Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...
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52 6. Variables aleatorias<br />
obt<strong>en</strong>er cara. Claro está, la probabilidad <strong>de</strong> obt<strong>en</strong>er cruz es 0.5. Por lo tanto, po<strong>de</strong>mos<br />
<strong>de</strong>cir que la variable aleatoria X =”Resultado <strong>de</strong> lanzar una moneda al aire” toma el<br />
valor “C” (cara) con probabilidad 0.5 y el valor “X” (cruz) con probabilidad 0.5. Se<br />
<strong>de</strong>fine <strong>en</strong>tonces la función <strong>de</strong> probabilidad <strong>de</strong> la variable X como P (X = 0) = 0,5 y<br />
P (X = 1) = 0,5. Se dice que las variables aleatorias que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> función <strong>de</strong> probabilidad<br />
P (X = 1) = p y P (X = 0) = 1 − p, para un cierto valor <strong>de</strong> p <strong>en</strong>tre 0 y 1, ti<strong>en</strong><strong>en</strong><br />
distribución <strong>de</strong> Bernoulli <strong>de</strong> parámetro p.<br />
6.3. Distribución binomial<br />
Como hemos visto, una variable aleatoria Bernoulli toma dos posibles valores con<br />
probabilida<strong>de</strong>s p y 1 − p, respectivam<strong>en</strong>te. A continuación, consi<strong>de</strong>ramos la variable<br />
aleatoria binomial que se obti<strong>en</strong>e a partir <strong>de</strong> la variable aleatoria Bernoulli. Para ello,<br />
consi<strong>de</strong>ramos el sigui<strong>en</strong>te experim<strong>en</strong>to. Suponemos que t<strong>en</strong>emos una cierta conexión<br />
mediante un mó<strong>de</strong>m. Dicho mó<strong>de</strong>m recibe paquetes <strong>de</strong> 100 bits <strong>de</strong> manera que existe<br />
una probabilidad <strong>de</strong> 0,01 <strong>de</strong> sufrir un error <strong>en</strong> la lectura <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los bits. Parece<br />
interesante saber cuál es la probabilidad <strong>de</strong> recibir 0, 1, 2, 3, etc... bits erróneos <strong>en</strong><br />
cada uno <strong>de</strong> los paquetes recibidos. Des<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> vista estadístico, el problema se<br />
pue<strong>de</strong> plantear como sigue. Para cada paquete <strong>de</strong> 100 bits po<strong>de</strong>mos asociar una variable<br />
aleatoria <strong>de</strong> 1’s y 0’s tales que dicha variable vale 0 si el bit recibido es correcto y vale 1<br />
si el bit recibido es erróneo. Por lo tanto, para cada bit t<strong>en</strong>emos asociada una variable<br />
Bernoulli <strong>de</strong> probabilidad p = 0,01. El número <strong>de</strong> bits erróneos totales es la suma <strong>de</strong> las<br />
variables Bernoulli que valgan 0. Dicha variable aleatoria recibe el nombre <strong>de</strong> binomial<br />
<strong>de</strong> parámetros n = 100 y p = 0,01. Una variable aleatoria binomial <strong>de</strong> parámetros n y p<br />
ti<strong>en</strong>e función <strong>de</strong> probabilidad:<br />
( n<br />
P (X = x) = p<br />
x)<br />
x (1 − p) x , x = 0, 1, . . .,n<br />
El paquete R ti<strong>en</strong>e una función que proporciona el valor <strong>de</strong> estas probabilida<strong>de</strong>s para<br />
cualquier valor <strong>de</strong> los parámetros n y p. Vemos cuáles son estas probabilida<strong>de</strong>s:<br />
> n=100<br />
> p=0.01<br />
> dbinom(0,n,p)<br />
[1] 0.3660323 # Es la probabilidad <strong>de</strong> t<strong>en</strong>er 0 bits erroneos<br />
> dbinom(1,n,p)<br />
[1] 0.3660323 # Es la probabilidad <strong>de</strong> t<strong>en</strong>er 1 bits erroneos<br />
> dbinom(2,n,p)<br />
[1] 0.1848648 # Es la probabilidad <strong>de</strong> t<strong>en</strong>er 2 bits erroneos<br />
> dbinom(3,n,p)<br />
[1] 0.06099917 # Es la probabilidad <strong>de</strong> t<strong>en</strong>er 3 bits erroneos<br />
> dbinom(4,n,p)<br />
[1] 0.01494171 # Es la probabilidad <strong>de</strong> t<strong>en</strong>er 4 bits erroneos