Unidad II

Unidad II

Álgebra
Esquema conceptual: Unidad II
Definición
Cuadrantes
Abscisa
Ordenada
Punto
1. El sistema de
coordenadas
cartesianas
2. La ecuación
de la recta
Definición
Representación de una
recta en un sistema de
coordenadas rectangulares
• Caso I
• Caso II
52
Representación gráfica
de una función cuadrática
UNIDAD II
Funciones algebraicas
y sus gráficas
5. Funciones
cuadráticas
Representación gráfica
de una función lineal
4. Funciones
lineales
3. Modelos
matemáticos
y funciones
Tipos de modelos
La función como
modelo de una relación
causal
Representación gráfica
de una relación
Dominio y
contradominio
Definición de función
Representación de una
función
Regla de
correspondencia

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
Semana 3
Presentación
En la presente sesión revisarás el concepto de función, el cual se emplea
como herramienta para modelar el comportamiento de sistemas dinámicos.
Asimismo, estudiarás la representación gráfica de funciones en el plano
cartesiano, como una herramienta para el análisis visual.
Objetivos específicos
• El alumno describirá las principales características del sistema cartesiano
e identificará las gráficas de las funciones lineales y cuadráticas.
Tema y subtemas
53
II Funciones algebraicas y sus gráficas
II.1 El sistema de coordenadas cartesianas
II.2 La ecuación de la recta
II.3 Modelos matemáticos y funciones
II.4 Funciones lineales
II.5 Funciones cuadráticas

Álgebra
II.1 El sistema de coordenadas
cartesianas
Definiciones
Definición de sistema
de coordenadas
cartesianas
Cuadrantes
En términos matemáticos, dos rectas que se cortan entre sí de forma perpendicular
sobre un plano, conforman lo que se denomina sistema rectangular de coordenadas
cartesianas, llamado así en homenaje al filósofo y matemático francés René
Descartes, padre de la geometría analítica.
A las dos rectas que generan un sistema de coordenadas cartesianas se les denomina
ejes coordenados rectangulares.
Un sistema de coordenadas cartesianas se divide en cuatro cuadrantes. Al
punto de intersección de los ejes coordenados se le denomina origen y se denota
con la literal “O”.
1
0.8
Y
0.6
54
0.4
Cuadrante II
Cuadrante I
0.2
0
-0.2
X
Origen
-0.4
-0.6
-0.8
Cuadrante III
Cuadrante IV
-1
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Punto
Abscisa
Ordenada
Un punto es una posición en un sistema de coordenadas cartesianas, determinada
por dos valores, abscisa y ordenada, las cuales, dependiendo de su signo,
definen el cuadrante sobre el que se ubica el punto. Un punto se denota por p(x,y),
donde x es la abscisa e y es la ordenada.
La abscisa es la distancia de un punto respecto al eje y.
Por su parte, el término ordenada se refiere a la distancia de un punto respecto
al eje x.

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
Ejercicios:
Ubicar en un sistema de coordenadas cartesianas, los siguientes puntos:
• p₁(−2, 0)
• p₂(1, 5)
• p₃(2, −7)
• p₄(0, −1)
• p₅(−3, −4)
• p₆(0, –2)
• p₇(−4, 1)
Solución:
10
8
6
4
Y
(1, 5)
•
55
2
0
−2
X
(−4, 1)
•
(−2, 0)
•
• (0,−1)
• (0,−2)
−4
(−3,−4)
•
−6
−8
(2, −7)
•
−10
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

Álgebra
II.2 La ecuación de la recta
Definición
En un sistema de coordenadas cartesianas, dos puntos determinan una recta
al unirlos por una línea.
Ejercicio. Determinar las rectas dadas por las siguientes parejas de puntos:
• R₁: P₁(−3, −3) y P₂(3, 3) • R₂:P₁(−1, 4) y P₂(4, 2)
Solución:
10
8
Y
6
4
2
R ¹
R ²
56
0
−2
−4
−6
−8
X
−10
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
La ecuación de la recta
Dicha recta puede representarse matemáticamente por una ecuación, conocida
como ecuación de la recta.
Esta ecuación tiene la forma y = mx + b, donde m y b son dos números reales.
El signo y valor de m determinan la pendiente o inclinación de la recta, por lo que
a m se le conoce como pendiente de la recta. Por otra parte a b se le conoce como
término independiente y determina el punto donde la recta corta al eje de las y.
Es importante observar que en una ecuación de la recta y = mx + b, b = 0, entonces
la recta pasa por el origen 0.
¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje y?

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
Representación de una recta en un sistema
de coordenadas rectangulares
Dada una ecuación de la recta y = mx + b, puede graficarse mediante tabulación.
Por ejemplo, sea y = x + 3, entonces, tabulando para x = (−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3) que
se presenta por x∊[−3, 3] , obtenemos:
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y 0 1 2 3 4 5 6
Los puntos anteriores pueden representarse en el sistema coordenado como
se muestra a continuación:
15
Y
10
5
57
0
X
−5
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Es posible graficar una recta sin recurrir a la tabulación de valores.

