat(i,"\t",ppois(i,lam),"\n") Podemos hacer un gráfico de la función de distribución mediante:
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