Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...

94 11. Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis
11.3. Distribuciones de los estadísticos en el muestreo
Una vez vistas las principales distribuciones asociadas al muestreo de poblaciones
normales, podemos empezar a trabajar con los distintos estadísticos que conocemos.
A partir de ahora, X 1 , . . .,X n denota una muestra aleatoria simple de N(µ, σ 2 ).
11.3.1. Estimadores de la media y varianza
La siguiente tabla resume las propiedades de los principales estimadores de media y
varianza. Recuerda que las distribuciones de los estadísticos que se muestran son válidas
sólo cuando la población de partida es normal.
∑
Media ¯X =
1 n
n i=1 X i E( ¯X) = µ Var( ¯X) = σ2
n
¯X ∼ N(µ, σ2
n )
Varianza
S 2 = 1 ∑ n
n i=1 (X i − ¯X) 2
E(S 2 ) = n−1
n σ2
Var(S 2 ) = 2(n−1)
n
σ 4 nS2
2 σ
∼ χ 2 2 n−1
Ŝ 2 = 1 ∑ n
n−1 i=1 (X i − ¯X) 2 E(Ŝ2 ) = σ 2 Var(Ŝ2 ) = 2
n−1 σ4
(n−1)Ŝ2
σ 2
∼ χ 2 n−1
S 2 µ = 1 n
∑ n
i=1 (X i − µ) 2 E(S 2 µ) = σ 2 Var(S 2 µ) = 2 n σ4 nS 2 µ
σ 2
∼ χ 2 n
Tabla 11.1: Estimadores para la media y varianza. El estimador denotado por S 2 µ sólo
puede ser calculado cuando la media µ es conocida.
11.3.2. Distribución de estadísticos en el muestreo
En la siguiente tabla se resumen los principales estadísticos y su distribución en el
muestreo.
Problema de inferencia
Estadístico Distribución
Una proporción
Media con varianza conocida
Media con varianza desconocida
ˆp − p
√
p(1−p)
n
¯X − µ
σ/ √ n
¯X − µ
Ŝ/ √ n
N(0, 1)
N(0, 1)
t n−1