Álgebra
Caso I
Si el término independiente b, es igual a 0, basta obtener un punto en la recta y
unirlo con el origen,
Ejemplo. Sea y = −2x:
Como se observa, la ecuación carece de término independiente (o es igual
a 0). Basta hallar un punto de la recta. Si tomamos un valor cualquiera x,
tal como −1 al sustituirlo en la ecuación y = −2 (−1) =2, se obtiene el punto
p(−1, 2), el cual se une con el origen,
y = −2x
20
Y
15
10
58
5
0
X
•
−5
−10
−15
−20
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
lo que da por resultado la gráfica buscada.
Caso II
Si la ecuación posee término independiente b (es decir b ≠ 0), entonces se procede
a determinar los interceptos sobre los ejes haciendo x = 0, y = 0 para posteriormente
unir los dos puntos resultantes.

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
Ejemplos:
Sea y = 4x − 2:
Al realizar x = 0 se obtiene y = −2. Luego, al aplicar y = 0 se obtiene, 0 = 4x − 2,
4 x = 2, x = 2/4, x = 1/2.
Entonces, sólo resta unir los puntos p₁(0, −2) y p₂(1/2, −0).
15
y = 4x − 2
Y
10
5
0
X
−5
59
−10
−15
−3 −2 −1 0 1 2 3

Álgebra
II.3 Modelos matemáticos y funciones
Definición de modelo
Un modelo es la representación de un sistema y puede ser de dos tipos: físico o
matemático.
MODELO
FÍSICO
MATEMÁTICO
60
Tipos de modelos
La función como modelo
de una relación causal
Representación gráfica
de una relación
Un modelo físico es aquél en el que se emplean maquetas, prototipos y otra clase
de recursos físicos, mientras que los modelos matemáticos son representaciones
simbólicas de los componentes de un sistema y de las relaciones que los rigen.
En matemáticas, uno de los principales modelos viene dado por el concepto
de función. La función es un modelo que representa una relación causal (causaefecto)
entre dos variables. Este tipo de modelo causal puede representar una amplia
gama de fenómenos del mundo cotidiano.
Ejemplos de relaciones causales:
• Relación entre velocidad a la que avanza un auto y el tiempo que tarda en
recorrer una distancia.
• Relación entre el número de personas formadas en una fila y el tiempo
que tarda en ser atendida la última persona formada.
• Relación entre el número de autos circulando en la ciudad y los niveles de
contaminación alcanzados.
Una relación causal puede representarse gráficamente mediante dos valores
de conjuntos.
Ejemplo:
Sea x el número de personas que realizan un cierto trabajo y sea y el número de
días que tardan en terminarlo:
1
2
3
4
5
64
32
16
8
4

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
A los valores x se les conoce como variables independientes y el conjunto al
que pertenecen se llama dominio. Por otra parte, a los valores y se les denomina variables
dependientes (pues su valor depende de x) y al conjunto al que pertenecen
se denomina contradominio o codominio.
Puede observarse que un trabajador tarda 64 días en terminar su actividad,
mientras que dos trabajadores tardan 32 días. De aquí que el tiempo (y) que tardan
en realizar un trabajo, depende del número de personas (x), es decir, entre
los conjuntos x y y existe una relación causal. Cuando en una relación a cada elemento
del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio, la relación
recibe el nombre de función.
Ahora bien, una función es una relación en la que a cada elemento del dominio
le corresponde uno y sólo uno del contradominio.
Dominio y
contradominio
Definición de función
Ejemplos:
La relación
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
6
8
10
12
14
16
y
61
es una función.
La relación
x
1
4
y
2
5
3
6
7
no es una función.
Toda función se representa por: y = f(x) que significa que los valores de y están
en función de los valores de x (es decir, y depende de x).
A f se le denomina regla de correspondencia. Esta regla indica de qué manera los
valores de y dependen de los valores de x.
Representación de una
función
Regla de
correspondencia

Álgebra
II.4 Funciones lineales
Definición
de función lineal
Cuando un fenómeno presenta una relación causal que puede representarse por
una ecuación de primer grado, se dice que corresponde a una función lineal. Por
ejemplo: supóngase que x es el número de trabajadores de una fábrica y y es el
número de productos que fabrican, entonces la relación:
x
1
2
3
4
5
6
11
16
21
26
y
puede representarse por la ecuación y = 5x + 1 que corresponde a una función
lineal, la cual, a su vez, tiene la siguiente representación gráfica:
Y
y =5x + 1
62
Representación gráfica
de una función lineal
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
X
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Toda función lineal se representa por una recta en el sistema de coordenadas
cartesianas.

