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2
Internet
Belleza
Construcción
Sucesión de
Fibonacci
Poesía
Arquitectura
Vida
Cotidiana
Arte
Medicina
Música
Naturaleza
Cuerpo
humano

3
Conjunto de
cualidades cuyas
manifestación
sensible produce
un deleite
espiritual, un
sentimiento de
admiración .
Armonía y perfección
que inspira
admiración y deleite.

4
Santo Tomás de Aquino
(1225 – 1274)
En el siglo XIII Santo Tomas
de Aquino dice:
“Los sentidos se deleitan
en cosas debidamente
proporcionadas”
Miranda en La Carraca
(Arturo Michelena 1896)
Santo Tomas se refería a la relación
entre la belleza y la matemática, que se
encuentra presente a lo largo de la
historia con el denominado:
N Ú M E R O DE O R O
o
D I V I N A P R O P O R C I Ó N
o
S E C C I Ó N Á U R E A

5
De Architectura
(Marco Vitruvio
ca. 23 a 27 a. C)
Vitruvios (s. I a. C) decía: Un espació
dividido en partes desiguales es
agradable y estético si:
“ la relación entre la parte mayor y la
menor es la misma que hay entre el
todo y la mayor”
1era edición
española
1576
En los “Elementos de la
Geometría” ( s. III a. C. ) de
Euclides aparece esta
proporción en el problema
conocido como:
“División de un segmento
en media y extrema razón”

6
Construcción de la
Proporción Áurea
Vitruvios : “ si la relación entre la parte mayor y la menor es la misma
que hay entre el todo y la mayor”
Segmento de longitud L = 1
z 1
=
1 − z
z
Haciendo:
x
O equivalentemente:
1
=
z
1
z
1
= 1
z − 1
Resulta la ecuación:
= 0
z
= 1,6803398874989. . .
División a una altura z

7
Esta proporción se conoce como:
Proporción Divina o Sección Áurea
El número irracional obtenido se denomina:
Número de Oro
phi
Fidias
Arquitecto
del Partenón
Partenón ca. 447 a 432 a. C
Fidias
(Atenas ca. 490 – 430 a.C)

8
División de un segmento en la sección áurea.
L = 1

9
Construcción de Rectángulo Áureo
Rectángulo cuyos lados están en proporción divina.

10
Espiral del logarítmica
a =1 , b=1,5

11
El Pentágono y la sección áurea
Triángulos con
vértices consecutivos
Triángulos con vértices
NO consecutivos
El lado mayor está en proporción
áurea con los otros dos
Cada bisectriz está en proporción
áurea con el lado opuesto

12
Algunas relaciones con el número de oro
División de un segmento
en media y extrema razón
x
1
Soluciones
ϕ

13
Algunas relaciones con el número de oro
Progresión
Aritmética y Geométrica
Razón =

14
Leonardo de Pisa
( 1170-1250)
Fibonacci
En 1202 Leonardo de Pisa escribió el Liber Abaci.
En este libro se propone un problema sobre
nacimientos de parejas de conejos.
Una pareja de conejos
engendra por 1era vez una
nueva pareja de conejos al
pasar el segundo mes de
nacida y luego engendra
una pareja cada mes.
¿Cuántas parejas de conejos hay
al pasar n meses ?
1er mes
2do mes
3er mes
4to mes
5to mes
6to mes 8
1
1
2
3
5
Sucesión de Fibonacci

Algunas propiedades de la sucesión de Fibonacci
15

16
La sucesión de Fibonacci y el número de Oro
Consideremos la sucesión
conformada por los cocientes de
términos consecutivos de la sucesión
de Fibonacci
= = = =
= =

17
El Partenón
Atenas (ca. 447 - 432 a. C.)
El rectángulo Áureo aparece
en varias partes de su
construcción
Friso
El Partenón
Museo Británico

18
Micerio
Kefren
Keops
GI-c
GI-b
GI-a
Gran Pirámide de Giza
o Pirámide de Keops
Egipto (ca. 2570 a. C.). Altura 136,86 m
Al dividir la altura de uno de los
triángulos de las caras de la piramides,
entre la longitud de la base se obtiene
2ϕ
Esfinge Giza

19
b
a
b
a
= ϕ
a
b
a
b
Catedral de Notre Dame
París (1163-1345)

20
Centro Le Cobusier
(Zurch 1967)
Iglesia de Ronchamp
(Francia 1954)
Sede de la ONU New York (s. XX)
Su arquitecto
Le Corbusier (El cuervo)
Incluyo en el diseño
Rectángulos de Oro
Charles-Edouard Jeanneret
Suiza
1887 - 1965
Escribió El Modulor sistema
basado en la escala humana

21
Torre Eiffel
París 1887-1889. Altura 324 m
Gustave Eiffel
1832-1923

22
a
b
a
b
La Adoración de los Reyes
Velásquez ( 1619)
La Gioconda
Leonardo da Vinci (1506)

23
a
b
El nacimiento de Venus
Sandro Botticelli (1484)

24
La Sagrada Familia
Miguel Ángel (1484)
Miguel Ángel (1475- 1564)

25
Salvador Dalí (1904-1989)
La última cena
1955

La semi taza volante gigante con anexo
con anexo inexplicable de 5 metros
(1945)
26

27
b
El Stradivarius de 1713 se considera el
modelo clásico de violín, en él
la relación entre la longitud total y la caja
es la sección áurea.
a
En la música algunos
compositores han
utilizado la sección
áurea

28
Luca Pacioli
(ca. 1445 - 1517)
Publicada en 1509
La primera parte trata de la sección áurea y
de los poliedros regulares.
La segundaparte aplica la sección áurea en
la arquitectura y en el cuerpo humano,
basada en la obra de Vitruvio.

