Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...

52 6. Variables aleatorias
obtener cara. Claro está, la probabilidad de obtener cruz es 0.5. Por lo tanto, podemos
decir que la variable aleatoria X =”Resultado de lanzar una moneda al aire” toma el
valor “C” (cara) con probabilidad 0.5 y el valor “X” (cruz) con probabilidad 0.5. Se
define entonces la función de probabilidad de la variable X como P (X = 0) = 0,5 y
P (X = 1) = 0,5. Se dice que las variables aleatorias que tienen función de probabilidad
P (X = 1) = p y P (X = 0) = 1 − p, para un cierto valor de p entre 0 y 1, tienen
distribución de Bernoulli de parámetro p.
6.3. Distribución binomial
Como hemos visto, una variable aleatoria Bernoulli toma dos posibles valores con
probabilidades p y 1 − p, respectivamente. A continuación, consideramos la variable
aleatoria binomial que se obtiene a partir de la variable aleatoria Bernoulli. Para ello,
consideramos el siguiente experimento. Suponemos que tenemos una cierta conexión
mediante un módem. Dicho módem recibe paquetes de 100 bits de manera que existe
una probabilidad de 0,01 de sufrir un error en la lectura de cada uno de los bits. Parece
interesante saber cuál es la probabilidad de recibir 0, 1, 2, 3, etc... bits erróneos en
cada uno de los paquetes recibidos. Desde un punto de vista estadístico, el problema se
puede plantear como sigue. Para cada paquete de 100 bits podemos asociar una variable
aleatoria de 1’s y 0’s tales que dicha variable vale 0 si el bit recibido es correcto y vale 1
si el bit recibido es erróneo. Por lo tanto, para cada bit tenemos asociada una variable
Bernoulli de probabilidad p = 0,01. El número de bits erróneos totales es la suma de las
variables Bernoulli que valgan 0. Dicha variable aleatoria recibe el nombre de binomial
de parámetros n = 100 y p = 0,01. Una variable aleatoria binomial de parámetros n y p
tiene función de probabilidad:
( n
P (X = x) = p
x)
x (1 − p) x , x = 0, 1, . . .,n
El paquete R tiene una función que proporciona el valor de estas probabilidades para
cualquier valor de los parámetros n y p. Vemos cuáles son estas probabilidades:
> n=100
> p=0.01
> dbinom(0,n,p)
[1] 0.3660323 # Es la probabilidad de tener 0 bits erroneos
> dbinom(1,n,p)
[1] 0.3660323 # Es la probabilidad de tener 1 bits erroneos
> dbinom(2,n,p)
[1] 0.1848648 # Es la probabilidad de tener 2 bits erroneos
> dbinom(3,n,p)
[1] 0.06099917 # Es la probabilidad de tener 3 bits erroneos
> dbinom(4,n,p)
[1] 0.01494171 # Es la probabilidad de tener 4 bits erroneos