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
II.5 Funciones cuadráticas
Una función cuadrática es aquella de la forma
y = ax² + bx + c
Definición
de función cuadrática
en donde a, b y c son número reales.
Representación gráfica de una función cuadrática
La representación gráfica de una función cuadrática se realiza a través de la tabulación
de valores. Por ejemplo, sea y = 3x² + 7x + 4
Tabulando para x = (−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3) es decir x∊[−3,3].
X −3 −2 −1 0 1 2 3
Y 10 2 0 4 14 30 52
que tiene la siguiente representación gráfica.
50
y = 3x² + 7x + 4
Y
63
40
30
20
10
0
X
−10
−3 −2 −1 0 1 2 3

Álgebra
Ejercicios.
Realizar las gráficas de:
• y = x²
• y = x² + 1
• y = −x² + 1
• y = −5x² − x + 4
• y = x² + 2x + 10
Soluciones:
y = x²
9
8
7
64
6
5
4
3
2
1
0
−3 −2 −1 0 1 2 3

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
y = x² + 1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 0 1 2 3
65
y = −x² + 1
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−3 −2 −1 0 1 2 3

Álgebra
−5x² − x + 4
5
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−40
66
−45
−3 −2 −1 0 1 2 3
y = x² + 2x – 10
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−3 −2 −1 0 1 2 3

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
Reactivos de autoevaluación
Instrucciones: Relaciona las columnas anotando en el paréntesis el número de la opción correcta.
1. Dos rectas que se cortan perpendicularmente conforma un
2. La intersección de los ejes coordenados se llama
3. Distancia de un punto respecto al eje y
4. Distancia de un punto respecto al eje x
5. Se determina por dos puntos
6. Es la representación matemática de una línea recta
7. En la ecuación y=mx+b , es el nombre que recibe el valor b
8. En la ecuación y=mx+b es el nombre que recibe el valor m
9. Es la representación de un sistema
10. y=ax²+bx+c es una
( ) Ecuación de la recta.
( ) Modelo
( ) Función cuadrática
( ) Término independiente
( ) Ordenada
( ) Pendiente
( ) Sistema de coordenadas
( ) Abscisa
( ) Origen
( ) Recta
Instrucciones: Realiza las siguientes gráficas
1. y = −x + 6
2. y = 4x − 2
3. y = 5x² + 2x + 1
4. y = −x² + 6x − 9
5. y = x² − x − 1
6. y = x² + 6
7. y = −x² + 4
8. y = −x² − 4
67

Álgebra
Glosario
Contradominio: Conjunto de valores que toma la variable dependiente en una
función.
Cuadrantes: Sectores en los que se divide un sistema de coordenadas cartesianas.
Dominio: Conjunto de valores que toma la variable independiente en una función.
Ejes: Rectas que al cortarse de forma perpendicular generan un sistema de coordenadas
cartesianas.
Función: Relación en la que cada elemento del dominio, le corresponde uno y
sólo un elemento del contradominio.
Plano: Concepto geométrico que designa a un espacio en dos dimensiones sobre
el que pueden verificarse puntos en función de dos coordenadas.
Recta: Línea determinada por dos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.
Fuentes de información
68
Baldor, A. (2001). Algebra. México: Publicaciones Cultural.
Hasser, Norman B. (2002). Análisis Matemático. Curso de Introducción. Vol. 1.
México: Trillas.
Swokowski, Earl (2003, 2a. edición). Cálculo con Geometría Analítica. México:
Grupo Editorial Iberoamericana.

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
Panel de verificación
Instrucciones: Relaciona las columnas anotando en el paréntesis el número de la opción correcta.
1. Dos rectas que se cortan perpendicularmente conforma un
2. La intersección de los ejes coordenados se llama
3. Distancia de un punto respecto al eje y
4. Distancia de un punto respecto al eje x
5. Se determina por dos puntos
6. Es la representación matemática de una línea recta
7. En la ecuación y=mx+b , es el nombre que recibe el valor b
8. En la ecuación y=mx+b es el nombre que recibe el valor m
9. Es la representación de un sistema
10. y=ax²+bx+c es una
(6) Ecuación de la recta.
(9) Modelo
(10) Función cuadrática
(7) Término independiente
(4) Ordenada
(8) Pendiente
(1) Sistema de coordenadas
(3) Abscisa
(2) Origen
(5) Recta
Instrucciones: Realiza las siguientes gráficas
69
1. y = −x + 6
9
8
7
6
5
4
3
−3 −2 −1 0 1 2 3

Álgebra
2. y = 4x − 2
10
5
0
−5
−10
−15
70
−3 −2 −1 0 1 2 3
3. y = 5x² + 2x + 1
50
40
30
20
10
0
−3 −2 −1 0 1 2 3

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
4. y = −x² + 6x − 9
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−3 −2 −1 0 1 2 3
71
5. y = x² − x − 1
10
8
6
4
2
0
−2
−3 −2 −1 0 1 2 3

Álgebra
6. y = x² + 6
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
72
−3 −2 −1 0 1 2 3
7. y = −x² + 4
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
−3 −2 −1 0 1 2 3

Unidad II. Funciones Algebraicas y sus Gráficas
8. y = −x² − 4
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
−11
−12
−13
−3 −2 −1 0 1 2 3
73