29
El número ϕ aparece
en la proporción
entre la estatura y
la altura al ombligo,
entre la longitud del
brazo y del
conjunto antebrazo
y la mano.
El hombre de Vitruvio
Leonardo da Vinci 1492
Leonardo Da Vinci
(1452 - 1519)

30
1920
1926
Jay Hambidge ( 1867-1924)
Artista estadounidense quien formula
la Teoría de Simetría Dinámica
En la tumba de Omar
Jayyam (1911)

32
Abeja
Concha del
Nautilus
Compás Áureo

33
1
No. pétalos
3
5
2
8
21
Coliflor 5 espirales
13
34
Girasol 21, 34 o 55
espirales

Mascara de Marquardt
Creada por el cirujano plástico
norteamericano
Stephens Marquard
34

35
Carlos E. Pérez Bolde
Fernando Pineda
Resumen
Antecedentes. El rostro humano al igual que muchos elementos en la
naturaleza, tienen la proporción perfecta en todos sus segmentos. Con
base en esto, Marquardt diseñó una máscara que integraba esta
perfección en cada una de sus secciones, con el propósito de evaluar la
belleza del rosto humano con fines quirúrgicos.
Objetivo. Evaluar la funcionalidad de la máscara para la valoración
preoperatoria y posoperatoria de pacientes para rinosethoplastía estética.
Pacientes y métodos. Cuatro mujeres a quienes se les realizó
rinosethoplastía con evaluación mediante la máscara de Marquardt en el
pre y posoperatorio. Los resultados se evaluaron según satisfacción de las
pacientes y la armonía de la nariz con el rostro.
Resultados. Estéticamente fueron muy buenos, ya que se mejoró el
ángulo nazolabial, se refinaron el dorso y la punta nasal y, en algunos
casos aumentó la elevación de la punta.

36
Este número también aparece
en la escaleras, en edificios,
ventanas, fotografía, etc
a
b
Gustav Fecner
(Filosofo Alemán
1901 – 1987)
En 1976, en un estudio,
observó que cerca del 75%,
de los encuestado
seleccionaron rectángulos
áureos, como más estéticos,
entre otras figuras
rectángulares.

37
LA DIVINA PROPORCION
A tí, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A tí, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el universo armónico origina.
A tí, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco flores regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A tí, divina proporción de oro.
Rafael Alberti
Rafael Alberti
Poeta Español
1902-19991999

Wikipedia
38

Internet
39

Revista
40

Video
41

Construcción
propiedades
Fibonacci
Portada
Resumen
L1
L2
Construcción
Proporción Áurea
L6
Proporción Áurea
Fidias Arquit Partenón
Ictinio- Calícatres L7
Partenón 1687 Explosión
Siglo XIX Eglin Frisos
Museo Británico
Sucesión de Fibonacci
Leonardo de Pisa L14
Liber Abaci: operaciones
nume, comercio, Geom, Alg
Propiedades
Suc. Fibonacci
Suc. Fibonacci
Y numero de oro
L15
L16
Belleza
Definición
Larouse y Drae
Sto Tomas. Aquino
L3
L4
Vitruvius Tratado de Arquitec
mas viejo 10 libros
Euclides Elem Geom 13 L5
libros
L5 y L10 Proporciones
Determinación Prop . L8
Áurea en un segmento
Arquitectura
Partenon L17
. Rectángulo Áureo L9
Espiral logarítmica L10
Piramides L18
Notra Dame
Pentágono y
L19
L12
Victor Hugo
Sección Áurea
Le Cobusier
Relaciones
Número de oro 1
L11
L20
Villanueva
Torre Eiffel
Relaciones
Número de oro 2 L13 100 años L21
Revol francesa

Arte
Velásquez
Leonardo da Vinci
Botitcelli
Miguel Angel
Salvador Dali 1
Salvador Dali 2
L22
L22
L24
L25
L26
Cuerpo humano
Luca Pacioli 1445- 1517
Franciscano y Mat
Summa di Arithmetica, L28
geometrica,Propotiene 1509
1era Enciclop. en Mat.
Traducción de Elemen de la Geom
De Divina Proportione 1509
El hombre
de Vitruvuo
Jay Hambidge
L29
Imágenes de relaciones
Áureas en el cuerpo
L30
L31
Medicina
Máscara
Marquardt
Evaluación
Máscara
Lo Cotidiano
L34
L35
Tarjetas, cartas, fotografías
Ventanas, etc.
L36
Filósofo. Gustav Fechner1976
Lliteratura
Un Poema
Rafael Alberti
Internet
L37
Música
Música y No Oro
L27
Naturaleza
Huevo, abeja
Flores y espirales
No de pétalos
L32
L33
Wikipedia
Una página
Publicación
Fibonacci
Video
L38
L39
L40
L41