Prácticas de Estadística en R - Departamento de Estadística e ...
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94 11. Intervalos <strong>de</strong> confianza y contrastes <strong>de</strong> hipótesis<br />
11.3. Distribuciones <strong>de</strong> los estadísticos <strong>en</strong> el muestreo<br />
Una vez vistas las principales distribuciones asociadas al muestreo <strong>de</strong> poblaciones<br />
normales, po<strong>de</strong>mos empezar a trabajar con los distintos estadísticos que conocemos.<br />
A partir <strong>de</strong> ahora, X 1 , . . .,X n <strong>de</strong>nota una muestra aleatoria simple <strong>de</strong> N(µ, σ 2 ).<br />
11.3.1. Estimadores <strong>de</strong> la media y varianza<br />
La sigui<strong>en</strong>te tabla resume las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los principales estimadores <strong>de</strong> media y<br />
varianza. Recuerda que las distribuciones <strong>de</strong> los estadísticos que se muestran son válidas<br />
sólo cuando la población <strong>de</strong> partida es normal.<br />
∑<br />
Media ¯X =<br />
1 n<br />
n i=1 X i E( ¯X) = µ Var( ¯X) = σ2<br />
n<br />
¯X ∼ N(µ, σ2<br />
n )<br />
Varianza<br />
S 2 = 1 ∑ n<br />
n i=1 (X i − ¯X) 2<br />
E(S 2 ) = n−1<br />
n σ2<br />
Var(S 2 ) = 2(n−1)<br />
n<br />
σ 4 nS2<br />
2 σ<br />
∼ χ 2 2 n−1<br />
Ŝ 2 = 1 ∑ n<br />
n−1 i=1 (X i − ¯X) 2 E(Ŝ2 ) = σ 2 Var(Ŝ2 ) = 2<br />
n−1 σ4<br />
(n−1)Ŝ2<br />
σ 2<br />
∼ χ 2 n−1<br />
S 2 µ = 1 n<br />
∑ n<br />
i=1 (X i − µ) 2 E(S 2 µ) = σ 2 Var(S 2 µ) = 2 n σ4 nS 2 µ<br />
σ 2<br />
∼ χ 2 n<br />
Tabla 11.1: Estimadores para la media y varianza. El estimador <strong>de</strong>notado por S 2 µ sólo<br />
pue<strong>de</strong> ser calculado cuando la media µ es conocida.<br />
11.3.2. Distribución <strong>de</strong> estadísticos <strong>en</strong> el muestreo<br />
En la sigui<strong>en</strong>te tabla se resum<strong>en</strong> los principales estadísticos y su distribución <strong>en</strong> el<br />
muestreo.<br />
Problema <strong>de</strong> infer<strong>en</strong>cia<br />
Estadístico Distribución<br />
Una proporción<br />
Media con varianza conocida<br />
Media con varianza <strong>de</strong>sconocida<br />
ˆp − p<br />
√<br />
p(1−p)<br />
n<br />
¯X − µ<br />
σ/ √ n<br />
¯X − µ<br />
Ŝ/ √ n<br />
N(0, 1)<br />
N(0, 1)<br />
t n−1